圆巷开挖围岩偏应力应变能生成的分析解与图解.pdf

第 29 卷 第 12 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.29 No.12 2007 年 12 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Dec., 2007 圆巷开挖围岩偏应力应变能生成的分析解与图解 潘 岳，李爱武，戚云松 （青岛理工大学土木工程学院，山东 青岛 266520） 摘 要巷道开挖在围岩中产生偏应力，围岩应力是原岩应力与偏应力的叠加，偏应力或偏应力能控制岩体破坏。在 假设静水压力和体积应变等于零条件下，利用文献[1]在弹性、非线性硬化和软化光滑连接的本构模型导得的圆巷围岩 弹性、 硬化和软化区光滑连接的应力分布表达式， 用重积分计算了圆巷围岩弹性、 硬化和软化区中的偏应力应变能 d U， 证明了 d U可以简捷地用地应力关于巷壁位移做一次积分再乘以巷壁周长得到。由此，可通过地应力–巷壁位移关系曲 线及其所围面积的几何形式表示围岩偏应力能随巷壁位移变化的情况，此研究结果可以深化由于巷道开挖围岩的力学 响应及挖成后巷道围岩工况规律的认识。 关键词巷道；地应力；巷壁位移；偏应力应变能 中图分类号TD322.4 文献标识码A 文章编号1000–4548200712–1780–07 作者简介潘 岳1947– ，男，教授，从事岩体力学方面的研究工作。E-mail panyue。 Analysis and illustration on deviatoric stress strain energy generation of surrounding rock in circuar tunnel excavation PAN Yue，LI Ai-wu，QI Yun-song College of Civil Engineering, Qingdao Technological University, Qingdao 266520, China Abstract The stress in surrounding rock is the superposition of stress in virgin rock mass and deviatoric stress happened in circuar tunnel excavation. The breakage of rock mass by was dominates by the deviatoric stress or its strain energy. On condition that hydrostatic pressure and volumetric strain of rock mass equalled to zero, by using the stress distribution expressions of surrounding rock that its elastic, nonlinear hardening and nonlinear softening zones were linked glossily based on the constitutive model of Reference[1], and using multiple integral, the strain energy of deviatoric stress, d U, was calculated in the elastic, hardened and softened zones of surrounding rock. It was proved that d U could be deduced concisely by integrating geo-stress with respect to displacement of tunnel wall, and multiplying by the perimeter of tunnel wall. Thereby, the variation of the deviatoric stress energy in surrounding rock in response to the displacement of tunnel wall could be expressed by the geometric of the relation between geo-stress and displacement of tunnel wall as well as the area enclosed by them. The obtained results could deepen the understanding of mechanical response of surrounding rock due to the excavation and operation of tunnels. Key words circuar tunnel; geo-stress; displacement of tunnel wall; energy release of surrounding rock 0 引 言 静水压力下，圆巷开挖前，由于 rz σσσθ， 巷道围岩偏应力为零。