材料力学4-应力应变关系.pdf

材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 建立材料线弹性应力－应变关系线弹性本构关系；建立材料线弹性应力－应变关系线弹性本构关系； 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 本章目的本章目的 初步掌握材料宏观初步掌握材料宏观初步掌握材料宏观初步掌握材料宏观 拉伸、压缩拉伸、压缩拉伸、压缩拉伸、压缩 实验的方法、原理和步骤；实验的方法、原理和步骤；实验的方法、原理和步骤；实验的方法、原理和步骤； 进行简单加载材料实验，获得材料响应规律；进行简单加载材料实验，获得材料响应规律； 建立复杂应力状态下应变能的计算式。建立复杂应力状态下应变能的计算式。 了解其它金属及复合材料等拉、压下的力学行为；了解其它金属及复合材料等拉、压下的力学行为；了解其它金属及复合材料等拉、压下的力学行为；了解其它金属及复合材料等拉、压下的力学行为； 熟练应用广义虎克定律；掌握应变能计算；了解热应变概念。熟练应用广义虎克定律；掌握应变能计算；了解热应变概念。熟练应用广义虎克定律；掌握应变能计算；了解热应变概念。熟练应用广义虎克定律；掌握应变能计算；了解热应变概念。 本章目的本章目的 基本要求基本要求 获得材料机械性能、表征材料变形程度及强度性能的指标；获得材料机械性能、表征材料变形程度及强度性能的指标； 熟悉低碳钢和铸铁拉、压下的力学行为，理解比例极限、屈服熟悉低碳钢和铸铁拉、压下的力学行为，理解比例极限、屈服熟悉低碳钢和铸铁拉、压下的力学行为，理解比例极限、屈服熟悉低碳钢和铸铁拉、压下的力学行为，理解比例极限、屈服 极限、强度极限，延伸率、断面收缩率以及弹性模量和泊松比极限、强度极限，延伸率、断面收缩率以及弹性模量和泊松比极限、强度极限，延伸率、断面收缩率以及弹性模量和泊松比极限、强度极限，延伸率、断面收缩率以及弹性模量和泊松比 的力学意义并掌握其测量方法；明确塑性材料与脆性材料。的力学意义并掌握其测量方法；明确塑性材料与脆性材料。的力学意义并掌握其测量方法；明确塑性材料与脆性材料。的力学意义并掌握其测量方法；明确塑性材料与脆性材料。 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 材料的性能材料的性能 试验条件试验条件常常室温、准静态加载室温、准静态加载 试验设备试验设备材材料试验机料试验机 Ziwek, MTS, INSTRON； 材料的机械性能材料的机械性能Mechanical Properties of MaterialsMechanical Properties of Materials1 1 材料拉、压试验材料拉、压试验Tension and Compression TestTension and Compression Test1.1 1.1 试件试件GB6397-86 金属拉伸试验试样金属拉伸试验试样 拉伸试件拉伸试件 压缩试件压缩试件 00 5Ld 00 10Ld 或或 00 1 53 0 . . Ld 0 L 标距标距 0 d 0 L 0 d 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 材料的性能材料的性能 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 材料的性能材料的性能 荷载－位移图荷载－位移图 （（LoadLoad－－Displacement DiagramDisplacement Diagram）） 应力－应变图应力－应变图 （（StressStress－－Strain DiagramStrain Diagram）） 试验原理试验原理 F F 力传感器力传感器 引伸计引伸计 数据采集及放大数据采集及放大 0 F A σ σ 名义或工程应力和应变名义或工程应力和应变（（Nominal or Engineering Stress and StrainNominal or Engineering Stress and Strain 0 00 −Δ LLL LL ε ε F F L 0 A LΔ F σ ε 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 低碳钢拉伸低碳钢拉伸 拉伸应力－应变图拉伸应力－应变图 σ ε o p σ σ e σ σ S σ σ b σ σ A B C D H E 杨氏模量杨氏模量YoungYoung’ ’s Moduluss