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第 34 卷 第 1 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.34 No.1 2012 年 .1 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Jan. 2012 基于非侵入式随机有限元法的地下洞室可靠度分析 李典庆 1，2，蒋水华1，2，周创兵1，2 （1. 武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北 武汉 430072；2. 武汉大学水工岩石力学教育部重点实验室，湖北 武汉 430072） 摘 要提出了地下洞室变形可靠度分析的非侵入式随机有限元法。介绍了随机多项式展开的基本原理，采用 GEOSLOPE 的 SIGMA/W 模块进行确定性有限元分析。 提出了随机多项式展开与 SIGMA/W 模块接口方法及其流程图， 从而实现了确定性有限元分析和随机分析一体化。最后研究了非侵入式随机有限元法在地下洞室变形可靠度分析中的 应用。结果表明非侵入式随机有限元法使得随机分析与确定性有限元分析互不耦合，其计算效率是传统的蒙特卡罗 模拟方法无可比拟的，它是地下洞室变形可靠度问题分析一种有效的方法。采用二次衬砌支护是提高地下洞室可靠度 有效的方法。此外，岩体变形模量的变异性对地下洞室变形可靠度有非常明显的影响，而岩体重度的变异性对可靠度 基本上没有影响。因此，在地质勘查中要尽可能准确地确定岩体的变形模量，从而有效地提高地下洞室变形可靠度。 关键词地下洞室；变形；非侵入式随机有限元法；随机多项式展开；可靠度 中图分类号TU452 文献标识码A 文章编号1000–4548201201–0123–07 作者简介李典庆1975– ，男，教授，博士生导师，主要从事岩土工程可靠度与风险调控方面的研究。E-mail dianqing。 Reliability analysis of underground rock caverns using non-intrusive stochastic finite element LI Dian-qing1, 2, JIANG Shui-hua1, 2, ZHOU Chuang-bing1, 2 1. State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University, Wuhan 430072, China; 2. Key Laboratory of Rock Mechanics in Hydraulic Structural Engineering Wuhan University, Ministry of Education, Wuhan 430072, China Abstract A non-intrusive finite element for the reliability analysis of deation for underground rock caverns is proposed. First, the polynomial chaos expansion is introduced. The software SIGMA/W is selected to per the deterministic FEM analysis. Thereafter, a procedure for the interface between stochastic analysis module and software SIGMA/W is presented, and a flowchart is provided as well. The non-intrusive finite element means there is no need for user-intervention during the calculation of the deterministic finite element code while the normal stochastic finite element s always do. This is of practical advantage that realistic probabilistic analyses