第三章 控制网平差.ppt

第三章控制网平差,完成控制网测量的外业工作后要进行内业计算，内业计算分为概算、平差计算和编制控制点成果表。本章重点介绍独立三角网的条件平差方法。第一节测量平差的数学模型第二节条件平差原理第三节独立三角网条件平差,第一节测量平差的数学模型一、必要观测与多余观测,在测量工作中，最常见的问题是要确定某些几何量的大小。由各种几何量构成的模型（测量中就是各种控制网）就是几何模型。为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素，其它元素可以通过已知的元素确定。能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称必要元素；确定必要元素的观测称为必要观测。必要元素的个数用t表示。,为了确定一个几何模型就必须进行观测。如果观测个数n少于必要元素的个数，即n＜t，显然无法确定该模型，出现了数据不足的情况；若观测了t个独立量，nt，则可唯一地确定该模型。在这种情况下，如果观测结果中含有错误，将无法发现。为了能及时发现错误，并提高测量成果的精度，就必须使n＞t，即必须进行多余观测。多余观测的个数在测量中又称“自由度”。令rn–t显然，r就是多余观测数。,,例如为确定三角形ABC，只需要3个必要观测，它们可以是S1,a,b或S1,a,c或S1,S2,b或S1,S2,S3,CcS2S3baBS1A,如果观测了所有六个元素，则有3个多余观测,二、平差的数学模型,测量中是通过观测来确定控制网中的某些几何量，因而考虑的模型总是数学模型。因为观测量是一种随机变量，所以平差的数学模型应同时包含函数模型和随机模型。函数模型和随机模型总称为数学模型。函数模型是由描述观测量和待求量间的函数关系的模型，随机模型是描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。建立这两种模型是测量平差中最基本而首先考虑的问题。,测量平差通常是基于线性函数模型的，当函数模型为非线性形式时，是将其用泰勒公式展开，并取其一次项化为线性形式。对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，相应地就有不同的平差方法。测量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种。,1、条件平差法,以观测量之间必须满足一定的条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。,例如为了确定B、C、D三点的高程，其必要观测数t3，实际观测了6段高差,故多余观测数rn–t3，应列出3个线性无关条件方程.,这个水准网可以列出7个条件方程,其中只有3个是相互独立的,我们取,式中表示观测量hi的平差值。这就是用平差值表达的条件方程。,,（a）,由于平差值应该等于观测值与其改正数之和，即,代入a式得其中,,b,令,Vv1v2v3v4v5v6T则条件方程可表达为以下矩阵形式AVW0（c）这就是条件平差函数模型的一般形式。,条件方程AVW0中，A－为rn阶矩阵，称为系数矩阵；V－为n1列阵，称为改正数向量；W－为r1列阵，称为闭合差向量。,2、间接平差法,一个几何模型中，只会有t个独立量，如果平差时就以这t个独立量为参数，模型中的所有量都一定是这t个独立参数的函数，亦即每个观测量都可表达成所选t个独立参数的函数。选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称参数平差法。,例如,△ABC中，观测量为其中的三个内角，选定∠A和∠B为平差参数，设为X1和X2，将每一个观测量均表达为这两个平差参数的函数，构成数学模型,则间接平差的函数模型可用以下矩阵形式表达LVBXd或VBX–l此式称为间接平差误差方程。式中，L为观测值向量（n1阶）；V为改正数向量（n1阶）；B为系数矩阵（nt阶）；X为未知数向量（t1阶）；lL–d为常数矩阵（n1阶）。,第二节条件平差原理,条件方程AVW0中，A为rn阶矩阵，V为n1列阵，即有r个方程，n个未知数,且rn，这样的方程组有无穷多组解。然而，根据最小二乘准则，观测量的最或然值应该满足VTPVmin。,在AVW0的条件下确定VTPV的最小值，这在数学中是求函数ФVTPV的条件极值问题。条件平差，实际上是确定条件方程满足VTPVmin的唯一解。,根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘数法则组成新函数ФVTPV－2KT（AVW其中K（k1,k2，，krT是拉格朗日乘数，测量平差中称之为联系数向量。显然，只要令Ф对V的一阶导数等于零就可以求出VTPV的极值。