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材料力学教师用书 范钦珊 编 清华大学出版社 内 容 简 介 本书是与主教材 材料力学 配套出版的教师教学用书 ,内容为主教材全部习题的详 细解答过程 ,可以帮助使用本教材的教师备课和讲课。 本套教材包括主教材 材料力学、 学生学习指导书 材料力学学习指导 、 教 师教学参考书 材料力学教师用书和供课堂教学使用的 材料力学电子教案 。 本套教材可作为高等院校理工科各专业中学时和少学时材料力学课程的教材。 版权所有 ,翻印必究。举报电话 010-62782989 13901104297 13801310933 封面贴有清华大学出版社激光防伪标签 ,无标签者不得销售。 图书在版编目CIP数据 材料力学教师用书/ 范钦珊编著 .北京 清华大学出版社 ,2004 .9 普通高等院校基础力学系列教材 ISBN 7-302-09321-0 Ⅰ . 材⋯ Ⅱ . 范⋯ Ⅲ . 材料力学 - 高等学校 - 教学参考资料 Ⅳ . TB301 中国版本图书馆 CIP 数据核字2004第 087892 号 出 版 者 清华大学出版社地址 北京清华大学学研大厦 http/ / www .tup .com .cn邮编 100084 社 总 机 010-62770175客户服务 010-62776969 责任编辑 杨 倩 印 装 者 北京市清华园胶印厂 开本 170230 印张 7 .25 字数 121 千字 版次 2004 年 9 月第 1 版 2004 年 9 月第 1 次印刷 书号 ISBN 7-302-09321-0/ O394 印数 1～600 本书如存在文字不清、 漏印以及缺页、 倒页、 脱页等印装质量问题 , 请与清华大学出版 社出版部联系调换。联系电话 01062770175-3103 或01062795704 编委会名单 主 任 范钦珊 编 委 王焕定 王 琪 刘 燕 殷雅俊 PREFACE 普通高等院校基础力学系列教材 序 普通高等院校基础力学系列教材包括 “理论力学” 、“材料力学” 、“结构力 学” 、“工程力学静力学 材料力学” 以及 “工程流体力学” 。目前出版的是前 面的 3 种, “工程力学静力学 材料力学” 将在以后出版。 这套教材是根据我国高等教育改革的形势和教学第一线的实际需求, 由 清华大学出版社组织编写的。 从 2002 年秋季学期开始,全国普通高等学校新一轮培养计划进入实施阶 段, 新一轮培养计划的特点是,加强素质教育、 培养创新精神。根据新一轮培 养计划, 课程的教学总学时数大幅度减少, 为学生自主学习留出了较大的空 间。相应地, 课程的教学时数都要压缩,基础力学课程也不例外。 怎样在有限的教学时数内, 使学生既能掌握力学的基本知识,又能了解一 些力学的最新进展; 既能培养学生的力学素质,又能加强工程概念。这是很多 力学教育工作者所共同关心的问题。 现有的基础教材大部分都是根据在比较多的学时内进行教学而编写的, 因而篇幅都比较大。教学第一线迫切需要适用于学时压缩后教学要求的小篇 幅的教材。 根据 “有所为、 有所不为” 的原则, 这套教材更注重基本概念, 而不追求冗 长的理论推导与繁琐的数字运算。这样做不仅可以满足一些专业对于力学基 础知识的要求, 而且可以切实保证教育部颁布的基础力学课程教学基本要求 的教学质量。 为了让学生更快地掌握最基本的知识, 本套教材在概念、 原理的叙述方面 作了一些改进。一方面从提出问题、 分析问题和解决问题等方面作了比较详 尽的论述与讨论; 另一方面通过较多的例题分析,特别是新增加了关于一些重 要概念的例题分析, 著者相信这将有助于读者加深对于基本内容的了解和 掌握。 此外, 为了帮助学生学习和加深理解以及方便教师备课和授课,与每门课 材料力学教师用书 lⅣ 程主教材配套出版了学习指导、 教师用书习题详细解答和供课堂教学使用 的电子教案。 本套教材内容的选取以教育部颁布的相关课程的 “教学基本要求” 为依 据, 同时根据各院校的具体情况,作了灵活的安排, 绝大部分为必修内容,少部 分为选修内容。每门课程所需学时一般不超过 60。 