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第30卷 第2期 岩 土 工 程 学 报 Vol.30 No.2 2008 年 2 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Fed., 2008 K0固结黏土基坑抗隆起稳定性上限分析 黄茂松，宋晓宇，秦会来 1. 同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092；2. 同济大学地下建筑与工程系，上海 200092 摘 要软黏土中深基坑开挖支护系统设计一般由不排水稳定控制。考虑基坑开挖引起土体应力主轴旋转和土体不排 水抗剪强度的各向异性，首先基于所提出的各向异性本构模型推导了三轴条件下软黏土的不排水强度公式并结合 Casagrande 和 Carillo 推荐的能考虑土体应力主轴旋转的软黏土强度公式，提出一种适合于基坑开挖抗隆起稳定分析的 K0正常固结软黏土的不排水各向异性抗剪强度。假定 Prandtl 的土体滑移破坏形式，运用塑性极限分析上限定理推导非 均质土层中深基坑开挖的抗隆起稳定公式。研究了基坑开挖土体强度各向异性比、挡墙入土深度、坑底硬土层对抗隆 起安全系数的影响。并与基于 MIT-E3 模型的有限元计算结果及其它文献中的算例进行验证，说明该方法的适用性。 关键词强度各向异性；极限分析；非均质软黏土；基坑开挖；稳定性 中图分类号TU43 文献标识码A 文章编号1000–4548200802–0250–06 作者简介黄茂松1965– ，男，浙江玉环人，教授，主要从事岩土工程的科研和教学工作。E-mail mshuang。 Basal stability of braced excavations in K0-consolidated soft clay by upper bound HUANG Mao-song，SONG Xiao-yu，QIN Hui-lai 1. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of the Ministy of the Education, P. R. China, Shanghai 200092, China; 2. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China Abstract The design of braced excavations in soft clays is usually controlled by the short-term undrained stability. The principal stress axial rotation induced by excavation and the undrained anisotropic soil strength were taken into consideration. Assuming the Prandtl soil slip failure modes and considering the anisotropic soil strength recommended by Casagrande and Carillo and the non-homogeneous feature of soft soil, a calculation for uating the basal stability was proposed based on the upper bound analysis. It was indicated by the numerical results that the basal stability was significantly influenced by the anisotropy ratio of soil, the plane geometry of the excavation as well as the thickness of soft soil layer between excavation base and hard stratum. The results were also compared with those calculated by numerical s. The present was verified by the field observations of braced excavations. Key words strength anisotropy; upper bound analysis; non-homogeneous soft clay; excavation; stability 0 引 言 正确评价基坑抗隆起安全系数对软黏土中的深基 坑开挖支护体系设计是十分重要的，目前深基坑抗隆 起稳定分析方法有极限平衡法、极限分析法和弹塑性 位移有限单元法。