在地应力测量中准确求解最大_最小水平应力问题的探讨.pdf

第 34 卷 第 2 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.34 No.2 2012 年 .2 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Feb. 2012 在地应力测量中准确求解最大、最小水平应力问题 的探讨 姚 瑞 1，杨树新1，陆远忠1，米 琦2，甄宏伟1 1. 中国地震局地壳应力研究所，北京 100085；2. 中国科学院研究生院，北京 100049 摘 要目前，在地应力测量和应用中，人们常常用近于水平的两个主应力或其在水平面上的投影来代替或估计最大 和最小水平应力，这在一般情况下误差不大，但是当应力结构比较特殊时这种代替或近似将带来较大的误差，甚至给 工程实践带来危害。以投影近似为例按 3 种三维应力状态分别讨论了方位误差随应力形因子 R 与主应力轴倾角的变化 和量值误差随 R、主应力轴倾角和最大、最小主应力量值之差的变化。并用原地应力测量资料求得了方位和量值误差。 理论分析和实例都证明了用近于水平的两个主应力的投影代替两个水平应力的误差可能很大。建议在研究与水平应力 相关的问题或与水平方向相关的物理参量时采用本文的计算方法求出准确值。 关键词最大水平应力；最小水平应力；投影近似；误差；三维应力状态 中图分类号TU43 文献标识码A 文章编号1000–4548201202–0317–09 作者简介姚 瑞1985– ，女，黑龙江哈尔滨人，研习员，主要从事地应力数据应用、构造应力场、数值模拟的研 究。E-mail yaorui_4123。 Computing maximum and minimum horizontal stresses in in-situ stress measurements YAO Rui1, YANG Shu-xin1, LU Yuan-zhong1, MI Qi2, ZHEN Hong-wei1 1. Institute of Crustal Dynamics, CEA, Beijing 100085, China; 2. College of Earth Science, GUCAS, Beijing 100049, China Abstract At present, for the measurements and applications of in-situ stress, people often use the two nearly horizontal principal stresses or their projections on horizontal surface to replace or estimate the maximum and minimum horizontal stresses. Generally, there are no considerable errors. But when the stress structure is special, this replacement or approximation will bring great errors, even harm to engineering practice. To argue for this fact, taking projection approximation as an example, the variations of azimuth and magnitude error with the stress shape factor R and the inclination of the principal stress axis and different magnitudes of the maximum and the minimum principal stresses in three different 3D stress states are discussed. Also, as examples, the errors of azimuth and magnitude are calculated using the in-situ stress measurement data. Theoretical analysis and examples demonstrate that there may be considerable errors in using the projections of two nearly horizontal principal stresses on horizontal plane to approximate the two horizontal stresses. It is suggested that in the study of horizontal stresses or physical quantities related to horizontal direction, the proposed should be employed. Key words maximum horizontal stress; minimum horizontal stress; projection approximation; error; 3D stress state 0 引 言 随着科学研究与工程应用对地应力数据的需求加 大和测量技术的发展，中国已积累了丰富的地应力测 量资料。