7,8课－计算土力学.ppt

计算土力学,主讲教师张爱军,其他差分公式介绍以上讲的差分公式为中心差分公式，其特点是需要采用前一步和后一步值来进行计算。另外还由向前和向后差分方法，这些方法的实质是采用本身值和前一步或后一步值来计算一次微分以下列出这些差分的公式,差分公式的截断误差差分公式实际上是一种近似解法，其误差分析是非常重要的截断误差值分析是分析在采用差分公式代替微分公式时，其误差有多大。截断误差分析时进行差分方程收敛性和稳定性分析的基础。,向前差分公式截断误差由Taylor级数展开式得到将以上公式移项得到,向后差分公式截断误差由Taylor级数展开式得到将以上公式移项得到,因此从上式可以看出，向前与向后差分是对于某个方向上的截断误差是其步长h的一次函数。我们说向前和向后差分的精度是一阶近似的。中心差分公式截断误差,从上式可以看出，中心差分公式较向前和向后差分公式的精度提高一个等级。可以推导出二阶微分的精度如下,从上式可以看出，对于二阶偏导，向前、向后和中心差分公式的精度是一致的。从以上公式看出，对于以上差分公式，当h无限减少时，截断误差可以无限减少，,但是注意的是，对于一个微分方程而言，有两个方向、或三、四个方向的差值公式，相互有影响，一个方向截断误差对于其他方向还有影响，需要进一步分析。结合差分格式分析。,3.2差分格式,将差分公式代入基本控制方程得到的方程成为差分方程，也称为差分格式。对于同一个微分方程组和定解条件可以建立不同的差分方程（差分公式不同、使用形式不同，方程不同），构造差分格式也有不同的途径。,以扩散方程为例说明差分格式的建立其中a为常量参数u为要求的未知量，可以是温度，水压等等扩散的物理量x，t分别为空间和时间自变量这个方程是物理量随着时间和空间（一维）的扩散计算的方程，我们讨论这个方程的差分解法。－－代表性强。,设在x－t平面上作平行于x轴和t轴的两组平行线，形成hτ的差分网格，则其中时间的步长为τ空间的步长为h，且称网格比为规定差分表示为,,,t,x,,若对于时间t方向上采用一次向前差分公式，而对于x方向上采用中心差分公式，得到扩散方程的差分格式这称为求解扩散方程的显式格式。若变化x、t差分格式的形式就变成为这也称为求解扩散方程的显式格式。,若变化x、t差分格式的关系就变成为这也称为求解扩散方程的隐式格式。若再变化x、t差分格式的关系就变成为这就称为求解扩散方程的加权隐式格式。其中θ为小于1的加权系数。当θ＝0.5时称为Crank-Nicolson公式，还有Douglas公式等多种形式。注这些公式名称只对于扩散方程而言,相对于在t上的加权差分格式称为Richtmyer隐式差分格式这就引出差分解需要解决的两个问题如何构造一个方程的差分格式那种差分格式好，那种能用，那种不能用,构造差分格式的方法数值微分法这是我们以上讲的方法，就是用适当的差商代替微商，从而得到任意逼近微分方程的差分格式，常用、直接、简单。积分插值法从守恒定律出发构造差分格式。待定系数法选用形式确定而系数待定的差分方程逼近微分方程，然后在截断误差可能达到的范围内，按精度要求定出差分系数，构造具体的差分格式。积分积分差值法和待定系数法自己看。,用“收敛性”和“稳定性”判断差分格式的优劣差分格式的“收敛性”“收敛性”就是当步长无限减少时差分公式是否能够无限接近原微分方程，其截断误差是否趋于0。收敛性的数学定义为设u为微分方程的准确解，unj为相应的差分方程的解，如果步长，对于任意点（j,n）有则称差分是收敛的。,对于扩散方程的总体截断误差为设u（xj，tn）为微分方程的解，ujn为差分格式的解，令E为差分格式的截断误差，记结点（xj，tn）处的截断误差为Ej,n，则,,,网格比,,是u，非ujn,另外，根据截断误差的定义可知将上式变化成为令,,将真解代入差分方程中,,为0,差分解,微分解,,,得到当0＜λ≤1/2/a时,,,,均大于0,,,,得到得到当时，因此证明差分格式当u光滑时是收敛的。同样可以证明不满足0＜λ≤1/2/a时差分是不收敛的。对于其他差分格式，也可以得到其收敛条件，有条件收敛的差分称为条件收敛格式，无条件收敛的差分格式为无条件收敛格式。,差分格式的“稳定性”差分计算是一个逐次计算的过程，前一次计算的误差会向下一次计算传播，这种误差是否越来越大，在次数达到无限大时，误差不可控制称为“不稳定的”，可以控制的称为“稳定的”。数学定义设初始层引入误差为J0,1,2,..而第n层的引入误差为那么称为差分为稳定的，其存在常数k，使得成立，其中为误差的范数度量某种向量、矩阵的尺度。,稳定性的证明较为复杂，不讲参考文献陆金莆，顾丽珍、陈景良，偏微分方程的差分方法，高等教育出版社，1988。其方法有傅立叶方法、能量方法、单调矩阵方法和离散格林（Green）方法,几种差分方法的收敛性和稳定性,3.3差分方法的解题步骤,解题步骤对求解域进行网格划分选择差分格式边界结点和内结点采用不同的差分格式建立差分方程求解差分方程,举例软粘土地基非线性一维固结分析,,,,,,,,,,,,,,,qu,O,,H,透水,,kv,mv,cvkv/γw/mv,Z,,非线性特征,固结系数,,,e,σ’（对数坐标）,,,kv,e（对数坐标）,,,,,得到其中cc为压缩指数，ck为渗透指数（e～logkv的斜率），cv为固结系数，下标0表示初始状态。在瞬时均布荷载作用下不不随着时间的变化而变化，总应力不变，则,又一维饱和土体的连续方程为得到其中V表示与固结度有关的函数Tv表示时间因素，c为常数现在看如何用差分法进行计算,运用Crank-Nicolson差分格式离散Z方向上的微分，用向前差分离散时间方向上的微分，得到化解得到,式中ΔZ,ΔT为步长，λ＝ΔT/ΔZ2i为空间结点序号，j为时间结点序号上式实际上是一个递推公式，又由初始条件，结合边界条件得到,由上线性方程就可以求出各点的V值，也就可以求出各点的固结度值。经过验证，该法与解析解符合的很好。,Anyquestions,