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第 45 卷 第 1 期 煤田地质与勘探 Vol. 45 No.1 2017 年 2 月 COAL GEOLOGY 2. China United Coalbed Methane Corporation, Beijing 100011, China Abstract To study the effects of leaky aquifer on the earlier production of coalbed methane wells, the leaky aquifer model was established based on transient flow theory. The model was solved under Laplace trans, and Stehfest reverse inversion was used to obtain the real space solution, then dimensionless pressure and pressure derivative type curves were created in log-log plots with new parameters. Based on physical flow mechanism, the influence of leaky aquifer on curve shape was concluded that the radial flow would end earlier with stronger leakage coefficient. The way to obtain permeability, skin factor and leakage coefficient by typical curve match was also proposed. Typical curves are useful for uating leaky aquifer and guiding subsequent production adjustment of CBM wells. Keywords coalbed methane; ation water; leakage; analysis of well test 煤层气主要以吸附态存在于煤储层中。开采过 程中，首先对煤层进行排水降压，只有当煤层压力 降低至临界解吸压力后，甲烷才会解吸，并且从基 质孔隙扩散至裂缝网络。在美国 Powder River 盆地 的 Fort Union 组 Wyodak Anderson 煤层[1-2]、中国沁 水盆地寿阳－阳泉地区 15 号煤层等含煤地层中[3]， 除煤层裂隙系统中的水体外，煤层上部或下部地层 中还发育有含水层。虽然煤层与含水层之间发育一 定厚度的粉砂质或泥质的弱透水层，但由于弱透水 层仍然具有一定的渗透率，煤层排水期间，含水层 和煤层间的压差驱动会造成层间越流补给，气井的 产水量也随之变化， 影响煤层排水降压的顺利进行。 国内外很多学者都研究过地下储层的层间越流 现象。国外早在 20 世纪 6070 年代就有学者研究越 流条件下储层的渗流特征[4-5]。 国内贾永禄[6]1997 年就 建立了具有层间越流的双层油气藏的动态模型，随后 又建立了层间越流的双层双孔隙模型，双层三孔隙模 型，以及三层封闭模型[7-9]。孙贺东等[10]，高承泰[11] 建立了具有层间越流的无限大三层油气藏动态模型。 吴宜禄[12]分析了引起多层气藏越流的原因，并建立了 多层越流气藏的渗流数学模型。在前人所建立的各种 模型中，各层在开采中均全部射开，除层间越流外， 各层均发生水平径向渗流。但是，在对煤层进行射孔 投产时，会选择性地避免射开顶底板中的水层，所以 ChaoXing 96 煤田地质与勘探 第 45 卷 只会在煤层中产生水平径向流，因此现有的多层越流 模型不适用于煤层气井的层间越流现象分析。根据不 稳定渗流理论，可以建立考虑层间越流现象的煤层气 井的渗流模型，求得井底流压在 Laplace 空间下的解 析解。由 Stehfest 数值反演得到实空间解后，可以建 立新的典型曲线图版，根据典型曲线判断煤层在排水 期间是否存在越流补给现象，确定地层参数和越流参 数，分析越流补给的强弱。 1 物理模型 如图 1 所示，无限大地层中心一口煤层气井， 仅射开煤层进行排采。与煤层中的含水量相比，顶 底板中含水层的水体体积很大，可以视作无限大水 体[13]。 煤层与水体之间存在渗透率较低的弱透水层。 根据美国 Powder River 盆地的资料统计显示， 这类弱 透水层的垂向渗透率一般为0.3～3.0 10-5μm2，仍然 具有一定的渗透能力[1]。 图 1 煤层气井水层越流补给示意图 Fig.1 Conceptual model of leaky aquifer 根据 M S Hantush 等[14-15]对地下水越流过程的 研究，模型假设前提为各层均质、各向同性，忽 略毛管压力和重力的影响；各层均为无限大边界； 仅对煤层进行射孔，煤层中的地层水以水平径向渗 流方式流向井筒；底板中的地层水以垂向渗流方式 通过弱透水层向煤层补给，产生层间越流；不考虑 弱透水层中岩石的压缩性；由于含水层的水体体积 大，可视为煤层水的定压补给边界。 