开挖使得围岩应力重分布， rz σσσθ，因此开挖后的巷道围岩中偏应力不为 零。开挖是对原岩应力的卸载，此过程中一方面有围 岩弹性能释放，另一方面在围岩中产生偏应力，这两 者都与巷壁ra处的应力变化有关。 偏应力使介质产 生塑性变形，偏应力应变能控制着岩体破坏。对巷道 开挖围岩偏应力应变能生成问题进行分析，可以深化 由于开挖在围岩岩体中产生的力学响应以及挖成后围 岩工作状况的规律性认识。笔者利用在弹性、硬化和 软化阶段光滑连接的应力–应变关系导得的在圆巷围 岩弹性、硬化和软化区光滑连接的应力分布表达式[1]， 对由于开挖在围岩中出现硬化和软化区的圆巷围岩偏 应力能进行了计算，发现了一个计算围岩偏应力能的 简捷途径。 ─────── 基金项目山东省教委重点资助项目G04D15；山东省自然科学基金 资助项目Y2005-A03 收稿日期2006–12–04 第 12 期 潘 岳，等. 圆巷开挖围岩偏应力应变能生成的分析解与图解 1781 1 对问题进行研究的基础 1.1 岩体本构模型及围岩中的应力强度、应变强度 岩体弹性阶段的应力–应变为线弹性关系[1] Eσε e εε≤ ， 1 式中，E弹性模量， e ε为屈服应变。岩体非线性硬化 和非线性软化阶段的应力–应变关系可统一表示为[1] o o exp c Eh εε σε εε ⎡⎤⎛⎞ ⋅−− ⎢⎥⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠ ⎣⎦ o exp c ce cc Egh εεε εεε εεε ⎡⎤⎛⎞ −−≥ ⎢⎥⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠ ⎣⎦ ， 2 式中， c ε为与峰值应力对应的应变， o c g ε ε ， 3 3 oo exp 2 ee c h εε ε εε ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ， 4 o o o exp 1 2 e e EE ε ε ε ε ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ − 。 5 据式（1）～（5） ，用Matlab软件绘出的岩体弹 性、 硬化和软化三段式光滑连接应力–应变曲线如图1 所示（式（2）对ε求导后，令 e εε，再由式（5） ， 易知E e εεσdd，即光滑连接） 。 图 1 弹性、非线性硬化和非线性软化的本构模型 Fig. 1 Constitutive model with glossily linked elastic,.nonlinear .hardening and softening segments 设巷道足够长， 可作平面应变处理，0 2 εεz； 巷道受静水压力 o p，轴对称问题， 1θ σσ， 2z σσ， 3r σσ；复杂应力状态下岩体进入硬化和软化状态 时，问题变得十分复杂而难于作出数学处理，为简化 分折，可放宽条件，假设硬化和软化状态时岩体体积 应变为零， m 30 zr θ θ εεεε（ m ε为平均应变） ， 即有 m 0 0 0 z rθ ε ε εε ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ， ， 。 ， 6 由式（6） ， z ε r ε θ ε0∶-1∶1，单元体应变分 量保持固定比例，属简单加载[3-4]，据 Νлющин 提出 并经试验验证的应力强度 i σ与应变强度 i ε之间单一 曲线的物理关系[3-4]， 可将同属简单加载的单轴本构关 系式（1） ， （2）推广，而得到岩体在复杂应力状态下 应力强度 i σ与应变强度 i ε之间的物理关系[1] ii Eσε ie εε≤ ， 7 ii io i exp c c cc Egh εεε σε εεε ⎡⎤⎛⎞ −− ⎢⎥⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠ ⎣⎦ ie εε≥ 。8 式（7）和（8）是同时关联巷道围岩中任一单元 体三向应力 θ σ， r σ， z σ与三向应变 θ ε， r ε， z ε之 间的加载与变形关系。式（7） ，式（8）与式（1） ，式 （2）的函数关系相同，其图形与图 1 也相同，将 i σ， i ε符号也标在图 1 上，即得 i σ– i ε全曲线，不再重复 绘出。这里强调指出，式（8）同时适用于描述巷道围 岩硬化和软化阶段应力强度与应变强度间的关系。 在平面应变和体积应变为零条件下， 轴向应力 z σ 与 θ σ， r σ之间有如下关系[3,5] 1 2 zrθ σσσ 。 9 由此可得围岩内应力强度 222 1 2 izzrrθθ σσσσσσσ−−− 3 2 rθ σσ− 。 