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第 47 卷 第 5 期 煤田地质与勘探 Vol. 47 No.5 2019 年 10 月 COAL GEOLOGY 2. Beijing Key Laboratory of Urban Underground Space EngineeringUniversity of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China; 3. Key Laboratory of Ministry of Education for Efficient Mining and Safety of Metal MinesUniversity of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China Abstract Based on the generalized spatially mobilized planeSMP criterion, considering intermediate principal stress, pore water pressure and dilatancy characteristics of surrounding rock, an ideal elastic-plastic model of roadway surrounding rock is established. According to the elastic-plastic theory, the unified analytical solutions of stress field, displacement field and radius of plastic zone under seepage flow are obtained. Then, the stress distri- bution of surrounding rock and the radius of plastic zone calculated by SMP criterion are compared with those calculated by Mohr-CoulombM-C criterion, and the influencing factors such as pore water pressure and dilatancy angle of surrounding rock are analyzed. It is shown that the radius of plastic zone based on the SMP criterion are smaller than that of the M-C criterion, and the calculation results of M-C criterion are more conservative than those of generalized SMP criterion. The pore water pressure has a great influence on the displacement field of the road- way surrounding rock. The increase of displacement near roadway wall is influenced by the larger pore water pressure. Meanwhile, the change of radius of plastic zone of surrounding rock and the peak tangential stress varia- tions at elastic-plastic interface are proportional to the pore water pressure. The strength of the surrounding rock will be underestimated by using the correlation flow rule, and the actual deation of the surrounding rock will be underestimated without considering the dilatancy. Keywords circular roadway; seepage; dilatancy; intermediate principal stress; elastic-plastic analysis ChaoXing 第 5 期 潘继良等 考虑渗流和剪胀的圆形巷道围岩广义 SMP 准则解 33 在水资源丰富的地区开挖巷道，巷道围岩的应 力分布不仅受开挖扰动的影响，而且还会受到地下 水的作用，体现在渗流过程中的外水压力和作用在 围岩上的渗流体积力[1]。