极限平衡法大致可以分为两种一 种方法是基于地基承载力的概念[1-3]； 另一种是圆弧滑 动法[4-8]。 其中以 Terzaghi 公式以及 Bjerrum-Eide 公式 最为经典。常用的弹塑性位移有限单元法通常是需要 采用强度折减法来求出稳定安全系数。但是该方法判 别标准取值问题上在学术界还存在争议，而且决定其 计算精度的本构模型选取也具有不可回避的困难性。 极限分析法[9-13]是根据塑性力学的极限分析上限和下 限定理， 假定动力许可的速度场和静力许可的应力场， 然后根据功能相等的原理，求出相应的坑底土体极限 承载力或基坑的临界开挖深度，该方法能从上限和下 限的角度使稳定安全系数逼近真实值，使计算结果更 具可靠性。Chang 等[10]采用 Prandtl 滑移破坏模式，假 定土体强度不随深度变化，提出一种上限分析法； Ukritchon等[13]采用Davis等[14]提出的各向异性屈服准 则，编制数值极限分析有限元程序，分析了基坑抗隆 起稳定性，但并没有给出操作性很强的计算公式；邹 广电[15]假定一种比较复杂的运动许可速度场，提出一 ─────── 基金项目上海市重大科技攻关项目子课题（04dz12001） 收稿日期2007–07–12 第 2 期 黄茂松，等. K0固结黏土基坑抗隆起稳定性上限分析 251 种基坑抗隆起稳定性分析的上限法。笔者[16-17]在 Chang[10]工作的基础上分别考虑了土体强度各向异性 和土体强度沿深度的变化。但文献 [16，17]中对于土 体强度的各向异性以及土体强度沿深度的变化只是停 留在假设上，并没有从土体的本构模型出发进行严格 的推导；同时文献[16]也没有考虑土体强度沿深度的 变化特性。 图 1 典型主应力旋转 Fig. 1 Typical rotation of principal stress 然而天然软黏土由于土体的沉积历史和初始 K0 固结状态，使得土体不排水抗剪强度具有应力诱发各 向异性性质，且与上覆有效应力密切相关。基坑开挖 中典型的土体应力主轴旋转如图 1 所示[3]（B 表示基 坑开挖宽度，H 表示基坑开挖深度，T 表示基坑底与 坑底下硬土层距离，B1表示竖向滑移面与挡墙的距 离，以下同）而通过土中某点沿不同方向的破坏面， 其抗剪强度是不同的。假定土体任意点抗剪强度为常 数，也就是忽略了各向异性的影响将无法保证计算结 果的准确性。一些研究者[7 ，13]指出不考虑土体应力各 向异性基坑抗隆起稳定性分析结果偏于不安全。 为此， 本文采用极限分析上限法， 考虑 K0正常固 结软黏土的不排水抗剪强度的各向异性和上覆有效应 力的相关性以及基坑开挖引起土体应力主轴旋转导致 的各向异性对基坑抗隆起安全系数的影响。最后通过 有关文献中的经典实例验证本文分析方法的适用性。 1 K0正常固结软黏土的不排水各向异 性抗剪强度 1.1 三轴条件下不排水抗剪强度公式 基于魏星等[18]所提出的各向异性本构模型，由该 模型屈服面函数以及硬化规则可推导出体积应变率为 ep vvv 222 00 2 11 p e pe M λλκηα εεεη αηα −− −− ， 1 式中，/q pη为应力比， 0 e为初始孔隙比，λ，κ分 别为lnep−空间中正常固结线和回弹线斜率，M为 临界状态应力比。 对于三轴不排水剪切条件， v 0ε，则 222 2 p Mp λκηα η λαηα −− − −− ， 2 对式 （2） 两边积分并代入相应边界条件可得出不排水 应力路径为 22 222 c [] pM pM λ κ λ α αηα − − −− 。 3 由于不排水极限强度值是不排水应力路径和临界 状态线的交点剪应力值，取Mη可得对应于三轴压 缩试验的不排水极限强度值 22 ultcc 222 [][] 2 MM qMpMp MMM λ κλ κ λλ αα αα −− − −− ，4 如取Mη −，可得对应于三轴拉伸试验的的不排水 极限强度值 22 ultcc 222 [][] 2 MM qMpMp MMM λ κλ κ λλ αα αα −− −− − 。5 式中 c p为平均有效围压；α为各向异性张量 ij α的 第二不变量， 计算时取其初始值 0 α由初始固结应力状 态 决 定 。 对 于 现 场 0 K固 结 土 层 ， 可 取 c0v0 12/3pKσ′，其中 v0 σ′为土层上覆有效应力， 且 uult/2 Sq，则 1 uv0 v0 12 62 SKM M M κ λ α σ − ⎛⎞ ⎜⎟ ′ ⎝⎠ ， 6 1 uh0 v0 12 62 SKM M M κ λ α σ − − ⎛⎞ ⎜⎟ ′ ⎝⎠ 。 