第三单元 偏导数的应用.pdf

第三单元多元微分的应用第三单元多元微分的应用 本单元内容要点本单元内容要点 平行于一元函数微分学在几何上的应用平行于一元函数微分学在几何上的应用,本单元讨论多 元函数微分在几何上的应用 本单元讨论多 元函数微分在几何上的应用,主要内容有 一、几何应用 二、方向导数 三、极值问题 主要内容有 一、几何应用 二、方向导数 三、极值问题 本单元教学要求本单元教学要求 掌握多元函数微分在几何上的应用掌握多元函数微分在几何上的应用, 方向导数和梯度 的求法 方向导数和梯度 的求法, 多元函数极值的求法及条件极值的讨论及相关 应用 多元函数极值的求法及条件极值的讨论及相关 应用. 本单元重点和难点本单元重点和难点 重点重点 掌握曲线的切线掌握曲线的切线, 法平面的求法法平面的求法, 尤其是由一 般方程所确定的曲线的切平面与法线的求法 尤其是由一 般方程所确定的曲线的切平面与法线的求法; 曲面的切 平面与法线的求法 曲面的切 平面与法线的求法; 方向导数与梯度的计算方向导数与梯度的计算; 极值与条 件极值的计算 极值与条 件极值的计算. 难点难点 理解方向导数与梯度的定义及相关关系理解方向导数与梯度的定义及相关关系. 教学时数教学时数 6课时课时. 一、几何应用一、几何应用 1.曲线的切线与法平面 设曲线的参数方程为 曲线的切线与法平面 设曲线的参数方程为 , , . xx t yy tt zz t αβ ⎧ ⎪ ≤≤ ⎨ ⎪ ⎩ ⑴ 且⑴式中的 ⑴ 且⑴式中的3个函数均为区间上的可导函数个函数均为区间上的可导函数. 对 相应曲线上的点为对曲线上邻近的点 对 相应曲线上的点为对曲线上邻近的点 0 ,tα β∈ 0000 ,,.Mxyz 曲线的割线为曲线的割线为 000 ,,,Mxx yy zz′ ∆ ∆ ∆ 000 . xxyyzz xyz −−− ∆∆∆ 以除上式中的各分母以除上式中的各分母, 并取 时的极限 并取 时的极限, 则由切线的几何意义得曲线在该点的切线方 程为 则由切线的几何意义得曲线在该点的切线方 程为 t∆ 0 0MMt ′→ ∆ → 000 000 . xxyyzz x ty tz t −−− ′′′ ⑵⑵ 注切线的方向向量称为切向量注切线的方向向量称为切向量. 由此得到曲线在点的切向量为由此得到曲线在点的切向量为 0 M 000 ,,.x ty tz tτ′′′′ 通过点且与该点的切线垂直的平面称为曲线在该 点的法平面 通过点且与该点的切线垂直的平面称为曲线在该 点的法平面, 由此定义不难得到法平面方程为由此定义不难得到法平面方程为 0 M 000000 0.x txxy tyyz tzz′′′−−− ⑶⑶ 法平面方程为法平面方程为 2360.xyz− 例例1 求曲线在点求曲线在点1,1,1处的切线与 法平面方程。 处的切线与 法平面方程。 23 ,,x t y t z t 111 , 123 xyz−−− 解曲线上的点对应故切向量为切 线方程为 解曲线上的点对应故切向量为切 线方程为 1,2,3,τ 1,t 32 000 ,,,tttτ 因切线和平面平行，故切向量与平面的法向垂直，所以因切线和平面平行，故切向量与平面的法向垂直，所以 32 000000 32120ntttt ttτ⋅ 00 1,2.tt⇒ − − 例例2 求曲线的切线方程，使之平行 于平面 求曲线的切线方程，使之平行 于平面 432 ,, 432 ttt xyz 320.xyz 解设曲线上的点对应的参数为则切向量为解设曲线上的点对应的参数为则切向量为 0, t 切线方程为切线方程为 413121 , 432 xyz−− − 及及 4382. 8122 xyz−− − 因而切点为因而切点为, 11 18 ,,, 2,,2 . 4323 −−⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 特殊地特殊地, 若曲线以方程形式给出若曲线以方程形式给出, 则在点处的期限及法平面分别为则在点处的期限及法平面分别为 ,yy xzz x 000 ,,xyz 000 00 , 1 xxyyzz yxzx −−− ′′ 和和 00000 0.xxy xyyz xzz′′−−− ⑷⑷ 若曲线作为两平面的交线若曲线作为两平面的交线 , , 0 , , 0 F x y z G x y z ⎧ Γ ⎨ ⎩ 点在曲线上，函数 在点处的某个邻域内有连续偏导，则曲线在点处 的切向量为 点在曲线上，函数 在点处的某个邻域内有连续偏导，则曲线在点处 的切向量为 0000 ,,Mxyz, ,,, ,F x y zG x y z 0 M 0 M 000 ,, . xyz xyz x y z ijk FFF GGG τ ⑻⑻ 例例3 求曲线在点求曲线在点1,-2,1处的切线处的切线 222 6 0 xyz xyz ⎧ ⎨ ⎩ 解切向量解切向量 000 ,, 24 26 1,0,1, 111 xyz xyz x y z ijkijk FFF GGG ττ− − 与法平面方程。