层次分析法.pdf

1 / 8 1 AHP 指南-层次分析法详解 层次分析法 层次分析法（层次分析法（The analytic hierarchy process,简称简称 AHP） ，也称层级分析法） ，也称层级分析法 目录目录 什么是层次分析法 ..................................................................................................................................................... 1 层次分析法的基本步骤 ............................................................................................................................................. 1 层次分析法的优点 ..................................................................................................................................................... 2 建立层次结构模型 ..................................................................................................................................................... 2 构造成对比较矩阵 ..................................................................................................................................................... 3 作一致性检验 ............................................................................................................................................................. 4 层次总排序及决策 ..................................................................................................................................................... 6 层次分析法的用途举例 ............................................................................................................................................. 7 层次分析法应用的程序 ............................................................................................................................................. 7 应用层次分析法的注意事项 ..................................................................................................................................... 8 层次分析法应用实例 ................................................................................................................................................. 8 什么是层次分析法什么是层次分析法 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称 AHP，在 20 世纪 70 年代中期由美国运筹学家托 马斯 塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它 在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和 管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用假 期旅游为例假如有 3 个旅游胜地 A、B、C 供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途 条件等一些准则去反复比较这 3 个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重， 如果你经济宽绰、 醉心旅游， 自然分别看重景色条件， 而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用， 中老年旅游者还会对居住、 饮食等条件寄以较大关注。 其次， 你会就每一个准则将 3 个地点进行对比， 譬如 A 景色最好，B 次之；B 费用最低，C 次之；C 居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的 比较判断进行综合，在 A、B、C 中确定哪个作为最佳地点。 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下 2 / 8 2 AHP 指南-层次分析法详解 地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的 因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有 1 个因素，最下层通常为方案或对象层，中 间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时譬如多于 9 个应进一步分解出子准则 层。 2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第 2 层开始，对于从属于或影响上一层每个因素的同一 层诸因素，用成对比较法和 19 比较尺度构追成对比较阵，直到最下层。 3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一 致性指标、 随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。 若检验通过， 特征向量归一化后即为权向量 若不通过，需重新构追成对比较阵。 4、计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一 致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构 造那些一致性比率较大的成对比较阵。 层次分析法的优点层次分析法的优点 运用层次分析法有很多优点，其中最重要的一点就是简单明了。层次分析法不仅适用于存在不确 定性和主观信息的情况，还允许以合乎逻辑的方式运用经验、洞察力和直觉。也许层次分析法最大的 优点是提出了层次本身，它使得买方能够认真地考虑和衡量指标的相对重要性。 建立层次结构模型建立层次结构模型 将问题包含的因素分层最高层（解决问题的目的） ；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必 须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等） ；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等） 。 把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。 〔例 1〕 购物模型 某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层 次分析模型如下 3 / 8 3 AHP 指南-层次分析法详解 〔例 2〕 选拔干部模型 对三个干部候选人 y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准品德、才能、资历、年龄和群众关系， 构成如下层次分析模型 假设有三个干部候选人 y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准品德，才能， 资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时， 使用数量化的相对权重 aij来描述。 设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。 4 / 8 4 AHP 指南-层次分析法详解 成对比较矩阵中 aij的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。