9,10课－计算土力学.ppt

计算土力学,主讲教师张爱军,第4章有限单元法,有限元法同差分法一样，也是一种数值近似方法，用于求解在给定定解条件下的偏微分方程。1960年R.WClough正式提出“有限单元法”FEM这个概念，1967年O.CZienkiewicz和Y.KCheung张佑启写出了第一本有限元专著，标志着有限单元法正式走向实用。,有限元法在岩土工程中有较为广泛的应用，主要有以下几个方面稳定分析（强度折减法分析边坡稳定性）固结分析（2、3维）总应力变形、应力分析（2、3维）动力分析（地震、振动、爆破冲击）渗流分析（2、3维）动力固结分析（难）,本章主要讲解有限元的基本方法与思路，具体有限格式的构造，在其他章节中详细叙述。,4.1概述,有限单元法的实质有限单元法是求解连续区域内的边值问题和初值问题的数值方法。其实质是将分析区连续的域V和边界S离散成为有限个只在结点连接的子域Ve和面域Se（每个子域称为一个有限单元，各个子域连接的点称为结点），用全部有限单元的集合等价于连续域的近似分析方法。计算中只求结点上的待定函数（即要求的函数）值，用结点上的待定函数值反映整个域待定函数的分布和变化规律。,如位移、流势、浓度、温度等等,,有限单元内部的待定函数值则近似地用若干个形函数叠加而成。形函数表示待定函数在单元内的分布形态和规律，形函数确定后，就可以由单元结点处的待定函数值表示单元内部任意点的待定函数值。因此形函数的选择是有限元分析的关键。一般形函数为一个由结点上待定函数值组成的多项式，即,有限单元法的分析步骤连续体的离散选择形函数单元特性分析总体特性分析（单刚－总刚）引入边界条件求解线性方程组，得到求解函数值。,这就需要解决以下几个问题这样作能够逼近真解的道理在那形函数如何选择在形函数中选择待定函数的那个量（位移、应力等）如何具体分析有限单元法建立的方法变分法加权残量法（或称加权残数法）,这两种方法就是分析有限元法能够逼近真解的数学原理。也就是如何将确定的偏微分方程和定解条件（初始条件、边界条件）转化为有限元格式的方法。其中变分法有严格的数学证明，而加权残数法尚未有严格的数学证明，但是对于我们要解的问题证明是可行的，但是不是对任何一个问题均被证明是有效的。在计算土力学中，对于有效应力分析方法用加权残数法，总应力法用变分法（也就是最小势能和最小余能原理）。,根据形函数的类型将有限元法分为线性单元三节点三角形单元高次单元等参元协调元非协调元（壳单元）粱单元杆单元板壳单元实体单元锚索单元等等－－如何选择结合分析讲,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,根据待定函数选择分为位移有限元（协调元）基于最小势能原理认为位移是独立的场变量，其它如应力、应变与位移建立关系，最后将位移作为待定未知函数，求之，用位移值再推求应力、应变等。该方法是基于最小势能原理的，求出的数值解为真实解的下限（比真解小）。原因是求解的基础是刚度矩阵[D]，固体经过单元划分后，原来是无数自由度的场变成为有限自由度的场，并且忽略了三个方向的转动自由度，较原来硬了，因此位移值变小。,,,硬,平衡元基于最小余能原理认为力是独立的变量，给出的数值解是真值的上限（比真值大）。因为计算依据于柔度矩阵，原来是整体平衡方程，划分后还要求各单元也要平衡，这样就造成划分后的结构较原来的结构软，计算得到的值较真值大。混合有限元基于广义变分原理（多变量变分），形函数可以是位移、应力和应变，一般指同时以应力和位移为差值函数。其计算得到的值介于平衡元和位移元之间，得到的解的精度较平衡元和位移元高,杂交元以混合变分原理为基础，在单元内部假设平衡应力场，在单元边界假设连续的位移场，精度较高。杂交－混合元变刚度有限元西安理工大学党发宁教授，对于存在病态矩阵的力学问题精度高，适合于求解应力集中问题。平常我们接触的均为位移有限元，直观，简单,,,,,,平衡元,位移元,混合元,解,单元个数n,真解,4.2有限元格式的建立方法,变分法基本原理找到待定函数的泛函（函数的函数），使得该泛函的变分（即对变分进行求导）等于0时形成的方程反映待定函数的微分方程和定解条件，将求解微分方程转化为求解泛函的变分问题，从而得到求解。,总应力法中方程的变分原理就是最小势能原理或着是最小余能原理可以证明对于总应力法其待求函数的泛函是物体形变能和外力势能的和,按照能量的观点推导得到,,,我们将区域V和边界S划分称m个子域，也就是划分成m个单元，这时泛函可以写成由集合体所有单元的泛函之和,根据最小势能原理在给定的外力下，在满足位移边界条件的所有位移中，实际存在的位移应该使总势能的变分为0。