第三章 极限与函数的连续性.doc

第三章 极限与函数的连续性 1 极限问题的提出 2 数列的极限 1． 用定义证明下列数列的极限为零 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 ； 10 . 2．用定义证明 1 ； 2 ； 3 ，其中 4 ，其中 3．用定义证明 1 若，则对任一正整数，有； 2 若，则.反之是否成立 3 若，且，则存在，当时，有； 4 若，且，则. 4．极限的定义改成下面形式是否可以（其中“”是逻辑符号，表示“存在”.） 1 ，，当时,有； 2 ，，当时,有； 2 ，，当时,有（为常数）. 5．若 收敛，能否断定、也收敛 6．设 ，且，求证 ，. 7．利用极限的四则运算法则求极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 8．求下列极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ，； 9 ； 10 ； 11 ； 12 . 9．证明若，中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则是发散数列；又问和是否也是发散数列为什么 10．设，证明发散. 11．若为个正数，证明 . 12．设，证明 1 ； 2 若，则. 13．利用单调有界原理，证明存在，并求出它 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 14．若 证明. 15．证明若，且，. 16．设，证明 1 ；（又问，它的逆命题成立否） 2 若，则. 17．应用上题的结果证明下列各题 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 若，则. 18．用定义证明下列数列为无穷大量 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 19．证明若为无穷大量，为有界变量，则为无穷大量. 20．1 两个无穷大量的和的极限如何试讨论各种可能性 2讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； 3讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形. 21．利用，求下列极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 3 函数的极限 1．用极限定义证明下列极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 ； 10 . 2．用极限的四则运算法则求下列极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 （为正整数）； 8 . 3．设，证明若，则，其中正整数. 4．证明若，则，但反之不真. 5．求下列函数字所示点的左右极限 1 在； 2 在； 3 在； 4 在，是正整数； 5 在. 6．求下列极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 . 7．用变量替换求下列极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 8．设在上单调上升，，若，求证 （可以为无穷）. 9．设在集合上定义，则在上无界的充要条件是存在 ，使. 10．利用重要极限求极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 ； 10 ； 11 ； 12 ； 13 ； 14 ； 15 ； 16 ； 17 ； 18 ； 19 ； 20 ； 21 ； 22 ； 23 ； 24 . 11．证明不存在 . 12．证明不存在，其中 13．求极限 . 14．用定义证明 1 若，，则； 2 若，，则. 15．若，，证明. 16．证明的充要条件是对任何数列，有 . 17．证明的充要条件是对任何数列，有 . 18．设函数在上满足方程，且，证明 . 4 函数的连续性 1． 用定义证明下列函数在定义域内连续 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 2．指出下列函数的间断点并说明其类型 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 10 11 12 3．当时下列函数无定义，试定义的值，使在连续 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 4．设是连续函数，证明对任何，函数 是连续的. 5．若在点连续，那么和是否也在点连续反之如何 6．若函数字点连续，而在点不连续，问此二函数的和、积在点是否连续又若和在点都不连续，问此二函数的和、积在点是否必不连续 7．证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0. 8．若在连续，恒正，按定义证明在连续. 9．若和都在连续，试证明和都在连续. 10．证明设为区间上单调函数，若为的间断点，则必是的第一类间断点. 11．若在,，则在中必有，使得 . 12．研究复合函数和的连续性. 设 1 ； 2 . 13．证明若在连续，且不存在，使，则在恒正或恒负. 14．设为上的递增函数，值域为，证明在上连续. 15．设在上连续，且，若，.求证 1 存在； 2 设，则； 3 如果将条件改为，则. 16．求下列极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 17．证明方程有且只有一个实根. 5 无穷小量与无穷大量的比较 1． 当时，以为标准求下列无穷小量的阶 1 ； 2 ； 3 ； 4 ; 5 ； 6 ； 7 ; 8 . 2．当时，以为标准求下列无穷大量的阶 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 . 3．当时，下列等式成立吗 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 . 4．试证下列各题 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 . 5．证明下列各式 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 . 6．运用等价无穷小量求极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 . 7．设，证明 或. 8．设时，与维等价无穷小，与是等价无穷大，且 存在，求证 .