范钦珊 2004 年 7 月于清华大学 FORE W ORD 前言 为了减轻教学第一线老师不必要的重复劳动, 同时也为了给刚刚走上材 料力学教学岗位的青年教师提供教学参考资料, 我们将 “材料力学” 教材中全 部习题作了详细解答, 编写成册,定名为 “材料力学教师用书” 。 全书包括教材中的全部 11 章内容的习题解答, 即 材料力学概述, 轴向 载荷作用下杆件的材料力学问题, 轴向载荷作用下材料的力学性能,圆轴扭转 时的强度与刚度计算, 梁的强度问题, 梁的变形分析与刚度问题, 应力状态与 强度理论及其工程应用, 压杆的稳定问题, 材料力学中的能量方法, 动载荷与 疲劳强度概述以及新材料的材料力学概述。 编者希望这本书能为提高老师的工作效率作出一点贡献, 当然也希望对 老师们提高教学质量有所帮助。 书中不足之处, 恳请老师们批评指正。 范钦珊 2004 年 7 月于清华大学 CONTENTS 目录 第 1 章 材料力学概述1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 2 章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 3 章 轴向载荷作用下材料的力学性能13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算17⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 5 章 梁的强度问题25⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 6 章 梁的变形分析与刚度问题53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 7 章 应力状态与强度理论及其工程应用63⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 8 章 压杆的稳定问题73⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 9 章 材料力学中的能量方法85⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 10 章 动载荷与疲劳强度概述93⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 11 章 新材料的材料力学概述101⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 材料力学概述 习 题 解 答 1 -1 图示矩形截面直杆,右端固定, 左端在杆的对称平面内作用有集中 力偶, 数值为 M。关于固定端处横截面 A-A 上的内力分布,有四种答案, 根据 弹性体的特点, 试分析哪一种答案比较合理。 正确答案是 C 。 习题 1-1 图 解 首先,从平衡的要求加以分析, 横截面上的分布内力只能组成一个力 偶与外加力偶矩 M 平衡。而答案A和 B中的分布内力将合成一合力, 而 不是一力偶, 所以是不正确的。 直杆在外力偶 M 作用下将产生上面受拉、 下面受压的变形。根据变形协 调要求, 由拉伸变形到压缩变形,必须是连续变化的, 因而,受拉与受压的材料 之间必有一层材料不变形, 这一层材料不受力。因此, 答案D 也是不正确 的。正确的答案是C。 1 -2 图示等截面直杆在两端作用有力偶, 数值为 M, 力偶作用面与杆的 对称面一 致。关于 杆 中点 处 截面 A-A 在 杆变 形 后的 位 置 对于 左 端, 为 1 材料力学教师用书 l2 A′ -A′ ; 对于右端,为 A″ -A″ ,有四种答案, 试判断哪一种答案是正确的。 正确答案是 C 。 习题 1-2 图 解 根据变形协调的要求,杆件各部分变形协调一致, 既不能断开, 也不 能互相重叠。答案A和D中同一处左右两侧横截面 A′ -A′ 和 A″ -A″ 断开; 答案B中同一处左右两侧横截面 A′ -A′ 和 A″ -A″ 发生重叠。因而答案 A、 B和D都是不正确的。