在渗流和开挖扰动的共同 作用下导致的应力重分布将会引起应力集中，当应 力值超过巷道围岩的极限强度时，岩体的力学性质 便从弹性转变为塑性[2]。 通过理论计算，对受渗流影响的地下巷道围岩 的应力和位移进行预测，在地下工程中具有重要的 指导意义。李宗利等[3]基于 Mohr-CoulombM-C准 则求解了渗流作用下隧洞围岩的应力场和位移场分 布，相较于不考虑渗流，其认为在对围岩进行弹塑 性分析时，不应忽视渗流场的影响；黄阜等[4]基于 Hoek-BrownH-B准则推导了渗透力作用下圆形洞 室的弹塑性解析解， 并与 M-C 准则的计算结果进行 了对比分析； 王睢等[5]基于 Drucker-PragerD-P准则 推导了深埋有压圆形隧洞弹塑性解，并分析了施工 和运营阶段的地下水渗流作用规律；张常光等[6-7] 基于统一强度理论推导了圆形水工隧洞围岩的应力 解和位移解，并对多种影响因素进行了探讨。 可以看出，现有的关于地下圆形渗流巷道围岩 弹塑性解析解多是基于无法反映中间主应力效应的 M-C 准则和 H-B 准则提出的，或是根据可考虑中间 主应力的D-P准则和统一强度理论计算所得， 而D-P 准则在偏平面内具有拉压强度相等性，同时夸大了 中间主应力的作用， 而统一强度理论公式较为繁琐， 在实际求解过程中存在诸多不便[8-9]。H. Matsuoka 和 T. Nakai 于 1974 年提出了针对无黏性土的空间 滑动面理论Spatially Mobilized Plane，简称 SMP 准则[10]。SMP 准则不仅克服了偏平面内 M-C 准则 的奇异性和 D-P 准则的拉压强度相等性，而且还可 反映中间主应力的影响，相较于统一强度理论更加 简洁， 同时还可以很好地匹配 M-C 准则。 广义 SMP 准则可以适用于黏性材料， 使 SMP 准则应用范围变 得更广。 吴创周等[11]基于广义 SMP 准则， 计算分析 了圆形隧洞围岩的应力和位移，并将得到的弹脆塑 性解析解与卡斯特纳解进行了对比；吕彩忠等[12]基 于广义 SMP 准则对软岩硐室的最优支护力和围岩 允许的最大位移进行了理论求解；朱建明等[13]利用 广义 SMP 准则推导出围岩抗力系数的计算公式， 并 且较好地反映了中间主应力的影响。 综上所述，现有的关于圆形渗流巷道的研究多 是忽略或夸大了中间主应力的作用，或是没有考虑 巷道围岩自身的剪胀特性，因此所计算出的理论结 果与实际情况存在较大差异。 广义 SMP 准则逐渐被 应用于围岩的弹塑性分析，但目前尚未有文献将其 用于分析地下圆形渗流巷道，因此，本文基于广义 SMP 准则，综合考虑中间主应力、孔隙水压力和巷 道围岩的剪胀特性，建立巷道围岩的理想弹塑性模 型。根据弹塑性理论，对渗流作用下的围岩应力场、 位移场和塑性区半径的统一解进行推导，结合具体 算例对计算得到的围岩应力分布和塑性区半径与 M-C 准则计算结果进行对比，并讨论了巷道围岩塑 性区孔隙水压力和剪胀角等参数的敏感性。 1 广义 SMP 准则 H. Matsuoka 通过引入黏结应力 σ0对 SMP 准则 进行了修正[14-15]， 将 SMP 准则进一步推广应用于包 含黏聚力 c 和内摩擦角的黏性岩土材料。SMP 准 则在 π 平面上的极限轨迹为外接 M-C 准则极限面 6 个顶点的光滑曲线，如图 1 所示[16]。 