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SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 1, 面积矩，惯性矩与极惯性矩面积矩，惯性矩与极惯性矩 面积矩（静矩）与形心面积矩（静矩）与形心 z y yc zc o z y dA d zc A Sy AyA⋅ ∫ d yc A Sz AzA⋅ ∫ d ∫ A c y A y A y c S z A d A c z A z A ∫ z c S y A SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 223 00 2d p A IAR AR tρπρπ≈ ∫ 薄壁圆截面薄壁圆截面 2d z A IyA ∫ 2d y A IzA ∫ 惯性矩惯性矩 d yz A Iyz A ∫ 惯性积惯性积 当截面具有一对称轴时，当截面具有一对称轴时，0 yz I 222 ddd pzy AAA IAyAzAIIρ ρ ∫∫∫ dA y z − −z z y y dA SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 圆截面的惯性矩圆截面的惯性矩 4 264 p yz I D II π π 4 4 1 64 yz D II π π α α− 2 3 22 2 12 / / dd h z Ah bh IyAy b y − ∫∫ 矩形截面的惯性矩矩形截面的惯性矩 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 bac zzz III 33 1212 abc zzz BHbh III−− h b/2b/2 B H z y ＝＝ − − （（a）） （（b）） （（c）） SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 惯性矩的平移轴公式惯性矩的平移轴公式 z y a b o z y dA z’ y’ C yay zbz 22 Z 22 d d 2d d AA AA IyAayA a Aa yAyA ∫∫ ∫∫ 2 zzc Ia AI 2 yyc Ib AI xyxyc IabAI 如果如果C是形心是形心 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 例，求半圆截面的形心坐标，以及例，求半圆截面的形心坐标，以及 对形心轴对形心轴 zC的惯性矩的惯性矩 Izc。。 1, 求形心坐求形心坐 标标 1 C A yydA A ∫ y z αα y z zC a y 扇形微面积扇形微面积 2 11 22 dAR RdR dα αα α⋅ 扇形微面积的形心位于扇形微面积的形心位于 2 sin 3 yRα α SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 所以所以 2 2 0 12214 sin 323 c A R yydARR d AR π π αααα π ππ π ⋅ ∫∫ 2，求，求Iz，因为半圆的惯性矩显然为整圆的惯性矩之半。，因为半圆的惯性矩显然为整圆的惯性矩之半。 4 128 z D I π π 3，求，求Izc，因为，因为 2 zzc IIa A 所以所以 22 244 2 168 82899 zcz RR IIa ARR πππππ π π ππ π −−− SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 3，惯性矩的转轴公式，主惯性矩，惯性矩的转轴公式，主惯性矩 z’ z y y’ z’ o z y dA y’ α α cossin cossin yyz zzy α αα α α αα α − 22 2222 22 d cossin d cosdsind sin2dcossinsin2 y AA AA yzyz A IzAzyA zAyA yz AIII αααα αααα α αααααα α − −− ∫∫ ∫∫ ∫ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 cos2sin2 22 yzyz yyz IIII IIα αα α − − cos2sin2 22 yzyz zyz IIII IIα αα α − −− − sin2cos2 2 yz y zyz II IIα αα α − − − − SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 将将Iy，，Iz，，− −Iyz与与或或一一对应，惯性矩（惯一一对应，惯性矩（惯 性积）具有与应力、应变相同的重要特征。性积）具有与应力、应变相同的重要特征。 例例如，惯性矩之和是个不变量，即如，惯性矩之和是个不变量，即IyIzIp这这个量在坐标变换时个量在坐标变换时不不 变。