答案C中同一处左右两侧横截面既不断开也没有 发生重叠, 所以是正确的。 1 -3 等截面直杆其支承和受力如图所示。关于其轴线在变形后的位置 图中虚线所示 , 有四种答案,根据弹性体的特点, 试分析哪一种是合理的。 正确答案是 C 。 习题 1-3 图 解 直杆受 3 个力的作用,将发生弯曲变形, 因而 AB和 BC 段都要弯曲, 因此答案A和B都是不正确的。根据弯矩的实际方向, AB 和 BC 段弯曲 后的曲线都是向上凸的。所以, 答案C是正确的, 答案D是不正确的。 2 轴向载荷作用下杆件的 材料力学问题 习 题 解 答 2 -1 两根直径不同的实心截面杆, 在 B 处焊接在一起, 弹性模量均为 E 200GPa,受力和尺寸等均标在图中。 习题 2-1 图 试求 1. 画轴力图; 2. 各段杆横截面上的工作应力; 3. 杆的轴向变形总量。 解 轴力图略 a 1. σAB FN1 A1 4 FN1 πd 2 1 43010 3 π 20 2 10 - 6 95. 5MPa σBC FN2 A2 450 3010 3 π 30 2 10 - 6 113MPa 2. ΔlΔlA BΔlBC FN1l1 EA1 FN2l2 EA2 1. 06mm 2 材料力学教师用书 l4 b 1. σAB FN A B A1 45010 3 π38 2 10 - 6 44. 1MPa σBC FN B C A2 4 - 6010 3 π65 2 10 - 6 - 18. 1MPa 2. Δl ΔlA BΔlB C FN A BlA B EA1 FNB ClB C EA2 5010 3 0. 94 20010 9 π38 2 10 - 6 - 6010 3 1. 224 20010 9 π 65 2 10 - 6 0. 088110 - 3 m 0. 0881mm 2 -2 直径 d 36mm 的钢杆 ABC 与铜杆 CD 在 C 处连接, 杆受力如图 所示。若不考虑杆的自重, 试 1. 求 C、 D 二截面的铅垂位移; 2. 令 FP1 0, 设 AC 段长度为 l1, 杆全长为 l,杆的总伸长 Δl FP2l EA ,写出 E 的表达式。 习题 2-2 图 解 1. uC uA FNA BlA B Es πd 2 4 FNB ClBC Es πd 2 4 0 15010 3 2000 10010 3 3000 20010 3 4 π36 2 2. 947mm 第 2 章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题 l5 uD uC FNCDlCD Ec πd 2 4 2. 947 10010 3 25004 10510 3 π 36 2 5. 286mm 2. FP2l EA Δl ΔlACΔlCD FP2l1 EsA FP2 l - l1 EcA ,令 η l1 l 1 E η Es 1 - η Ec E EcEs Ecη 1 - η Es 2 -3 长度 l 1. 2m、 横截面面积为 1. 1010 - 3 m 2 的铝制圆筒放置在固 定的刚性块上; 直径 d 15. 0mm 的钢杆 BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上; 铝 制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。若在钢杆的 C端施加轴向拉力 FP,且已知 钢和铝的弹性模量分别为 Es 200GPa, Ea 70GPa; 轴向载荷 FP 60kN, 试 求钢杆 C端向下移动的距离。 习题 2-3 图 解 1 . 铝筒 uA- uB - FPlA B EaAa 其中 uA 0 uB 6010 3 1. 210 3 7010 3 1. 1010 - 3 10 6 0. 935mm 2 . 钢杆 uC uB FPlBC EsAs 0. 935 6010 3 2. 110 3 20010 3 π 4 15 2 4. 50mm 2 -4 直杆在上半部两侧面都受有平行于杆轴线的均匀分布载荷, 其集 度均为 珚 p 10kN/ m; 在自由端 D 处作用有集中力 FP 20kN。已知杆的横 材料力学教师用书 l6 截面面积 A 2. 