TMD 等强度悬臂梁实际应用时的频率精确分析.pdf

第 ３３ 卷 第 ４ 期 ２０１６ 年 ７ 月 建筑科学与工程学报 Journal of Architecture and Civil Engineering Vol ． ３３ No ． ４ July ２０１６ 文章编号 １６７３‐２０４９（２０１６）０４‐０００１‐０６ 收稿日期 ２０１６‐０４‐１２ 基金项目 国家自然科学基金项目（９１２１５３０２） 作者简介 陈政清（１９４７‐） ， 男 ， 湖南湘潭人 ， 教授 ， 博士研究生导师 ， 中国工程院院士 ， 工学博士 ， E‐mail zqchen＠ hnu ． edu ． cn 。 TMD 等强度悬臂梁实际应用时的频率精确分析 陈政清 ， 田静莹 ， 黄智文 ， 王嘉兴 （湖南大学 风工程与桥梁工程湖南省重点实验室 ， 湖南 长沙 ４１００８２）） 摘要 为了确定实际应用中调谐质量阻尼器（TMD）刚度单元的梯形悬臂梁参数 ， 建立了梯形悬臂 梁频率的精确计算公式 ， 计算了梯形等强度悬臂梁与三角形等强度悬臂梁频率的误差 ， 利用梯形悬 臂梁频率计算公式确定了 TMD 等强度悬臂梁的设计步骤与程序 ， 给出了工程示例 ， 并使用仿真软 件 ANSYS 进行了验证 。 结果表明 悬臂梁自由端的宽度小于固定端宽度的 １２ ． ６５％ 时 ， 梯形等强 度悬臂梁与三角形等强度悬臂梁的频率相对误差小于 ５％ ； 所用程序可以用于确定满足频率精度 要求的 TMD 等强度悬臂梁的参数 ， 对工程实际有较大指导意义 。 关键词 调谐质量阻尼器 ； 等强度悬臂梁 ； 固有频率 ； 精确分析 ； 程序设计 中图分类号 U４４１ 文献标志码 A Exact Analysis of Natural Frequency of Equal Strength Cantilever Beams of TMD in Practical Cases CHEN Zheng‐qing ，TIAN Jing‐ying ，HUANG Zhi‐wen ，WANG Jia‐xing （Key Laboratory for Wind and Bridge Engineering of Hunan Province ，Hunan University ， Changsha ４１００８２ ，Hunan ，China） Abstract In order to determine the parameters of trapezoidal cantilever beam of stiffness element of tuned mass damper （TMD） in practical cases ，the exact analytic solution of frequency of trapezoidal cantilever beam was deduced ． The error of frequency between triangular equal strength cantilever beam and trapezoidal equal strength cantilever beam was calculated ． The design procedure and program of equal strength cantilever beam of TMD using the ula of frequency of trapezoidal cantilever beam was defined ．A typical example in engineering field was given and the results were checked with simulation software ANSYS ． The results show that when the width of free end is less than １２ ． ６５％of the width of fixed end ，the error of frequency between them is less than ５％ ．