Modulus－－18071807E 拉压比例极限拉压比例极限Proportional LimitProportional Limit p σ σ 拉压弹性极限拉压弹性极限Elastic LimitElastic Limit e σ σ 1 弹性阶段弹性阶段Elastic BehaviorElastic Behavior OAB段段 （1）线弹性阶段（1）线弹性阶段 OA段段 （2）非性线弹性阶段（2）非性线弹性阶段 AB段段 235≈ S MPaσ σ Q235钢钢 200≈MPa p σ σ MPa390≈ b σ 200≈GPaE 低碳钢低碳钢Mild Steel Mild Steel 拉伸时的力学性能拉伸时的力学性能1.2 1.2 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 低碳钢拉伸低碳钢拉伸 2 拉压屈服极限拉压屈服极限Yielding StressYielding Stress 屈服阶段屈服阶段YieldingYielding BC段段 S σ σ 3 拉压强度极限拉压强度极限（（Ultimate LimitUltimate Limit 应变强化阶段应变强化阶段Strain HardeningStrain Hardening CD段段 b σ σ MPa235≈ y σ Q235钢钢 MPa200≈ p σ MPa390≈ b σ GPa200≈E 拉伸应力－应变图拉伸应力－应变图 σ ε o p σ e σ S σ σ b σ σ A B C D H E 低碳钢低碳钢Mild Steel Mild Steel 拉伸时的力学性能拉伸时的力学性能1.2 1.2 4 颈缩阶段颈缩阶段NeckingNecking DH段 局部变形阶段段 局部变形阶段 真应力－应变图真应力－应变图True StressTrue Stress- -Strain DiagramStrain Diagram Thomas YoungThomas Young－－England ScientistEngland Scientist 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 低碳钢拉伸低碳钢拉伸 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 低碳钢性能低碳钢性能 卸载卸载（（UnloadingUnloading）） 卸载符合线弹性规律。小变形下，忽略微弱的非线性行为）卸载符合线弹性规律。小变形下，忽略微弱的非线性行为） 低碳钢低碳钢卸载、再加载时的力学行为卸载、再加载时的力学行为1.3 1.3 屈服、强化阶段内屈服、强化阶段内荷载逐渐卸荷载逐渐卸 至零，部分变形恢复，部分变形残至零，部分变形恢复，部分变形残 留。即留。即 ep ε εεεεε 弹性应变-消失弹性应变-消失 塑性应变－残留塑性应变－残留 ′ ′≈ //A oAo′′ →→→oAAo 弹性阶段内弹性阶段内荷载逐渐卸至零，荷载逐渐卸至零， 变形完全恢复。变形完全恢复。 oAo→→ e εε弹性应变弹性应变 e ε σ ε o S σ σ e ε p ε e σ A A′ o′ o′ ′ E E 实际实际 近似近似 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 低碳钢性能低碳钢性能 卸载再加载卸载再加载（（ReloadingReloading）） 荷载逐渐卸至零，立即再加载荷载逐渐卸至零，立即再加载 AoADH′′′→→→→ 冷作硬化冷作硬化－经过塑性变形，－经过塑性变形， 使材料比例极限或弹性极限使材料比例极限或弹性极限 提高、塑性降低的现象。提高、塑性降低的现象。 AoAD′′′′′′→→→ 经过一段时间后再加载经过一段时间后再加载 冷作时效－预加塑性变形，经过一段时间再加载使材料的冷作时效－预加塑性变形，经过一段时间再加载使材料的 比例极限或弹性极限还有所提高的现象。比例极限或弹性极限还有所提高的现象。 精确测量表明，强化段卸载再加载并不严格沿直线，而有 精确测量表明，强化段卸载再加载并不严格沿直线，而有 一机械迟滞一机械迟滞迴迴线，因能量损耗。线，因能量损耗。 σ εo A A′ o′ D H A′ ′ b σ 弹性迟滞环弹性迟滞环 （能量耗损）（能量耗损） 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 延伸率和收缩率延伸率和收缩率 材料的塑性材料的塑性材料经受较大塑性变形而不破坏的能力。