010 - 4 m 2 , l 2m。试求 1.A、 B、 E 三个横截面上的正应力; 2. 杆内横截面上的最大正应力, 并指明其作用位置。 习题 2-4 图 解 由已知条件,用截面法求得 FN A 40kN, FNB 20kN, FN E 30kN 1. σA FN A A 4010 3 2. 010 - 4 200MPa σB FN B A 100MPa σE FN E A 150MPa 2. σmaxσA 200MPa A 截面 2 -5 螺旋压紧装置如图所示。现已知工件所受的压紧力为 F 4kN。 装置中旋紧螺栓螺纹的内径 d1 13. 8mm; 固定螺栓内径 d2 17. 3mm。两 根螺栓材料 相同, 其许 用应力 [σ ] 53. 0MPa。试 校核各 螺栓 的强度 是否 安全。 解 ∑ MB 0, FA 2kN ∑ Fy 0, FB 6kN σA FA AA 2000 π 4 d 2 1 20004 π 13. 8 2 10 - 6 13. 8MPa F4, F3 A3 ≤[σs] , 5 3 FP≤[σ ] A3 FP≤ 3 5 [σ ] A3 3 5 12010 6 80010 - 6 57. 6kN [ FP] min57. 6kN,60kN 57. 6kN * 2 -9 由铝板和钢板组成的复合柱,通过刚性板承受纵向载荷 FP 38kN, 其作用线沿着复合柱的轴线方向。试确定铝板和钢板横截面上的正应力。 解 由于刚性板的存在,又是对称加载, 所以铝板和钢板具有相同的压缩 变形量。于是有 材料力学教师用书 l10 习题 2-9 图 FNs EsAs FNa EaAa 1 根据平衡条件, 有 FNs FNa - FP2 FNs - EsAs EsAs EaAa FP FNa - EaAa EsAs EaAa FP σs FNs As - EsFP Esb0h Ea2b1h - EsFP b0hEs 2b1hEa - 20010 9 38510 3 0. 030. 0520010 9 20. 020. 05 7010 9 - 175MPa压 σa FNa Aa - EaFP b0hEs 2b1hEa - 175Ea Es - 175 70 200 - 61. 25MPa压 * 2 -10 铜芯与铝壳组成的复合棒材如图所示, 轴向载荷通过两端刚性 板加在棒材上。现已知结构总长减少了 0. 24mm。试求 1. 所加轴向载荷的大小; 2. 铜芯横截面上的正应力。 解 1 . 设铜芯与铝壳之间无内压,二者具有相同的轴向应变, 其值为 ε 0. 24 300 810 - 4 轴向载荷等于二者受力之和 第 2 章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题 l11 习题 2-10 图 FPσcuAcu σalAal EcuεAcu EalεAal 10510 3 810 - 4 π 4 25 2 10 - 3 7010 3 810 - 4 π 4 60 2 - 25 2 10 - 3 172. 1kN 2 . 铜芯应力 σcu Ecuε 10510 3 810 - 4 84MPa 习题 2-11 图 * 2 -11 图示组合柱由钢和铸铁制成,组合柱横截面为边长为 2b的正方 形, 钢和铸铁各占横截面的一半 b2b。载荷 FP通过刚性板沿铅垂方向加 在组合柱上。已知钢和铸铁的弹性模量分别为 Es 196GPa, Ei 98. 0GPa。 今欲使刚性板保持水平位置, 试求加力点的位置 x 材料力学教师用书 l12 解 ∑ M0 0, b2b σsx - b 2 b2bσi 3 2 b - x 2 x - b 3b - 2 x σi σs 1 σs Es σi Ei σi σs 98 196 1 2 2 将2式代入1式得 4 x - 2b 3b - 2 x 由此解得 x 5 6 b 3 轴向载荷作用下杆件材料 的力学性能 习 题 解 答 3 -1 韧性材料应变硬化后, 材料的力学性能发生了变化。试判断以下 结论哪一个是正确的 A 屈服应力提高,弹性模量降低; B 屈服应力提高, 韧性降低; C 屈服应力不变,弹性模量不变; D 屈服应力不变,韧性不变。 