第七章 定积分.doc

第七章 定积分 1 定积分的概念 1． 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 2． 设在可积，证明在上可积，且 . 3． 设 求证. 4． 若函数在上可积，其积分是，今在内有限个点上改变的值使它成为另一函数，证明也在上可积，并且积分仍为. 2 定积分的基本性质 1． 设在连续，，不恒为零，证明 . 2． 设在连续，，证明在上恒为零. 3． 举例说明在可积，但在不可积. 4． 比较下列各对定积分的大小 1 ； 2 ； 3 . 5． 证明下列不等式（设所给的积分存在）； 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 6． 证明 1 ； 2 . 7． 设在连续，证明 ， 其中 . 8． 设在连续，且，求证 . 9． 设，求证 . 10．1设在上连续，且对上任一连续函数均有，证明. 2设在上连续，且对所有那些在上满足附加条件的连续函数，有.证明在上同样有. 11． 设在连续，求证 ， 而且等号成立当且仅当或，其中为常数。 12． 设在连续，求证 ， 而且等号成立当且仅当常数. 13． 设在连续，，求证 . 14． 设是严格单调增加的连续函数，是它的反函 数，证明 15． 用一致连续定义验证 1 在上是一致连续的； 2 在上是一致连续的； 3 在上一致连续，但在上不一致连续； 4 在上不一致连续. 3 微积分基本定理 1． 计算下列定积分 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 2． 求下列极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 3． 若连续，求 1 ； 2 ； 3 ； 4． 求下列极限 1 ； 2 ； 5． 设在连续且单调递增，求证函数 在上连续且单调递增。 4 定积分的计算 1． 计算下列定积分 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 ； 10 ； 11 ； 12 ； 13 ； 14 ； 15 ； 16 ； 17 ； 18 ； 19 ； 20 ； 2． 计算下列定积分 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 3． 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有 一个为奇函数. 4． 设在所示区间上是连续函数，证明 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5． 计算积分. 6． 利用分部积分法证明 7． 设在连续，且，求证 1 ； 2 ； 8． 设在时连续，对任意，积分值 与a无关，求证（c为常数）. 9． 设在任一有限区间上可积分，且 求证 5 定积分在物理中的应用初步 1． 有一薄版，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力. 2． 修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m，水深27m，围囹高 出水面3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。 3． 某水库的闸门是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌满时闸门所要的力。 设水的比重为1000. 4． 半径为r的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要 作多少功 5． 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1的力能使弹簧伸长1cm，问 把弹簧拉长10cm要作多少功 6． 有一长为a的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此 细棒的平均密度. 6 定积分的近似计算 1． 已知，试把积分区间分成10等分，分别用梯形公式和抛物线 公式计算的近似值，精确到小数点后三位. 2． 把积分区间10等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三 位 1 ； 2 .