10 轴对称问题几何方程为 d d r u r u r θ ε ε ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭ ， ， 11 式中，r为矢径。式（11）代入式（6）中第 3 式作积 分，可得矢径r处的位移和应变 2 2 r A u r r A r r A r r θ ε ε ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎭ ， ， ， 12 式中，A积分常数。围岩内应变强度[3-4] 222 i 2 3 zzrrθθ εεεεεεε−−− 。13 将式（12）和0 z ε代入式（13） ，可得 i 2 2 3 A r r ε 。 14 利用ar 时 ii aεε的条件，可得积分常数 1782 岩 土 工 程 学 报 2007 年 2 i 3 2 Aaaε 。 15 式（14） ，式（15）代入式（13） ，式（12） ，可得 2 ii 2 a ra r εε ， . . 16 2 i i 3 2 3 2 a a u ra r uaa ε ε ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ， 。 . 17 式中， a u为ar 处岩体的径向位移。 1.2 围岩弹性区应力分布、地应力与围岩位移关系 在此讨论地应力 o p足够大、 巷道开挖到设计半径 a时，巷壁ar 处岩体的应力、应变己进入图 1 中 的峰后软化状态的情况。 巷道挖成半径为a的圆巷，作理论分析时不妨假 设是从巷道中心等幅度、逐层地向外开挖。在巷道挖 成之前，， 径向位移 a u大于式（19）中的 e maxa u，围岩中ar≥以 外部位出现硬化区， 即图 2 中硬化区半径 e R大于巷道 设计半径a； 当巷道挖到设计半径a时，0 a p，ar 处的应变强度 i c aεε、径向位移 a u继续增大，ar≥ 的以外岩体部分出现软化区，即围岩中软化区半径R 大于巷道半径a，如图 2 所示。 在式 （14） 中利用硬化区与软化区交界面Rr处 应变强度 i c rεε的条件，可得积分常数 2 3 2 c ARε 。 22 代入式（12） ，再由式（16）可得围岩硬化与软化区中 的位移、应变强度、硬化区半径与软化区半径关系为 2 3 2 c R u r r ε ， 23 2 i 2 2 2 c e cs R r R R εε ε ε ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ， 。 24 令式（23）中ar，可得 2 2 3 ac Rauε，将其代 入式（23） ， （24） ，则硬化区与软化区中的位移、应变 强度可用 a u表示为 a au u r r ， 25 i 2 i 2 3 2 3 a a au r r u a a ε ε ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ， 。 26 式（8）中令 ic εε可得 o c c g E eh σ ε − − 。 27 文献[1]通过式（8） ，式（10） ，式（23）～（27） ， 采用轴对称问题平衡方程，求得同时适用于描述巷道 围岩硬化和软化区的应力分布规律为 2 P 2 1 exp 3 c ra g R pg greh σ σ − ⎧⎡ ⎛⎞ ⎪ −− ⎨⎢⎜⎟ − ⎝⎠⎪⎣ ⎩ 222 222 exp Rar gh aRR ⎤⎫⎛⎞⎛⎞⎪ −− ⎬⎥⎜⎟⎜⎟⎪ ⎝⎠⎝⎠⎦⎭ ， 28 第 12 期 潘 岳，等. 圆巷开挖围岩偏应力应变能生成的分析解与图解 1783 22 P 22 2exp 3 c a g RR pg rreh θ σ σ − ⎧⎛⎞ ⎪ − ⎨⎜⎟ −⎪ ⎝⎠⎩ 2222 2222 13 expexp RRar ggh graRR ⎡⎤⎫⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎪ −−−− ⎬⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎪ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎭ 。29 根据式 （19） ，（20） ， 及式 （28） ，（29） ， 文献[1]对30 c σ MPa的岩体，用Matlab数学软件绘出巷道挖成时的 o p θ σ – r a ， o r p σ – r a 无量纲分布曲线如图3。 从图中看到， 两条曲线在 e R，R处均光滑连接。 图 3 硐室开挖后围岩应力再分布曲线 Fig. 3 Dimensionless redistribution curves of stresses in surrounding rock after excavation 将式（19） ， （20） ，及式（28） ， （29）代入弹性区 和硬化区交界面 e rR处的应力连续条件 eePP o 2 rr p θθ σσσσ 。 