The designed program can be applied to determine parameters of equal strength cantilever beams of TMD when the accuracy requirements of frequency are met ，and it is of great value when applied to the practical cases of engineering ． Key words tuned mass damper ；equal strength cantilever beam ；natural frequency ；exact analy‐ sis ；programming 0引 言 随着土木工程基础理论的发展 ， 结构不单要考 虑静力作用 ， 也要满足风荷载和地震荷载等动荷载 作用下的振动问题 。 传统的结构设计仅依靠结构自 身的性能 ， 如增加结构刚度 、强度 、阻尼和改变质量 分布来抵抗振动 。 结构振动控制理论的研究和应用 是结构抗振研究的重大突破 。 根据是否需要外界能 源 ， 结构控制方法可以分为以下 ４ 种 ① 被动控制 ， 不需要外部能源 ， 仅依靠控制装置与结构的相互作 用提供控制 ， 如调谐质量阻尼器（TMD）和多调谐液 体阻尼器（TLD） ；② 主动控制 ， 需要外部能源提供 控制 ， 控制力的大小由前馈外激励和反馈结构的动 力响应决定 ；③ 半主动控制 ， 所需能源较少 ， 以被动 控制为主 ；④ 混合控制 ， 如主‐被动控制 ［１］ 。 在众多 可用的控制装置中 ，TMD 是最常用的控制装置 ， TMD 的形式多种多样 。 刚度单元为弹簧时 ， 若用 弹簧控制竖向刚度 ， 则需要有足够的空间满足弹簧 的静力伸长与振动位移（如杨浦大桥一阶竖向弯曲 频率为 ０ ． ２８６ Hz ， 弹簧净伸长约为 ３ m ［２］ ） ， 若用弹 簧控制横向刚度 ， 则弹簧不能承受 TMD 质量单元 的重力 ， 质量单元底部还需要有承受重力的构造 ， 构 造比较复杂 ， 所以在使用 TMD 控制结构的横向振 动时常使用摆式构造 ， 如台北 １０１ 大厦抑制风振的 TMD 使用的钢索 ［３］和榕江特大桥抑制吊杆振动的 TMD 使用的等强度悬臂梁 ［４］ 都是摆式 TMD 刚度 单元 。 等强度悬臂梁作为刚度单元时 ， 一是可以控 制 TMD 最大振动对应的应力在疲劳控制应力之 内 ， 从而避免往复运动产生疲劳破坏的可能 ［４］ ； 二是 可以最大程度减少材料的使用 ［５］ ， 更加经济 ； 三是可 以同时达到容许应力 ， 减少应力分布不均现象 ， 从而 提高安全系数 ［６］ 。 目前对于等强度悬臂梁的研究主要集中在将等 强度悬臂梁作为高频振动传感器的振动元件 、光纤 光栅传感器的转换元件 ， 以及广泛利用等强度悬臂 梁标定应变测试装置和测力传感器 。 如 １９８７ 年耿 运贵 ［７］设计了等强度悬臂梁标定应变片的方法和之 后其他学者对等强度标定梁应变的不确定分析和最 佳设计方法研究 ， ２００９ 年孙华等 ［８］推导了三角形等 强度悬臂梁的共振频率计算公式 ， ２０１５ 年王雷等 ［９］ 研究了不同尺寸等强度悬臂梁的自由端挠度量程与 作用力量程 。 然而 ， 对于实际应用中等强度悬臂梁自振频率 的研究却很少 ， 因为实际应用中 TMD 等强度悬臂 梁的自由端必须悬挂质量单元 ， 自由端的宽度不能 为 ０ ， 即等强度悬臂梁的形状不能为三角形 。 在实 际中将三角形等强度悬臂梁自由端加宽后 ， 梁的刚 度变大 、 基频变大 。 