become possible for the practitioners. The computational efficiency of the proposed is significantly higher than that of the traditional Monte Carlo simulation. It can serve as an alternate for the reliability analysis of complex geotechnical problems. The liner supporting can improve the reliability of the underground rock caverns effectively. The sensitivity results indicate that the elastic modulus is the most significant random variable, whereas the unit weight almost has no influence on the reliability results. Therefore, to improve the reliability of the underground rock caverns effectively, a detailed geological investigation should be conducted to reduce the uncertainty in the elastic modulus of rock mass. Key words underground cavern; deation; non-intrusive stochastic finite element ; polynomial chaos expansion; reliability 0 引 言 岩土工程中存在的大量不确定性越来越受到岩 土工程师的重视，如美国国家科学研究委员会[1]在 2006 年发布的关于地质和岩土工程新千年的机遇与 挑战报告中明确指出“岩土工程设计应该采用可靠 度方法来定量地考虑不确定性对岩土工程决策的影 响”。而可靠度方法为定量考虑岩土工程中的不确定 性提供了一种定量分析的手段。地下工程由于其隐蔽 性强，不确定性更大。因此亟需采用可靠度理论来评 ─────── 基金项目国家自然科学基金项目（51028901） ；国家重点基础研究发 展计划 973 项目（2010CB732005） 收稿日期2011–03–28 124 岩 土 工 程 学 报 2012 年 价地下工程的安全性。 目前地下洞室可靠度分析方面的文献较多，如 Goh 等[2]将神经网络方法与 PLAXIS 有限元软件结合 分析了隧道结构可靠度。Mollon 等[3]将响应面方法与 Flac3D 软件结合分析了均质土层中圆形隧道的稳定 可靠度。Phoon 等[4]在考虑土体空间变异性基础上， 将蒙特卡洛模拟（MCS）与 GEOSLOPE 软件中的 SIGMA/W 模块[5]结合分析了隧道开挖引起土层表面 沉降问题。陈建康等[6]采用响应面法研究了映秀湾水 电站地下厂房洞室可靠度。苏永华等[7]采用响应面法 研究了隧道围岩稳定可靠度问题。尽管上述方法在岩 土工程可靠度分析中得到了一定的应用，但仍然存在 不足。如神经网络方法存在收敛速度慢、易陷入局部 极值等缺点。响应面法对于非线性程度较高的地下工 程可靠度问题需要多轮迭代，计算量较大。MCS 一般 需要 104次以上的有限元分析，这是完全不可行的。 近年来，非侵入式随机有限元法在结构工程可靠度分 析中日益受到重视[8-10]。其基本思想是有限元分析和 随机分析分开独立进行，互不耦合。确定性有限元分 析只需借用现有的商业有限元软件如 GEOSLOPE、 Flac3D、ANSYS；随机分析则采用随机多项式展开去 近似有限元分析中的输出响应量与输入量之间的隐式 函数关系，从而得到等效的、具有显式表达的输出响 应量与输入量间的函数关系。然后建立相应的显式表 达的极限状态方程，而显式表达的极限状态方程可靠 度分析是比较容易的，最简单的方法就是采用 MCS 方法。可见非侵入式随机有限元法将确定性有限元程 序代码作为黑箱直接调用， 无需修改现有有限元代码， 这种方法可以利用现有有限元分析程序。