30 再由式（23） ， （24） ，可得硬化和软化区的 o a pp−与 ar处岩体位移 a u的关系式为 oo o o o 2 expexp 33 cea a c Eu pp a εεε εεε ⎡⎤⎛⎞ ⎧⎛⎞ −−−−⎢⎥ ⎜⎟⎨⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥⎩⎝⎠ ⎝⎠⎣⎦ 32 exp 32 2 ccee ae asco a hua u εεεε ε εεε ⎫⎛⎞ ⎛⎞⎪ −−≥ ⎜⎟⎬⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪⎝⎠ ⎭ 。 31 埋深大，地应力 o p 大，则围岩位移大、巷壁处的 应变强度大。为确定起见，设图 2 中开挖到巷道设计 半径ar时，巷壁岩体应变强度 * i 2 c aεε，将其代 入式 （26） 可得 ca auε3 * 。 令式 （32） 中的0 a p， a u ca auε3 * ，再由 oc gεε，可得相应地应力的值为 *o o o exp 3 cee g cc p eh σεεε εεε − ⎧⎛⎞ ⎪ − ⎨⎜⎟ − ⎪⎝⎠ ⎩ oo 24 expexp 2 ecce e h εεεε εεε ⎡⎤⎫⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −⎪ −−−− ⎢⎥⎬⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥⎪⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦⎭ 。32 由式（24） ，这时软化区半径R与a的比值 *2 i 2 2 c aR a ε ε 。 33 对30 c σ MPa， 5 270 10 cc εσ − ，据式（21） ，式 （31） ， 式 （32） ， 可 用Matlab软 件 在 a u≤0 * 3 ac uaε≤范围内绘出 o a pp−– a u曲线，如图4 所示。以下在式（32）定义的埋深或地应力 * o p下，对 巷道开挖过程围岩偏应力应变能问题进行计算。 图 4 地应力-巷道周边位移曲线 Fig. 4 Displacement curves of surrounding rock 2 围岩中单元体偏应力应变能表达式 由弹性理论，并据式（10） ，可将弹性状态下单元 体的偏应力应变能密度 d u可写为 222 d 1 6 zzrr u E θθ σσσσσσ ⎡⎤−−− ⎣⎦ 22 i 11 43 r EE θ σσσ − 。 . 34 在体积应变 m 0ε条件下，5. 0，由式（34） ， 式（7） ，可得围岩弹性区单元体的偏应力应变能密度 d u 2 i 2E σ ii 2 σ ε 。 硬化和软化状态下单元体也贮有偏应力应变能和以塑 性变形消耗的偏应力能[6-8] 。 轴对称问题中偏应变 m eθ θ εε−， mzz eεε−， mrr eεε−。在 m 0ε，0 z ε条件，由式（6）可得 围岩中的偏应变eθ θ ε，0 z e ， rr eε。 轴对称问题偏应力 m sθ θ σσ−， mzz sσσ−， mrr sσσ−。 由式 （6） ， 式 （10） 和式 （12） ， 式 （14） ， i 32 θ εε，可得单元体偏应变能增量 m m dddd dddd rrrmr rrrr sese θθθθ θθθθθ σσεσσε σεσεσεεσσε −− −− iiii 23 d 32dσεσε⋅ 。 35 式（35）表明，轴对称问题单元体偏应力应变能密度 的一般表达式可写为 i dii 00 ddd i e rr usese ε θθ σε ∫∫ 。 36 将式（8）代入验算可知，式（36）也适用于弹性 状态单元体偏应力应变能密度 2 di 2 uEσ的计算。 图2中巷道开挖后，围岩中 e rR的岩体（弹性 1784 岩 土 工 程 学 报 2007 年 区）在经历弹性变形；围岩中 e arR≤≤的岩体已经历 了弹性变形阶段，正处于硬化和软化变形状态。这两 个区域的单元体应力应变状态分别如图5（a） ， （b） 所示。 图 5 单元体应变深度 Fig. 5 The strain depth of element 3 巷道开挖围岩偏应力能的计算 计算图2中各区的偏应力能均先要通过式（36） 对单元体的应变深度积分，然后再对相应区域积分。 由式（36） ，可得图2中 e rR≥以外围岩的弹性区 偏应力应变能 e d e dd 00 2 2 2 0 dd2πdd d 2πddπ 2 i e i ee u ii AR i iie RR e UAur r r r rEE ε ε σε ε εεε ε ∞ ∞∞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫ 2 2 22 22 2 ππ d 22 e ee e R R EE rR r εε ∞⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ 。 