有时在研究应用中人们需要了解水平应力的 方向[1-10]。比如在工程上，地下工程的稳定性与所处 的地应力环境关系重大，随着煤矿开采深度加大，原 岩应力对地下工程的作用更加突出，而矿井大多数是 水平或竖直的，所以人们特别关心水平应力的状况； 对于水平构造应力明显高于垂直应力的地区，矿床底 板和边坡矿井的设计、深部巷道的支护及矿井灾害防 治要把水平应力的方位作为重要参考。在地学中，由 于 GPS 在监测地壳水平形变中的应用日趋广泛， 为了 更准确的研究构造活动性， 人们需要将 GPS 求解出的 应变信息与实测地应力测量数据进行对比，那么从实 ─────── 基金项目国土资源部公益性行业科研专项项目（201011068） ；地震 公益性行业科研专项项目（201108008） 收稿日期2010–12–08 318 岩 土 工 程 学 报 2012 年 测地应力测量资料中提取出水平应力的信息就是很重 要的。 关于最大水平应力的方位，Bjrn 等[11]已经做过 有意义的探讨，给出了用应力张量的全部或部分分量 推导最大水平应力方位的方法；给出某确定 3 维应力 状态下的正应力面图（正应力面上的任意一点到中心 点的距离等于方向为该矢径方向的正应力的量值，比 “应力椭球”用起来方便） ；研究了应力形因子变化、 应力轴方向变化、地应力参数估计不确定性对最大水 平应力方位的影响等。但这在中国并未引起足够的重 视，这表现在概念上的混淆和计算方法的不科学。 真正的最大（小）水平应力应该是所有竖直面的 法向应力中最大（小）的一个水平应力。对于有一个 主应力垂直于水平面的情况（比如传统的二维水压致 裂测量的假设条件） ， 最大、 最小水平应力为另外两个 主应力，故有人称最大（最小）水平应力分别为“最 大 （最小） 水平主应力” ， 这不会引起歧义。 而事实上， 由于构造作用和地形的影响，真实的 3 维地应力状态 往往并不满足上述情况，此时“最大水平主应力”和 “最小水平主应力”的说法是不准确的，但在一些文 献中，这一问题并未引起重视[12-21]。当两个主应力轴 比较接近水平向时， 很容易认为无论是量值还是方位， 最大、最小水平应力与这两个主应力各自的差距都不 大，遂将近于水平的两个主应力分别视作最大水平应 力和最小水平应力；或者用近于水平的两个主应力在 水平面的投影代替真正的最大、最小水平应力（本文 称投影近似） ；或采用其他近似方法[14, 20, 22-23]。如果 这样做误差不大，应用起来会十分方便。而事实上本 文通过研究 3 个不同应力状态下最大、最小水平应力 与其近似值的差值随应力形因子、主应力轴倾角等的 变化，证明在应力结构比较特殊的情况下这种误差会 在一定范围内复杂变化，此时用近似法可能为科学研 究和工程应用带来危害。 作为例证，笔者收集了近 150 条中国大陆的 3 维 地应力测量数据，利用本文给出的计算公式求出它们 的最大、最小水平应力量值（SH，Sh）和最大水平应 力的方位角（αH） ，并与它们各自的投影近似值做了 比较，结果与理论分析相符。本文的研究结果对于正 确估计与水平相关的物理参量或将其与其他物理参数 如水平应变率、地震快波、钻孔数据等做比较具 有重要意义。 1 计算最大、 最小水平应力的量值和方 位角 随着工程应用需求加大和测量方法的不断改进， 人们已经获取越来越多的地应力测量数据。为了研究 需要，有时人们需要知道水平方向上的最大、最小应 力的量值和方位角。传统的二维水压致裂测量，只要 钻孔是垂直的， 就认为可以测出最大、 最小水平应力。 对于三维应力数据，要对其进行推导。潘立宙已经详 尽地给出了由 3 个主应力计算水平应力的过程[24]，这 里为便于读者参考，根据弹性力学知识给出简单的推 导过程。先通过坐标转换由主应力的量值、方位、倾 角推导出应力张量的 6 个独立分量，当计算水平应力 时，xz，yz，z虽不为 0，但不起作用，故此求解 问题就可参照平面应力问题的求解方法。传统的弹性 力学推导最大水平应力方位时求出的角度都是最大水 平应力与 X 轴（指向东）的夹角，由 Y 轴正向的剪应 力值正负情况判断此夹角是由水平应力方向到 X轴的 顺时针旋转角度还是逆时针旋转角度，本文在推导时 直接将夹角定义为由 Y 轴（即北向）顺时针旋转的角 度，即此夹角即是方位角。 设 3 个主应力轴确定的坐标系为 G0， 地理坐标系 G 为 O-XYZ（X 轴正向为东；Y 轴正向为北；Z 轴正向 为上） 。