,矩阵求导的两个公式,1设C为常数阵，X为列阵，则,2设Y、Z均为列阵，则,一、改正数方程,令其等于零，注意到PVTVTP，从而有VTPKTA转置后左乘P–1得VP–1ATK1该公式表达了改正数V与联系数K的关系。,函数ФVTPV－2KTAVW对V求导,二、法方程式,将（1）式代入条件方程AVW0中得AP–1ATKW0（2）这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值的权矩阵，设第i个观测值的权为pi,则,显然P是一个对角阵，其逆存在，且,三、法方程的解,令NAP–1AT（3）则法方程式的形式为NKW0其中N称为法方程式系数矩阵，是一个满秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联系数向量K－N–1W（4）,四、条件平差的一般过程,（1）列出条件方程AVW0（2）组成法方程系数矩阵NAP–1AT（3）解法方程得到联系数K－N–1W（4）计算改正数VP–1ATK（5）计算平差值（6）精度评定,,,上一讲内容回顾,条件平差函数模型的一般形式AVW0,条件平差的法方程式AP–1ATKW0或NKW0,法方程的解,K－N–1W,改正数,VP–1ATK,条件平差的一般过程,（1）列出条件方程,AVW0,（2）组成法方程系数矩阵,NAP–1AT,（3）解法方程得到联系数,K－N–1W,（4）计算改正数,VP–1ATK,（5）计算平差值,（6）精度评定（计算单位权方差、观测值中误差、平差值函数的中误差等）,第三节独立三角网条件平差,根据三角网中起算数据的多少，三角网有独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的详细步骤和方法。,一、图形条件,图形条件通常是指平差后三角形内角应满足的几何条件，所以也称为三角形闭合条件。,条件平差时，关键是列出条件方程。独立三角网的观测量主要是三角形的内角，这些角在几何上应该满足一定的条件，这些条件就是列立条件方程的基础。,根据几何条件的不同，独立三角网的条件方程分为图形条件、圆周角条件、极条件、基线条件四种类型。,1.平差值表达的图形条件,对于有n个三角形组成的中点多边形a或三角锁b，可以列出n个图形条件,（i1，2，，n）,对于大地四边形，,可以列出7个图形条件，但是只有3个是相互独立的，其余几个可以由这3个方程推导出来,2.改正数表达的图形条件,代入用平差值表达的条件方程，整理后可得,平差值、观测值、改正数三者的关系为,（1）中点多边形和三角锁,vaivbivciwi0;,wiaibici-180,（2）大地四边形,va1vb1va2vb2w10;,va2vb2va3vb3w20;,va3vb3va4vb4w30;,w1a1b1a2b2-180,w2a2b2a3b3-180,w3a3b3a4b4-180,3.图形条件闭合差的限差,设角度观测中误差为m，应用误差传播定律可得三角形闭合差w的中误差为,取闭合差中误差的两倍作为闭合差的限值，即,同理，n个角的图形条件闭合差的限值为,二、圆周角条件,在中点多边形中，尽管所有三角形的图形条件都满足，但在中心点处，仍然可能出现各角度值之和不等于360的现象，平差时除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满足下列条件,用改正数表达的圆周角条件为,其中，wo称为圆周角条件闭合差。,式中，m为角度观测中误差；n为圆周角的个数。,；,对wo应用误差传播定律，并以2倍中误差作为限差，则圆周角闭合差的限差为,三、极条件,以中点多边形为例，若从OA边出发，依次解算三角形①、②、，最后解算出的OA边长应与出发边OA相等。即,,1.平差值形式的极条件方程,依次解算的三角形有共同顶点O，这个共同顶点O成为极点，故这种条件称为极条件。,将上述公式中的平差值用观测值加改正数的形式表达，则有,即,2.改正数形式的极条件方程,上述方程按台劳级数展开取至改正数的一次项使其线性化,令δaictgai,δbictgbi,称为极条件闭合差。,则上式可化简为,Σδaivai–Σδbivbiws0,其中,3.极条件闭合差的限差,对极条件闭合差的表达式应用误差传播定律得,mwo2δa12ma12δa22ma22δbn2mbn2,由于通常各三角形内角是等精度观测，即,maimbim,,以2倍中误差为闭合差的限差，从而得到极条件闭合差的限差为,四、基线条件,对于有两条基线的三角网，其角度观测值平差后应满足两条基线经三角形边长传算后相等。例如以下三角锁中，B1、B2为两条基线，由B1经三角形①、②、、ⓝ传算到B2后，应该与B2相等。这个条件称为基线条件。,1.平差值表达的基线条件方程,根据正弦定理，上述三角锁中，仿照极条件的推导过程，基线B1，B2与传距角ai，bi的平差值应该满足,2.改正数表达的基线条件方程,上式中的平差值用观测值加改正数的形式表达并移项后得,线性化后令δaictgai,δbictgbi，则有,Σδaivai–ΣδbivbiwB0,,3.