其度量如下材料经受较大塑性变形而不破坏的能力。其度量如下 延伸率延伸率Percent ElongationPercent Elongation 0 0 100 f LL L δ δ − 试件断裂时试件断裂时 的残留变形的残留变形 断面收缩率断面收缩率Percent Reduction in AreaPercent Reduction in Area 0 0 100 f AA A ψ ψ − 试件断裂时试件断裂时 断口的面积断口的面积 韧（塑或延）性材料韧（塑或延）性材料Ductile MaterialDuctile Material 脆性材料脆性材料Brittle MaterialBrittle Material 5≥δ 5δ Q235钢钢 3025δ 60ψ 延伸率较大延伸率较大 延伸率较小延伸率较小 典型塑性材料典型塑性材料 衡量材料塑性变形能力的指标衡量材料塑性变形能力的指标 1.4 1.4 f L f A 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 一般一般；； 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 泊松比泊松比 横向变形系数－泊松比横向变形系数－泊松比（（PoissonPoisson’ ’s Ratios Ratio S D PoissonS D Poisson－－French scientistFrench scientist 拉伸时，轴向伸长，横向收缩。拉伸时，轴向伸长，横向收缩。 压缩时，轴向收缩，横向膨胀。压缩时，轴向收缩，横向膨胀。 轴向应变轴向应变 横向应变横向应变 0 0 − LL L ε ε 0 0 − ′ RR R ε ε 泊松比泊松比或或 线弹性范围内，对均匀、各向同性材线弹性范围内，对均匀、各向同性材 料，此比值为一常数。不同材料，此料，此比值为一常数。不同材料，此 常数不同。常数不同。 无量刚无量刚 工程用金属材料工程用金属材料；； 材料不可压材料不可压 1.5 1.5 ′ − ε ε μ μ ε ε ′ ε ε μ μ ε ε 11 43 μ μ 1 0 2 ≤≤μ μ F F L F F 0 L L 0 L 0 R R 0 R R 拉伸拉伸 压缩压缩 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 铸铁的拉伸铸铁的拉伸 铸铁铸铁（（Gray Cast IronGray Cast Iron 拉伸时的力学性能拉伸时的力学性能 应力与应变无明显的线性关系，通常应力与应变无明显的线性关系，通常 弹性模量弹性模量E 以规定总应变（如以规定总应变（如0.25）0.25） 对应的割线斜率来近似度量－割线弹对应的割线斜率来近似度量－割线弹 性模量。性模量。 1 2 无屈服、强化和局部变形现象，衡量无屈服、强化和局部变形现象，衡量 其强度的唯一指标是强度极限。其强度的唯一指标是强度极限。 3受拉直至断裂，变形很小，横截面受拉直至断裂，变形很小，横截面 的大小几乎无变化。的大小几乎无变化。 5 . 04 . 0δ典型脆性材料典型脆性材料 1.6 1.6 σ εo b σ σ E 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 名义屈服应力名义屈服应力（（Mean Yield StressMean Yield Stress 2 . 0 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 其他塑性材料的拉伸其他塑性材料的拉伸 σ 与低碳钢拉伸时力学行为类似与低碳钢拉伸时力学行为类似 的塑性材料，如16锰钢，50钢，的塑性材料，如16锰钢，50钢， 以及一些高强度低合金钢等。以及一些高强度低合金钢等。 其它塑性金属材料拉伸时的力学行为其它塑性金属材料拉伸时的力学行为1.7 1.7 另一些塑性材料，如青铜等，另一些塑性材料，如青铜等， 则无明显的屈服阶段。则无明显的屈服阶段。 工程上，对无明显屈服极限的塑性材料，取工程上，对无明显屈服极限的塑性材料，取 残余或塑性应变为0.2％对应的应力，作为其残余或塑性应变为0.2％对应的应力，作为其 屈服极限，称为名义屈服极限，记为屈服极限，称为名义屈服极限，记为。。 