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第 34 卷 第 2 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.34 No.2 2012 年 .2 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Feb. 2012 底面为曲面基础地基极限承载力上限解 韩长玉，夏小和，王建华 上海交通大学土木工程系，上海 200240 摘 要为了解决曲面基础作用于土体的极限承载力问题，改进了 Prandtl 机构和 Hill 机构，利用极限分析理论，得到 了底面为曲面基础地基极限承载力的上限解；通过两者的比较，以及与底面为平面基础地基极限承载力的比较，所得 的上限解大于处于地基表面的平面基础地基极限承载力的上限解，小于埋深为基础宽度一半的平面基础地基极限承载 力的上限解，研究结果可供地基承载力设计及计算参考。 关键词极限承载力；上限解；曲面基础 中图分类号TU47 文献标识码A 文章编号1000–4548201202–0230–07 作者简介韩长玉1979– ，男，河南开封人，博士研究生，主要从事工程力学、岩土工程等方面的研究。E-mail hanyu02。 Upper bound solutions of ultimate bearing capacity of curved footing HAN Chang-yu, XIA Xiao-he, WANG Jian-hua Department of Civil Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China Abstract The bearing capacity of curved footing over foundation soil is considered. In order to solve the ultimate bearing capacity of curved footing on the soil, the Prandtl and the Hill mechanisms are improved. The kinematic approach of the limit analysis is used to calculate the average limit pressure under footings. Using the limit analysis s, the upper bound solutions of the ultimate bearing capacity are obtained. By comparison, the solutions are greater than those of the ultimate bearing capacity of the plane footing and less than those of the ultimate bearing capacity of the plane footing with which the buried depth is half the width. The analytical solutions can be used for calculation of curved footing. Key words ultimate bearing capacity; upper bound solution; curved footing 0 引 言 地基极限承载力决定了基础与土体的稳定性，人 们通过理论分析、数值模拟和试验等方法，己经对其 进行了长期的研究。Prandtl[1]根据极限平衡理论，求 得了软黏性土地基的极限承载力。Terzaghi[2]根据 Prandtl 理论，提出了考虑土体重量的地基极限承载力 公式。Meyerhof[3-4]考虑了上覆土的抗剪强度，对 Terzaghi 极限承载力公式进行了修正，并且根据极限 平衡理论，进一步发展了具有楔形端和圆锥形端基础 的极限承载力的理论。武科等[5]利用有限元软件，研 究了桶形基础承载力的特性。Zhao 等[6]应用滑移线理 论，研究了环形基础的极限承载力。Kuo 等[7]应用极 限分析有限元法获得多层黏性土上刚性基础的地基承 载力上下限值；徐干成等[8]利用塑性极限分析法上限 定理，结合变分方法分析了土体非均质和各向异性参 数对承载力的影响。Al-Shamrani[9]分别构建了与光滑 和粗糙条形基础对应的 5 个三角形刚性块和 6 个三角 形刚性块破坏机制来求解地基承载力问题。 Yang 等[10] 基于极限分析上限法， 通过构建网格状刚性滑块体系， 借助非线性优化程序求解均质地基的极限承载力，得 到较理想的解答。