基线条件闭合差的限差,称为基线条件闭合差。应用误差传播定律可计算其中误差，取2倍中误差为限差可得,五、典型三角网的条件方程,设独立三角网中观测值个数为n，三角点的总数为N，其中要有2个是已知坐标的点，未知点个数为（N-2），每个未知点需要2个必要观测以确定其x，y坐标，则必要观测的个数为t2N-2,独立的条件方程数目为rn-t其中大地四边形和中点多边形要有1个极条件。网中每增加1条已知边，应增加1个基线条件。,条件方程的数目,1.三角锁,条件方程的个数,第一个三角形有3个点，每增加1个三角形增加1个点，n个三角形共有n2个点，必要观测个数是t2n2–22n；,共有3n个角度观测值，2条基线，其中一条是起算边长，因此条件方程的个数为,r3n-2n1n1,条件方程的种类,图形条件n个,vaivbivciwi0;wiaibici–180i1,2,,n,基线条件1个,Σδaivai–ΣδbivbiwB0,2.大地四边形,共有4个点，其中2个为起算点，2个未知点，应有4个必要观测（t4），共有8个观测值n8，条件方程的个数为rn-t4,其中图形条件3个,va1vb1va2vb2w10;w1a1b1a2b2–180,va2vb2va3vb3w20;w2a2b2a3b3–180,va3vb3va4vb4w30;w3a3b3a4b4–180,极条件1个,Σδaivai–Σδbivbiws0；其中,δaictgai,δbictgbi,3.中点多边形,条件方程的数目,t2n1–22n–2,共有n1个点，必要观测个数,观测值个数3n；,条件方程个数,r3n–2n–2n2,条件方程的种类,图形条件n个,vaivbivciwi0;,wiaibici–180i1,2,,n,圆周角条件1个,Σvciwo0；woΣci-360,极条件1个,Σδaivai–Σδbivbiws0,六、精度评定,在条件平差中，精度评定包括计算单位权方差和平差值函数的中误差。,其中，r为条件方程的个数，[pvv]VTPV可以根据改正数向量V直接计算，也可以根据联系数向量K计算。,1.单位权方差,由于VP-1ATK,所以VTPVKTAP-1PP-1ATKKTNK,式中，N为法方程系数矩阵。,VTPV还可以用闭合差向量W进行计算。,将VP-1ATK代入VTPV中得,VTPVVTP（P-1ATK）AVTK,而由条件方程AVW0知,W－AV,所以有VTPV－WTK,2.平差值函数的权倒数,我们知道，未知量x的中误差的平方mx2与单位权中误差的平方μ2成正比，与该量的权Px成反比，即,同样，对于平差值的函数，只要能够确定它的权Px，根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差。,设有平差值函数为,则平差值函数的权倒数公式为,P-1fTP-1f-AP-1fTN-1AP-1f,其中P为观测值的权矩阵；A为条件方程系数矩阵；N为法方程系数矩阵；f为列矩阵,可见，列出平差函数式后，只要求出f列阵的系数,即可由上式计算函数的权倒数。,【例3-1】（p.49某一级小三角网如图，知A点坐标为500.000，500.000，AB边坐标方位角α3212’36”，长度S872.562m，三角网角度观测值如下表，计算各点坐标。,七、独立三角网条件平差算例,列条件方程本题有2个未知点，需4个必要观测，实际有9个观测值，故应列出5个条件方程。其中3个图形条件，1个圆周角条件，1个极条件。,【解】,2.闭合差检核,一级小三角网测角中误差应不大于5”,图形条件闭合差检核,|wi|max1.6”w限,圆周角条件闭合差检核,wO-3.2”wO限,极条件闭合差检核,3.列立条件方程,条件方程的矩阵形式为AVW0,本例中,W1.0-1.6-0.6-3.2-33.1T,Vva1vb1vc1va2vb2vc2va3vb3vc3T,4.组成法方程,法方程的组成与解算可以利用Matlab软件。打开Matlab，进入命令编辑器后，先输入常数矩阵A和W，再进行矩阵运算，得到法方程式，解法方程式得到联系数向量K和改正数向量V。,注意本例中所有观测值都是等精度角度观测值，所以法方程中权矩阵为单位阵。,,,先输入2个常数矩阵A,W,再点击workspace按钮，对这两个矩阵进行修改,,,,常数矩阵的输入,组成法方程系数矩阵,5.解算联系数和改正数,,,6.精度评定,直接在MATLAB中计算[PVV],m10”说明该三角网角度观测达到精度要求。,PVVV*V,PVV59.3972,据此计算测角中误差,7.计算观测量的平差值,8.平差值闭合差检核,图形条件,w1’Σ1－180-0.01”,w2’Σ2－1800.01”,w3’Σ3－1800.00”,圆周角条件,wo’Σc－3600.00”,极条件,9.推算三角网各边长度,从已知边AB起，应用正弦定理依次计算。,10.计算各点坐标,（按闭合导线计算）,