在某一方位，变。在某一方位，Iy，，Iz达到最大和最小值，它们称为主惯性达到最大和最小值，它们称为主惯性矩，此矩，此 时的惯性积时的惯性积Iyz为零。这时的坐标轴称为为零。这时的坐标轴称为主惯性轴主惯性轴。如果主惯性轴的原。如果主惯性轴的原 点通过形心，则称为点通过形心，则称为形心主惯性轴形心主惯性轴。。 yxy , , x σ σστστ yxy , , x ε εεεεε 0 2 2 tan yz yz I II α α − − 0 00 0 cos2sin2 22 y yzyz yz z IIIII I I α αα α ⎫− ⎪ − ⎬ ⎪ ⎭ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 试证明截面图形对某点有一对以上不相重合的主惯性轴，则通过该试证明截面图形对某点有一对以上不相重合的主惯性轴，则通过该 点的所有的轴都是主惯性轴。点的所有的轴都是主惯性轴。 α α o z y v u v’ u’ α α ’ 证明如图所示，假证明如图所示，假设设y－－z 为通过该为通过该 图形图形o点点的的一一对主惯性轴，对主惯性轴，u－－v 是通是通 过过o点的另一对主惯性轴，点的另一对主惯性轴，并并且且与与y-z轴轴 的夹角为的夹角为α α。。 sin2cos2 2 yz uvyz II IIα αα α − − − − 因为因为Iyz0, Iuv0 ，所以，所以Iy Iz。。 于是，对于过于是，对于过o点的任一对轴点的任一对轴u’− −v’，， 根据上式可知根据上式可知Iu’v’ 0。所以也是主惯。所以也是主惯 性轴。性轴。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 推论推论 1，当截面图形过某一点的一对主惯性轴上的惯性矩相等（，当截面图形过某一点的一对主惯性轴上的惯性矩相等（Iy Iz），）， 那么过该点的任何一对轴都是主惯性轴。那么过该点的任何一对轴都是主惯性轴。 2，任何具有三个或三个以上对称轴的图形，它所有的形心轴都是主，任何具有三个或三个以上对称轴的图形，它所有的形心轴都是主 惯性惯性轴轴，，而而且且惯惯性矩相等（两个对称轴的交点即形心）。例如正性矩相等（两个对称轴的交点即形心）。例如正三三角角 形，形，正正方方形形，，正正多边形都是如此。如果只有两个对称轴，以上结多边形都是如此。如果只有两个对称轴，以上结论论不不 一定成立，例如矩形截面。一定成立，例如矩形截面。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 试确定图示截面图形的形心主惯性轴的位置和形主惯性矩之值。图试确定图示截面图形的形心主惯性轴的位置和形主惯性矩之值。图 上的单位是上的单位是cm。。 解解 通过图形的形心建立通过图形的形心建立y y− −z z坐坐标标系。将系。将 图形分成三块A图形分成三块A1 1、A、A2 2和A和A3 3。第1块。第1块 图形的面积为图形的面积为 α α0 y0 z0 z A3 A2 2 20 32 20 4 y 4 A1 2 1 2 3264cmA 对于对于y− −z坐标的惯性矩和惯性积为坐标的惯性矩和惯性积为 3 14 232 5461.3cm 12 z I 3 14 322 21.3cm 12 y I 1 0 yz I SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 第第2块面积块面积 2 2 20 480cmA 对于对于y− −z坐标的惯性矩和惯性积为坐标的惯性矩和惯性积为 3 224 204 188026026.7cm 12 z I 3 224 420 9809146.7cm 12 y I 24 09 188012960cm yz I 第第3块面积的数据与第块面积的数据与第2块相同块相同。。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质 整个图形的惯性矩和惯性积为整个图形的惯性矩和惯性积为 124 257515cm zzz III 124 218315cm yyy III 124 225920cm yzyzyz III 形心主轴的方位形心主轴的方位 0 2 225920 tan21.3224 1831557515 yz yz I II α α − − −− 0 252 54 o α α 0 26 27 o α α 形心主惯性矩的大小为形心主惯性矩的大小为 4 0 max22 4 0 min 70411cm 225419cm zyzyz yz y IIIIII I II −⎫⎧⎫ ⎪ ⎬⎬⎨ ⎪⎭ ⎩⎭ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 附录附录B 截面图形的几何性质截面图形的几何性质
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