若使用三角形等强度悬臂梁固 有频率的简单计算公式来确定符合 TMD 设计频率 的梁的参数 ，则会与 TMD 设计频率产生偏差 。 ２０１４ 年邱艳宇等 ［１０］研究发现 ， 在三角形悬臂梁的自 由端接上一块长度为总长度 ２８％ 、 宽度为固定端宽 度 ４５％ 的矩形板时 ， 其基频与同样尺寸的三角形悬 臂梁的基频相差 ４４％ 。 王文熙 ［１１］研究发现 ， 频率偏 离对 TMD 的减振效果有很大影响 ， 所以当自由端 加宽时 ， 悬臂梁的各个参数都需要进一步调整 ， 传统 的调整方法是使用有限元软件人为逼近 ， 若是施工 中存在反复修改 ， 则人为逼近非常麻烦 。 因此 ， 本文 首先研究了实际使用的梯形悬臂梁自由端加宽多少 时其频率与三角形梁的频率误差小于限值 ， 即可以 使用三角形梁频率计算公式来确定梁的参数 ； 其次 ， 推导了梯形悬臂梁频率的精确计算公式 ， 以及应用 此公式设计 TMD 刚度单元时的参数确定方式与程 序 ； 最后 ， 提供了 TMD 等强度悬臂梁刚度单元的设 计示例 ， 并用仿真软件 ANSYS 对比验证了梯形等 强度设计方法的精确性 。 1梯形悬臂梁刚度 图 １ 为 TMD 工作时悬臂梁的受力分析 。 由图 １ 可以看出 ， 当 TMD 工作时 ， 其质量单元发生横向 振动 ， 梁同时受到横向力（惯性力）F和重力 G 的影 响 ， 此时梁最合理 、 最经济的设计方式为等强度悬臂 梁 ， 即在特定受力条件下梁的任意截面上的最大弯 曲正应力同时达到容许应力 ， 这样材料才能得以充 分利用 。 图 1TMD工作时悬臂梁的受力分析 Fig ． 1Force Analysis of Cantilever of TMD when Working 当梁只受到横向力作用且厚度不变时 ， 等强度 悬臂梁的宽度 D（x）是 x 的正比例函数 ， 此时梁为 三角形等强度悬臂梁（图 ２） ， 但工程实际中因为需 要在自由端悬挂质量单元 ， 因此常用的形式为梯形 ， 如图 ３ 所示 。 1 ． 1弯曲刚度 梯形等强度悬臂梁的尺寸如图 ４ 所示 ， 其中 ， ２建筑科学与工程学报 ２０１６ 年 图 2三角形等强度悬臂梁 Fig ． 2Triangular Equal Strength Cantilever Beam 图 3梯形等强度悬臂梁 Fig ． 3Trapezoidal Equal Strength Cantilever Beam 图 4等强度悬臂梁尺寸参数 Fig ． 4Size Parameters of Equal Strength Cantilever Beam D１为自由端宽度 ， D２为固定端宽度 ， L 为悬臂梁长 度 ， t 为梁的厚度 ，x 轴沿梁的纵向并以自由端为原 点 。 梁的宽度 D（x）随 x 变化如下 D（x）＝ D２－ D１ L x ＋ D１（１） 在不考虑大变形的情况下悬臂梁的柔度δ为 δ＝∫ L ０ MF珨M EI （x）dx ＝∫ L ０ x ２ ／（ １ １２ ED（x）t ３ ）dx ＝ １２L ３ Et ３ （D２ － D １） ２［D ２－ ３D１ ２ ＋ D ２ １ D２－ D１ ln（D ２ D１ ）］（２） 式中 MF，珨M 分别为在悬臂梁自由端作用力 F 和作 用单位力时沿悬臂梁的弯矩 ；E 为梁的弹性模量 ； I （x）为梁 x 位置处的弯曲刚度 。 根据等强度悬臂梁的弯曲刚度 K１＝ １ δ 可得 K１＝ Et ３ （D２－ D１） ２ ／｛１２L ３ ［D ２－３D１ ２ ＋ D ２ １ D２－ D１ ln（D ２ D１ ）］｝（３） 1 ． 2几何刚度 由于 TMD 控制效果的需要 ， 在实际应用时等 强度悬臂梁悬臂端安装的质量块往往质量较大（与 悬臂梁的自身质量相比） ， 会引起比较显著的几何刚 度效应 。 因此 ， 在计算等强度悬臂梁 TMD 系统的 刚度时还应计入质量块引起的几何刚度 ， 由假定振 型法可以求得几何刚度 。 