径向柱塞式液压马达等接触应力内曲线的精确绘制.pdf

2 0 1 3年 1 0月 第4 1 卷 第 1 9期 机床与液压 MACHI NE TO0L ＆ HYDRAULI CS 0c t ． 2 0 1 3 Vo 1 ． 41 No ． 1 9 D OI 1 0 ． 3 9 6 9 ／ j ． i s s n ． 1 0 0 13 8 8 1 ． 2 0 1 3 ． 1 9 ． 0 4 2 径向柱塞式液压马达等接触应力内曲线的精确绘制 黄菲，黄方平，沈萌红 浙江大学宁波理工学院，浙江宁波 3 1 5 1 0 0 摘要针对传统的图解法绘制等接触应力曲线存在作图精度低的缺点，对多作用径向柱塞式液压马达等接触内曲线进行 理论分析，得到其微分方程，运用 M A T L A B求出等接触内曲线的数值解并采用拟合方法得到近似解析解，然后在 P r o ／ E等 C A D软件中精确绘制出完整的曲线。绘制出的曲线可以直接用于数控曲线磨床进行内曲线液压马达导轨的加工和生产。 关键词径向柱塞马达；内曲线；等接触应力 中图分类号T H1 3 7 文献标识码B 文章编号1 0 0 1 3 8 8 1 2 0 1 3 1 9 1 4 8 3 Ac c u r a t e Dr a wi n g o f Eq u a l Co n t a c t S t r e s s I n ne r Cur v e f o r Ra di a l - pi s t o n Hy dr a u l i c M o t o r HUANG Fe i ， HUANG Fa n g p i n g， S HEN Me n g h o n g N i n g b o I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ， Z h e j i a n g U n i v e r s i t y ，N i n g b o Z h e j i a n g 3 1 5 1 0 0 ，C h i n a Ab s t r a c t I n a c c o r d a n c e w i t h t h e f e a t u r e o f t r a d i t i o n a l g r a p h i c me t h o d ，d r a w i n g o f e q u a l c o n t a c t s t r e s s i n n e r c u r v e i s alw a y s i n a c c u r a t e ．T h r o u g h a n aly z i n g e q u al c o n t a c t s t r e s s i n n e r c u r v e o f mu l t i s t r o k e r a d i a l p i s t o n h y d r a u l i c mo t o r ，i t s d i f f e r e n t i al e q u a t i o n wa s e s t a b l i s h e d ．T h e n u me r i c a l s o l u t i o n a n d i t s a p p r o x i ma t e a n a l y t i c s o l u t i o n o f d i f f e r e n t i al e q u a t i o n w e r e o b t ain e d b y u s i n g t h e ma t h e ma t i c s o f t wa r e MAT L AB，t h e w h o l e i n n e r c H r v e c o u l d b e d r a wn a c c u r a t e l y w i t h P r o ／ E o r o t h e r C AD s o f t wa r e f o r man u f a c t u r e ． Ke y wor dsRa d i a l p i s t o n mo t o r；I n n e r c u r v e；Equ a l c o n t a c t s t r e s s 内曲线多作用径 向柱塞式液压 马达是液压 系统 中 极其重要的执行元 件 ，如今 已被广泛地 应用在工程机 械和行走液 压领域 ，随着市场需 求 的增大 ，逐渐成 为 现代液压元件 中应用最广的元件之一⋯。 径 向柱塞式多作用 内曲线马达的设计 经历了 以圆 弧曲线和摆线为代表的第一代几何学设计和以等加速 曲线为代表的第二代运动学设计 。为解决此类 马达工 作时接触应力分布不均而使马达使用寿命较低 的问题 ， 以陈卓如教授为代表的专家从提高内曲线寿命的角度 率先提 出了等接触应力设计理论 。 