37 由于在围岩硬化区与软化区，即∪≤≤Rra≤R e Rr ≤范围内单元体的应变全部已经历了0～ e ε的弹 性应变，将这部分偏应力应变能记为 1 d P U，注意到这 部分应变的积分上限为 e ε后，可将其写为 e d 1 dd 00 dd2πdd ee uR P ii Aa UAur rE ε εε ∫∫∫∫∫ 2 222 π πd 2 e R e ee a E ErrRa ε ε− ∫ 。 38 参见图5，由式（36） ，式（8）可得图2中≤≤ ra e RRrR∪≤≤范围， 单元体中应变强应 i ε进入硬化与 软化阶段的偏应力应变能密度部分 i P2 iii doi expd e c ccc uEgh ε ε εεε εε εεε ⎡⎤⎛⎞ −− ⎢⎥⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠ ⎣⎦ ∫ 2iii o 2 1 1 expln c ccc EgghC g εεε ε εεε ⎡⎤⎛⎞⎛⎞ −−− ⎢⎥⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ 。 39 式中，常数C与 e ε有关。由式（25） ，可得 2 1 1 exp1ln eee ccc Cggh g εεε εεε ⎛⎞⎛⎞ − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 222 2222 1 1 expln eee RRR ggh gRRR ⎛⎞⎛⎞ − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 。40 由此得 P d 2 d 2π P2 ddd 0 2iii o 2 22 222 o 222 2 22 222 dddd d 1 2π1 explnd 1 π1 exp lnexp e e e uR P Aua R c a ccc ce ee e ee UAuurr EgghC rr g RR ERagg gRR R RR hg RgR θ εεε ε εεε ε ⎡⎤⎛⎞⎛⎞ −−− ⎢⎥⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ⎧⎡ ⎛⎞⎛⎞ ⎪ −−⎢⎜⎟⎜⎟ ⎨ ⎜⎟⎜⎟ ⎢ ⎪⎝⎠⎝⎠ ⎣⎩ ⎤⎛ −− ⎥ ⎥⎦ ⎝ ∫∫∫∫ ∫ ∫ 2 22 2 222 22 222 2 22o o 2 oo ln expln 22 πexpexpln ee e cec c ce R hRhR R aRR haha gaa Eah εεεε ε εεεε ⎡⎤⎞ ⎢⎥⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎠⎣⎦ ⎫⎡⎤ ⎛⎞ ⎪ − ⎬⎢⎥⎜⎟ ⎝⎠⎪⎣ ⎦⎭ ⎡⎤⎧⎛⎞⎛⎞ −−− ⎢⎥⎨⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥⎩⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ 2 o 2 o 2 2exp1 eec cce h εεεε εεεε ⎫⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎪ −−−− ⎬⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎪ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎭ 。 41 上式运算过程中已利用式（4） oc gεε，式（24） 、 式（33）2R a 和换元积分符号 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 22 d 2 d r R r RR rr 。 当巷道挖成巷壁位移3 ac uaε或软化区半径R 达到2a时，围岩贮存与消耗的偏应力能 eP1P2 dddd UUUU 。 42 将式（37） ，式（38）相加，并利用式（24） 、式 （5） 、式（33） ，可得 2 eP122 dd π 2 e e E UURa ε − 2 22 o 2 oo 21 π1exp 22 eeee c cc Ea εεεε ε εεεε ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −−− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 。