忽略悬臂梁自身的重力 ， 只考虑端部质量块的重力 ， 由于等强度悬臂梁的振 动方向与端部质量块重力的作用方向垂直 ， 所以求 振型函数φ（x）时可以在梁端部沿振动方向作用一 横向力 P ， 并在梁上任意位置 x 处作用一单位力 P０， ２ 个作用力的弯矩 Mp图与 珨 M 图如图 ５ 所示 ， 假 定刚度 EI 沿梁长为定值 ， 由图乘法可得 x 处的横 向位移 V（x）为 V（x）＝ １ ２EIx ２ P（L － １ ３ x）＝ １ ６ Px ２ （３L － x）（４） 图 5自由端作用横向力时等强度悬臂梁的振型计算 Fig ． 5Vibration Mode Calculation of Equal Strength Cantilever Beam when Transversely Forced Is on Free End 令自由端的位移 V （L）＝ PL ３ ３EI ＝ Z０， 可得振型函 数φ（x）＝ V （x） Z０ ， 从而得 φ（x）＝ x ２ ２L ３（３L － x）（５） 由广义几何刚度 K２的定义可知 K２＝∫ L ０ N［φ ′ （x）］ ２ dx ＝ ６N ５L （６） 式中 N 为梁所受的拉力 ，N ＝ Mg ， M 为 TMD 质量 单元的质量 ， g为重力加速度 。 综上所述 ， 梯形梁的总刚度 K ＝ K１＋ K２， 即 K ＝ Et ３ （D２－ D１） ２ ／｛１２L ３ ［D ２－３D１ ２ ＋ ３第 ４ 期 陈政清 ， 等 TMD 等强度悬臂梁实际应用时的频率精确分析 D ２ １ D２－ D１ ln（D ２ D１ ）］｝ ＋ ６N ５L （７） 2TMD 等强度悬臂梁设计 2 ． 1设计要求 TMD 等强度悬臂梁必须满足 ３ 个方面的要 求 ① 频率要求 ， 只有保证 TMD 的频率与设计频率 一致才能发挥 TMD 的作用 ；② 强度要求 ， 当 TMD 摆动时 ， 会受到质量单元的惯性力 ， 必须保证其在惯 性力作用下不会破坏 ；③ 构造要求 ， 由于 TMD 的安 装空间和施工难度的限制 ， 其参数必须满足构造 要求 。 2 ． 2频率要求 在 TMD 的设计中 ， 需要根据所控制结构的振 动频率确定 TMD 的最优频率 f ， 达到最佳抑振效 果 。 在 TMD 的频率 f 确定后 ， 其刚度单元需要 满足 K ＝ K１＋ K２＝ω ２ M ＝ ４π ２ f ２ M（８） 式中 ω为等强度悬臂梁的自振角频率 。 ２ ． ２ ． １D１的取值范围 三角形等强度悬臂梁只有长度 L 、厚度 t 以及 固定端宽度 D２三个参数 ， 若可以使用三角形梁的 频率公式确定梁的参数 ， 并加大自由端的宽度 D１ 以满足构造要求 ， 则能够大大简化计算过程 。 因此 ， 首先要确定当 D１的取值范围为多少时可以使梯形 梁与三角形梁的频率相对误差满足精度要求 。 设误差限定值为ε 倡 ， 由公式（７）可知 ， 梯形梁的 刚度为 KL＝ KL１＋ KL２＝ Et ３ （D２－ D１） ２ ／｛１２L ３ ［D ２－３D１ ２ ＋ D ２ １ D２－ D１ ln（D ２ D１ ）］｝ ＋ ６N ５L 式中 KL为梯形梁的总刚度 ；KL１为梯形梁的弯曲 刚度 ； KL２为梯形梁的重力刚度 。 三角形梁的刚度为 KT＝ KT１＋ KT２＝ Et ３ D２ ６L ３＋ ６N ５L 式中 KT为三角形梁的总刚度 ；KT１为三角形梁的 弯曲刚度 ；KT２为三角形梁的重力刚度 。 若要求频率相对误差ε小于限定值 ， 则有 ε＝ ωL－ωT ωT ＝（KL１＋ ６N ５L ）／（KT１＋ ６N ５L ） －１ ≤ KL１ KT１ －１ ≤ε 倡 （９） 式中 ωL，ωT分别为梯形梁和三角形梁的自振角 频率 。 当悬臂梁自由端宽度增加时 ， 其刚度必然增加 ， 即刚度 KL１为 D１的单调递增函数 。 令 f （D１） ＝ KL１ KT１ ， 则 f（D１）为 D１的单调递增函数 。 