如 Ghiocel 和 Ghanem[8]利用非侵入式随机有限元方法分析了地 震条件下土基与建筑物间的相互作用。Berveiller 等[9] 将非侵入式随机有限元方法应用到断裂力学问题中， 并对核电厂中因受热和机械周期而导致管道产生裂缝 进行了可靠度分析。Swagato 等[10]将非侵入式随机伽 辽金方法应用于考虑输入参数和边界条件随机性的超 弹性黏塑性大变形问题。 本文提出了地下洞室变形可靠度分析的非侵入 式随机有限元法。首先介绍了非侵入式随机有限元法 的基本原理，采用 GEOSLOPE 软件中 SIGMA/W 模 块进行确定性有限元分析，随机分析通过随机多项式 展开结合 MCS 来实现。在此基础上，给出了随机多 项式展开与 SIGMA/W 模块接口流程图，并编写了基 于 MATLAB 语言的接口程序。最后采用算例证明了 所提方法的有效性。 1 非侵入式随机有限元法 1.1 随机多项式展开 随机多项式最早追溯到数学家 Wiener 对布朗运 动的研究，他在对布朗运动的随机过程的理论研究中 提出了齐次随机函数（Homogeneous chaos） 。根据 Wiener 对齐次随机函数的定义，它是正交 Hermite 多 项式函数的集合，而随机多项式（Polynomial chaos） 则是齐次随机函数集合中的元素。设{Hnx, n0, 1, 2, }是 Hermite 多项式函数组成的集合， 则齐次随机 函数所组成的集合可表示为{ 1 n ii i f H x   , n0, 1, 2, }。根据Cameron-Martin定理[11]在L2（R，） 空间中对于任意一个函数fx∈L2（R，），存在一 个Fourier-Hermite展开使得 0 nn n f xf Hx    ， 1 式中，fn为系数，其计算公式为 d , nnn ff xxxf x Hx       ， 2 fn即为fx在Hnx上的投影。 由上面分析知对于任意来自L2（R，）的函数 皆可由Hermite多项式函数来近似。当式（1）中x为 独立标准正态变量U时，可得任意随机输出响应量Y 可采用如下的Hermite随机多项式展开（Polynomial Chaos Expansion, PCE）来表示[12-14] 1 111 212 112 12 1 2 3123 123 0012 111 3 111 , ,, i iii iii iii ii i i iiii iii YaaUaU U aU UU           112 1 212 123 , , 1111 ,,, n nn n iii i iiniii iiii aU UU        ， 3 式中， 0 a， 1i a， 1 2 i i a均为待定系数，UU1，U2，， Un为独立标准正态变量的随机向量，n为标准正态随 机变量的个数， 12 n niii UUU，， ，为n阶Hermite 多项式，其计算公式[12]为 TT 12 12 11 22 ,,, 1 e n n n U UU U n niii iii U UUe UUU       。 4 根据式 （1） 可得输出随机响应在随机空间自由度 为 M 时，p 阶 PCE 的项数（即待定系数的个数）Nc 的计算公式为[12] c Mp N M p   。 5 当随机多项式展开确定后，下一步就是确定 PCE 中的待定系数。本文采用基于线性无关原则的概率配 第 1 期 李典庆，等. 基于非侵入式随机有限元法的地下洞室可靠度分析 125 点法[14]求解待定系数，该方法最大的特点在于所选配 点的个数只需要等于待定系数个数就能得到满意的结 果。当待定系数确定后，显式表达的函数式（3）就确 定了，此时就可以采用如下步骤计算 Y 的统计特征参 数①模拟 N 组服从独立标准正态分布的输入随机向 量 U；②将 U 通过 Nataf 变换映射到原始相关非正态 空间的输入随机向量 X；③将 U 代入式（3）计算输 出响应量 Y；④最后采用式（6）～（10）计算输出响 应量的统计特征参数以及输出响应量与输入变量间相 关系数。 均值 1 1 1 1 N xi i N yi i x N y N                ， ； 6 标准差 2 1 2 1 1 1 1 1 N xix i N yiy i x N y N                  ， ； 7 偏度 3 3 1 1 N yiy i y y N      ； 8 峰度 4 4 1 1 N yiy i y y N      ； 9 相关系数 , 1 1 N y xixiy i xy ρxy N       。 