MPaσ ε 青铜 锰钢 16锰钢 0 10 20 30 200 400 600 800 镍钢 σ ε o 0 2 . σ σ EE 0 2 . p ε ε 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 压缩时的性能压缩时的性能 压缩应力－应变图压缩应力－应变图 o p σ σ S σ σ 拉伸拉伸 压缩压缩 F tc σσ, tc εε, 低碳钢压缩时的力学性能低碳钢压缩时的力学性能 1 ct pp σσσσ ct ss σσσσ ct EE 2 可一直压成币状而不破坏，可一直压成币状而不破坏， 因而得不到强度极限。因而得不到强度极限。 为此，一般不再做此实验。为此，一般不再做此实验。 1.8 1.8 σ ε o 拉伸拉伸 压缩压缩 0.5 1.0 2 .0 3.0 100 200 300 400 铸铁压缩时的力学性能铸铁压缩时的力学性能 应力－应变图形状同其拉伸。应力－应变图形状同其拉伸。 强度极限和延伸率比拉伸时大得多。强度极限和延伸率比拉伸时大得多。 1 2 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 破坏形态破坏形态 材料的破坏机理材料的破坏机理1.9 1.9 1 2 低碳钢拉伸低碳钢拉伸 颈缩阶段－滑移线颈缩阶段－滑移线 屈服阶段－滑移线屈服阶段－滑移线 断口断口 低碳钢（受拉）低碳钢（受拉） 铸铁（受压）铸铁（受压） 铸铁（受拉）铸铁（受拉） 混凝土（受压）混凝土（受压） 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 胡克定律胡克定律 线弹性应力线弹性应力－－应变关系－广义虎克定律应变关系－广义虎克定律 2 2 胡克定律胡克定律（（HookeHooke’ ’s Laws Law－－16761676）） Eσ σε ε 2.1 2.1 试验表明，若材料处于线弹性阶段，试验表明，若材料处于线弹性阶段， 即即，，则应力与相应的应变成则应力与相应的应变成 比例。比例。 ≤ p σσσσ σ ε o E p σ σ 单向拉压单向拉压 同理，若材料单元体承受纯剪切，同理，若材料单元体承受纯剪切， 在线弹性阶段内，即在线弹性阶段内，即，则，则 剪应力与剪应变成比例关系。剪应力与剪应变成比例关系。 ≤ p τ ττ τ Gτ τγ γ 剪切弹性模量剪切弹性模量（（Shear Modulus of ElasticityShear Modulus of Elasticity Robert Robert HookeHooke－－England ScientistEngland Scientist o p σ τ γ G τ γ 纯剪切纯剪切 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 广义胡克定律广义胡克定律 广义虎克定律广义虎克定律Generalized Generalized HookeHooke’ ’s Laws Law 叠加原理叠加原理（（Principle of SuperpositionPrinciple of Superposition）） 应力与应变成线性关系应力与应变成线性关系 小变形小变形 2.2 2.2 1 2 ,, xyz εεεεε ε 线应变线应变 x σ σ y σ σ z σ σ x y z ′ x x E σ σ ε ε ′′ − − x yx E σ σ εμεμεμεμ ′′ − − x zx E σ σ εμεμε εμ μ x σ σ x σ σ ′ y y E σ σ ε ε ′′ − − y xy E σ σ εμεμεμεμ ′′ − − y zy E σ σ εμεμε εμ μ y σ σ y σ σ ′ z z E σ σ ε ε ′′ − − z yz E σ σ εμεμε εμ μ ′′ − − z xz E σ σ εμεμε εμ μ z σ σ z σ σ 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 广义胡克定律广义胡克定律 实验表明切应力不引起线应变，且某面内的切应力仅引起该实验表明切应力不引起线应变，且某面内的切应力仅引起该 面内的切应变。面内的切应变。 1 yzyz G γτγτ 1 xzxz G γτγτ 切应变切应变 1 xyxy G γτγτ x y z zyyz γγγγ yz τ τ x y z xzzx γγγγ xz τ τ z xyyx γγγγ x y xy τ τ z 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 广义胡克定律广义胡克定律 线应变叠加，切应变与切应力关系，共同组线应变叠加，切应变与切应力关系，共同组 成广义虎克定律。