7 表1中列出Ladd[19]的试验数据并与本文公式进 行对比。根据文献[7]，近似取1/0.76λ κ−。相关试 验参数为 0 0.5K， 00 31/120.75KKα−， 33ϕ ′ ，6sin/3sin1.331Mϕϕ′′−。由表1可知 本文计算结果与试验值比较吻合。 表 1 本文计算结果与试验结果[19]比较 Table 1 Comparison between calculated and measured results 试验方法不排水强度表达式 试验值[19] 理论值 K0UC 本文三轴压缩公式 0.330 0.367 K0UE 本文三轴拉伸公式 0.155 0.140 1.2 考虑基坑开挖土体应力主轴旋转的强度公式 为考虑基坑开挖引起土体应力主轴旋转，本文采 用Casagrande等[20]推荐的公式， 即在竖向平面内， 施加 任意方向最大主应力力时，软黏土不排水抗剪强度为 2 uuhuvuh cos i SSSSi− 。 8 式中 ui S表示在最大主应力方向与竖向夹角为i时 的软黏土不排水抗剪强度； uh S和 uv S分别表示施加最 大主应力方向为竖向和水平时软黏土不排水抗剪强 度，可由常规三轴压缩和拉伸试验获得。i为主应力 方向与竖直方向的夹角，由图2中的几何关系知， iθψ−，其中θ表示计算点土体单元破裂面与竖直 方面的夹角，ψ表示计算点土体单元最大主应力方向 与破裂面的夹角。 252 岩 土 工 程 学 报 2008 年 图 2 典型滑移面的几何参数定义 Fig. 2 Definition of geometric parameters of a typical slip circle 根据Lo[21]试验结果，ψ值是个常量，并不随最 大主应力方向的旋转而变化。本文以下分析中取Lo 试验结果的推荐值π/4ψ。 假定土体中各点的强度各向异性比相同，令其为 uhuv kSS。 对于各向同性土 uvuh SS， 则1k ， 把k 和ψ代入方程（8）可得 2 uuv[ 1cos π/4]SSkk θ θ−− 。 9 将式（6）得到的 uv S代入式（9）便得出可以考 虑天然软土上覆有效应力和基坑开挖引起土体应力主 轴旋转的各向异性强度公式，即 2 u [1cos π/4]Skk θ θ−− 1 0 v0 12 62 KM M M κ λ α σ − ⎛⎞ ′ ⎜⎟ ⎝⎠ 。 . 10 式（10）既可以考虑软黏土不排水抗剪强度与前 期固结有效压力的关系，又可以可考虑基坑开挖引起 土体应力主轴旋转所导致的强度各向异性。借鉴软土 基坑抗隆起强度折减有限元分析法[22-26]定义抗隆起 稳定系数为 u s ucritical Sz F Sz ， 11 式中， u Sz为土体实际的不排水抗剪强度， ucritical Sz 为安全系数为1时的土体临界不排水强度。 2 考虑土体强度各向异性和非均质性 的基坑抗隆起稳定性上限解 2.1 破坏模式选取 Chen[9]认为极限上限分析滑移破坏越接近土体实 际破坏模式，计算结果就越精确；同时Chang[10]和 Faheem等[25]指出Prandtl滑移破坏模式比较接近软土 深基坑开挖土体滑移的实际破坏模式。根据坑底硬土 层位置，滑移模式分如图3两种情况。图3（a）表示， c /2TTB≥， 图3（b） 表示， c TT。 同时Goh[22-23] 和Faheem等[25]通过强度折减有限元法得出挡墙和土 体之间的摩阻力对抗隆起稳定安全系数几乎没有影 响，故本文分析假定挡墙和土体之间摩阻力为零，这 样更加便于极限分析。 图 3 Prandtl 滑动破裂模式的速度场 Fig. 3 Velocity field based on assumed Prandtl sliding mechanism 许可速度场由刚性块efji，ghj，jik，mnjg以及辐 射受剪区ihk组成，各部分速度大小如图3所示。其 中辐射受剪区ihk的内能耗散率计算包括两部分，沿 径向和沿圆弧滑移面，分别由 3 dE和 4 dE表示。 2.2 安全系数计算 外力考虑为土体自重和地面超载。分两种情况 当 c /2TTB≥时，计算外功率时，将地面超载（均 布超载假定为q）等效为土体重度。 