10 1.2 PCE与SIGMA/W模块的接口实现 为了实现随机分析和确定性有限元分析一体化， 本文编写了 PCE 与 SIGMA/W 模块接口程序， 接口程 序流程图如图 1 所示，其主要内容包括以下步骤 （ 1 ） 首 先 将 各 随 机 变 量 取 其 均 值 ， 在 GEOSLOPE-SIGMA/W 模块中建立所研究问题的确 定性 FEM 模型，结构有限元离散，划分单元网格， 边界条件，初始条件，荷载的施加，整体分析与求解， 验证模型的正确性，最后将已建立好的 FEM 模型文 件另存为扩展名为 xml 的接口源文件。 （2） 在随机分析中输入随机变量统计参数及相关 系数矩阵， 基于线性无关原则在独立标准正态空间 （U 空间）中选取 Nc组的概率配点，再通过 Nataf 变换得 到原始空间 （X 空间） 的配点， 将 X 空间配点作为 FEM 模型的输入参数，用这些输入参数分别代替相应的材 料和边界条件等参数，修改 xml 接口源文件，从而得 到经修改之后的 Nc个新的 xml 模型输入文件。 （3） 利用批处理软件 WinbatchTM直接在 SIGMA/ W 模块中对这些新的输入模型文件进行有限元分析， 求解之后得到相应的计算结果文件，再通过随机分析 的后处理模块从中提取所需要的输出响应量，计算 Hermite 多项式展开的待定系数，即可得到输出响应 量的近似函数表达式，进而建立显式表达的极限状态 方程。 （4）基于显式表达的极限状态方程采用 MCS 方 法计算失效概率及可靠指标，同时还可计算输出响应 量的统计特征参数以及输出响应量与输入变量间的相 关性。需要指出的是，此时 MCS 只需要对等效的显 式表达的极限状态方程进行模拟，并不需要调用确定 性有限元分析程序，从而大大地减少了计算量，使得 复杂问题的随机分析成为可能。 图 1 PCE 与 SIGMA/W 接口实现流程图 Fig. 1 Flowchart of interface between PCE and SIGMA/W model 2 算 例 本文以重庆市某软岩中开挖的地下洞室[15]为例进 行分析，其形状为常见的直墙拱形，地面建筑基础为 条形基础，计算模型如图 2 所示，图中 H 为覆盖层的 厚度，L 为洞室跨度，f 为洞室矢高，h 为洞室直墙高 度，B 为地表荷载作用宽度（基础宽度） ，H1为岩石 地基的厚度，荷载偏心率 ee0/L，即地表荷载中心与 洞室中心的距离与洞跨之比，本算例中取 e0。相关 参数取值 地面建筑基底压力 p 为 300 kPa， 地面荷载 为满载作用，洞室跨度 L10 m，洞高 h0.5L，覆跨 126 岩 土 工 程 学 报 2012 年 比H/L0.5，矢跨比f /L 0.3，分别考虑有无二 次衬砌支护的两种工况。模拟的二次衬砌弹性模量为 100000 kN/m2，惯性矩 I 1 m4，面积 A1 m2。 图 2 计算模型图 Fig. 2 Model of underground cavern considered 地基岩体采用弹塑性本构模型，根据文献[16]将 地基岩体泊松比取为 0.30；将重度、变形模量 E、黏 聚力 c、 内摩擦角视为随机变量， 其统计参数见表 1。 首先取随机变量均值在 SIGMA/W 模块中建立有限元 模型，图 3 为地下洞室及岩石地基的变形云图，从图 中可以直接查看每一个单元结点和高斯区域的变形等 信息。当没有二次衬砌支护时，确定性有限元分析得 到洞室拱顶的下沉量为 9.09 mm；当有二次衬砌支护 时，确定性有限元分析得到洞室拱顶的下沉量为 7.78 mm，可见进行二次衬砌支护处理后，拱顶下沉量得 到了明显地减小。 图 3 地下洞室变形云图 Fig. 3 Deation contour of underground cavern 表 1 随机变量的统计参数 Table 1 Statistical parameters of basic random variables 随机 变量 岩体重度 /kNm -3 变形模量 E/kNm -2 黏聚力 c/kPa 内摩擦角 / 均值 25 1500000 500 38 标准差 2.5 225000 75 3.8 分布类型 极值 I 型 正态 对数正态 正态 在地下洞室设计中，目前主要考虑地下洞室所处 环境的围岩类别、埋深等因素，根据地层特征理论曲 线，采用最大允许变形值作为围岩稳定和支护设计的 依据[7, 17-18]，以地下洞室变形超过现行规范规定的允 许变形值作为安全控制指标，相应的功能函数为 max , , , , , , GE cZE c 。 