成广义虎克定律。 1 xxyz E εσεσμ μ σ σσ σ ⎡⎤ − ⎣⎦ 1 yyxz E εσεσμ μ σ σσ σ⎡⎤− ⎣⎦ 1 zzxy E εσεσμ μ σ σσ σ ⎡⎤ − ⎣⎦ 1 xyxy G γτγτ 1 yzyz G γτγτ 1 xzxz G γτγτ 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 广义胡克定律广义胡克定律 主应力主应力 1123 1 E εσεσμ μ σ σσ σ⎡⎤− ⎣⎦ 2213 1 E εσεσμ μ σ σσ σ⎡⎤− ⎣⎦ 3312 1 E εσεσμ μ σ σσ σ⎡⎤− ⎣⎦ 2 σ σ 3 σ σ 1 σ σ o o 应变主轴与应力主轴一致应变主轴与应力主轴一致 1212 1 0 , ...... G γτγτ 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 广义胡克定律广义胡克定律 平面应力状态平面应力状态 1 xxy E ε εσμσμσ σ− 1 yyx E ε εσμσμσ σ− 1 xyxy G γτγτ x σ σ xy τ τ y σ σ yx τ τ o 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 材料常数间的关系材料常数间的关系 材料常数间的关系材料常数间的关系Relationship Involving and Relationship Involving and GE,μ2.3 2.3 y′ x′ o x 1 45 o α α o 1xy σ στ τ 3xy σ στ τ − 1 xyxy G γτγτ 2 1 E G μ μ 纯剪应力状态纯剪应力状态主应力状态主应力状态 113 11 xy EE μ μ ε εσμσμσ στ τ − 45α α o 1 1 22 xy xxy G γ γ ε εετετ ′ 同一点同一点 45α α o 应变变换应变变换 0 xy ε εε ε xy τ τ o y x 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 体积应变和体积模量体积应变和体积模量 体积应变和体积模量体积应变和体积模量Volumetric Strain or Dilatation and Bulk ModulusVolumetric Strain or Dilatation and Bulk Modulus2.4 2.4 zyxVdddd zyxVddd111 d 2211 εεε 1 123 dd dd xyz VVV VV δ δ Θ Θεεεεε εε εε εε ε − 单元体承受正应力，体积将变化。单元体承受正应力，体积将变化。 静水压力静水压力（（Hydrostatic StressHydrostatic Stress 2 σ 3 σ 1 σ o zd1 3 ε xd1 1 ε yd1 2 ε m σ o m σ m σ p p p 123123 1 21− m EK μ μ Θ Θεεεεε εσ σσ σσ σσ σ 123 11 33 mxyz σ σσσσσσ σσ σσ σσ σ 0Θ Θ 1 2 μ μ 1 3 μ μ KE≈ 其中平均应力其中平均应力 3 1 2 E K μ μ − 体积模量体积模量 体积应变与平均应力成正比体积应变与平均应力成正比 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题1例题1 2.4 2.4 边长为边长为a＝＝0.1m的铝质立方块，的铝质立方块， 无间隙地嵌入钢制凹槽内。无间隙地嵌入钢制凹槽内。 铝的弹性模量铝的弹性模量 泊松比泊松比μ μ＝＝0.3。0.3。 F100KN。。 求铝块的主应力，最大切应求铝块的主应力，最大切应 力。力。 71GPaE a a a F σ σz σ σy σ σx x y z 刚性刚性 解根据解根据y方向方向平衡条件平衡条件可知可知 3 22 100 10 10 0 0 1 − − − 2 N . MPa .m y F a σ σ 例题1例题1 注意力注意力F应该理解应该理解 为作用在立方体上表为作用在立方体上表 面的均布力。面的均布力。 