第十二章 函数项级数.doc

第十二章 函数项级数 1 函数序列的一致收敛概念 1．讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性 ⑴ , ⑵ i ii ⑶ ⑷ i ii ⑸ i ii ⑹ ⑺ i ii iii ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ i ii 2．设在上有界，并且在上一致收敛， 求证在上一致有界. 3．设定义于，令 . 求证在上一致收敛于. 4．设在内有连续的导数，且 求证在闭区间上，一致收敛于. 5．设在上黎曼可积，定义函数序列 求证在上一致收敛于零. 6． 参数取什么值时， 在闭区间收敛在闭区间一致收敛使可在积分号下取极限 7．证明序列在闭区间上收敛，但 8．设在一致连续，且在一致收敛于. 求证在上一致连续. 9．设是上的连续函数列，且在一致收敛于； 又，满足，求证 10．设在内一致收敛于，且 . 证明和存在且相等，即 . 11．设在黎曼可积，且在一致收敛于， 证明在黎曼可积. 2 函数项级数的一致收敛性及其判别法 1．求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的） ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2．按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性 ⑴ ⑵ . 3．讨论下列函数项级数的一致收敛性 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ 4．讨论下列函数项级数的一致收敛性 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ 5．证明级数关于在上为一致收敛，但对任何并非绝对收敛；而级数虽在上绝对收敛，但并不一致收敛. 6．设每一项都是上的单调函数，如果在的端点为绝对收敛，那么这级数在上一致收敛. 7．若的一般项并且在上一致收敛，证明在上也一致收敛且绝对收敛. 3 和函数的分析性质 1． 研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ 2．求证在内连续，并有连续导函数. 3．设求证 ⑴ 在上连续； ⑵ 在内无穷次可微. 4．证明在内连续. 5．设在内一致收敛，在上连续， 求证 ⑴ 在上一致收敛； ⑵ 在上连续. 6．设级数收敛，证明 . 7． 证明 当时成立，从而证明 . 8． 用有限覆盖定理证明迪尼定理. 9．设是内的一个数列，即，且 试讨论函数 在中的连续性.