与法平面方程。 故，切线方程与法平面方程分别为故，切线方程与法平面方程分别为 121 , 101 xyz−− − 0.xz− 例例9 求球面与椭球面求球面与椭球面 222 9 4 xyz 2 22 17 31 4 xyz− 的交线对应于的交点处的交线对应于的交点处1x 的切线方程和法平面方程的切线方程和法平面方程. 解当时解当时, 解方程解方程1x 222 2 22 9 , 4 17 31. 4 xyz xyz ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ − ⎪ ⎩ 得交点坐标在点处得交点坐标在点处, 两曲面的切平两曲面的切平 1 1,, 1 , 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ , ,x y z 面的法向分别为面的法向分别为 12 2 ,2 ,2,6 ,21 ,2,nxyznxyz− 从而在点处从而在点处, 1 1,,1 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 12 2,1,2 ,61,2 ,nn− 因因 12 2124,8, 8 , 612 ijk nn− − 故取所以切线及法平面分别为故取所以切线及法平面分别为1,2, 2 .s − 1211 , 142 xyz−−− − 220.xyz− 同样同样, 在点处得切向量为从而在点处得切向量为从而 1 1,, 1 2 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 1,2,2 .s 切平面和法线分别为切平面和法线分别为 1211 , 142 xyz−−− 220.xyz 例例10 设椭球面上某点的切平面设椭球面上某点的切平面 222 2321xyz 过已知直线求 的方程过已知直线求 的方程. 6321 , 212 xyz L −−− − ππ 解设切点为则切平面方程为解设切点为则切平面方程为 000 ,,,xyz 000000 2460.xxxyyyzzz−−− 因故切平面方程可化为因故切平面方程可化为 222 000 2321,xyz 000 2321.x xy yz z 由平面过直线则法向量与直线由平面过直线则法向量与直线,L 000 ,2,3nxyz 的方向垂直的方向垂直, 即从而有即从而有2,1, 1s − L 0.n s⋅ 000 2230.xyz− L在上取点代入前式在上取点代入前式, 有有 7 0,0,, 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 00 7 321,2. 2 zz⇒ 再将代入上式再将代入上式, 得最后将 代入球面方程 得最后将 代入球面方程, 则有或从而切平面方 程为 则有或从而切平面方 程为 0 2z 00 3,yx− 00 ,3,2xx− 0 1,x 0 3.x 和和4621 27.xyzxz 2.曲面的切平面及法线曲面的切平面及法线 n T 0 M Σ M 设曲面方程为点在 曲面上 设曲面方程为点在 曲面上, 函数在该点有连续偏导函数在该点有连续偏导, 且不同时 为零 且不同时 为零. 在曲面上过该点引任何 一条曲线 在曲面上过该点引任何 一条曲线, 并设曲线方程为并设曲线方程为 , ,0,F x y z 0000 ,,Mxyz , , . xx t yy t zz t ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ , ,F x y z 曲线在该点存在切向量曲线在该点存在切向量, 且切向量非零且切向量非零, 则由上一目的 讨论知 则由上一目的 讨论知 曲线在该点的切线方程为曲线在该点的切线方程为 n T 0 M Σ M 000 000 . xxyyzz x ty tz t −−− ′′′ 因曲线在曲面上因曲线在曲面上, 所以有所以有 ,,0.F x ty tz t≡⎡⎤ ⎣⎦ 再由全导数公式再由全导数公式,得得 0 ,,0. t t d F x ty tz t dt ⎡⎤ ⎣⎦ ⑸ 即 ⑸ 即 00000000 ,,,, xy Fxyzx tFxyzy t′′ 0000 ,,0. z Fxyzz t′⑹ 引入向量 ⑹ 引入向量 000000000 ,,,,,,,,, xxx nFxyzFxyzFxyz ⑺⑺ 则⑹说明曲线在该点的切向量则⑹说明曲线在该点的切向量 000 ,,x ty tz tτ′′′′ 与向量垂直与向量垂直. 