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第 34 卷 第 2 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.34 No.2 2012 年 .2 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Feb. 2012 基于可靠度分析的锚杆抗拔安全系数取值标准研究 王玉杰 1，徐佳成1，汪小刚1，曾庆义2 （1. 中国水利水电科学研究院流域水循环模拟与调控重点实验室，北京 100048；2. 深圳钜联锚杆技术有限公司，广东 深圳 518034） 摘 要现行规范中关于锚杆抗拔安全设计标准，通常是从锚杆杆体的抗拉强度、注浆体与杆体的黏结强度以及注浆 体与周围岩土体的黏结强度这 3 方面来定义抗拔安全系数，并建议采用统一的取值标准。实际上由于力学机理、材料 性质等方面的不同，这 3 种定义下的安全系数取值标准应有所不同。基于这一背景，应用可靠度分析理论，探讨锚杆 抗拔在同一可靠度（失效概率）条件下，这 3 种定义的安全系数的差别，并为相关规程的修订工作中的锚杆抗拔安全 系数取值标准的确定提供科学依据。 关键词抗拔安全系数；可靠度分析；锚杆 中图分类号TU472 文献标识码A 文章编号1000–4548201202–0303–06 作者简介王玉杰1974– ，男，博士，教授级高工，从事边坡稳定、岩土工程风险分析等方面的科研与咨询工作。 E-mail wangyj。 Criteria for determining factor of safety of anchor against pull-out by using reliability analysis WANG Yu-jie1, XU Jia-cheng1, WANG Xiao-gang1, ZENG Qing-yi2 1. State Key Laboratory of Simulation and Regulation of Water Cycle in River Basin, China Institute of Water Resources and Hydropower Research, Beijing 100048, China; 2. Shenzhen Julian Anchor Technology Co., Ltd., Shenzhen 518034, China Abstract In the existing specifications and codes, the factor of safety of anchor against pull-out is generally defined by considering tensile strength of steel bar/strand, bond strength of grout and the steel bar/strand, and bond strength of grout and surrounding rock/soil. It results in three different types of factors of safety, which are being applied in practice. The current Chinas specifications and codes suggest the same allowable value for the above three different types of factors of safety. Actually, there is quite difference among them due to different pull-out failure mechanisms of tendon. In view of this limitation, the difference among them is studied and discussed under the same reliability or failure probability by using the reliability analysis, and the criteria for determining the factor of safety of anchor against pull-out are proposed. Key words factor of safety of anchor against pull-out; reliability analysis; anchor 0 引 言 锚杆加固作为一种有效的岩土体加固技术，现已 在工程抗滑、抗倾和抗浮等工程问题的处理上得到广 泛的应用[1-3]。为保证锚杆的工程质量，众多国家和专 业学会分别推出了各自的规范规程[4-6]。 