图 1 M-C 准则与 SMP 准则在 π 平面上的相互关系 Fig.1 Relationship between the M-C criterion and SMP criterion in the π-plane 应力不变量表示的广义 SMP 准则表达式为[17] 12 2 SMP 3 8tan9 I I K I  1 式中 KSMP为材料常数； 1I、 2I、 3I分别为广义的 应力一阶、二阶、三阶不变量，即 1 123 I 2 1223 31 I    3 123 I 由相关联流动法则和广义 SMP 准则可求出平 面应变条件下 3 个主应力之间的关系式[18] 213  2 将式2代入式1，求得平面应变状态下广义 SMP 准则的表达式 SMP 2 21 3 SMP 1 114 4 KK         3 ChaoXing 34 煤田地质与勘探 第 47 卷 巷道切向应力 σθ、径向应力 σr和轴向应力 σz 相互正交，当侧向压力系数 λ1 时，应力 σθ，σr和 σz可看作为圆形巷道围岩的 3 个主应力，即 σ1σθ, σ3σr和 σ2σz，式3可写成 0 r fMN   4 其中， 2 222 1 8tan91 8tan914 4 M      ， 1 cotNMc。 2 渗流场计算 假设巷道围岩均质且各向同性， 长度无限长， 地 下水在岩体内为层流，距离巷道无穷远处水头为 p0， 巷道壁处水头为 0，巷道半径小于内外水头差。忽略 计算区域水及岩土体自重的影响， 将问题简化为轴对 称恒定渗流平面应变问题。令 r0为巷道半径，Rs为 塑性区半径，R0为计算区域半径，σ0为初始地应力， pi为巷道支护力，建立的力学计算模型如图 2 所示。 图 2 渗流圆形巷道力学模型 Fig.2 Mechanical model of circular roadway under seepage 在均匀应力场条件下，由 Darcy 定律得渗流连 续微分方程为[3] 2 ww 2 1 0 prpr rrr    5 式中 w pr为半径 r 处的孔隙水压力，MPa。 选取与原始渗流场外水压力 p0相同的半径 R0 处为计算区域， 计算区域外保持初始地应力场状态， 可知渗流场内、外边界条件为 0 w 0 r r pr  ， 0 w0 r Rprp 6 求得孔隙水压力沿巷道壁向外径向分布规律为 0 w ln r prs r  7 式中 000 /ln/sprR，为常数。 3 巷道围岩弹塑性统一解 3.1 基本方程 渗透水压力为体积力，不考虑渗透体积力中的 浮力部分， 建立考虑渗流影响的平衡微分方程为[19] w d d 0 dd rr pr rrr      8 式中 为岩石等效孔隙水压力系数。 几何方程 d d r uu rr  ， 9 式中 r 为径向应变；  为切向应变；u 为巷道围 岩径向位移。 为了反映围岩的剪胀特性，文献[20]通过建立 塑性势函数， 结合塑性位势理论和非关联流动法则， 利用塑性应变增量求得围岩剪胀系数表达式为 p * p r M       10 式中 p r 为径向塑性应变增量； p  为切向塑性应 变增量； M*为将内摩擦角替换为剪胀角小于等于内 摩擦角后的 M。 3.2 弹性区分析 根据广义胡克定律，平面应变问题本构方程为[21] eee eee 1 112 1 112 rr r E E                     11 式中 E 为弹性模量；ν 为泊松比； e r 、 e  分别为 弹性区的径向应力与切向应力； e r 、 e  分别为弹性 区的径向应变与切向应变。 式11联立式8和式9求得 2 0 22 d1 d1 dd uuu C rrrrr  12 式中 0 1 Cs    ，为常数； 112 E   ， 为一阶 Lame 常数。 求解式12得到弹性区总位移表达式 e02 1 ln 2 CC uC rrr r  13 式中 C1、C2均为待定常数。 式13代入式9，求得弹性区总应变表达式 es02 1 2 es02 1 2 1ln 2 ln 2 r CC Cr r CC Cr r             14 式中 es r 、 es  分别为弹性区的总径向应变与总切向 ChaoXing 第 5 期 潘继良等 考虑渗流和剪胀的圆形巷道围岩广义 SMP 准则解 35 应变。 边界条件 0 s e 00 ee-p | | r r R r r Rr p           15 式中 e-p r 为弹性区与塑性区交界处的径向应力。 由于在弹性区始终满足关系式 ee 00 2 r p   16 在弹塑性交界面 rRs处，有 e-p00 2 1 r pN M     17 式17结合边界条件式15，求得待定常数 C1、 C2的表达式为 1002 2 0 0 0 22 e-p0s 200 22 0s 22 00ss 22 0 0s 112 12 [1ln] 2 1 ln 212 r CpC ER C R R R Cp ERR CR RR RRR                         18 式18代入本构方程式11，求得弹性区应力场 分布表达式为 e2 1 2 0 e2 1 2 0 112 1 [1ln ] 112 2 112 1 ln 112 2 r CEE C r CE r CEE C r CE r                               19 弹性区的实际位移应忽略巷道开挖前地应力所 引起的变形，因此，弹性区的真实应变为 2 eee 00 2 eee 00 1 [] 1 1 [] 1 rr r E E                    20 将式20代入几何方程式9，即可求得弹性区 的真实位移 e* u。 