与已有研究成果的对比分析表明， 该方法是现有各种上限破坏机制中的一种更优机构， 因而能够获得更为接近真解的上限解答。黄茂松等[11] 采用三角形多块体破坏机制，研究了非均质和各向异 性对粗糙条形基础黏土地基承载力的影响，研究表明 该上限解为目前同类方法的较优解答。张其一等[12] 都以极限分析理论为基础，建立了不同地基基础破坏 模式，推导了不同基础形式的极限承载力公式。本文 是在前人研究的基础上，应用极限分析上限解理论， 讨论了底面为曲面基础的地基承载力的上限解。 1 极限分析的上限解定理及破坏机构 在极限分析理论中，如果假设机构满足速度边界 ─────── 基金项目国家自然科学基金项目（41172251） 收稿日期2010–11–15 第 2 期 韩长玉，等. 底面为曲面基础地基极限承载力上限解 231 条件及应变与速度相容条件的变形模式，根据外功率 等于所消耗的内功率而得到的荷载，不会小于实际破 坏的荷载，从而求出的荷载为上限解。 如果所假设的相容塑性变形机构满足位移边界条 件 p 0 i u ，由外力作的功率等于内部耗损功率，则虚 功方程可表示为 T pp dd iiii AV TuAFuV pp d ijij v v ， 1 式中， p i u 是机构允许的塑性速率场， p ij 是机构允许 的虚塑性应变率场， * p ij 是与 * p ij 对应的应力场， i T和 i F分别是边界力和体力场。假设土体服从库仑屈服准 则，即 tanc ， 2 式中，为剪应力，c为黏聚力，为压应力，为 土的内摩擦角。相关流动法则为 max min 1sin 1sin ， 3 式中， max ， min 平面流动主塑性应变率。与运动许 可速度场相关联的塑流所消耗的能量，可以根据库仑 材料的相关流动法则算出，即 Dc ， 4 式中，D为单位体积的能量耗损率，为剪切应变。 土体的破坏机构形式假设有很多种，经实践证明 比较合理且应用较多的假设是 Prandtl 机构和 Hill 机 构。 2 利用 Prandtl 机构求解曲面基础地基 承载力上限解 如图 1 所示的机构图，此机构图是由基础底面为 平面的 Prandtl 机构演变而来的， 底面为圆柱曲面的基 础，在力F的作用下，压入力学性质服从库仑材料 （c-土体）的地基内，考虑土体重量、地基表面 均匀荷载q作用，假设土体均匀，利用内部能量耗损 率等于外功率的关系， 可以求得此机构的极限承载力。 图 1 基于 Prandtl 机构的承载力计算和速度关系图 Fig. 1 Calculation of bearing capacity based on Prandtl mechanism and velocity diagram 由于该图对称于基础轴线，故只需讨论左边的塑 性流动区。塑性流动被限制在速度间断线AUCSJE以 上的区域， 该机构是由刚性曲边三角形DCH和AUD， 中心角分别为 π/4/2和 π/4/2的对数螺线受 剪区UCS和ASJ， 底角为π/4/2的等边三角形AJE 组成的。 由于破坏线CSJE以下的土体保持静止不动， 故CSJE是一条速度间断线，因而这条线上各点的速 度与该线成一角度。利用库仑材料相关流动法则， 可以分别求出UCS和ASJ内以及UC，CJ，JE上的能 量损耗。 设底面为曲面基础的宽度为b，利用图 1 的几何 关系，图中各条线的长度均可由b表示 π |||| tan 284 π || tan 242 ππ || [tantan] 28442 ， ， 。 b AUDU b DC b UC 5 设曲面基础向下的速度为 F v，由速度相容条件， 如图 1 所示，可以分别求出 0 v， 1 v和 2 v。 0 π tan 42 1 πtan 2 2 1π sec 242 1π sece 242 1π sece 242 F F F vv vv vv ， ， 。 6 在静止土体与 CSJE 线以上运动土体之间的间断 面上， 对数螺线受剪区 UCS 和 ASJ 内以及 UC 上均有 能量耗损。 此机构左半部分总的内部能量耗损率为 0 ππ [tantan]coscot 28442 cbv Q π tan 42 π cottanecoscot 84 3π tan 42 ππ tane[tan 8484 πtan π tan]e 42 。 7 左半部分表面荷载q所作的外功率为 q W ππ tantan 2 242 0 ππ sin etane 4284 qbv πtan 2 ππ [tantan]e 8442 。 