中国也先后出 台了锚杆喷射混凝土支护技术规范 、 水电水利工 程预应力锚索施工规范和岩土锚杆（索）技术规 程等国家和行业标准[7-9]。 在锚杆抗拔安全设计中，目前国内外大多还是采 用单一安全系数法。该方法定义明确，计算简单，但 难以很好地考虑到结构设计中的各种不确定性因素， 且参数值的选取受人为主观因素的影响较大，容易导 致工程安全系数偏低或盲目保守[10]。在现行的规范 中，锚杆的抗拔安全性主要从锚杆杆体的抗拉强度、 注浆体与杆体的黏结强度和注浆体与土层的黏结强度 3 个方面进行评价，并采用统一的安全系数标准。由 于力学机理、材料性质和载力体所处环境的不同，从 这 3 个方面计算所得到的锚杆抗拔安全系数是否应该 采用相同的评判标准值得深入研究。 可靠度设计理论是从概率论和数理统计的角度出 发，将工程结构设计中的参数视为随机变量，考虑到了 各参数的变异性和离散性对工程安全度的影响[11-12]。 本 文将以锚杆抗拔安全系数 3 种不同安全系数出发，应 用可靠度分析理论的方法，探讨对在同一可靠度（或 失效概率） 取值条件下这 3 种不同安全系数取值标准， ─────── 基金项目“十一五” 国家科技支撑计划专题项目 （2008BAB29B01-5） ； 水利部工益性行业专项经费项目 （200801005） ； 973项目 （2011CB013502） 收稿日期2011–01–10 304 岩 土 工 程 学 报 2012 年 并为高压喷射扩大头锚杆（索）技术规程[13]修订 工作中锚杆抗拔安全系数取值标准的制定提供科学依 据。 1 可靠度分析方法和判据 1.1 功能函数及可靠度的物理意义 假设在结构状态设计时，其结构的极限状态方程 可表达为多个随机变量 12 ,,, n X XX的方程， 12 ,,,0 n Z Xg x xx ， 1 则结构的功能函数为 12 ,,, n Z Xg x xx 。 2 式（1）在几何空间上是 n 维空间坐标系 12n OX XX上的一个曲面，这个曲面即为结构的屈服 面，将 n 维空间划分成安全区和失效区两部分。引入 无量纲的标准化正态随机变量，令 1,2,, i i iX i X X Xin     。 3 把式（3）代入式（1）得 112 12 , xxx Z Xg xx 2, ,0 nn xnxx x 。 4 根据可靠指标的定义 z z     ， 5 结构的可靠指标可表示为标准正态空间 12n OX XX 中坐标原点O到极限状态曲面上的最短距离，该距离 直线段与曲面的交点 * P称为“设计验算点” ，如图1 所示（三维状态） 。 图 1 可靠指标的几何意义 Fig. 1 Physical meaning of reliability index  1.2 可靠指标的计算 如果已知功能函数 Z X的分布形式，当 Z X服 从正态分布时，可靠指标可表达为式（5） ；当 Z X 服从对数正态分布时，可靠指标的计算表达式为 2 2 ln 1 ln1 z Z Z Z V V      ， 6 式中， z V为Z的变异系数。 2 锚杆抗拔安全系数及可靠指标 2.1 抗拔安全系数的定义 在核算锚杆的抗拔安全性时，通常会从锚杆杆体 的抗拉强度、锚固体与杆体的黏结强度和锚固体与土 层的黏结强度这3个方面进行评价。因此，锚杆的抗 拔安全系数K实际上有3种定义①按锚杆杆体的抗 拉强度核算的安全系数 1 K； ②按注浆体与杆体的黏结 强度核算的安全系数 2 K； ③按注浆体与土层的黏结强 度核算的安全系数 3 K。 2.2 锚杆抗拔安全系数 1 K与可靠指标 1  根据文献[13]的规定，锚杆杆体的抗拉强度需要 满足 pts1 0fAKT ， 7 式中， pt f， s A分别为锚杆杆体的抗拉强度设计值 （kPa）和截面面积， 1 K为锚杆杆体的抗拉安全系数， T为锚杆的拉拔力设计值（kN） 。 由式（7） ，当按杆体的抗拉强度核算锚杆的抗拔 强度时的功能函数可表示为 pts Z XfAT ， 8 这里将式（8）中的 pt f和T视为随机变量，且都服从 正态分布。根据式（5） ，可得 pt pt sT 1 22 sT f f A A       。 9 同时，锚杆杆体的抗拉安全系数 1 K可表示为 spt 1 A f K T  。 10 根据建筑物结构可靠度设计统一标准[14]，材 料强度的标准值可取其概率分布的0.05分位值来确 定， 即材料的强度标准值应具有不小于95的保证率。 则本文中锚杆杆体的抗拉强度的均值为 ptpt pt/1 1.645 ff f 。 11 将式（10） 、 （11）代入式（9）可得 ptpt ptptpt 1T 1 22 1TT 1 1.645 1 1.645 ff fff K K       。12 由式（12）可见，可靠指标 1 可表示为 1 K， T ， T ， pt f 和 pt f 的函数，在T和 pt f的统计参数（均值 和标准差）已知时， 1 为 1 K 的单值函数。 将式（12）稍作变换，可得 pt ptpt T T 11 2222 sTsT 1 1.645 f ff K AA        。