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题1例题1 22 10 310 3 10 04 29 110 3 − − −− .. . MPa.MPa . xzy μ μμ μ σσσσσ σ μ μ 12 4 2910 0 − − 3 .MPa, . MPaσ σσσσσ 主应力主应力 13 2 86 2 − max .MPa σ σσ σ τ τ 最大切应力最大切应力 a a a F σ σz σ σy σ σx x y z 刚性刚性 由于受钢壁的阻碍，使其由于受钢壁的阻碍，使其 在在x、、z方向的应变为零。方向的应变为零。 根据广义胡克定律根据广义胡克定律 1 0−[] xxyz E εσεσμ μ σ σσ σ 1 0−[] zzxy E εσεσμ μ σ σσ σ 几何条件几何条件 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题2例题2 圆筒形薄壁压力容器。筒壁中圆筒形薄壁压力容器。筒壁中 面直径面直径D＝＝800mm，壁厚，壁厚t＝＝ 5mm，容器钢材的弹性模量，容器钢材的弹性模量E ＝＝200GPa，泊松比，泊松比μ μ＝＝0.3，测，测 得周向应变得周向应变。。 求筒内压力求筒内压力p，轴向应变，轴向应变。。 6 600 10− θ θ ε ε x ε ε 解因为解因为 2 pD t θ θ σ σ 4 x pD t σ σ 1 2 4 −− x pD EEt θθθθ ε εσμσμσ σμ μ 根据广义胡克定律根据广义胡克定律 9 6 44200 100 005 600 101 76 20 820 3 − ⋅ −− Pa.m .MPa . m. Et p D θ θ ε ε μ μ 所以所以 6 1 12140 10 4 − −− xx pD EEt θ θ εσεσμ μσ σμ μ轴向应变轴向应变 例题2例题2 o ε εθ θ z x θ θ σ σθ θ σ σx 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题2例题2 o ε εθ θ z x θ θ σ σθ θ σ σx 2，中间部分筒壁都处于相同的应力状态2，中间部分筒壁都处于相同的应力状态 1，忽略沿厚度方向的应力1，忽略沿厚度方向的应力 σ σz 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题3例题3 钢制圆杆的直径钢制圆杆的直径d＝＝2cm，钢材的弹性，钢材的弹性 模量模量E＝＝200GPa，泊松比，泊松比μ μ＝＝0.3。测得。测得 30 方向应变方向应变，求拉力，求拉力 F。。 6 30 41010 − ε ε 解单向拉伸应力状态，解单向拉伸应力状态，a面和面和a’ 面应力分别为面应力分别为 3 4 a σ σσ σ 3 4 a τ τσ σ 1 4 a σ σσ σ 3 4 a τ τσ σ − 例题3例题3 F 30 a’ a 3 4σ σ 1 4σ σ 3 4 τ τσ σ 30 A’ σ σ τ τ 60 A σ σ/2 x x Xσ σ,0 σ σ σ σ 下一步下一步 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题3例题3 根据广义胡克定律根据广义胡克定律 所以所以 30 11 31 44 aa EE ε εσμσμσ σσ σμ μσ σ−− 30 96 4 3 4200 10410 10 121 5 2 7 Pa . MPa . Eε ε σ σ μ μ − − 2 22 6 4 0 02 121 5 1038 16 4 .m .Pa.kN d F π π σ σ π π F 30 a’ a 3 4σ σ 1 4σ σ 3 4 σ σ 30 A’ σ σ τ τ 60 A σ σ/2 例题3（续）例题3（续） 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题4例题4 例题4例题4 如图所示拉伸试件，如图所示拉伸试件，已已知知横横 截面上正应力截面上正应力σ σ，材，材料的弹性料的弹性 模量E模量E，泊松比，泊松比μ μ。试求与轴。试求与轴 向成45向成45 和135 和135 方方向向的正应的正应 变变ε ε45 45和 和ε ε135 135。 。 τ τ Xσ σ,0 X’σ σ/2, -σ σ/2 Y0,0 σ σ Y’σ σ/2, σ σ/2 x σ σ 45 σ σ x’ x y σ σ/2 σ σ/2 y’ 4545 135135 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题4例题4 σ σ45 45＝ ＝ σ σ/2，/2， σ σ135 135＝ ＝ σ σ/2。