8 土体的重度为， 左半部分重力所作的外功率W 为 232 岩 土 工 程 学 报 2012 年 2 0 π1πππ cos[tantan] 242242844 v b W π2 3tan 0 42 2 ππ [esin3tancos] 819tan4242 v b π2 tan 20 42 2 ππ [tantan]e1 8442819tan v b π 3tan 42 πππ [3tansinsin]etan 424284 2 π2 tan 0 42 πππ [tantan]ecoscos 844284 v b ππ tantan 242 πππ etane[tantan] 2848442 2 πtan 2 e 。 9 极限荷载F所作的外功率的一半为 F W 1 2 F F v 。 10 使总的内部能量耗损率与基础极限荷载F所做 的外功率相等 Q F W q W W ， 11 可以得到 F cq cbNqbN 2 1 2 b N 。 12 所以底面为曲面基础地基极限承载力的上限解 u p为 u p cq cNqN 1 2 bN 。 13 式中， u p为地基极限承载力（kPa） ，c为土体黏聚力 （kPa） ，为土体内摩擦角，q为表面荷载（kN/m2） ， 为土体重度（kN/m3） ，b为基础底面的宽度（m） 。 承载力系数 c N， q N，N分别由下式确定 1πππ sec [tantan] 2428442 c N π tan 42 π [coscot ]cottane[cos 84 3π tan 42 ππ cot ]tane[coscot ][tan 848 πtan π tan]e} 442 ， πtan 2 2 ππ secsin e 4242 q N ππ tantan 422 πππ tane[tantan]e 848442 ， 2 1πππ1 [tantan] 242844419tan N π 3tan 42 π sec[e 42 ππ sin3tancos] 4242 π [tan 84 2 2 π1π tan]sec 42419tan42 π 3tan 42 ππ 1 [3tansinsin]e 4242 π tan 2 42 πππ {tan[tantan]e} 848442 ππ tantan 422 1ππ ecostane{tan 44284 ππ tantan 2 422 ππ e[tantan]e} 8442 。 3 利用 Hill 机构求解曲面基础地基承 载力上限解 如图2所示，底面为曲面基础，在力F作用下， 压入力学性质服从库仑材料（c-土体）的土体内， 失稳滑动模型服从Hill机构模式，同时考虑土体重量 、表面均匀荷载q作用。 图 2 基于 Hill 机构的承载力计算和速度关系图 Fig. 2 Calculation of bearing capacity based on Hill mechanism .and velocity diagram 由于该图对称于基础轴线，故只需讨论机构的左 半部分。 塑流被限制在速度间断线QRSJE以上的区域， 该机构是由刚性曲边三角形DRQ和AUD， 中心角分别 为π/4/2和π/4/2的对数螺线受剪区URS和 ASJ，底角为π/4/2的等腰三角形AJE组成的。由 于破坏线QRSJE以下的土体保持静止不动，故QRSJE 是一条速度间断线，因而这条线上各点的速度与该线 成一角度。利用库仑材料相关流动法则，可以分别 求出URS和ASJ内以及QR，EJ上的能量损耗。 基础宽度为b，利用图2的几何关系，图中各条 线的长度均可由b表示 第 2 期 韩长玉，等. 底面为曲面基础地基极限承载力上限解 233 π |||| tan 284 π || tan 242 1π ||sec [1cos] 242 ， ， 。 b AUDU b DC QRb 14 基础向下的速度为 F v，由速度相容条件（图2） ， 可以分别求出 0 v， 1 v和 2 v 0 π tan 42 1 πtan 2 2 π sec 42 π sece 42 π sece 42 F F F vv vv vv ， ， 。 15 在静止土体与 QRSJE 线以上运动土体之间的间 断面上， 对数螺线受剪区URS和ASJ内均有能量耗损。 此机构左半部分总的内部能量耗损率为 0 ππ cot {tan [1cos]tan 24284 cbv Q ππ tansec [1cos] 4242 π tan 42 ππ tane1sin tan 8484 3π tan 42 π esec 1sin [costan 84 πtan ππ costan1cos]e} 4242 。 16 左半部分表面荷载 q 所作的外功率为 ππ tantan 2 242 0 ππ sin e{tane 4284 q Wqbv ππ sec [costancostan1 8442 πtan 2 π cos]e} 42 。 