由于曲线为任一曲线由于曲线为任一曲线, ⑺式说明过该点 的曲线的切线总与向量垂直 ⑺式说明过该点 的曲线的切线总与向量垂直, 从而说明这些切线在同 一个平面上 从而说明这些切线在同 一个平面上, 称这个平面为曲面在该点的切平面称这个平面为曲面在该点的切平面, 不难 得到 不难 得到, 该平面的方程为该平面的方程为 n n x F 00000000 ,,,, xy FxyzxxFxyzyy−− 0000 ,,0. z Fxyzzz− ⑻⑻ 称为曲面在该点的法向量称为曲面在该点的法向量. 通过该点且与切平面垂直的 直线称为曲面在该点的法线 通过该点且与切平面垂直的 直线称为曲面在该点的法线, 由定义不难得到法线方程 为 由定义不难得到法线方程 为 000 000000000 . ,,,,,, xyz xxxxxx Fxy zFxy zFxy z −−− 特别的特别的, 当曲面方程为则法向量为当曲面方程为则法向量为,,zf x y 而向量而向量 000000000 ,,,,,,,,, xxx nFxyzFxyzFxyz 0000 ,,,, 1 . xy nfxyfxy− 从而切平面方程与法线方程分别为从而切平面方程与法线方程分别为 00000000 ,,,, xy fxyzxxfxyzyy−− 0 0,zz−− 和和 000 000000 . ,,,,1 xy xxxxxx fxy zfxy z −−− − 例例1 求曲面在点处的切平面 与法线方程。 求曲面在点处的切平面 与法线方程。 2 1 xy exz− 1,2,1 解令则解令则 2 , ,1, xy F x y zexz−− 2 ,,1, xyxy xyz Fyex FxeF − 因而由此得切平面因而由此得切平面 22 1,2,122,1 ,Fee∇− 22 221210.yz−−−− 及法线及法线 22 121 . 221 xyz ee −−− − 例例2 求曲面的一个切平面，使该切平面与求曲面的一个切平面，使该切平面与 22 zxy 直线垂直。直线垂直。 21, 22 xz yz ⎧ ⎨ ⎩ 解直线的方向向量为解直线的方向向量为 21, 22 xz yz ⎧ ⎨ ⎩ 1,0,20,1,22, 2,1 .s −− 曲面在点处的法向量为曲面在点处的法向量为, ,x y z ,,2 ,2 , 1 . xyz nF F Fxy− 由题意，知即由题意，知即 ,ns 221 , 221 xy− −− 得代入曲面方程，得故得代入曲面方程，得故1,1,xy2.z 切平面方程为切平面方程为 2220.xyz−− 例例3 求的一个切平面，使之平行于平面求的一个切平面，使之平行于平面zxy 322.xyz− 解设切点为则切平面的法向为解设切点为则切平面的法向为 000 ,,,xyz 00000 ,,,, 1 .nf xyzyx ∇− 已知平面的法向为已知平面的法向为 1000 ,,3,2, 1 .nf xyz ∇− 又两平面平行，得又两平面平行，得 1000 3,2,6.nnyxz⇒⇒ 从而相应的切平面方程为从而相应的切平面方程为 3212.xyz− 例例4 试证上任何点处的切 平面与各坐标轴的截距之和是常数。 试证上任何点处的切 平面与各坐标轴的截距之和是常数。 0 xyza a 证设是曲面 上任意点， 证设是曲面 上任意点， 000 ,,,Fxyzaxyz− 000 111 ,,,, 222 xyz nF F F xyz ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 为切平面的法向。故切平面为为切平面的法向。故切平面为 000 000 111 0. 222 xxyyzz xyz −−− 即即 000 000 . xyz xyza xyz 令同理得 因而截距之和为 令同理得 因而截距之和为 10 0,.yzxx a⇒ 10 ,yy a 10 .zz a 111000 ..xyzxyzaa 例例5 所有与曲面相切的平面都经过坐标原 点。 其中 为可微函数。 所有与曲面相切的平面都经过坐标原 点。 其中 为可微函数。 y zxf x ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 证由公式⑶得证由公式⑶得 f ,, 1 xy nzz− ,, 1 , yyyy fff xxxx ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ′′−− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 从而在任一点处的切平面方程为从而在任一点处的切平面方程为 000 ,,xyz 0 000 0 0. y ffxxfyyzz x ⎛⎞ ′′−−⋅−−− ⎜⎟ ⎝⎠ 将代入上式得将代入上式得, ,0,0,0 x y z 0 00000 0 0. y ffxy fzx fz x ⎛⎞ ′′−−− − ⎜⎟ ⎝⎠ 即平面经过坐标原点。即平面经过坐标原点。 二、方向导数与梯度二、方向导数与梯度 1.