不等式（９）等价于 ｛Et ３ （D２－ D１） ２ ／［１２L ３ （D ２－３D１ ２ ＋ D ２ １ D２－ D１ ln（D ２ D１ ））］／（Et ３ D２ ６L ３）｝ １ ２ ≤ １ ＋ε 倡 即 ｛（D２－ D１） ３ ／［D２（（D２－３D１）（D２－ D１）＋ ２D ２ １ln（D ２ D１ ））］｝ １ ２ ≤ １ ＋ε 倡 （１０） 令 D２ D１ ＝ x ，x ∈ ［１ ，＋ ∞ ］ ， １ ＋ε 倡 ＝ k ， 式（１０）等 价于 （x －１） ３ x［（x －３）（x －１）＋ ２ln（x）］ ≤ k（１１） 因为 x 为 D１的单调递减函数 ，f （D１）为 D１的 单调递增函数 ， 则 f（x）为 x 的单调递减函数 。 令方程式（１１）的解为 x 倡 ， 则 （x －１） ３ x［（x －３）（x －１）＋ ２ln（x）］ ＝ k（１２） 由单调性可知 ， 当 x ≥ x 倡 时 ， 不等式（１１）成立 。 化简方程式（１２）得 （k ２ －１）x ３ ＋ （３ －４k ２ ）x ２ ＋ （３k ２ －３）x＋ ２k ２ xln（x） －１ ＝ ０（１３） 若令误差限定值为工程精度 ， 即ε 倡 ＝ ５％ ， 解得 x 倡 ＝ D２ D１ ＝ ７ ． ９０７ ２ 即 D１≤ １２ ． ６５％ D２时 ， 可以保证梯形梁与三角形梁 的频率相对误差小于 ５％ 。 ２ ． ２ ． ２梯形梁的频率计算公式 由第 ２ ． ２ ． １ 节可知 ， 当 D１≤ １２ ． ６５％ D２且满足 构造要求时 ， 可使用三角形梁的频率计算公式确定 梁的参数 ， 且频率相对误差小于 ５％ 。 当上述公式 不能满足要求时 ， 则需要使用梯形梁频率的精确公 式确定梁的参数 ， 即 ４π ２ f ２ ML ３ ＋ ６N ５ L ２ ＋ Et ３ （D２－ D１） ２ ／ ｛１２［D ２－３D１ ２ ＋ D ２ １ D２－ D１ ln（D ２ D１ ）］｝ ＝ ０（１４） 2 ． 3强度要求 悬臂梁所受最大应力σmax应满足σmax≤ ［σ］ ， ［σ］ 为等强度悬臂梁的容许应力 。 设悬臂板梁摆动的振 幅为 A ， 则惯性力 F＝ AM（２π f） ２ 。 TMD 在工作状 ４建筑科学与工程学报 ２０１６ 年 态下的最大应力发生在固定端 ， 其大小由质量块运 动引起的惯性力和质量块的重力共同决定 ， 即 σmax＝ FL I（L） t ２ ＋ Mg tD２ ＝ ６FL D２t ２＋ Mg tD２ ≤ ［σ］（１５） 式中 I（L）为 x ＝ L 处等强度悬臂梁的惯性矩 ， I（L）＝ １ １２ D２t ３ 。 2 ． 4构造要求 TMD 安装在结构上其梁长 L 和固定端宽度 D２受结构尺寸以及安装空间的限制 ； 自由端宽度 D１受悬挂质量单元所需要的螺栓个数 、尺寸的限 制 ； 板厚 t受到标准钢板尺寸以及施工难度的限制 。 2 ． 5参数设计方法 由方程式（１４）可知 ， 梯形梁需要同时确定的设 计参数包括梁长 L 、板的厚度 t、 固定端宽度 D１、自 由端宽度 D２四个参数 。 在满足设计要求的条件下 分别对 t ，D１，D２，L 取值 ， 求得梯形梁的频率 ， 将其 与设计频率比较 ， 小于误差的设计参数序列即可 使用 。 2 ． 6工程示例 某悬索桥的某阶人致横向振动频率 f ＝ １ ． ３９ Hz ， 欲使用板式电涡流 TMD 抑制其振动 。 此桥主 梁为边主梁 ， 是包含 ２ 道纵梁和若干横梁的梁格体 系 ， TMD 放置在两纵梁之间的梁格中 ， 受横梁间隔 尺寸限制 ， 等强度悬臂梁的固定端宽度范围为 ０ ． ４ m ≤ D２≤ ０ ． ６ m ；受施工限制 ，梁的板厚范围为 ０ ． ００６ m ≤ t≤ ０ ． ０１ m ， 梁长范围为 ０ ． ０６ m ≤ L ≤ １ ． １ m ； 等强度悬臂梁自由端需悬挂 ４００ kg 的质量块 ， 受螺丝尺寸与间距限制 ， ０ ． １ m ≤ D１≤ D２。 