外功率 dwrHBvqBv ， 12 内能耗散 5 1 dd in n EE ∑ ， 13 2 1uv 0 π d [1cos ]d 4 HD EvSz kkz − ∫ uv 0 1 2d HD k vSz z ∫ ， 14 /2 2 2uv d2 [1cos] 2d HD B HD EvSz kkzθ − ∫ /2 uv 2 d HDB HD vSzz ∫ ， 15 3π sin 2 4 π3uv 4 π d [1cos ] 4 HD R HD ESz kk θ θ −−⋅ ∫ ∫ d 2d sin z vθ θ ， 16 3π 2 4 π4uvsin 4 π d[1cos ] 4 HD R ESkk θ θ −−⋅ ∫ 2dvRθ， 17 /2 2 5uv π d2 [1cos ] 2d 2 HD B HD EvSz kkz − ∫ 第 2 期 黄茂松，等. K0固结黏土基坑抗隆起稳定性上限分析 253 /2 uv 2 d HD B HD vkSzz ∫ ， 18 dd i Ew ， 19 /2 uvuv 0 s 3π sin 2 4 πuv 4 1 d21 d 2 πd 2 [1cos ]d 4sin HDHD B HD HD R HD k SzzkSzz F rHq B z Sz kk rHq B θ θθ θ −− ∫∫ ∫ ∫ 3π 2 4 πuvsin 4 π 2[1cos ] d 4 HD R SkkR rHq B θ θθ −− ∫ ，20 当土体强度随深度变化为常数时， suv 12 [π11] 2 k HDBkB FS rHq B π− ；21 同理当 c TT时， 2 /2 uvuv 0 s 1 d21 d 2 2 HDHDT HD k SzzkSzz F rHqT ∫∫ 3π sin 2 4 πuv 4 πd 2 [1cos ]d 4sin 2 HD R HD z Sz kk rHqT θ θθ θ −− ∫ ∫ 3π 2 4 πuvsin 4 π 2[1cos ] d 4 2 HD R SkkR rHqT θ θθ −− ∫ uv 1 d 2 2 HD H k Szz rHqT ∫ ， 22 当土体强度随深度变化为常数时， suv 122 2 [π1π1] 2 2 2 kHDTkT FS rHq T − 。23 3 计算参数对抗隆起稳定性影响分析 本文分析方法能考虑基坑开挖过程引起土体应力 主轴旋转和土体强度各向异性对坑底抗隆起稳定性的 影响。针对坑底支护挡墙内土体，如果采用加固后的 土体强度，同样可以考虑坑内土体加固对抗隆起稳定 性的影响。下面主要分析土体强度各向异性、挡墙入 土深度、坑底硬土层深度对抗隆起的影响及其土体强 度各向异性对其它方面的影响。为了便于分析，假定 基坑开挖土体参数为重度 3 18 kN/mγ，地下水处 在 地 表 ， 不 排 水 土 体 强 度 随 深 度 变 化 为 uvv 0.33Szσ′；宽度15 mB ，开挖深度12 mH ， 挡墙入土深度D分别取为6，8，10和12 m。 3.1 土体应力各向异性对安全系数Fs影响 图4表示不同土体强度各向异性比对抗隆起稳定 性的影响。 由图4可知， 坑底抗隆起稳定系数随土体强 度各向异性的增大而线性减小。在同样强度各向异性 比值下，不同的挡墙入土深度并不能十分显著提高抗 隆起稳定性系数；同时各条变化曲线近似相互平行， 说明改变挡墙入土深度并不影响安全系数随各向异性 比变化的总体规律。说明单独考虑土体强度各向异性 的必要性。 图 4 土体强度各向异性 k 对安全系数影响 Fig. 4 Influence of anisotropic strength on factor of safety 3.2 挡墙入土深度对安全系数的影响 图5表示抗隆起安全系数随挡墙入土深度的影响。 同样由图5可知， 安全系数随着挡墙入土比的增大有所 增加。在相同的挡墙入土比之下，土体强度各向异性 比能显著地影响抗隆起安全系数。 图 5 挡墙入土比 D/H 对安全系数影响 Fig. 5 Influence of D/H on factor of safety 图 6 坑底硬土层 T/Tc对安全系数影响 Fig. 6 Influence of T/Tc on factor of safety 3.3 坑底硬土层对抗隆起稳定性影响 图6表示坑底硬土层的存在对抗隆起安全系数的 影响，分析中假定基坑挡墙入土深度10 mD 。由图 可知， 当/2TB≤， 坑底硬土层的存在能显著的增大 坑底抗隆起安全系数；/2TB≥，其它条件相同时， 安全系数趋于一定值。当土体强度各向异性增大时， 安全系数却显著减小。 254 岩 土 工 程 学 报 2008 年 表 2 本文分析方法工程实例计算并与 MIT-E3 模型有限元计算结果对比 Table 2 Case study considering anisotropic soil strength and comparison between calculated results and those of FEM MIT-E3 抗隆起稳定安全系数 基坑开挖临 界深度 Hf/m 挡墙插入深 度 D/m 基坑开挖宽 度 B/m Hashash[27]基于 MIT-E3 模 型的有限元计算结果 本文计算方法 （k0.5） 本文计算方法 （k1.0） 算例 1 10 2.5 40 1.0 1.16 1.55 算例 2 15 5 40 1.0 0.98 1.31 算例 3 22.5 17.5 40 1.0 1.03 1.38 算例 4 30 30 40 1.0 1.08 1.44 4 算例分析 算例1 Hashash等[27]采用著名的MIT-E3软黏土各 向异性本构模型对一基坑进行了数值分析。