13,14课－计算土力学.ppt

计算土力学,主讲教师张爱军,4.4常应变三角形单元（补充）,单元刚度矩阵形成,,单元本身是平衡的,有了刚度值，就可以由位移求出力（非应力）有了弹性模量值，就可以由应变求出应力,整体各个单元刚度矩阵分析,,,,,,总体刚度矩阵的叠加,整体刚度矩阵的性质整刚表示整体位移与力的关系总体刚度矩阵的行数和列数＝总结点数单元结点自由度数的方阵，其排列的顺序按照结点标号依次从小到大排列，每个结点的按照自由度的顺序排列。上例中总刚度矩阵排列见后，这样排列是为了与单元结点位移向量对应。结点的多少决定着整刚的大小。,约束处理就是将整刚中相应的约束结点的约束自由度上的行、列划去，将荷载向量中相应项划去即可。其实质是强制使得u＝0，或v＝0；或u＝0，v0对于给定位移约束条件，即u＝c1或v＝c2是将整体刚度矩阵中相应的主元乘以一个大值A，等效结点向量相应的值设为Ac1或Ac2，利用“大数吃小数”的原理，得到u＝c1或v＝c2。在上例中，若整体结点号为2的水平位移u2＝c2，则有,,,相对于A很小,,4.5等参元,以上三角形单元分析中可以看出，从位移模式到形函数的构造上面，需要解三元一次方程，若位移模式中取得的项数进一步增加到4～20项，其形函数的构造非常麻烦，而且不能够统一编程，因此需要找更方便的办法在三角形单元中，对于等效结点荷载向量的求解等就很复杂了，对于其他复杂单元其求解将更加困难。,这就引出来另外一种思路。即先将实际单元通过坐标转换函数转化成一个母元（即形状规则、简单的单元），所有位移模式、形函数、单元分析，等效结点荷载向量建立等均在该母元上进行，使得求解简单化，并便于变成。然后将求出的量再转化成实际单元的量，求出最后的结果。这种思路概念清楚、便于理解，并且便于标准化。这就是等参元的思路。,其中坐标转换函数＝母元的形函数时称为等参元。,,,,,,,,,,,,实际单元,母单元,母单元,实际单元,22,222,等参元的形函数,母元对于平面问题,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,空间8结点等参元母元,空间20结点等参元母元,母元位移模式与形函数的构造位移模式的待定参数的个数应该与结点个数一致，才能保证待定参数可以解出来。对于4边形单元，位移模式取为（在局部坐标中分析）,,,将母元各个结点的局部坐标值代入位移模式中，得到,,,,以上公式就是平面4结点等参元的形函数,,对于空间8结点,得到其形函数为,有些专著中还提出8－20结点单元的通用形函数公式。,,坐标转换函数的建立坐标转换函数的作用在于将几何形状不规则的真实单元转换成为标准单元（数学上称为映射），等参元是将坐标转换函数与形函数一致，即,形函数N,坐标转换函数M,,,等参元中Ni＝Mi,我们分析一下形函数的性质,,即i结点的形函数Ni在j结点处为0,,在单元边界上位移是局部坐标的一次函数，线性的。,,坐标转换函数形式,正是由于形函数有以上的性质才能够使得其可以将不规则的4边形转换成为一个22的正方形。我们不妨验证一下对于母元而言，其3－4边的表示方程为η1。,将η1（3-4边）代入到坐标转换方程,得到,化解得到,将联立方程中ζ消去得到,直线方程,,已知两点坐标，求连接两点直线的方程,,这是连接（y3,z3）和（y4,z4）两点的直线。这说明母元3－4边的方程η1，经过坐标转换函数转换以后，得到在实际坐标下连接3－4点的直线方程。同理也可以证明实际坐标的直线边，可以转化成母元的边。从而验证了坐标转换函数可以实现将实际不规则单元转换为母元的功能。,雅克比矩阵Jacobi[J],就是真实坐标对母元局部坐标的导数矩阵对于平面问题,对于空间问题,单元类型不同，其Jacobi矩阵由于坐标转换函数不同而不同。,Jacobi矩阵地意义,得到,[J]表示坐标转换函数对局部坐标的导数与坐标转换函数对整体坐标的导数的关系矩阵,那么,Jacobi矩阵的逆阵就表示坐标转换函数对整体坐标的导数与坐标转换函数对局部坐标的导数的关系矩阵。在计算[B]阵时要用到Jacobi矩阵。,可以求得的确定值。,,[J]阵通过以下公式求得,,其逆阵求法同矩阵运算其行列式求法也同矩阵运算法则。,微元的面积dS和微元的体积dV,在有限元计算中，对于三维问题，等效荷载向量的计算中我们要用到面积积分，而形成单元刚度矩阵时要用到体积积分，这里讲授微元面积与微元体积的计算问题。为形成{R}、{k}准备。,,,不是对于局部坐标的，而是对于整体坐标的，需要转换。,是沿着一个空间曲面进行积分，也需要转换成局部坐标。,,,,预备知识设空间上矢量a，b，其表示成为分量的形式为,a,b两个矢量的标量乘积（点乘）为,该标量乘积为一个标量，表示矢量a在b上的投影长度（也叫模）与矢量b长度的乘积。a,b两个矢量的向量乘积，即所谓叉乘,该乘积为另一个矢量d，其意义为d的模为有矢量a,b，围成的平行四边形的面积，其方向垂直于a,b构成的平面，指向符合右手螺旋定则。,行列式的值,下面就对dS、dV进行转换,设η，ζ为平面上的曲线坐标，dη是与曲线η＝1相切的矢量，dζ是与曲线ζ＝1相切的矢量，如图示,实际上，dη,dζ表示的两个方向就是母元的局部坐标η,ζ在整体坐标系上的方向。,则有,微元的面积就是dη,dζ两个矢量叉乘的模，即,得到平面问题的微元面积计算公式,对于空间问题,Jacobi矩阵,,得到,微元的面积就是dξ,dζ两个矢量叉乘的模，即,得到对于空间曲面微元的秘面积为,微元的体积计算同样设在空间上的曲线坐标为ξηζ，ξηζ1为三个曲面，沿着η＝1和ζ1曲面的交线作dξ，沿ξ＝1和ζ1曲面交线作矢量dη，沿ξ＝1和η＝1交线设矢量dζ，如图所示,微元体的体积就是,Jacobi矩阵,,Anyquestions,