2 数学模型与求解 存在越流补给的煤层中，水渗流的基本数学方 程为[16] 2 z 2 11 3.6 ppp rrtkhr μν η ∂∂∂ ∂∂∂ 1 式中 p为压力，MPa；r为半径，m；η为导压系 数，cm2/s， t /kCηφμ；t为生产时间，h；μ为流 体黏度，mPas； z ν为弱透水层渗流速度，m/s；k为 煤层渗透率，μm2；h为煤层厚度，m；φ为孔隙度， 无因次量小数； t C为煤层综合压缩系数，m3/m3。 由于含水层视作无限大水体，含水层与弱透水 层之间的边界可处理为定压边界。含水层通过弱透 水层向煤层补给的流量为 aqv,confv,conf z conf ppkk p zh ν μμ - ∂ - ∂ 2 式中 v,conf k为弱透水层渗透率，μm2； aq p为含水层 压力，其值与原始地层压力相等，MPa； conf h为弱 透水层厚度，m。 根据越流系数的定义 v,conf conf k b h ，定义无因次越 流系数为 2 v,conf w D conf kr b khh 3 式中 b为越流系数， mD/m； D b为无因次越流系数， 无量纲； w r为井筒半径，m。 将式2代入式1， 根据无因次压力、 无因次时间 和无因次半径的定义[17]，化简得到无因次偏微分方程 2 DDD DD 2 DDD D 1ppp b p rrtr ∂∂∂ ∂∂∂ 4 初始条件 DD ,00pr； 外边界条件 DD ,0pt∞； 内边界条件 D wDD D1 DD d 1 d r pp C tr ∂ - ∂ D D wDD1 D r p ppS r ∂ - ∂ 式中 D p为无因次压力； D r为无因次半径； D t为无 因次时间； D C无因次井储系数； wD p为无因次井底 流压；S为表皮系数。上述参数均无量纲。 按 Laplace 变换的定义 D DDD 0 ed Zt pZpt ∞ - ∫ 将式4化为常微分方程 2 DD D 2 DD D 1 pp Zf Z p rrr ∂∂ ∂∂ 5 式中 （） D /f ZZbZ；Z为基于 D t的拉氏变量； D p为无因次井底压力的拉氏变换象函数。 同理，得到定解条件在 Laplace 空间的表达式 DD ,00pr 6 D , 0pZ∞ 7 D D DD 1 D 1 r p C Z p rZ ∂ - ∂ 8 D D wDD1 D d d r p ppS r - 9 ChaoXing 第 1 期 杨宇等 具有越流补给的含水煤层渗流模型求解与典型曲线 97 式5为虚宗量零阶 Bessel 方程，其 Laplace 空 间解为 D 10 D 1 1 [] pZ KZf Z Z ZCS Zf Z KZf Z - 10 由于 0 2 1 2 ln e S KZf Z S Zf Z KZf Z Zf Zγ - ≈ 式中 0 KZf Z为零阶二类修正 Bessel 函数，无 量纲； 1 KZf Z为一阶二类修正 Bessel 函数，无 量纲；γ为欧拉常数，1.781γ。 式10变形为 D 1 D 2 1 2 [ln] e S pZ Z ZC Zf Zγ - - 11 3 试井典型曲线图版制作与应用 在传统的试井分析中，根据典型曲线图版拟合 实测数据，能够确定地层渗透率、表皮系数等地层 参数；对于存在越流补给的煤层，还应该确定越流 系数，分析层间越流补给的强弱。下面分别以定产 量排水测试和定流量注水测试为研究对象，推导相 应的典型曲线。 3.1 定产量排水过程中井底压力的典型曲线 压降试井是在定产量排水过程中，测量井底流 压随时间的变化。根据文献[17]中引用的 Ramey、 Gringarten 和 Bourdet 制作图版的研究思路，建立新 的组合参数，可以推导出新的适用于定产量排水测 试分析的典型曲线。 一般情况下，测试的井底压力动态变化总要受 井筒储集效应的影响，甚至在井筒储集效应影响未 结束以前，含水层越流的作用就已经接替了续流的 影响。为避免井储效应的干扰，在测试过程中，应 该采用井下控制阀进行开井或关井[18]，井储系数很 小，可以忽略不计，即 D 0C。 令 2 e S ZZ - ＇ ，于是， 2 e S ZZ，式11简化为 2 D2 D 2 ln e e S S Zb pZ Z γ - ＇ ＇ 12 式中 Z＇ 为基于 2 De S t的拉氏变量，无量纲。 下面证明 2 D e S pZ是 D p基于 2 De S t的 Laplace 的变换结果。 因为 D DDD 0 ed Zt pZpt ∞ - ∫ 则 22 D ee22 DDD 0 eede SS ZtSS pZpt -∞ - ∫ 2 De 2 DD 0 ede S Z tS pt ∞ - ∫ 13 式12最终可写成 2 D D 2 ln e S Zb pZ Z γ - ＇ ＇ ＇ 14 利用 Stehfest 数值反演计算实空间解 2 DD e S pt，基 本公式为[19] 2 DDD 2 1 D ln2 e e N S ii S i ptV pZ t ＇ ∑ 15 其中， 2 D ln2 e i S Zi t ＇ 16 Min, 2 2 2 1 [] 2 2 1 12 2 N N i N i i i K KK V N KKKiKKi ■■ ■■ ■■ - ---- ∑ 17 式中 i为自然数；N为增量的个数。 在双对数坐标系中，以 2 DD e S pt为纵坐标，以 2 De S t为横坐标，以 2 De S b - 为曲线参数，绘制一组无 因次压力典型曲线图 2， 每一条典型曲线对应一个 2 De S b - 值。