/2。 4545135 11 2 EE μ μ ε εσμσμσ σσ σ − − 13513545 11 2 EE μ μ ε εσμσμσ σσ σ − − 解1通过应力应变关系求解解1通过应力应变关系求解 （2）利用应变变换公式求解（2）利用应变变换公式求解 已知已知 ε εx＝＝ σ σ/E，， ε εy＝＝ –μμ ε εx＝＝ –μμ σ σ/E，，γγxy＝＝0。。 45 1 22 xy E εεεε μ μ ε εσ σ − 135 1 22 xy E εεεε μ μ ε εσ σ − 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题4例题4 45 111 2222 x CE aEa μμμμμ μ ε εεσεσ −Δ−− a a ΔΔ σ σσ σ μΔμΔ 45 45 A B C D E 3利用应变单元几何关系求解3利用应变单元几何关系求解 222 1 22 −− Δ − Δ−Δ CDCBDBCBAB CE μμμμ 同理可以求得同理可以求得 ε ε135 135。 。 x a ε ε Δ y a ε εμ μ Δ − 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 引起点各向均匀线应变，引起点各向均匀线应变， 不引起切应变。不引起切应变。 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 热应变热应变 热应变热应变Thermal StrainThermal Strain 0 TTT xyzyxz γγγγγ γ 2.5 2.5 T xT Tε εα Δα Δ T yT Tε εα Δα Δ T zT Tε εα Δα Δ 0 TTTΔ Δ− 温度改变温度改变材料变形材料变形 均匀、各向同性材料均匀、各向同性材料 材料热膨胀系数材料热膨胀系数 温差温差 o 0 T T 1 d T x xε ε 1 d T z zε ε 1 d T y yε ε 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 热应变热应变 热应变热应变Thermal StrainThermal Strain2.5 2.5 1 xxyzT T E ε εσμσμ σ σσ σα αΔ Δ ⎡⎤ − ⎣⎦ 1 yyxzT T E ε εσμσμ σ σσ σα αΔ Δ⎡⎤− ⎣⎦ 1 zzxyT T E ε εσμσμ σ σσ σα αΔ Δ ⎡⎤ − ⎣⎦ 1 yzyz G γτγτ 1 xyxy G γτγτ 1 xzxz G γτγτ eT εεεεε ε 叠加法叠加法 o 0 T T 1 d T x xε ε 1 d T z zε ε 1 d T y yε ε 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题5例题5 热应变热应变Thermal StrainThermal Strain2.5 2.5 物体受约束时，才物体受约束时，才 可能产生热应力。可能产生热应力。 解解 温度应变温度应变 管道的总应变为零。管道的总应变为零。 所以，所以， Δεαεα T T 0 eT εεεεε ε Δ σ σ εεεεα α − − eT T E 69 12 5 1030200 1075Δ.PaMPaT Eσασα − −⋅ −− 例题5例题5 F FR R l l F FR R 两端固定的钢制蒸汽管道，长度为两端固定的钢制蒸汽管道，长度为l。。 钢钢 的的 弹 性 模 量弹 性 模 量 E＝＝200GPa， 热 膨 胀， 热 膨 胀 数数。。温度升高温度升高Δ ΔT＝＝ 30 。求热应力。。求热应力。 材料力学材料力学 Mechanics of Materials SJTU 上 海 交 通 大 学 第四章第四章 应力－应变关系应力－应变关系 例题6例题6 40mm x y z 0.02mm 90mm F700kN 50mm 正六面体钢块，体积为正六面体钢块，体积为 90 50 40mm3。两端受固。两端受固定定的的 刚刚性性物体阻碍，左端离刚性体物体阻碍，左端离刚性体 有有0.02mm间隙。钢块上表面间隙。钢块上表面 受均布力作用，其受均布力作用，其值值为为F＝＝ 700kN。 钢 的。 钢 的 弹 性 模 量弹 性 模 量 E 207GPa，，泊松比泊松比μ μ＝＝0.3，热膨