11 式中 max 为地下洞室拱顶的最大允许变形值；Z ， E，c，为在地面荷载 p 作用下由SIGMA/W模块计 算的拱顶下沉量。文献[7，15，18]对 max 取值进行了 系统地研究，苏永华等[7]给出了法国、前苏联、日本 和中国铁路针对隧道设计与施工提出的 max 值控制标 准，并对最大允许变形值进行了统计分析。根据文献 [15]，为偏安全考虑，取 max 15 mm。 采用所提出的非侵入式随机有限元法可得2～5 阶PCE计算的功能函数累积分布函数和概率密度函 数曲线（见图4，5） 。由图4（a） ，图5（a）可以看 出，随着PCE阶数的增加，两种工况下2～4阶PCE 计算的CDF曲线逐渐向5阶CDF曲线逼近，2阶PCE 的CDF曲线与5阶CDF曲线差别较明显， 但4阶CDF 曲线与5阶CDF曲线几乎重合，根据文献[19]中PCE 收敛性判别方法，可知4阶PCE已经收敛，可视为精 确解。由图4（b） ，图5（b）可以看出，2阶PCE的 PDF曲线与其它阶PCE的PDF曲线差别较大，而且 PDF曲线在左边有段很长的尾巴，说明功能函数概率 分布的偏度为负值。 由于功能函数的CDF曲线能直接 反映失效概率的大小，以4阶PCE为例，没有二次衬 砌支护时地下洞室变形超过允许变形值的概率为 4.610 -3，有二次衬砌支护时为 6.710 -4，失效概率相 差近一个数量级，因此可见，采用二次衬砌支护是提 高地下洞室可靠度有效的方法。基于图4（a） ，图5 （a）结果可以方便地计算出失效概率及其可靠指标， 两种工况下4阶PCE计算的可靠指标分别为2.607和 3.207，与5阶PCE可靠指标2.608和3.195相比，其 相对误差仅为0和0.4。如果将5阶PCE结果视为 精确解，4阶PCE精度完全满足要求，而且只需进行 70次确定性有限元分析。对于上述问题，如果采用传 统的MCS方法计算，则至少需要进行21739次（无 支护）及149253次（有支护）确定性有限元分析，这 对于大型复杂有限元分析问题来说几乎不可能。可见 PCE方法的计算效率远远高于传统的MCS方法。 第 1 期 李典庆，等. 基于非侵入式随机有限元法的地下洞室可靠度分析 127 图 4 没有二次衬砌支护时功能函数累积分布函数和概率密度 函数曲线的比较 Fig. 4 Comparison among results obtained from different-order PCEs for underground cavern without liner supporting 为了反映不同阶次PCE对输出响应量统计矩的 影响，表2给出了拱顶下沉量前4阶矩的统计参数。 此外，为了反映输入随机变量对拱顶下沉量的影响程 度，二者间的相关系数也列在表2中。可以看出，基 于线性无关原则概率配点的PCE精度随着阶数的增 加而增加，而且收敛较快，这进一步证明了PCE具有 良好的收敛性。此外，2～5阶PCE计算的拱顶下沉 量的均值、标准差、及相关系数基本上是一样的，但 是拱顶下沉量的偏度和峰度值存在明显的差别，尤其 是峰度值差别非常明显， 如将5阶PCE的峰度视为精 确解，无支护时2阶PCE的峰度相对误差高达34。 正态分布变量的偏度和峰度值分别为0和3，由表中 结果可以看出，无论有无二次衬砌支护，拱顶下沉量 的偏度和峰度值都与0和3差别较大，可见拱顶下沉 量不服从正态分布，其PDF曲线在右边有较长的尾 巴，而且较正态分布要陡。由无支护时4阶PCE相关 系数结果可以看出，拱顶下沉量与岩体变形模量间存 在很强的负相关关系，相关系数高达-0.963，而拱顶 下沉量与岩体黏聚力和内摩擦角间相关程度非常低， 相关系数分别为-0.004和0.003。拱顶下沉量与岩体 重度间存在较弱的正相关关系。可见，岩体变形模量 是影响地下洞室变形最敏感的变量，变形模量越大， 拱顶下沉量越小。相比之下，岩体的黏聚力和内摩擦 角对地下洞室变形几乎没有影响。因此，为了有效地 减小地下洞室围岩变形，地下洞室最好在岩体完整、 岩性坚硬致密的硬岩中开挖。 图 5 有二次衬砌支护时功能函数累积分布函数和概率密度函 .