正确答案是 B 。 解 韧性材料应变硬化后,如果再加载, 材料的屈服应力提高, 韧性即延 伸率降低。所以正确答案是B。 3 -2 关于材料的力学一般性能,有如下结论, 请判断哪一个是正确的 A 脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力; B 脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力; C 韧性材料的抗拉能力高于其抗压能力; D 脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。 正确答案是 A 。 解 大多数脆性材料的抗拉强度低于抗压强度。所以答案A是正确的。 3 -3 低碳钢材料在拉伸实验过程中, 不发生明显的塑性变形时, 承受的 最大应力应当小于的数值, 有以下四种答案,请判断哪一个是正确的 A 比例极限; B 屈服强度; C 强度极限; D 许用应力。 3 材料力学教师用书 l14 正确答案是 B 。 解 低碳钢拉伸时,当应力大于或等于屈服强度时才会出现明显的塑性 变形。所以正确的答案应该是B。 3 -4 根据图示三种材料拉伸时的应力 -应变曲线, 得出的如下四种结 论, 请判断哪一种是正确的 A 强度极限σb1 σb2 σb3 ,弹性模量 E1 E1 E3 , 延伸率δ 1 δ 2 δ 3; B 强度极限 σb2 σb1 σb3 ,弹性模量 E2 E1 E3 , 延伸率 δ 1 δ 2 δ 3 ; C 强度极限σb3 E2 , 延伸率δ 3 δ 2 δ 1; D 强度极限σb1 σb2 σb3 ,弹性模量 E2 E1 E3 , 延伸率δ 2 δ 1 δ 3。 正确答案是 B 。 习题 3-4 图 解 图示的三种拉伸曲线表明, 三种材料的强度极限σb2 σb1 σb3; 三种材料的弹性模量 E2 E1 E3; 三种材料的延伸率δ 1 δ 2 δ 3。 所以答案B是正确的。 3 -5 关于低碳钢试样拉伸至屈服时, 有以下结论, 请判断哪一个是正 确的 A 应力和塑性变形很快增加,因而认为材料失效; B 应力和塑性变形虽然很快增加, 但不意味着材料失效; C 应力不增加,塑性变形很快增加, 因而认为材料失效; D 应力不增加,塑性变形很快增加, 但不意味着材料失效。 第 3 章 轴向载荷作用下材料的力学性能 l15 正确答案是 C 。 解 屈服的特征是应力不增加, 而塑性变形很快增加, 这时, 材料已经丧 失承载能力, 即失效。所以正确答案是C。 3 -6 关于条件屈服强度有如下四种论述,请判断哪一种是正确的 A 弹性应变为 0. 2时的应力值; B 总应变为 0. 2时的应力值; C 塑性应变为 0. 2时的应力值; D 塑性应变为 0. 2 时的应力值。 正确答案是 C 。 解 条件屈服强度是人为规定的。规定 产生 0. 2塑性应变时的应力 值, 称为材料的条件屈服强度。所以正确答案是C。 3 -7 低碳钢加载→卸载→再加载路径有以下四种, 请判断哪一种是正 确的 A OAB→ BC→COAB; B OAB→ BD→ DOAB; C OAB→BAO→ ODB; D OAB→ BD→ DB。 正确答案是 D 。 习题 3-7 图 解 加载时的路径是 OAB; 卸载时的路径是 BD; 再加载路径是 DB。所 以正确答案是D。 4 圆轴扭转时的强度与刚度计算 习 题 解 答 4 -1 关于扭转剪应力公式τ ρ Mxρ / Ip的应用范围有以下几种, 试判 断哪一种是正确的。 A 等截面圆轴,弹性范围内加载; B 等截面圆轴; C 等截面圆轴与椭圆轴; D 等截面圆轴与椭圆轴,弹性范围内加载。 正确答案是 A 。 解 τ ρ Mxρ / Ip在推导时利用了等截面圆轴受扭后, 其横截面保持平 面的假设,同时推导过程中还应用了剪切胡克定律, 要求在线弹性范围加载。 所以正确答案是A。 4 -2 两根长度相等、 直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后, 轴表面上 母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力 分别为τ1 max和 τ2max, 剪切弹性模量分别为 G1和 G2。