aij在 1-9 及其倒数中间取 值。  aij 1，元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同；  aij 3，元素 i 比元素 j 略重要；  aij 5，元素 i 比元素 j 重要；  aij 7， 元素 i 比元素 j 重要得多；  aij 9，元素 i 比元素 j 的极其重要；  aij 2n，n1,2,3,4，元素 i 与 j 的重要性介于 aij 2n − 1 与 aij 2n 1 之间；  ，n1,2,...,9， 当且仅当 aji n。 成对比较矩阵的特点。 （备注当 ij 时候，aij 1） 对例 2， 选拔干部考虑 5 个条件品德 x1，才能 x2，资历 x3，年龄 x4，群众关系 x5。某决策人用 成对比较法，得到成对比较阵如下 a14 5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。 作一致性检验作一致性检验 从理论上分析得到如果 A 是完全一致的成对比较矩阵，应该有 aijajk aik。 但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵 有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。 由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比 较矩阵 的一致性要求，转化为要求 的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。 检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下  计算衡量一个成对比矩阵 A （n1 阶方阵）不一致程度的指标 CI 5 / 8 5 AHP 指南-层次分析法详解 其中 λmax是矩阵 A 的最大特征值。 注解  从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准 RIRI 称为平均随机一致性指标，它只与 矩阵阶数 有关。  按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR 。  判断方法如下 当 CR0.1 时，判定成对比较阵 A 具有满意的一致性，或其不一致程度是可以 接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，直到达到满意的一致性为止。 例如对例 2 的矩阵 计算得到,查得 RI1.12， 。 这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。 此时 A 的最大特征值对应的特征向量为 U-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920。 这个向量也 是问题所需要的。通常要将该向量标准化使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。该特征向 量标准化后变成 U 0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087Z。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它 反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是 资历。各因素的相对重要性由权向量 U 的各分量所确定。 求 A 的特征值的方法，可以用 MATLAB 语句求 A 的特征值〔Y,D〕eig（A） ，Y 为成对比较阵 的 特征值，D 的列为相应特征向量。 在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵 Aa_{ij}的最大特征值 λmaxA和相应特征向量的近 似值。 定义 ， 可以近似地看作 A 的对应于最大特征值的特征向量。 计算 6 / 8 6 AHP 指南-层次分析法详解 可以近似看作 A 的最大特征值。实践中可以由 λ 来判断矩阵 A 的一致性。 层次总排序及决策层次总排序及决策 现在来完整地解决例 2 的问题， 要从三个候选人 y1,y2,y3中选一个总体上最适合上述五个条件的候 选人。对此，对三个候选人 y y1,y2,y3分别比较他们的品德x1，才能x2，资历x3，年龄x4，群众关 系x5。 先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵 经计算，B1的权向量 ωx1Y 0.082,0.244,0.674z 故 B1的不一致程度可接受。ωx1Y可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。 类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵 通过计算知，相应的权向量为 7 / 8 7 AHP 指南-层次分析法详解 它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知 B2,B3,B4,B5的不一致 程度均可接受。 最后计算各候选人的总得分。y1的总得分 从计算公式可知， y1的总得分 ωy1实际上是 y1各条件得分 ωx1y1 ,ωx2y1 ,...,ωx5y1 ,的加权平均, 权 就是各条件的重要性。同理可得 y2,Y3 的得分为 ωzy2 0.243,ωzy3 0.452 比较后可得候选人 y3是第一干部人选。 层次分析法的用途举例层次分析法的用途举例 例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的 6 种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那 一款式时，往往不是直接拿电冰箱整体进行比较，因为存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指 标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型号、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再 考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时， 由于 6 种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这 7 个标准的 重要度作一个估计，给出一种排序，然后把 6 种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这 些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。 层次分析法应用的程序层次分析法应用的程序 运用 AHP 法进行决策时，需要经历以下 4 个步骤 1、建立系统的递阶层次结构； 2、构造两两比较判断矩阵； （正互反矩阵） 3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重； 4、计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 5、进行一致性检验。 8 / 8 8 AHP 指南-层次分析法详解 应用层次分析法的注意事项应用层次分析法的注意事项 如果所选的要素不合理， 其含义混淆不清， 或要素间的关系不正确， 都会降低 AHP 法的结果质量， 甚至导致 AHP 法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则 1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多； 2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。 层次分析法应用实例层次分析法应用实例 1、建立递阶层次结构； 2、构造两两比较判断矩阵； （正互反矩阵） 对各指标之间进行两两对比之后，然后按 9 分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造 出评价指标的判断矩阵。 3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重； 关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法） 。 （1）几何平均法（根法） 计算判断矩阵 A 各行各个元素 mi 的乘积； 计算 mi 的 n 次方根； 对向量进行归一化处理； 该向量即为所求权重向量。 （2）规范列平均法（和法） 计算判断矩阵 A 各行各个元素 mi 的和； 将 A 的各行元素的和进行归一化； 该向量即为所求权重向量。 计算矩阵 A 的最大特征值max 对于任意的 i1,2,,n, 式中为向量 AW 的第 i 个元素 （4）一致性检验 构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检 验。虽然在构造判断矩阵 A 时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此 需要对判断矩阵 A 进行一致性检验。