第二十二章 各种积分的联系与场论初步.doc

第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 1 各种积分间的联系 1． 应用格林公式计算下列积分 1 ，其中为椭圆，取正向； 2 ，同1； 3 ，是顶点为的三角形的边界，取正向； 4 ，为，取正向； 5 ，为矩形的边界，取正向； 6 ，其中是任意逐段光滑闭曲线． 2． 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积 1 双纽线 ； 2 笛卡儿叶形线 ； 3 ． 3． 利用高斯公式求下列积分 1 ，其中 a 为立方体的边界曲面外侧； b 为锥面，下侧． 2 ，其中是单位球面的外侧； 3 设是上半球面的上侧，求 a ， b ； 4 ，是 的外侧． 4． 用斯托克斯公式计算下列积分 1 ，其中 a 为圆周，方向是逆时针， b 为所交的椭圆，从轴正向看去，按逆时针方向； 2 ，是从经至回到的三角形； 3 ，其中 a 为与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则， b 是曲线，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则； 4 ，是，从轴正向看去圆周是逆时针方向． 5． 设为平面上封闭曲线，为平面上任意方向，证明 ， 其中是的外法线方向． 6． 设是封闭曲面，为任意固定方向，证明 ． 7． 求，为包围有界区域的光滑闭曲线，为的外法向． 8．证明高斯积分 ， 其中是平面上一单连通区域的边界，而是上一点到外某一定点的距离，是的外法线方向．又若表示上一点到内某一定点的距离，则这个积分之值等于． 9．计算高斯积分 ， 其中为简单封闭光滑曲面，为曲面上在点处的外法向，．试对下列两种情形进行讨论 1 曲面包围的区域不含点； 2 曲面包围的区域含点． 10．求证 ， 其中是包围的分片光滑封闭曲面，为的外法线方向．,．分下列两种情形精心讨论 1 中不含原点（0，0，0）； 2 中含原点（0，0，0）时，令 ， 其中是以原点为心，以为半径的球． 11．利用高斯公式变换以下积分 1 ； 2 ， 其中，，是曲面的外法线方向余弦． 12．设是具有二阶连续偏导数的函数，并设 ． 证明 1 ； 2 ； 3 ． 其中为闭曲线所围的平面区域，为沿外法线的方向导数． 13．设是的边界曲面，证明 1 ； 2 ． 式中在及其边界曲面上有连续的二阶偏导数，为沿曲面的外法线的方向导数． 14．计算下列曲面积分 1 ，其中是 下侧； 2 是立体的边界面，而立体由和三坐标面围成； 3 ，其中是的外法向，为 上侧； 4 是 后侧． 15．证明由曲面所包围的体积等于 ， 式中，，为曲面的外法线的方向余弦． 16．若是平面上的闭曲线，它所包围区域的面积为，求 ， 其中依正向进行． 17．设有连续偏导数，且对任意光滑闭曲面，有 ． 证明． 18．设在全平面上有连续偏导数，而且以任意点为中心，以任意正数为半径的上半圆 ，恒有 ， 求证． 2 积分与路径无关 1． 验证下列积分与路径无关，并求它们的值 1 ； 2 沿在右半平面的路径； 3 沿不通过原点的路径； 4 ，式中是连续函数； 5 ，其中，为连续函数； 6 ； 7 ； 8 ，其中，在球面上． 2．求下列全微分的原函数 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ． 3．函数应满足什么条件才能使微分式是全微分． 4．验证 适合条件，其中，，为常数，． 求奇点的循环常数． 5．求，其中是不经过原点的简单闭曲线，取正向． 设围成的区域为． 1 不包含原点； 2 包含原点在其内部． 6．求 ， 其中是不经过和点的简单闭曲线． 7．设在单连通区域上有二阶连续偏导数，证明在内有 的充要条件是对内任一简单光滑闭曲线，都有 ， 其中为沿外法线的方向导数． 8．计算积分 ， 其中是从点到的一条不通过原点的光滑曲线，它的方程是 ． 9．计算积分 ， 其中是被积函数的定义域内从点至的逐段光滑曲线． 3 场论初步 1．求在点0,0,0,1,1,1,-1,-1,-1的梯度，并求梯度为零的点． 2．计算下列向量场的散度和旋度 1 ； 2 ； 3 ． 3．证明是有势场并求势函数． 4．设． 1 计算，其中是螺旋线； 2 设，求； 3 在什么条件下为有势场，并求势函数． 5．设为可微函数，，求，，． 6．求向量场沿曲线的环流量 1 为平面上的圆周，，逆时针方向； 2 为平面上的圆周，，逆时针方向； 3 为平面上任一逐段光滑简单闭曲线，它围成的平面区域的面积为．证明沿的环流量为2． 4 设有一平面，取为上侧，上有一逐段光滑简单闭曲线，其方向关于为正向． 围成的平面区域的面积为，问沿的环流量是什么 7．求向量场沿曲线的环流量 1 不环绕轴； 2 环绕轴一圈； 3 环绕轴圈． 8．设向量场在除原点0,0,0外有连续的偏导数，在球面上的长度保持一固定值，的方向与矢径相同，而且的散度恒为零，证明此向量场为（是常数）． 9．设有一数量场，除0,0,0点外有连续偏导数，其等值面是以原点为中心的球面．又数量场的梯度场的散度为零，证明此数量场与 仅差一个常数，其中为某固定常数． 10．设是空间开区域，在上有二阶连续偏导数．证明在内调和的充要条件是对内任意简单分片光滑曲面，都有 ．