设悬臂 板梁摆动的振幅 A ＝ ０ ． ０６ m ， ［σ］＝ ３００ MPa 。 使用 程序计算出符合 ３ 个要求的等强度悬臂梁参数序列 并随机选取 ６ 组数据 ， 见表 １ 。 表 1设计频率 f ＝ 1 ． 39 Hz时的部分参数组合 Tab ． 1Partial Parameter Combinations when Design Frequency f ＝ 1 ． 39 Hz 序号t／mD１／mD２／mL／m １亖０ ． ００７０�． １７０种． ６００破． ７ ２亖０ ． ００７０�． ２３０种． ５７０破． ７ ３亖０ ． ００７０�． ３３０种． ５３０破． ７ ４亖０ ． ００８０�． １００种． ４１０破． ７ ５亖０ ． ００８０�． ２２０种． ６００破． ８ ６亖０ ． ００８０�． ３３０种． ５５０破． ８ 2 ． 7仿真校核 用大型仿真软件 ANSYS 进行悬臂板梁模态与 应力的仿真校核 。 梯形梁尺寸如表 １ 所示 。 梁采用 Shell６３ 壳单元 ， 质量块采用 Mass２１ 质量单元 ， 悬 臂梁固定端约束 ６ 个自由度 ， 质量单元节点与壳单 元节点采用 cp 命令进行铰接 ， 有限元建模如图 ６ 所 示 ， 有限元计算频率和应力分别如图 ７ 和图 ８ 所示 。 图 6悬臂梁的有限元模型 Fig ． 6Finite Element Model of Cantilever Beam 图 7悬臂梁模型计算频率 Fig ． 7Calculated Frequency of Cantilever Beam Model 图 8悬臂梁模型计算应力（单位 Pa） Fig ． 8Calculated Stress of Cantilever Beam Model （Unit Pa） ANSYS 的计算结果与误差如表 ２ 所示 ， 结果 表明经由 MATLAB 程序计算出的参数与有限元仿 真的结果差异很小 ， 此程序可以用于工程实际 。 3结语 （１）给出了梯形梁与三角形梁在只有自由端宽 度不相同时两者频率相对误差的计算公式 ， 并根据 此公式确定了在工程精度下可以使用三角形梁频率 公式确定梁参数时梁自由端宽度的取值范围 。 ５第 ４ 期 陈政清 ， 等 TMD 等强度悬臂梁实际应用时的频率精确分析 表 2ANSYS仿真结果 Tab ． 2ANSYS Simulation Results 序号频率／Hz最大应力／MPa频率相对误差／％ １_１ゥ． ４２２ ９２５５晻２北． ３６６ ９０６ ２_１ゥ． ４２５ １２６８晻２北． ５２５ １８０ ３_１ゥ． ４３０ ５２８４晻２北． ９１３ ６６９ ４_１ゥ． ４３０ ８２９８晻２北． ９３５ ２５２ ５_１ゥ． ４２６ ７２３１晻２北． ６４０ ２８８ ６_１ゥ． ４２８ １２４８晻２北． ７４１ ００７ （２）给出了用于实际 TMD 梯形悬臂梁的频率 精确计算公式 ， 并用 MATLAB 程序确定了梁参数 ， 对工程实际具有很好的指导意义 。 （３）研究了梯形等强度悬臂梁频率的精确计算 公式 ， 但在实际中等强度悬臂梁还有其他的变形形 式 ， 如三角形等强度悬臂梁自由端加宽为矩形形式 ， 其频率的精确计算公式和参数设计程序还有待 研究 。 （４）推导的三角形悬臂梁与梯形悬臂梁在频率 相对误差小于限定值时自由端宽度的取值范围偏保 守 ， 还可以进一步深入研究 。 参考文献 References ［１ ］ 李春祥 ， 刘艳霞 ， 王肇民 ． 质量阻尼器的发展［J］ ． 力学 进展 ， ２００３ ， ３３（２） １９４‐２０６ ． LI Chun‐xiang ，LIU Yan‐xia ，WANG Zhao‐min ．A Review on Mass Dampers ［J］ ． Advances in Mechan‐ 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