可以看出 D p越小，井底流动压力越大。 表明层间越流现象会增大井底压力， 影响甲烷解吸。 可以根据典型曲线的特征定性判断测试过程中是否 存在水层的越流补给。 图2 存在层间越流时无因次压力的典型曲线图版 Fig.2 Typical curves of dimensionless pressure of a leaky aquifer when there is interaquifer flow 同理，在双对数坐标系中，根据无因次压力导 数的定义 D D 2 D d de S p p t ＇计算出 D p＇ ，以 2 DD e S t p＇ 为纵 坐标，以 2 De S t为横坐标，以 2 De S b - 为曲线参数，绘 制一组压力导数的典型曲线图 3， 每一条典型曲线 对应一个 2 De S b - 值。 ChaoXing 98 煤田地质与勘探 第 45 卷 图3 存在层间越流时无因次压力导数的典型曲线图版 Fig.3 Typical curves of dimensionless pressure derivative when there is interaquifer flow 从图 3 中可以看出没有层间越流发生，即 2 De 0 S b - 时，模型中只有径向渗流，井底压力的导 数曲线为一条水平线，符合 Gringarten 和 Bourdet 等人的研究认识。 根据 D b的定义， 无因次越流系数 D b综合考虑了 弱透水层的厚度 conf h和垂向渗透率 v,conf k对地层水 越流的影响。从地下流体的渗流规律来看当弱透 水层的厚度 conf h越小，或弱透水层的垂向渗透率 v,conf k越大， 弱透水层对地层水垂向流动的阻隔作用 越弱，地层水越流对煤层渗流的影响也越强。从图 2 和图 3 中可见 D b值越大即 2 De S b - 越大，煤层水 渗流受越流的影响越早，煤层径向流阶段结束的时 间越早。 在煤层的实际排水生产中，也证实了当煤层顶 底板围岩的渗透率高、越流影响较强时，煤层气只 能在井筒附近小范围内产生解吸，表现为供气能力 不足[20]。 根据无因次压力的定义 D 3 1.842 10 kh pp q Bμ - Δ 18 式中 q为日产水量，m3/d；B为水的体积系数， m3/m3；pΔ为生产压差，MPa， iwf pppΔ -； i p为 原始地层压力，MPa； wf p为井底流压，MPa。 以下采用图 2 和图 3 所示的典型曲线图版求取 各地层参数。 3.1.1 利用典型曲线图版拟合地层参数 首先将现场得到的实际测试数据进行处理。在 与典型曲线图版尺寸相同的双对数坐标上，以实测 压差 iwf pppΔ -为纵坐标，以实际排水时间t为横 坐标绘制曲线，然后与图 2 中的典型曲线图版进行 拟合。 通过压力拟合值，可求得渗透率 3 D 1.842 10 pq B k hp μ - Δ 拟合 19 通过时间拟合值，可求得表皮系数 22 t wDe 1 ln[] 23.6 S C rt S kt φμ 拟合 20 通过曲线拟合值，可求得越流系数 2 D 22 w e e S S bkh b r - - 拟合 21 3.1.2 利用压力导数的典型曲线图版拟合地层参数 同理，在与压力导数典型曲线图版尺寸相同的 双对数坐标上，以实测压差的导数 p p t Δ Δ ＇Δ Δ 与时 间t的乘积p t＇Δ为纵坐标， 以实际排水时间t为横 坐标绘制曲线，然后与解释图版进行拟合。 通过压力导数拟合值，可求得渗透率 23 D De 1.842 10 S p tq B k hp t μ - ■■＇ ■■ ＇Δ ■■ ■■拟合 22 式中 D p＇ 为无因次压力导数，无量纲； p＇ Δ为生产 压差导数。 通过时间值拟合，可求得表皮系数，其计算公 式与式20相同；通过曲线值拟合，可求得越流系 数，其计算公式与式21相同。 3.2 定产量注水测试过程中井底压力的曲型曲线 由于排水测试过程中，井底压力可能会降到临 界解吸压力下，造成气水两相渗流，对试井解释造 成干扰。为了避免两相流的形成，可以采用定流量 注水的方式，对煤层进行测试。注水过程中，井底 压力增加值 3 wfiDD 1.842 10 q B ptppt kh μ - Δ- 23 将压差变换为 wfi pppΔ -， 则可直接利用图 2 和图 3 的典型曲线图版，通过式19式22进行拟 合，确定各参数，分析越流对气井生产造成的影响。 4 结 论 a. 建立了煤层气井层间越流的数学模型。在井 底开关井条件下， 利用 Laplace 变换及 Stehfest 反演 得到了数学模型的实空间解。 b. 分别以定产量排水或注水为前提条件，建立 了新的组合参数，在双对数坐标下分别绘制了 2 DD e S pt与 2 De S t，以及 22 DD ee SS D tpt＇与 2 De S t的 典型曲线，可以判定测试过程中是否存在水层的越 流补给。根据典型曲线的特征可发现越流系数越 大，越流补给的时间越早，井底压力越大。 c. 通过拟合图版，可以确定煤层渗透率、表皮 ChaoXing 第 1 期 杨宇等 具有越流补给的含水煤层渗流模型求解与典型曲线 99 系数、越流系数，有助于定量评价越流补给的强弱， 判断含水层对煤层排采的影响，并及时合理地调整 后续排采制度。 参考文献 [1] ONSAGER P R， COX D O. 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