从而得到,设单元e内任意点的位移值向量{δ}可以由形函数[N]于单元结点位移{δe}来描述，即,那么根据几何方程得到，单元内部的应变与结点位移的函数关系为,原来几何方程,其中Ni为形函数在结点i上的值,表示成结点位移的几何方程,同时由物理方程得到,,那么单元的势能可以写成,将几何方程和物理方程当作约束条件代入得到,根据势能最小定理得到,得到,这就是单元平衡方程。根据下式，可以得到总体平衡方程,其中未知量为单元结点位移值向量，以上方程是一个线性代数方程可以求解。分析以上各个过程可以看出，我们通过最小势能原理，并将几何、物理方程作为约束条件，得到了整体平衡方程，说明泛函变分后可以等效变换成我们给定的微分方程，并通过引入形函数使问题得到求解，这就是用变分法形成有限元格式的过程。,以上分析的未知量为结点位移向量，可以说明以上有限元为位移有限元（协调元）若引入最小余能原理时，其未知量就变成了结点的应力向量，这是形成的有限元格式为平衡元，对于某些问题可能采用这种方法更好一点。但是一般情况下由于位移向量自由度少，便于计算，常用之。,如果找到其他符合微分方程的泛函还可以构造二类场变量、三类场变量的有限元格式，即其未知数可以是结点位移和结点应力两个参数，或其他参数，这是构造的有限元格式就是杂交元、杂交－混合元、变刚度有限元等等，其精度会更高，可以解决比如应力集中等特殊问题，但是比较复杂。,,,,符合我们构造的微分方程的泛函的寻找是困难的，大部分是找不到的，虽然钱伟长、胡海昌等人提出了构造泛函的“拉氏乘子识别法”，但是还是很难找到一个微分方程的泛函，有时实际上是“碰”上的，因此，虽然变分法有严格的数学证明，但是其应用受到极大的限制。计算土力学中用的最多的是加权残量法。,加权残量法加权残量法是一种直接从微分方程中得到近似解的数学方法，其基本思想与解题思路为假定一个试函数（含试函数项和待定系数）作为微分方程的近似解；将近似解代入微分方程和定解条件中，形成残量方程；引入权函数，将其与残量相乘，并在求解域和边界上积分以消除残量，从而得到一系列含有待定系数的方程组；求解该方程组，获得试函数中的待定系数，从而得到近似解。,如某系统在域V和边界S上的控制方程和边界条件为,其中Q为待定函数F,G为微分算子f,g为不含变量Q的项用加权残量法分析的步骤是先设一个试函数（即未知函数的近似解）,将试函数代入到控制微分方程和边界方程中，由于试函数为近似解，因此等式右端就不再为0，形成残量Ri，RB,残量Ri，RB分别称为内部残量和边界残量，上式也称为内部残量方程和边界参数方程,显然，要消除残量，则得到的近似解就是精确解。为此引入内部权函数和边界权函数Wi，WB，得到消除残量的方程,将上两式进行合并为,以上就是用加权残量法求解微分方程的基本方程。选取适当的权函数进行积分就得到方程中的待定系数，即可求解出给定微分方程的近似解。视权函数的不同，可以有不同的方法，如最小二乘法、配点法、子域法和伽辽金法，在这里用的较多的是伽辽金法。,伽辽金法若选取试函数中的试函数项作为权函数，就是伽辽金法，即,伽辽金法可以得到对称的刚度矩阵，求解方便，常用之。另外试函数又是与有限元中的形函数一致，因此在有限元中用的很多。许多复杂问题有限元格式的形成由该法进行。我们结合有效应力法求解讲之。,用总应力法说明之形函数也叫位移函数、位移模式（注意在等参元中与坐标转换函数区别）是表征单元内部任意一点的位移与结点位移之间关系的函数。其选择是有限元计算的关键。形函数是一个多项式，因为多项式可以无限逼近任意连续函数,4.3形函数的选择,形函数必须具备协调性和完备性协调性是指除了满足相邻单元的公共结点、边或公共面上的连续性条件外，有时甚至要满足一阶或二阶导数的连续性。只有这样才能保证当单元尺寸无限小时近似解无限逼近真解。0阶精度、1阶精度、2阶精度。一般0阶精度可以满足实体单元计算要求。完备性指为了保证当有限单元产生位移时，仍然具有几何同性。形函数一定是一个多项式，那么要保证完备性只要保证以下几点就可以了,包含常数项，反映刚体位移包括常应变项，即位移在单元内部连续，在边界上协调，相邻单元在边界上不开裂也不重叠满足几何对称性，即在各个方向上均形式一样，只是参数不同,,也就是满足帕斯卡三角形,1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4,Anyquestions,