方向导数 ⑴有向距离 方向导数 ⑴有向距离 0 0 . xxat t yybt ⎧ −∞ 00 ,f xy0A1,10f − -2 -1.5 -1 -0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 -2 -1.5 -1 -0.5 22 ,1f x yxxyyxy− 例例2 求的极值。求的极值。 44 ,41f x yxxyy −−− 解解方程组解解方程组 3 3 ,440, ,440. x y fx yxy fx yyx ⎧ − ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ 得驻点又得驻点又 0,0 , 1,1 ,1, 1 .− − 22 ,12,,4,,12, xxxyyy fx yxfx yfx yy − − 列表如下列表如下 128128-16 -12-120 , x y0,0 1,11, 1− − A 2 ACB− 因此，均为极大值，而 不是极值。 因此，均为极大值，而 不是极值。 1,11, 11ff− −0,01f − 例例3 求函数在矩形区域求函数在矩形区域 2 ,22f x yxxyy− {},|03,02Dx yxy≤≤≤≤ 上的最大值和最小值。 解为求驻点， 接方程组 上的最大值和最小值。 解为求驻点， 接方程组 ,220, ,220. x y fx yxy fx yx −⎧ ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ 得唯一驻点及再考虑函数在边界上的取 值情况。 得唯一驻点及再考虑函数在边界上的取 值情况。 1,1 1,11.f x y O3 2 1 L 2 L 3 L 4 L 设区域及边界如图所示，则在上最大 值为最小值为 设区域及边界如图所示，则在上最大 值为最小值为0；在上， 最大值为 ；在上， 最大值为9，最小值为，最小值为1；在上， 最大值为 ；在上， 最大值为4，最小值为，最小值为0；在上，最大值为；在上，最大值为 4，最小值为，最小值为0。比较函数值，得。比较函数值，得 1 L 2 ,,f x yx 3,09.f 2 L ,94 ,f x yy− 2 ,2,f x yx− 3 L 4 L,2 ,f x yy max9,min0.ff 例例4 有一宽为的长方形铁板，把它两边折起来 做成一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断 面的面积最大 有一宽为的长方形铁板，把它两边折起来 做成一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断 面的面积最大 24cm 解设折起来的边长为倾角为则梯形截面的 上底宽为 解设折起来的边长为倾角为则梯形截面的 上底宽为 ,xcm,α 24242x− α 2422 cos ,xxα− 高为因而截 面面积为 高为因而截 面面积为 sin,xα 1 2422 cos242sin, 2 Axxx xαα−− 即即 22 24 sin2sinsincosAxxxαααα− 012,0, 2 x π α ⎛⎞ 故构造函数故构造函数 231 1 .Fabc abc λ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 分别求导得分别求导得 2 2 2 2 0, 2 0, 2 0. a b c Fbc a Fac b Fab c λ λ λ ⎧ − ⎪ ⎪ ⎪ − ⎨ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎩ 分别以乘上面三式分别以乘上面三式, 得得, ,a b c 231 ,,.abcabcabc abc λλλ 令则有代入平面方令则有代入平面方 .k abc λ 2 ,3 ,.ak bk ck 程程, 得得 111 1,3.k kkk ⇒ 即从而平面方程为即从而平面方程为6,9,3.abc 1. 693 xyz 例例10 在对角线之长为的所有长方体中在对角线之长为的所有长方体中, 求有最大体 积的长方形棱长 求有最大体 积的长方形棱长. d d a b c 解设长方体的三棱长分别为则体积为解设长方体的三棱长分别为则体积为, , .a b c .Vabc 由此构造函数由此构造函数 222 .Fabcabcdλ−− 求导后得方程组求导后得方程组, 有有 222 222 222 0, 0, 0. a b c a Fbc abc a Fac abc a Fab abc λ λ λ ⎧ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎨ ⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎩ 分别以乘上面三式分别以乘上面三式, 有有, ,a b c 222 222 . abc abc abc λ 由此即得由此即得 . 3 d abc