试判断 下列结论的正 确性。 A τ1ma xτ2 max; B τ1max G2,则有τ1 maxτ2 max; D 若 G1 G2, 则有τ1 max G2时,τ1maxτ2max。因此,正确答案是C。 4 -3 承受相同扭矩且长度相等的直径为 d1的实心圆轴与内、 外径分别 为 d2、 D2α d2/ D2的空心圆轴, 二者横截面上的最大剪应力相等。关于二 者重之比 W1/ W2有如下结论,试判断哪一种是正确的。 4 材料力学教师用书 l18 A 1 -α 4 3/ 2 ; B 1 - α 4 3/ 2 1 - α 2 ; C 1 -α 4 1 - α 2 ; D 1 -α 4 2/ 3 1 - α 2 。 正确答案是 D 。 解 由τ1maxτ2 max得 16Mx πd 3 1 16Mx πD 3 21 - α 4 即 d1 D2 1 - α 4 1/ 3 a 二者重量之比 W1 W2 A1 A2 d 2 1 D 2 21 - α 2 b a式代入b式,得 W1 W2 1 - α 4 2/ 3 1 - α 2 所以, 正确答案是D。 4 -4 变截面 轴受 力 如图 所示, 图 中尺 寸 单位 为 mm。若已 知 Me1 1765Nm, Me2 1171Nm,材料的切变模量 G 80. 4GPa,求 1 . 轴内最大剪应力, 并指出其作用位置; 2 . 轴内最大相对扭转角 φmax。 习题 4-4 图 解 1 . 确定最大剪应力 AB段 MxA B Me1 Me2 1765Nm 1171Nm 2936Nm τmax AB MxA B Wp A B MxA B πd 3 1 16 2936 π 7010 - 3 3 16 43. 6MPa 第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算 l19 BC段 MxBC Me1 1171Nm τmax BC MxB C Wp2 MxBC πd 3 2 16 1171 π 50 10 - 3 3 16 47. 7MPa 2 . 确定轴内最大相对扭转角 φmax φmax φA B φB C Mx A Bl2 GIp1 MxB Cl1 GIp2 293670010 - 3 32 80. 4 10 9 π 70 10 - 3 4 117150010 - 3 32 80. 410 9 π 5010 - 3 4 1. 084 10 - 2 1. 18710 - 2 2. 27110 - 2 rad 4 -5 图示实心圆轴承受外加扭转力偶,其力偶矩 Me 3kNm。试求 1. 轴横截面上的最大剪应力; 2. 轴横截面上半径 r 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭 矩的百分比; 3. 去掉 r 15mm 以内部分, 横截面上的最大剪应力增加的百分比。 习题 4-5 图 解 1. τ1max Mx Wp Me Wp Me πd 3 16 310 3 16 π 0. 06 3 70. 7MPa 2.Mr ∫ A1ρ τ d A ∫ r 0ρ Mx Ip ρ 2π ρ dρ 2πMx Ip r 4 4 Mr Mx 2πr 4 4 Ip 2πr 4 4πd 4 32 16r 4 d 4 16 15 60 4 1 16 0. 0625100 6. 25 请读者思考, 还有没有更好的解法 材料力学教师用书 l20 3. τ2 max Mx Wp Me πd 3 16 1 - 1 2 4 75. 4MPa Δ τ τ τ2 max-τ1 max τ1 max α 4 1 - α 4 1 2 4 1 - 1 2 4 1 15 6. 67 4 -6 同轴线的芯轴 AB 与轴套 CD, 在 D 处二者无接触, 而在 C 处焊成 一体。轴的 A 端承受扭转力偶作用,如图所示。已知轴直径 d 66mm, 轴套 外直径 D 80mm, 厚度δ 6mm; 材料的许用剪应力[τ ] 60MPa。求 结构 所能承受的最大外加扭力矩。 