若设 3 个主应力轴在 G 中的方位角为 Di（即 主应力轴在水平面上的投影顺时针偏离正北的方向） ， 倾角为 Vi（i1，2，3；倾角以水平为 0，Z 轴正向 为正，负向为负） ，则 G0到 G 的转换矩阵为 L 11111111 22222222 33333333 cossincoscossin cossincoscossin cossincoscossin lmnVDVDV LlmnVDVDV lmnVDVDV       ， 1 式中，li，mi，ni（i1，2，3）分别为三维应力轴与 地理坐标系 G 的坐标轴 X，Y，Z 夹角的余弦。 主轴坐标系下 3 维应力张量为 1 02 3 00 00 00          ， 2 转到地理坐标系下的应力张量为 T 0 LL 。 3 至此将三维地应力数据转成了地理坐标系G下应 力张量的9个分量，其中6个独立。此时用 x ， y ， xy 3个分量参照二维应力问题的解决方法即可求最 大、最小水平应力的量值和方位角。现将地理坐标系 G 绕 Z 轴顺时针旋转角度 D0得到 G′坐标系。设从 G 到 G′的旋转矩阵为 00 00 cossin0 sincos0 001        DD LDD 。 4 设在G′中表示为，与的关系为 T LL 。 5 G′坐标系下垂直于Y′轴的平面上的正应力和沿X′ 轴的剪应力分别为 第 2 期 姚 瑞，等. 在地应力测量中准确求解最大、最小水平应力问题的探讨 319 00 cos2sin2 22       xxyyxxyy y yxy DD，6 00 sin2cos2 2       xxyy y xxy DD 。 7 式（6）右侧对D0求导后令等式为0求得最大水 平应力的量值为 22 max 2 xyyyxx yyxx yy       ； 8 最小水平应力的量值为 22 min 2 xyyyxx yyxx yy       。9 令式（7）为0，得最大水平应力与Y轴2倍夹角 2α的正切值为 tan22/ xyyyxx  。 10 最大、最小水平应力的方位角可为 2 1 2 2 11 tan 11 tan k k k k               ， ， 11 式中，ktan2α。通过反正切函数求得两个角度，其中 带入式（6）的D0使  y y 得 max   y y 的角度即为最大水 平应力的方位（即顺时针偏离Y轴的角度） ；另一个 角度即是最小水平应力的方位。 2 方位投影近似值的误差 一个地区的应力状态是一个张量，描述应力状态 是很复杂的。在地学中，断层是很重要的地质现象， 人们经常用应力状态描述断层的运动方式，也有细化 程度不同的分类。由于本文讨论的是在3个主应力轴 偏离竖直向或水平面较小的情况下的相关问题，遂根 据Kagan的定义[25-26]，按3种应力状态（正应力状态 时，最大主压应力轴偏离竖直方向的角度小于30； 走滑应力状态时，中间主压应力轴偏离竖直方向的角 度小于30；逆应力状态时，最小主压应力轴偏离竖 直方向的角度小于30） 考察应力形因子和主应力轴 的倾角对水平应力及其与近似值差值（简称投影近似 误差）的影响。设主应力的量值为Si i1, 2, 3，主应 力轴Ŝii1, 2, 3，倾角为Vi （i1, 2, 3） ，方位角为 Di i1, 2, 3，主应力轴的正向由方位角和倾角确定。 最大、最小水平应力的量值分别为SH、Sh，最大水平 应力的方位角为αH。定义应力形因子RS1-S2/ S1-S3。本节先讨论方位误差，下节讨论量值误差。 方位误差与主应力量值的关系由R决定； 由于Ŝ1， Ŝ2，Ŝ3两两垂直，所以Vi，Di i1, 2, 3中有3个量独 立。所以方位误差可以表示为4个变量的函数，比如 自变量取V1，D1，V2和R。其中方位角只影响方位误 差的基准值，所以本节主要研究两个倾角和R对方位 误差的影响。 考虑到在实际应用中，当相对接近水平的两个主 应力偏离水平面较大角度时，多数人不会仍采用投影 近似法，遂下文中重点分析近于水平的两个主应力的 倾角偏离水平面较小（不大于10）的情况。本文的 研究证明，即使这样，在应力结构比较特殊时仍然避 免不了误差之大。对于大角度偏离的情况本文也给出 了简单的描述。 还需说明的是Vi取正和负时方位误差 变化曲线存在某种对称关系，对研究误差并无实质性 影响。 2.1 正应力状态 当取定V1，D1，V2和R为自变量时，可得 2 D  112 arccos tantanDVV， 321 arctancotDDD 21212 tantansinDVVDD， 31 arctan cosVD 31 /tanDV。 若V1-80，D110，V27，最大水平应力 方位角αH随R的变化见图1（a） 。当V2由0到10 时（由于Vi垂直于Vj和Vk确定的平面，所以Vj与Vk ∈-90|Vi|，90-|Vi|） ，D2与αH差值（D2-αH）随R 与V2变化的趋势如图1（b） 所示。 当V1-80，D110 ，V2-7，αH随R的变化见图1（c） 。当V2由-10 到0时，D2-αH随R与V2变化的趋势如图1（d） 所示。（本文中插入的多曲线图中曲线顺序都是按角度 顺次排列） 可以看出在R接近1时，即使R变化很小，αH 的变化也可以很大；同样地，此时D2-αH的变化也可 以很大（由于本文设定的D2-αH随R变化的图像采样 间隔是R0.1，所以在图像上出现明显的折点，事实 上当采样间隔很小时图像应该是平滑的） 。 |D2-αH|的最大值与R和V2都有关系。 当V20～ 10，|D2-αH|的最大值分别是64，56，48，40， 33，31，37，45，54，65，90，可见， V25时|D2-αH|的最大值最小。 当V2-10～0时， 因为在R1的情况下，最大水平应力方位角是10， D2是-80，所以|D2-αH|的最大值都是90。 320 岩 土 工 程 学 报 2012 年 图1 正应力状态下最大水平应力方位角αH随 R 的变化以及D2 与 αH的差值D2-αH随 R 和 V2的变化 Fig. 1 Variation of αH with R and variation of D2-αH with R and V2 in normal stress state 图1（b）和图1（d）中横线与曲线的交点表示 D2与αH完全相等的点， 从中可以看出对于每一个V2， D2与αH相等时对应的R值。可以发现，V2≥0时， |D2-αH|的最小值除了在R1时最小为0外， 对于较小 的V2，在RV2/10（在横线上用小圆点表示）附近， |D2-αH|也较小；V20，此实例可以看做是前 面讨论情况的扩展，虽然Ŝ2的倾角很小，只有3.4， 但同样证明了方位误差很大。 走滑应力状态的数据中，|Sh-S3cosV3|最大为3.3 MPa。 对应的数据是S121.9 MPa，D1227.9，V1 1.4；S220.5 MPa，D2315.5，V2-60.5；S314.9 324 岩 土 工 程 学 报 2012 年 MPa，D3138.6，V3-29.5。由3.2节知， Sh-S3cosV3随着V1从-30变到30呈三角余弦的函 数连续变化，V2为正和负的图像关于V10对称， 那么可推测本例中Sh-S3cosV3随V1和R变化的曲线 走势应该是随V1从0到30而先向上再向下， 在R 0.2，V1 1.4的位置，误差大约为2 MPa左右， 不会达到4～5 MPa，实际计算结果与之吻合。 逆应力状态的数据中，|D1-αH|最大值是84.8，对 应的数据是S119.9 MPa，D1184.7，V126.4； S212.9 MPa，D2276.8，V24.1；S33.43 MPa， D3194.9，V3-63.3。同理，可参照图2（b） ， 在V1近30，R约为0.4的位置，误差较大，与计算 结果也相符。 5 结 语 本文参照弹性力学知识推导了最大、最小水平应 力的量值和方位角的公式，分3种三维应力状态分别 分析了投影近似产生的方位误差和量值误差随应力形 因子R、主应力轴倾角和最大、最小主应力量值之差 的变化，并利用原地应力测量资料将各个应力状态下 的最大、最小水平应力量值和方位角与其投影近似值 做了比较。理论分析和实例都证明了用近于水平的两 个主应力的投影代替两个水平应力的误差可能很大， 即使在近于水平的两个主应力偏离水平面很小的情况 下也不例外。误差大小与上述研究因素均有关，且关 系复杂。总体来看，近于竖直的主应力轴偏离竖直方 向的角度越大，误差变化越复杂，大多数情况下误差 的最大绝对值也越大。在应力状态满足那些误差大的 情况下，用近于水平的主应力的投影代替或近似两个 水平应力，势必导致研究结果不准确。对于给定的应 力状态，根据上述影响因素判别误差是否在可接受范 围亦是复杂的过程，而准确计算最大、最小水平应力 的量值和方位角却简单易行。作者建议在今后研究和 应用与水平向相关的物理量时采用本文总结出的计算 方法准确计算。 参考文献 [1] 杨树新, 王成虎, 周 俊, 等. 新型引水式电站中水压致裂 地应力测量技术应用研究[J]. 岩土工程学报, 2010, 3210 1519–1523. YANG Shu-xin, WANG Cheng-hu, ZHOU Jun, et al. Application of hydraulic fracture tech-nology to estimating in-situ stress of a new type diversion hydroelectric project[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 3210 1519–1523. in Chinese [2] 杨树新, 陈连旺, 谢富仁. 中国大陆现今构造应力场的回 归分析研究[J]. 岩土力学, 2003, 24增刊 2 357–360. YANG Shu-xin, CHEN Lian-wang, XIE Fu-ren. Study of The modern tec-stress filed of the China mainland by the of regression analyse and numerical simulate[J]. Rock and Soil Mechanics, 2003, 24S2 357–360. in Chinese [3] 杨树新, 许兆义, 李 宏. 长江三峡工程船闸区开挖前后 实测应力特征与分析[J]. 