3.3 塑性区分析 根据弹塑性理论，塑性区应变由弹性应变和塑 性应变两部分构成[22]，即 ssesp spsse rrr          21 式中 s r 、 s  分别为塑性区的径向应变与切向应变； 上标 se 表示塑性区内的弹性部分， sp 表示塑性区内 的塑性部分；令   ss r f r   22 将式21代入式22，求得   spsesespsese rrr f r   23 式23代入几何方程9，有 ss sese d d r uu f r rr   24 结合弹塑性交界面处边界条件rRs时， se-p uu，积分得塑性区位移表达式 s se-ps 1 d r R R urf rr u rr     25 不考虑巷道开挖前地应力作用产生的位移，利 用广义胡克定律计算塑性区内弹性应变，即 2 sess 00 2 sess 00 1 [] 1 1 [] 1 rr r E E                    26 结合弹塑性交界面处的边界条件rRs时， ee-p rr ，求得塑性区重分布应力为 se-p1s se-p1s 11 11 M rr M r RsNsN MrM RsNM sN M MrM                  27 将式27代入式26，联立式23求得 ss 1230 1 [] r f rDDD E      28 将式28代入式25求得塑性区位移表达式 se-p1s12 1s3012 1e-pss 1 {[ 1 ] [] 111 [1 ]} M r RDMDsN ur EMMr RDDsND M sN rM RR u rr                  29 把rr0代入式29即可求出巷道洞壁处的位移。 3.4 塑性区半径 结合边界条件 rr0时， e ir p，有 s10 i s10 i 11 11 M r M rsNsN p MrM rsNM sN M p MrM                  30 联立式27，求得塑性区半径 s R与巷道半径 0 r 之比表达式为 si 1 e-p 0 1 1 M r RM psN rMsN       31 ChaoXing 36 煤田地质与勘探 第 47 卷 4 算例分析 为了讨论巷道围岩塑性区内孔隙水压力和剪胀 角等参数的敏感性，下面通过算例进行分析。选取 深埋圆形巷道半径 r03 m，计算区域半径 R020r0 60 m，认为计算区域外为原岩应力场状态，同时认 为该处也处于原始渗流场状态。地下水在围岩内的 流动以径向为主，属于层流且符合 Darcy 定律。围 岩剪胀角取值小于等于内摩擦角，不考虑巷道支护 力作用，基于以上条件，选取的巷道围岩力学参数 见表 1。 表 1 围岩力学参数 Table 1 Mechanical parameters of surrounding rock 参数 取值 弹性模量 E/Gpa 2.0 泊松比 ν 0.25 黏聚力 c/MPa 2.8 内摩擦角/ 24 剪胀角 ψ/ 10 初始地应力 σ0/MPa 30.0 孔隙水压力系数 η 1 外水压力 p0/MPa 2 支护力 pi/MPa 0 4.1 与 M-C 准则对比 M-C 准则是目前岩土工程中最常用的强度准则 之一，在巷道围岩弹塑性分析中，平面应变条件下 的 M-C 准则表达式为[23] 1 sin2 cos 1 sin1 sin r c        32 SMP 准则和 M-C 准则下的围岩应力分布如图 3 所示，可以看出 SMP 准则与 M-C 准则具有不同的 径向应力分布和切向应力分布。径向应力随着半径 的增大而增大，但增长速率逐渐放缓。切向应力在 塑性区内随着半径的增大而增大，在弹塑性交界面 处达到最大值，之后随着半径的增大而减小。径向 应力和切向应力最终都将接近于原岩应力。此外， 从图 3 中还可看出，SMP 准则计算得到的塑性区半 径比 M-C 准则小，说明 M-C 准则相较于 SMP 准则 更为保守。 