习题 4-6 图 解 τ轴 max Mx Wp1 T1 πd 3 16 ≤6010 6 T1≤6010 6 π 66 3 16 10 - 9 3387Nm τ套 max Mx Wp2 T2 πd 3 16 1 - 68 80 4≤6010 6 T2≤6010 6 π 80 3 16 10 - 9 1 - 17 20 4 2883Nm 所以,Tmax≤ T2 2883Nm 2. 88310 3 Nm * 4 -7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D, 壁厚均为δ, 横截面上的扭矩均为 T Me。试 1. 证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 τmax≈ 2Me δ πD 2 第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算 l21 2. 证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力 τmax≈ 3Me δ 2πD 3. 画出两种情形下,剪应力沿壁厚方向的分布。 习题 4-7 图 解 1. 证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 由于是 薄壁, 所以圆 环横截 面上 的剪应 力可 以认为 沿壁 厚均匀 分布 图 a-1 ,于是有 Me∫ A D 2 τ d A D 2 τ πD δ 由此得到 τ 2Me δ πD 2 即 τmax 2Me δ πD 2 2. 证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力 根据狭长矩形扭转剪应力公式, 有 τmax 3Me hb 2 3Me πDδ 2 3Me δ 2πD 3. 画出两种情形下,剪应力沿壁厚方向的分布 两种情形下剪应力沿壁厚方向的分布分别如图a-1和b-2所示。 材料力学教师用书 l22 4 -8 由同一材料制成的实心和空心圆轴, 二者长度和质量均相等。设 实心轴半径为 R0, 空心圆轴的内、 外半径分别为 R1和 R2, 且 R1/ R2 n, 二者 所承受的外扭转力偶矩分别为 Mes和 Meh。若二者横截面上的最大剪应力相 等, 试证明 Mes Meh 1 - n 2 1 n 2 解 因为长度和质量相等,所以面积也相等。于是有 πR 2 0 π R 2 2- R 2 1a τmax Mes πd 3 16 Mes π R 3 0 2 b τmax Meh π2R2 3 16 1 - n 4 c 由 b、 c二式, 得 Mes Meh R 3 0 R 3 21 - n 4 d 由a式有 R 2 0 R 2 2- R 2 1 将其代入d式,最后得到所要证明的结论 Mes Meh R 2 2- R 2 1 3 2 R 3 21 - n 4 1 - n 2 3 2 1 - n 4 1 - n 2 3 2 1 - n 2 1 n 2 1 - n 2 1 n 2 * 4 -9 直径 d 25mm 的钢轴上焊有两个凸台, 凸台上套有外径 D 75mm、 壁厚 δ 1. 25mm 的薄壁管, 当杆承受外扭转力偶矩 Me 73. 6Nm 时,将薄壁管与凸台焊在一起, 然后再卸去外加扭转力偶。假定凸台不变形, 薄壁管与轴的材料相同, 切变模量 G 40MPa。试 1. 分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力, 二者如何平衡 2. 确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力。 第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算 l23 习题 4-9 图 解 1. 分析卸载后轴和薄壁管横截面上的内力 焊接前, 轴承受扭矩,轴发生扭转变形。这时, 如果卸载,轴的扭转变形将 全部恢复, 因而轴的横截面上将没有扭矩。 与薄壁管焊接后, 再除去轴上的外加扭力矩, 轴的扭转变形不能完全恢 复, 因而轴的横截面上仍然存在扭矩, 但已经不是加载时的扭矩, 而是小于原 来的扭矩。 