17 土体重度为， 左半部分重力所作的外功率W为 2 0 π1πππ costantan 442242844 v b W π2 3tan 20 42 2 1π sec [1cos][e 242819tan v b 2 πππ sin3tancos] sec[costan 424284 π2 tan 20 42 2 ππ costan1cos]e 4242819tan v b π 3tan 42 πππ 1 [3tansinsin]etan 42428 πππ sec [costancostan1cos 484424 2 ππ2 tantan 0 422 ππ ]ecoscosetan 284284 v b π tan 42 ππ esec [costancostan 8442 2 πtan 2 π 1cos]e 42 。 18 极限荷载 F 所做的外功率的一半为 F W 1 2 F F v 。 19 使总的内部能量耗损率与外功率相等 Q F W q W W ， 20 可以得到 F cq cbNqbN 2 1 2 b N 。 21 所以底面为曲面基础地基极限承载力的上限解 u p 为 u p cq cNqN 1 2 bN 。 22 承载力系数 c N ， q N ，N分别由下式确定 cotππ tan [1cos]tan π 4284 cos 42 c N π tan 42 π 1cos ππ 42 tantane1 42cos84 π sin tan 84 3π tan 42 π e1sin [tan 84 πtan π 1cos π 42 tan]e 42cos ， ππ tantan 2 242 2ππ sin etan e π 4284 cos 42 q N πtan 2 π 1cos ππ 42 [tantan]e 8442cos ， 2 π [1cos] 1πππ 42 tantan 2428442cos N π 3tan 42 2 1π [esin3tan π 42 219tancos 42 2 π 1cos πππ 42 cos] [tantan] 428442cos 2 1 π 219tancos 42 π 1 [3tansin 42 234 岩 土 工 程 学 报 2012 年 π 3tan 42 πππ sin]etan[tan 428484 2 ππ tantan 4242 π 1cos π 42 tan]ee 42cos ππ tantan 242 1πππ costanetane[tan 2428484 π tan 42 2 πtan 2 π 1cos 42 ]e cos 。 4 结果比较 4.1 底面为曲面基础两种地基极限承载力解的比较 表 1 给出了底面为曲面基础地基极限承载力系数 c N与内摩擦角的对应关系。 从表 1 中可以看出， 地基 极限承载力系数 c N随着内摩擦角的增加而增加； 利用 Prandtl 机构求解的地基极限承载力系数 c N，始终小 于利用 Hill 机构求解的地基极限承载力系数。由极限 分析上限定理知道，上限解越小越接近准确解，说明 利用 Prandtl 机构求解的地基极限承载力系数 c N更接 近于真实地基极限承载力系数。 表 2 给出了底面为曲面基础地基极限承载力系数 q N与内摩擦角的对应关系。 从表 2 中可以看出， 地基 极限承载力系数 q N是内摩擦角的增函数；利用 Hill 机构求解的地基极限承载力系数 q N始终大于利用 Prandtl 机构求解的地基极限承载力系数，说明利用 Prandtl 机构求解的地基极限承载力系数 q N更接近于 真实地基极限承载力系数。 表 3 给出了底面为曲面基础地基极限承载力系数 N与内摩擦角的对应关系。从表 3 中我们可以看出， N随着内摩擦角的增加而增加；当小于 38.5时， 利用 Prandtl 机构求解的地基极限承载力系数N小于 利用 Hill 机构求解的地基极限承载力系数；当大于 38.5时，利用 Hill 机构求解的地基极限承载力系数 N小于利用 Prandtl 机构求解的地基极限承载力系 数。说明当小于 38.5时，利用 Prandtl 机构求解的 地基极限承载力系数N更接近于真实地基极限承载 力系数，当大于 38.5时，利用 Hill 机构求解的地 基极限承载力系数N更接近于真实地基极限承载力 系数。 4.2 与底面为平面基础地基极限承载力的比较 底面为平面基础的地基极限承载力为 u p cq cNqN 1 2 bN 。 23 承载力系数 c N， q N，N分别由以下式子确定 c N 2πtan π cot [tan e1] 42 ， q N 2 π tan 4 πtan e 2 ， 3π tan 2 2 1ππ3sin tan[tan e1] 4424218sin N 3π tan 2 πcot {[tan]e 423 cotπ tan 34 1} 2 。 基础底面为平面，埋深为基础宽度一半的地基极 限承载力的上限解为 u p cq cNqN 1 2 bN 。 