4.2 孔隙水压力影响 为了分析孔隙水压力对巷道围岩变形和应力分 布的影响， 选取孔隙水压力 p0分别为 0、 2、 6、 10 MPa 进行对比分析，得到的围岩塑性区半径及位移变化 如图 4 所示，围岩应力分布如图 5 所示。 图 3 M-C 准则和 SMP 准则围岩应力分布 Fig.3 Stress distribution of surrounding rock under M-C criterion and SMP criterion 从图 4 可以看出，孔隙水压力对巷道围岩位移 的影响十分明显。不考虑孔隙水压力时，洞壁处的 位移为 267 mm，当孔隙水压力为 10 MPa 时，巷道 洞壁处的位移为 680 mm， 为不考虑孔隙水压力时洞 壁位移的 2.55 倍，整体表现为孔隙水压力越大，巷 道洞壁附近围岩位移量越大的变化趋势；孔隙水压 力也影响围岩塑性区的范围，孔隙水压力越大，围 岩塑性区半径越大，孔隙水压力为 0 时，塑性区半 径为 5.83 m，当孔隙水压力为 10 MPa 时，塑性区 半径为 7.96 m，塑性区范围扩大了 36.5。图 5 可以 看出，在塑性区范围内，随着孔隙水压力的增大，围 岩的径向应力变化和切向应力变化并不明显。孔隙水 压力越大，弹塑性交界面处的峰值切向应力越大。孔 隙水压力为 10 MPa 时，最大切向应力为 61.33 MPa， 孔隙水压力为 0 时，最大切向应力为 46.72 MPa。 图 4 孔隙水压力对塑性区半径和位移的影响 Fig.4 Influence of pore water pressure on plastic zone radius and displacements ChaoXing 第 5 期 潘继良等 考虑渗流和剪胀的圆形巷道围岩广义 SMP 准则解 37 图 5 孔隙水压力对围岩应力分布的影响 Fig.5 Influence of pore water pressure on stress distribution of surrounding rock 4.3 剪胀的影响 巷道围岩的剪胀性质主要通过剪胀角 ψ 和塑性 势函数来体现。本文针对关联流动法则ψ，非关 联流动法则ψ≠和不考虑剪胀ψ03 种情况， 求出 相应的剪胀系数 χ 的值，并对不同剪胀角所对应的 塑性区半径和位移分布进行对比分析，计算结果如 图 6 所示。可以看出，剪胀角的变化并不会改变围 岩塑性区半径，但剪胀角对围岩塑性区位移的影响 较为明显，关联流动法则ψ24计算得到的洞 壁位移量为 751 mm， 非关联流动法则ψ10计算 得到的洞壁位移量为 321 mm，关联流动法则计算 的洞壁位移是非关联流动法则的 2.34 倍。不考虑 剪胀ψ0计算得到的洞壁位移量为 225 mm，是非 关联流动法则计算结果的 70.1。也就是说，关联 流动法则过多地考虑了剪胀的影响，而不考虑剪胀 则会低估围岩的实际变形。 5 结 论 a. 基于广义 SMP 准则推导了深埋圆形巷道围 岩的弹塑性统一解， 发现 SMP 准则计算得到的径向 应力普遍大于传统的 M-C 准则， 但塑性区半径却相 对较小，说明 M-C 准则相较于广义 SMP 准则更为 保守。 图 6 剪胀对塑性区半径和位移的影响 Fig.6 Influence of dilatancy on plastic zone radius and displacements b. 孔隙水压力对巷道围岩位移的影响十分明 显，孔隙水压力越大，巷道洞壁附近围岩位移量越 大，孔隙水压力为 10 MPa 时位移量是不考虑孔隙 水压力时的 2.55 倍；此外，孔隙水压力也会影响 到围岩塑性区的范围，且两者之间成正比；相较于 不考虑孔隙水压力，孔隙水压力为 10 MPa 时塑性 区范围扩大了 36.5；在塑性区内，随着孔隙水压 力的增大，围岩的径向和切向应力变化并不明显； 孔隙水压力越大， 弹塑性交界面处的峰值切向应力 越大。 c. 关联流动法则计算得到的洞壁位移量是非 关联流动法则的 2.34 倍，而不考虑剪胀计算得到的 位移量仅为非关联流动法则的 70.1，采用相关联 流动法则会低估围岩的强度，而不考虑剪胀则会低 估围岩的实际变形，故应采用考虑剪胀的非关联流 动法则对围岩塑性区应变进行分析。 参考文献 [1] 刘成学， 杨林德， 李鹏. 考虑应力重分布的深埋圆形透水隧洞 弹塑性解[J]. 工程力学，2009，26216–20. 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