岩土力学, 2006, 27增刊 2 61– 65. YANG Shu-xin, XU Zhao-yi, LI Hong. The characteristic of stress distribution at permanent shiplock fore and after excavation in three gorges project[J]. Rock and Soil Mechanics. 2006, 27S2 61–65. in Chinese [4] YAO Rui, YANG Shu-xin, LU Yuan-zhong, et al. Characteris- tics of tectonic stress in the east of Tibetan Plateau and its neighboring region inferred from in-situ stress measure- ment[C]// Rock stress and earthquakes. CRC, 2010 687– 693. [5] 谢富仁, 陈群策, 崔效锋, 等. 中国大陆地壳应力环境研究 [M]. 北京 地质出版社, 2003. XIE Fu-ren, CHEN Qun-ce, CUI Xiao-feng, et. al. China mainland crust in-situ environment[M]. Beijing Geology Publishing House, 2003. in Chinese [6] 张雨霆, 肖 明, 汤福平. 深埋地下洞室群轴线方位合理 布置的计算分析[J]. 武汉大学学报工学版, 2009, 423 331–335. ZHANG Yu-ting, XIAO Ming, TANG Fu-ping. Numerical analysis on proper arrangement of axis azimuth of deep underground cavern groups[J]. Engineering Journal of Wuhan University, 2009, 423 331–335. in Chinese [7] 徐学峰, 窦林名, 刘 军, 等. 煤矿巷道底板冲击矿压发生 的原因及控制研究[J]. 岩土力学, 2010, 316 1977–1982. XU Xue-feng, DOU Lin-ming, LIU Jun, et al. Research of reasons and controlling for floor burst in coal mine roadway[J]. Rock an Soil Mechanics, 2010, 316 1977– 1982. in Chinese [8] 崔效峰, 谢富仁, 张红艳. 川滇地区现代构造应力场分区 及动力学意义[J]. 地震学报, 2006, 285 451–461. CUI Xiao-feng, XIE Fu-ren, ZHANG Hong-yan. Recent tectonic stress field zoning in sichuan-yunnan region and its dynamic interest[J]. Acta Seismologica Sinica, 2006, 285 451–461. in Chinese [9] 余文彬, 刘 颖, 敬 涛. 地应力分析方法在台 3 井区克拉 玛依组的应用[J]. 四川兵工学报, 2010, 313 126–129. YU Wen-bin, LIU Ying, JING Tao. The applications in situ stress analysis in the Karamay group of Well Block Station 3[J]. Sichuan Ordnance Journal, 2006, 285 451– 461. in Chinese [10] 康 勇, 杨春和, 何 正, 等. 煤系地层大跨度隧道围岩 结构稳定性研究[J]. 岩土力学, 2010, 31增刊 1 266–278. 第 2 期 姚 瑞，等. 在地应力测量中准确求解最大、最小水平应力问题的探讨 325 KANG Yong, YANG Chun-he, HE Zheng, et al. Stability analysis of surrounding rock structure of large-span tunnel passing through coal seams[J]. Rock an Soil Mechanics, 2010, 31S1 266–278. in Chinese [11] BJRN Lund, JOHN Townend. Calculating horizontal stress orientations with full or partial knowledge of the tectonic stress tensor[J]. Geophys J Int, 2007, 170 1328–1335. [12] 尹健民, 郭喜峰, 艾 凯, 等. 清远抽水蓄能电站地应力 测试分析与高压隧洞设计验证[J]. 长江科学院院报