43 将式（41） ，式（43）代入式（42） ，加以整理得 eP1P222 ddddo 2 oo 2 oo o π 2 2expexp expln2ln1 2 c eec ccc eee cc UUUUEa hhh ε εεεεε εεεεε εεε εεε ⎧⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎪ −−−− ⎢⎨⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎢⎪⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎩⎣ ⎤⎛⎞⎛⎞ −−− ⎥⎜⎟⎜⎟ ⎥⎝⎠⎝⎠ ⎦ 2 2 oo 21 1exp 22 eeee cc εεεε εεεε ⎫⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞⎪ −⋅−− ⎬⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎪⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎭ 。 44 由式（44）看到，在式（32）定义的埋深下，偏 第 12 期 潘 岳，等. 圆巷开挖围岩偏应力应变能生成的分析解与图解 1785 应力能 d U除了与巷道半径a、 岩体的参数 o E， c σ，cε， e ε有关外，还与岩体本构关系中的指数底 e有关。 在导得式 （44） 的三个计算式中均要进行重积分， 特别是导得式（41）中 2 P d U的积分过程繁锁。下面介 绍在研究中发现的计算围岩偏应力能的简便途径。 4 一次积分计算围岩偏应力应变能 4.1 用 o a pp−– a u关系计算围岩偏应力应变能 在 d U与 o p， a p之间，是否会有如下关系 dd 3 do 0 2πd ca aa UU Uappu ε ⎫ ⎪ ⎬ − ⎪ ⎭ ∫ ， ， 45 式 （45） 右端的积分为图 4 中 o a pp−– a u曲线下方的 面积。以下对上述设想予以证明。 （1） 先计算图 4 中 1 区的面积， 因为 1 区面积与 aπ2的乘积 1 d U 便是式（44）中的偏应力能 e1 dd P UU。 由式 （21） ， e o max a pp−3 e Eε； 再由式 （21） ， 式（45）和式（5） ，可得 3 1 2 do 0 omax 3 2 0 2πd 3 3 2 32 2πd3 323 e e a aa ee ac a aee ac Uappu a ppa uEaE aua a ε ε ε ε εε ε ⎡ − ⎢ ⎢⎣ ⎛⎞ −⋅− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎤⎡⎛⎞ −⎥⎜⎟ ⎢ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎣⎦ ∫ ∫ 2 2 2π1 42 eee c cc Ea aEa εεε ε εε ⎡⎤⎛⎞ − ⎢⎥⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠ ⎣⎦ 2 22 o 2 oo 2 π1exp 22 eeee c cc Ea εεεε ε εεεε ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −−− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 。46 式（46）与式（43）完全相同。 （2）图 4 中 2 区面积与aπ2的乘积 2 d U 便是式 （41） 表示的偏应力应变能 P2 d U。 由式 （31） 和式 （45） 可得图 3 中 2 区面积 3 2 3 do 2 e omax 2πd 3 3 2 c e a aa a e ac Uappu a ppa ε ε ε ε ⎧ −− ⎨ ⎩ ⎫⎛⎞⎪ −⋅− ⎜ ⎟⎬ ⎜⎟⎪ ⎝ ⎠⎭ ∫ 3 o 3 o 2 o o 2 22o o 2 oo 2 2πexpexp 3 32 exp1 22 2 πexpexp c c a ea a c co cceee ec aecc ce c c u aE a a hE u Ea ε ε εε ε εεε εεεεε ε ε εεεε εεε ε εεε ⎧⎧ ⎡⎤⎛⎞ ⎛⎞ ⎪⎪ −−−⎢⎥ ⎜⎟⎨⎨⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠⎪⎪ ⎝⎠⎣⎦ ⎩⎩ ⎛⎞⎫⎫⎛⎞⎛⎞ ⎪⎪ −−− ⎜⎟⎬⎬⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪⎝⎠⎝⎠ ⎭⎭⎝⎠ ⎡⎤⎛⎞⎛⎞ −−− ⎢⎥⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ∫ 2 ln c e h ε ε ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ o o exp22 eece ccec h εεεεε εεεεε ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −−−− ⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ 2 2 o 21exp 2 eeee ccc εεεε εεεε ⎫⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎪ −−− ⎬⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎪ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎭ 。 