二者焊接后形成一个整体, 如果用一个假想截面将整体截开,这时的横截 面由轴和薄壁管的横截面组成, 卸载后, 没有外加扭力矩作用, 仅仅轴的横截 面上存在扭矩无法平衡, 因此,薄壁管的横截面上必然存在与之大小相等方向 相反的扭矩, 二者组成平衡力系,使截开的部分保持平衡。设轴和薄壁管横截 面上的扭矩分别为 Mx1和 Mx2,于是有 Mx1 Mx2 2. 确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力 设轴受 Me 73. 6Nm 时,相对扭转角为 φ0, 于是有 dφ0 d x Mx GIp1 Me GIp1 a 焊接后卸载, 管承受扭转,其相对扭转角为 φ2, 轴上没有恢复的相对扭转 角为 φ1φ0- φ2, 即 φ1 φ2 φ0b 其中 φ1 Mx1l GIp1 φ2 Mx2l GIp2 c 将a式和c式代入b式得 Mel GIp1 Mx1l GIp1 Mx2l GIp2 d 材料力学教师用书 l24 由此解得 Mx1 Mx2 Ip2 Ip1 Ip2 Mee 其中 Ip1 πd 4 32 π 32 25 4 10 - 1 2 38349. 510 - 12 m 4 Ip2 πD 4 32 1 - D - 2δ D 4 π75 4 32 1 - 72. 5 75 4 10 - 12 39392210 - 12 m 4 于是, 卸载后薄壁管横截面上的最大剪应力为 τ2max Mx2 Wp2 Me Ip1 Ip2 Ip2 Wp2 Me Ip1 Ip2 D 2 f 将 Ip1、 Ip2值代入f式得 τ2max 73. 6 75 2 10 - 3 38349. 5 393922 10 - 1 2 6. 38MPa 卸载后, 轴横截面上的最大剪应力为 τ1 max Mx1 Ip1 d 2 Ip2 Me Ip1 Ip1 Ip2 d 2 73. 6 25 2 393922 10 - 3 38349. 5 393922 38349. 510 - 1 2 21. 86MPa 5 梁的强度问题 习 题 解 答 5 -1 试求图示各梁中指定截面上的剪力、 弯矩值。 习题 5-1 图 解 a题 A 截面 FQ b a bF P, M 0 C 截面 FQ b a bF P, M ab a bF P D 截面 FQ - a a bF P, M ab a bF P B 截面 FQ - a a bF P, M 0 b题A 截面 FQ M0 a b, M 0 C 截面 FQ M0 a b, M a a bM 0 5 材料力学教师用书 l26 D 截面 FQ - M0 a b, M b a bM 0 B 截面 FQ - M0 a b, M 0 c题A 截面 FQ 5 3 qa, M 0 C 截面 FQ 5 3 qa, M 7 6 qa 2 B 截面 FQ - 1 3 qa, M 0 d题A 截面 FQ 1 2 ql, M - 3 8 qa 2 C 截面 FQ 1 2 ql, M - 1 8 qa 2 D 截面 FQ 1 2 ql, M - 1 8 qa 2 B 截面 FQ 0, M 0 e题A 截面 FQ - 2 FP, M FPl C 截面 FQ - 2FP, M 0 B 截面 FQ FP, M 0 f题A 截面 FQ 0, M FPl 2 C 截面 FQ 0, M FPl 2 D 截面 FQ - FP, M FPl 2 B 截面 FQ - FP, M 0 5 -2 试写出以下各梁的剪力方程、 弯矩方程。 解 a题 FQ x - M 2l , M x - M 2l x 0 ≤ x ≤ l FQ x - M 2l , M x - M 2l x M l ≤ x ≤ 2l FQ x - M 2l , M x - M 2l x 3M 2l ≤ x ≤ 3l FQ x - M 2l , M x - M 2l x 2M 3l ≤ x ≤ 4l 第 5 章 梁的强度计算 l27 习题 5-2 图 b题 FQ x - 1 4 ql - qx ,M x ql 2 - 1 4 qlx - 1 2 qx 2 0 ≤ x ≤ l FQ x - 1 4 ql,M x 1