曲线的比较 Fig. 5 Comparison among results obtained from different-order PCEs for underground cavern with liner supporting 表 2 2～5 阶随机多项式展开计算的拱顶下沉量的统计特征参数 Table 2 Statistics of crown settlement of underground cavern obtained from 2nd～5th order PCEs 没有二次衬砌支护 有二次衬砌支护 参数 阶数 2 阶 3 阶 4 阶 5 阶 2 阶 3 阶 4 阶 5 阶 均值 9.300 9.287 9.301 9.301 8.031 8.014 8.051 8.053 标准差 1.502 1.524 1.523 1.524 1.291 1.290 1.298 1.302 偏度 0.864 1.060 1.112 1.131 0.820 1.024 1.071 1.096 峰度 4.047 5.264 5.818 6.108 3.984 5.124 5.555 5.818 G 0.133 0.134 0.135 0.135 0.015 0.017 0.017 0.019 GE -0.969 -0.963 -0.963 -0.963 -0.944 -0.957 -0.949 -0.948 Gc -0.004 -0.004 -0.004 -0.004 -0.097 -0.135 -0.128 -0.117 相关 系数 G 0.003 0.003 0.003 0.002 -0.087 -0.049 -0.118 -0.111 128 岩 土 工 程 学 报 2012 年 为了考虑岩体变形模量和重度的变异性对拱顶下 沉量的影响，图6（a）给出了COV及 COV0.10，0.15，0.20时拱顶下沉量PDF曲线，图 6（b）给出了COV及COV0.05，0.10，0.15 时拱顶下沉量PDF曲线。可以看出，岩体变形模量的 变异性对拱顶下沉量PDF曲线有非常明显的影响， 随 着变形模量变异系数的增大，PDF曲线由接近于正态 分布变为明显的非正态分布，相应的失效概率变化也 较大，如COV0.10时的失效概率为3.010 -5； COV0.20时的失效概率为2.610 -2。相比之下，岩 体重度的变异性对拱顶下沉量PDF曲线几乎没有影 响， 相应的失效概率基本保持不变， 如当COV0.05， 0.10，0.15时，失效概率分别为4.210 -3，4.310-3， 4.410 -3。 这意味着在地质勘查中准确地确定岩体变形 模量参数是提高地下洞室可靠度的有效方法。 图 6 拱顶下沉量概率密度函数曲线的比较 Fig. 6 Comparison among PDF curves of crown settlement of underground cavern 3 结 论 （1） 提出了地下洞室随机分析的非侵入式随机有 限元法，给出了随机多项式和SIGMA/W模块接口流 程图，并编写了相应的接口程序，从而实现了确定性 有限元分析和随机分析的一体化。探讨了非侵入式随 机有限元法在地下洞室可靠度分析中应用，结果表明 该方法能够有效地分析地下洞室可靠度问题。 （2） 非侵入式随机有限元法的计算效率是传统的 蒙特卡罗模拟方法无可比拟的，它为解决复杂的岩土 工程可靠度问题提供了一种有效的手段。如对于本文 算例来说， 只需进行70次确定性有限元分析的非侵入 式随机有限元法的精度就能满足要求，而传统的蒙特 卡罗模拟方法则需要数万次甚至十万次以上确定性有 限元分析。此外，非侵入式随机有限元法的计算精度 随着随机多项式阶数的增加而增加，并且可以根据自 身收敛性判别方法确定最优阶数的随机多项式。 （3） 岩体变形模量对拱顶下沉量有着非常重要的 影响，而岩体重度、黏聚力和内摩擦角对拱顶下沉量 影响较小，尤其是黏聚力和内摩擦角几乎对拱顶下沉 量没有影响。 因此， 为了有效地减小地下洞室的变形， 地下洞室最好在岩体完整、岩性坚硬致密的硬岩中开 挖。此外，采用二次衬砌支护也是提高地下洞室可靠 度有效的方法。 （4） 敏感性分析结果表明岩体变形模量的变异性 对地下洞室可靠度有非常明显的影响，如变形模量变 异系数增加0.1，相应的失效概率增大近3个数量级； 相反，岩体重度变异性基本上对地下洞室可靠度没有 影响。因此，在地质勘查中要尽可能准确地确定岩体 的变形模量，从而有效地提高地下洞室可靠度。 参考文献 [1] National Research Council. 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