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计算土力学,主讲教师张爱军,4.3形函数的选择,位移模式是表征单元内部位移的形状的函数，位移模式一般用多项式表示，因为多项式可以无限逼近任意连续函数。其形式为,形函数是表征单元内部任意一点的位移与结点位移之间关系的函数。形函数由位移模式推导产生。其一般形式为,,位移模式的选择,包含常数项，反映刚体位移包括常应变项。单元应变包括两部分，一部分与结点的位置有关，称为变量应变；一部分与结点的位移无关，称为常应变。当单元尺寸较小时，单元应变趋于均匀，其常应变量成为应变的主要部分，位移模式中必须包括这个部分。包括常应变的意思在于位移模式中必须包括x,y,z的一次项位移在单元内部连续，在边界上协调，相邻单元在边界上不开裂也不重叠满足几何对称性，即在各个方向上均形式一样，只是参数不同,位移模式的选择一般采用帕斯卡三角形,形函数的建立,将各个结点的坐标和各个结点的位移值（在这里认为是确定值）代入位移模式，得到一组联立的代数方程组，求解这个方程，得到由结点坐标和位移值表示的待定参数值，即,等参元的形函数有所不同,4.4常应变三角形单元,以平面应变问题的三角形单元有限元为例，阐明有限元解题的过程，从位移模式的建立，到形函数的形成以及单元刚度矩阵、总体刚度矩阵，求解等全过程。三角形单元是最简单的有限单元，但是其代表性较强，便于理解。,单元位移模式、形函数的建立,设一个三角形单元，其结点编号为1,2,3。相应结点坐标为{x1,y1,x2,y2,x3,y3},而结点的位移为{u1,v1,u2,v2,u3,v3},这样单元有6个自由度。取单元的位移模式为（常应变）,1,2,3,v,u,x,y,x,y,v2,u2,其中x，y为单元内部任一点坐标u，v为该点沿x，y方向的位移,将三个结点的坐标与位移值代入位移模式中得,得到三个待定系数的值为,,只与结点坐标有关,将待定参数代入位移模式,可以得到,,,分析位移模式确定后就可以得到形函数位移模式是表征单元内部任意点的位移值的函数，存在许多待定参数形函数是根据位移模式，建立单元内部任意点的位移值与为单元结点位移值之间关系的矩阵形函数是单元内任一点坐标的函数，并且与单元结点坐标有关。,单元几何方程的建立,对于平面问题，其几何方程为,B,N,δe,,代入形函数,B,得到最后由单元结点位移表示的几何方程如下,,B,单元物理方程的建立,对于平面应变弹性问题，有,单元刚度矩阵形成,由单元刚度矩阵的计算公式得到,单位宽度,,,,,,两个自由度,,单元刚度矩阵的性质对称性由弹性力学中弹性体的功互等性质决定。并且行数与列数相等奇异性其每一行的和为0，由于在无约束情况下，单元位移不定决定的。刚体运动。单元刚度矩阵的行、列数单元节点数单元结点自由度数＝32＝6自由度就是未知量的个数。,整体分析用一个有4个单元的例子分析,1,2,4,3,5,6,①,②,③,④,y,x,,,体力p,单元与结点编号如右图，在单元上作用有体力p，在单元2上作用有面力q。,q,每个单元可以形成一个单元刚度矩阵，将其叠加就得到了总体刚度矩阵。总体刚度矩阵的行数和列数＝总结点数单元结点自由度数的方阵，其排列的顺序按照结点标号依次从小到大排列，每个结点的按照自由度的顺序排列。上例中总刚度矩阵排列见后，这样排列是为了与单元结点位移向量对应。,单元刚度矩阵组合时，就是“对号入座”，即按照单元在整体结构上的总体编号（有别于单元自身的结点编号）找相应的位置叠加，也就是将相应的单元刚度矩阵上的值kij，加到上面即可。也可以理解为将所有单元刚度矩阵也按照整体刚度矩阵的行列数及位置，扩大到整体刚度矩阵的大小，用矩阵加法得到整体刚度矩阵。,以上题为例说明,123的意思是将单元①②③单元刚度矩阵上的相应元素相加。为了方便，每个结点只列一项，不再列出各结点的各个自由度相应项相关结点才有叠加，不相关结点相应值为0。,整体刚度矩阵的特点对称性奇异性稀疏性（0多）带状性（集中在主元周围，两边为0）最大半带宽＝（结点编号最大差值＋1）结点自由度数＝（6－1＋1）2＝12因此需要按结点差值最小编整体结点号，方能够保证整刚最小。,整刚变带宽一维存储,,,在我书上有详细说明，大家看一下。,等效结点矩阵的形成由变分可以推出,本例为,将各个单元等效结点向量，用与整刚集合的方法进行叠加，就得到相应的整体等效结点向量。约束处理将整刚中，存在支承结点的相应支承自由度的行和列均划去，使该列行所有元素均为0；将相应等效结点向量相应行元素也充0这样就将支撑条件引入了方程中。对于已知结点位移的结点，可在相应整刚主元中乘以大数，将相应等效结点向量元素等于给定位移乘以该大数即可。,方程求解高斯消元法波前法三角分解法迭代法等等在线性代数中讲过，这里不再讲授，在我书里有三角分解法的详细说明。,应力求解整体方程求解出来以后，可以得到各个结点的各个自由度上的位移值结点应力可以根据结点位移值得到,三角形单元单元内部任意一点的应变相等，也就是应力相等，由于各个单元可能应力不等，在单元结点上的应力不连续，因此一般不计算结点应力，而认为单元应力就是单元形心处的应力。,Anyquestions,
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