47 式（47） 2 d U 最后等号后共有4项。其中第1，第 2项与式（41） 2 d P U等号后的第1，第2项完全相同。 利用式（4） ，将式（47）第3，第4项展开，再略加 整理后可得 2 o oo 22exp 2 eeee cccc εεεεε εεε εεε ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −−−−⎢ ⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎦⎣ 。48 利用式（4） ，并将式（41）第3，第4项展开后得到 的结果也是式（48） 。 至此， 已完整地证明了式 （45） 的设想是正确的， 即围岩偏应力能 d U简捷地有 eP1P212 dddddd UUUUUU 3 o 0 2πd ca aa appu ε − ∫ 。 . 49 式（49）成立的原理有待进一步探索。 4.2 围岩偏应力能图解的应用 弹塑性理论通常表述，材料是依靠变形来抵抗荷 载作用的。地应力作用下围岩在发生形变的同时还产 生内力，内力在围岩形变上做功生成应变能，它与外 力在其作用点位移上做功直接相对应。因此更深一层 的含义应当是，材料是依靠产生应变能来抵抗荷载作 用的。如果材料某局部进入塑性状态，该局部以使之 产生塑性变形的偏应力能的形式与材料其余部位共同 承受荷载作用的。 （1）图6给出不同地应力 * o p值下的巷壁位移 * a u 值。从图中看到，当地应力 * o p较小时围岩中偏应力应 变能也较小， 当地应力 * o p较大时围岩中偏应力能也较 大。从图6 中可以直观地看到，围岩软化区容纳和耗 散的偏应力能大于围岩硬化区；而围岩软化区和硬化 区能容纳和消耗的偏应力能要远大于弹性区容纳的偏 应力应变能。并且还看到，在由围岩弹性、硬化和软 化区组成的复合承载环承受地应力作用的贡献中，围 岩软化区和硬化区要远大于弹性区。 （2）如果图1岩石 i σ–– i ε曲线软化段拐t以下 岩体破裂，那么处于稳定状态的巷道围岩软化区岩体 的应力强度必须 it σσ≥。由于巷壁处的应变强度 i aε最大， i aσ最小。令 i t aεε，则由式（17） 可得为使巷道围岩正常工作所允许的巷壁最大位移 ˆa u23 t aε，由式（49）和图4知，不同岩体介 质的围岩， 其 o a pp−– a u曲线下[0,32] ta uaε 允 范 围内面积最大者， 承受地应力能量最强， 工作最稳定。 （3）在考虑流变特性的情况下， 巷壁位移 a ut 1786 岩 土 工 程 学 报 2007 年 是时 间 的 函 数 。 对 于 同 样 的 地 应 力 ， 其 o a pp−‐tua曲线将向右方延长[6-8]。 因此可将上述 论断推广得到具有稳定流变特性的围岩，其 o a pp−‐tua曲线下[0, ] a ut 允 范围内面积最大 者，围岩承受地应力能量最强，工作最稳定。 图 6 围岩容纳和消耗的偏应力能 Fig. 6 The deviatoric stress energy admitted and dissipated by surrounding rock 5 结 论 （1）可以用重积分计算静水压力下圆巷开挖后 围岩弹性区、 硬化区和软化区中的偏应力能 d U， d U也 可以简捷地用 o a pp−关于巷壁位移 a u做一次积分得 到。偏应力能 d U即是文中 o a pp−- a u曲线与 * aa uu 竖线所围面积的aπ2倍。 （2）通过 o a pp−- a u曲线所围面积的几何形 式，可以直观看到巷壁位移 a u变化时围岩中偏应力能 的变化；围岩软化区和硬化区能容纳和消耗的偏应力 能要远大于弹性区容纳的偏应力应变能。在由围岩弹 性、硬化和软化区组成的复合承载环承受地应力的作 用中，软化区贡献最大，硬化区次之。所得研究结果， 可深化对巷道开挖引起的围岩力学响应及挖成后围岩 工作状况的规律性认识。 参考文献 [1] 潘 岳, 王志强, 王在泉. 非线性硬化与软化的巷道围岩 应力分布与工况研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2006, 257 1343–1351. 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