在设计此类马达 内曲线 时，通常采用 图解法 或解 析法进行 内曲线 的设计 。图解法作 图误 差较大 ，再加 上加工 时引入 的误差导致最后加工 出来 的内曲线 已经 和设计相差甚远 ；当接触应力 曲线是通过 求解一组三 阶非线性微分方程得 到时 ，求解十分 困难并 且只能得 到数值解 。近年来 ，随着 MA T L A B等数学软件 的兴起 和广泛应用以及各类 C A D软件的蓬勃发展，可以方便 简单地通过解析法精确绘制径 向柱塞式液压马达的 内 曲线，在此类马达的生产加工中有着重要的指导意义 和现实意义。 1 等接触应力曲线的求解 想要精确地绘制出径向柱塞式液压马达的内曲线 ， 必须先对等接触应力曲线进行求解。 1 ． 1 等接触应力曲线 滚动体在液压力作用下沿导轨面运动，导轨上将 承受较大的接触应力 。如接触应力超过材料 的许用值 ， 就要产生磨损 。同时 ，由于周期性 载荷 的作用 ，可 引 起点蚀和剥落现象。因此 ，轨道 的接触应 力值是评 价 其寿命 的主要衡 量参数。以下运用赫兹接触 理论对 等 接触应力曲线进行研究 。 对 理 想 线 接 触 来 说，在 负荷作用 下线 接触 将 扩 展 为 一 矩 形 接 触 面 ，在 接 触 区 内 接触 应 力 按 半 椭 圆柱 体 分布 ，如 图 1 所 示。 图 1 线接触区内的应力分布 接触 区 内任 恿 点 的接 触 应 力 为 1 一 ㈩ 在接触区 中心线上的接触应力最大 ，其值为 2 一 对于圆柱滚子的液压马达 ，最大应力为 ， N 盯z ／ 3 √ Z∑ E 、 。 式中 为内曲线接触点的主曲率。 收稿 日期 2 0 1 2 0 9 0 5 基金项目宁波市工业攻关资助项目 2 0 1 0 B 1 0 0 0 2 作者简介 黄菲 1 9 8 7 一 ，男 ，硕士研究生 ，主要从事新型液压元件性能研究 。E m a i l h f p 6 1 8 1 6 3 ． c o rn。 第 1 9期 黄菲 等径向柱塞式液压马达等接触应力内曲线的精确绘制 1 4 9 要使内曲线轨道最大接触应力相等，必须使 Ⅳ S Ⅳ口 为常量 ，其 中 s 知㈩ 式 中U f L ／ 6 ； 羞； K 2 Lp一 一P0 p ； L L oP 0一PR ； 是极角为 0时柱塞 的留缸长度 ； 是柱塞总长度 ； d 。 是柱塞直径 ； - 厂 是柱塞与缸壁间的摩擦因数。 因此，要求得等接触应力曲线 ，只需解 aS ． 0 5 即可得到圆柱滚子液压马达等接触应力曲线方程。鉴 于篇 幅的原 因，这里不再赘述公式的推导过程口 。 1 ． 2 用 M A T L A B求解等接触应力曲线 为方便用 M A T L A B计算 ，令 则原等接触应力曲线微分方程组可转化为 0 一 一 a r c s i n Rs l n 4 0 5一 一 一 √ 二 _ 而 R c 。 s 0 0 s c 。 一 s in 三 。 8一 7互 8 0 7 在 M A T L A B中按照上述方程组编写相应的子函数 程序，并保存为 M文件。 方程组的初值为 0 p 0 0 P 0 0 P ” 0 0 O 8 0 0 0 P 0 0 0 0 P O 0 P ” 0 x 3 0 P 0 幺 0 0 9 毫 0 0 0 P 0 0 0 0 n o L 。 0 7 7 0 以下通过具体算例来说明如何用 MA T L A B实现内 曲线的求解。 假定预设计的内曲线多作用液压马达是 8 作用 1 0 柱塞的，则只需要设计 0 2 2 ． 5 。 内的曲线 就能绘制 出 整个曲线。 相关初值如表 1 所示 表 中单位均为 国际标 准单 位 。 表 1 等接触应力曲线计算初值 首先，在 M A T L A B中根据表 1的初值计算出解算 方程组所需的所有初值。然后使用 MA T L A B的隐式微 分方程求解函数 o d e l 5 i 对前面编写的等接触应力曲线 方程组子函数进行求解，求解结果如图2所示。 O ． 1 5 5 0． 15 目O 1 4 5 0 ． 1 4 0． 135 2 7 0 b 极坐标形式 图 2 0～ 2 2 ． 5 。 内的内曲线 以上结果只是 等接触应力 曲线 的数值解 曲线 ，想 要用 C A D软件精确绘制，必须先对曲线进行拟合而得 到近似解析解。由于得到的结果是解析的数值解 ，所 以不存在一般数据采集存在的人为误差和系统误差， 故这里作者采用多项式拟合 ，这样能使整体的拟合误 差较小，通过采用不同的阶数进行拟合并分析比较，6 次多项式拟合已经能够满足要求。图 3是采用 6阶多 项式拟合的结果，拟合曲线的标准差和相关系数分别为 6 ，P p 卵 I I f l 赢 n a t C r a 一 4