基坑所在 土体为波士顿蓝黏土。基坑开挖尺寸为宽度为40 m， 开挖深度取为10，15，22.5，30 m，挡墙插入深度相 应地分别为10，15，22.5，30 m。文献中给出土体竖 向有效应力随深度z的变化规律为 v0 8.1924.5zσ ′ ， 18.0 kPaγ。超固结比为1.0时，文献中给出土体强 度各向异性比为0.5；当OCR2.0时，各向异性比为 0.48，当OCR4.0时，各向异性比为0.43。本文分析 可以近似取土体强度各向异性比0.5k 。 Hashash等[27]指出该数据与Whittle等[28]的实测数 据非常吻合。根据Hashash计算结果当基坑开挖深度 为10 m、挡墙入土2.5 m时抗隆起稳定性安全系数为 1.0，本文公式计算结果1.16，与数值有限元分析结果 比较吻合。Hashash同时指出，在同样的开挖尺寸条 件下， 传统的分析方法如Terzaghi公式和Bjerrum-Eide 公式计算得到的抗隆起稳定安全系数往往偏大。本文 方法与另外三种开挖尺寸条件下Hashash的计算结果 作了对比，见表2。并与不考虑土体强度各向异性时 的计算结果作了对比，可以说明本文方法的适用性， 也说明考虑土体强度各向异性的必要性。总之本文计 算方法比较简便，而Hashash的方法采用MIT-E3软 黏土各向异性本构模型输入参数比较复杂。 算例 2 文献[7]记录了上海某地铁车站基坑在施 工过程中产生较大的隆起和水平位移，基坑处于临界 失稳状态。该基坑宽23 m，深16.7 m，纵向长度约 600 m，基坑挡墙深30 m，墙厚0.8 m。相关土体参数 为 0 0.65K ，1/0.91κ λ−，0.818M 。而按照上 海地基规范推荐公式及上海隧道工程设计研究院提出 的一类公式计算得到抗隆起稳定安全系数为2.4和 1.4。根据本文的分析方法，得出抗隆起安全系数为 0.97，比较符合现场的实际情况。说明上海深基坑开 挖设计时考虑土体强度各向异性的重要性和可行性。 算例 3 文献[11]详细分析了台北某基坑失稳事 故，并用基于地基承载力模式的各向异性强度公式对 其进行分析。 该基坑纵向长度100 m， 宽17.5～25.8 m， 开挖深度13.45 m，基坑挡墙为深24.0 m、宽0.7 m的 地下连续墙。 当基坑开挖到设计标高-13.45 m2.5 h后， 基坑发生整体失稳破坏。仅两分钟内整个基坑内部支 护系统全部破坏，基坑破坏涉及范围延伸到基坑周围 14～18 m。文献[11]中给出了基坑开挖土体的详细强 度参数。 基坑开挖地表下10.7～44.7 m范围内软黏土， 硬土层位于地表56 m，符合本文分析情况一的条件。 文献[11]还给出软黏土层的土体强度随深度变化规律 ucvc 0.271Sσ′， uevc 0.189Sσ′，并指出虽然该式是基 于重塑土样试验得出的结果，但与现场十字板剪切试 验所得结果非常接近。按照本文分析方法可取土体强 度各向异性比0.70k ，将基坑几何参数及其它土体 参数代入本文分析方法可得该基坑抗隆起安全系数为 1.10，与文献[16]1.01是比较接近的。由于文献[11]的 基于地基承载力的分析方法没有考虑基坑挡墙后开挖 面以上土体的抗剪作用，所以得出的结果偏小。而本 文在用上限分析时，恰恰考虑了这一点，从这个角度 说本文的分析方法要比文献[11]的分析方法要优越。 5 结 语 （1） 软土深度基坑开挖， 基于不排水强度的抗隆 起稳定性分析考虑土体强度各向异性的必要性。 （2） 不考虑土体强度各向异性时， 计算的抗隆起 安全系数偏大， 这样直接导致整个基坑设计偏不安全。 （3）本文同时分析了挡墙入土深度和坑底硬土 层对软土深基坑抗隆起稳定性的影响，得出挡墙如土 比可以提高抗隆起稳定性；当坑底硬土层与基坑开挖 底部距离在临界深度/2TB以上时， 能显著提 高坑底的抗隆起稳定性，这就可以指导工程界在设计 基坑围护结构时，可以根据勘查报告合理利用坑底硬 土层的存在从而提高基坑的抗隆起稳定性。 （4） 本文计算方法物理概念清晰， 可以根据一般 室内三轴压缩和拉伸试验或平面应变压缩和拉伸试验 求出土体强度各向异性比k代入计算；同时可以同时 考虑天然软土强度和前期有效固结压力的关系。 参考文献 [1] TERZAGHI K, PECK R B. 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