24 承载力系数 c N， q N，N，分别由下式确定 ππ1 cot [tancos secπ 424242 c N πtan e1] ， ππ tantan 2 22 π1 tan ee 422 q N ， 1π1ππ tanseccsctan sin 2422424 N πtan 2 πsecπ sinetan 242219tan42 3πtan 2 πππ sec {[3tancossin]e 424242 π 3tancos 4 2 πtan 2 π1 sin}cote 424 ， tan π tan 2 1 2e1 π tan 42 。 图3为 c N的计算结果曲线图，从图3中可以看 出， c N随着内摩擦角的变化呈递增关系；上面曲线 是埋深为b/2底面为平面基础的地基承载力系数 c N 曲线， 中间曲线为底面为曲面基础的地基承载力系数 c N曲线，下面是底面为平面基础的地基承载力系数 曲线。 表 1 地基承载力系数 c N随的变化 Table 1 Variation of c N with / 5 10 15 20 25 30 35 40 Prandtl 机构 7.391 9.428 12.287 16.437 22.711 32.667 49.433 79.833 Hill 机构 10.704 13.693 17.840 23.783 32.638 46.470 69.368 110.129 第 2 期 韩长玉，等. 底面为曲面基础地基极限承载力上限解 235 表 2 地基承载力系数 q N随的变化 Table 2 Variation of q N with / 5 10 15 20 25 30 35 40 Prandtl 机构 1.954 2.983 4.625 7.326 11.944 20.223 35.984 68.366 Hill 机构 3.218 4.813 7.306 11.321 18.038 29.823 51.764 95.835 表 3 地基承载力系数N随的变化 Table 3 Variation of N with / 5 10 15 20 25 30 35 40 Prandtl 机构 1.484 2.612 4.711 8.754 16.873 34.114 73.575 173.290 Hill 机构 2.150 3.549 6.039 10.627 19.431 37.295 76.344 170.493 如图4所示， 为 q N的计算结果曲线图， 从图中我 们可以看出， 地基极限承载力系数 q N随着内摩擦角的 变化而变化，呈非线性增加关系；中间曲线为底面为 曲面基础的地基承载力系数 q N曲线，上面是埋深为 b/2底面为平面基础的地基承载力系数曲线，其下面 是底面为平面基础的地基承载力系数曲线。 图 3 地基承载力系数 c N随内摩擦角变化曲线 Fig. 3 Relationship between c N and 图 4 地基承载力系数 q N随内摩擦角变化曲线 Fig. 4 Relationship between q N and 图5为N的计算结果曲线图， 从图5中可以看出， N随着内摩擦角的增加而增加； 底面为平面基础的地 基承载力系数N曲线处于最下面，上面是埋深为b/2 底面为平面基础的地基承载力系数曲线，底面为曲面 基础的地基承载力系数曲线处于中间位置。 图 5 地基承载力系数N随内摩擦角变化曲线 Fig. 5 Relationship between N and 5 结 论 本文研究了底面为曲面基础的地基极限承载力， 通过改进Prandtl机构和Hill机构模型， 计算各部分的 内耗能、重力功率和荷载功率，由机构的内、外能量 率相等，得到了底面为曲面基础的地基极限承载力的 上限解。得出如下3点结论。 （1）由改进的Prandtl机构和Hill机构得到了底 面为曲面基础的地基极限承载力的上限解，承载力系 数 c N， q N，N随着内摩擦角的增加而增加，由改进 的Prandtl机构得到的上限解小于由改进的Hill机构得 到的上限解， 说明由改进的Prandtl机构得到的上限解 更接近真实解。 （2） 通过与底面为平面基础地基承载力系数 c N， q N，N的比较，底面为曲面基础的地基承载力，大 于在地基表面的底面为平面基础的地基承载力，小于 埋深为基础宽度一半的底面为平面基础的地基承载 力。 （3）底面为曲面基础的地基极限承载力的上限 解，大于或等于真实解，但是与工程计算中用底面为 平面基础的地基承载力系数，代替底面为曲面基础的 地基承载力系数相比较，所得的分析结果更接近实际 236 岩 土 工 程 学 报 2012 年 情况。 参考文献 [1] PRANDTL L. 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