13 由式（13）可见，当 s A， T ， T 和 pt f 已定时， 第 2 期 王玉杰，等. 基于可靠度分析的锚杆抗拔安全系数取值标准研究 305 1 与 1 K呈一一对应关系。 2.3 锚杆抗拔安全系数 2 K与可靠指标 2  根据文献[13]中的规定，锚杆注浆体与杆体间的 黏结强度要满足 Dms2 π0LndfK T    ， 14 式中，LD为锚杆扩大头的长度， 2 K为抗拔安全系数， ms f为注浆体与杆体间的黏结强度标准值，d为杆体钢 筋或钢绞线的直径，为黏结强度降低系数，为扩 大头长度对黏结强度的影响系数，n为钢筋或钢绞线 的根数。 由式 （14） ， 当按注浆体与杆体间黏结强度核算锚 杆的抗拔强度时的功能函数为 Dms πZ XLndfT    ， 15 这里将式（15）中的 ms f和T视为随机变量，且都服 从正态分布。根据式（5） ，可得 DT 22 DT π π f f Lnd Lnd           。 16 另根据式（14） ，安全系数 2 K为 Dms 2 πLndf K T   。 17 将式（17）代入式（16） ，其它参数处理方式同 2.2节，可得 msmsms msmsmsmsms 2 2 22 2 1 1.645 1 1.645 fTf TfffT K K       。 18 如2.2节，式（16）可转换为 ms msms T T 22 2222 TT 1 1.645 f ff K        ，19 D πLnd      。 20 由式（18）、（19）可见，在T和 ms f的统计参 数已知的条件下， 2 也为 2 K的单值函数， 即在， T ， T 和 ms f 已知的条件下， 2 与 2 K呈线性关系。 2.4 锚杆抗拔安全系数 3 K与可靠指标 3  根据文献[13]中的规定，锚杆注浆体与土层间的 黏结强度要满足 uK3 0TK T ， 21 uK1dmg12Dmg22 ππTD L fD L f ， 22 式中， 1 D为非扩大头注浆体的直径， d L为非扩大头注 浆体的长度， mg1 f非扩大头注浆体与岩土体的黏结强 度系数， 2 D为扩大头注浆体的直径， D L为扩大头注 浆体的长度， mg2 f扩大头注浆体与岩土体的黏结强度 系数；其它符号的意义详见文献[13]。 根据式（21） 、 （22） ，当按注浆体与土层间黏结强 度核算锚杆的抗拔强度时功能函数为 1dmg12Dmg22 ππZ XDL fD L fT 。 23 在锚杆设计中，式（23）中的变量 1 D， d L， 2 D， D L以及 D P表达式中的，h，可以得到较精确的值， 在可靠度分析中可以作为常数来处理。这里仅考虑注 浆体与土层黏结强度的变异性对安全系数和可靠度的 影响，将 mg1 f， mg2 f和T视为随机变量，且假设都服 从正态分布，暂不考虑土层参数的变异性的影响，将 D P作为常数处理。由式（5）可得 mg1mg2 21d2DT 3 3 ππ ff D LD L     。 24 根据式（14） ，安全系数 3 K为 1dmg12Dmg22 3 ππD L fD L f K T   。 25 设 mg2mg1 / ff ，并将式（25）代入式（24）得 1T122T 33 34343 K       。 26 式（21）～（26）中， 11d2D2 π 4 D LD L， mg1mg2 22222 21D31d2DT ππ ff DDPD LD L，， 4  mg1mg2 1d2 11.64511.645 fDf D LD L 由式（26）可见当锚杆的设计参数及土层强度参 数已知的条件下， 3 也为 3 K的单值函数，二者在参数 已知条件足够的情况下呈一一对应关系。 3 算例设计及分析 为探讨锚杆抗拔安全系数与可靠指标之间的关 系，以及在不同定义方式下锚杆抗拔安全系数的差异 性，给实际工程中锚杆抗拔安全系数取值提供理论上 的支撑，本文选用了在水利工程和工民建中常用的设 计抗拔力设计值为600，1000，2000 kN级的锚杆为算 例进行可靠度分析。 3.1 基本参数 对以上3种级别的锚杆，其设计参数依据工程经 验选取，见表1。 此外，在本文中为突出主要问题、简化计算，假 设锚杆杆体的抗拉强度 pt f注浆体与杆体间的黏结强度 ms f、非扩大头锚固段注浆体与地层间的黏结强度 mg1 f、扩大头锚固段注浆体与地层间的黏结强度 mg2 f 以及锚杆的设计抗拔强度T为服从正态分布的随机变 量。 锚杆的设计抗拔强度T的变异系数定为 T  0.05。 3.2 锚杆安全系数及可靠指标的计算 （1） 定义一核算锚杆的抗拔安全系数与可靠指标 根据文献[15]，锚杆杆体抗拉强度的变异系数为 f 0.072。由式（9） 、 （10）计算所得锚杆的安全系 数 1 K和可靠指标 1 见表2。 306 岩 土 工 程 学 报 2012 年 表 1 永久性锚杆（钢绞线）设计参数 Table 1 Design parameters for permanent steel-strand anchors 锚杆抗拔力设计 值 T/kN 钻孔直径 D/mm 钢绞线根数 n 钢绞线公称直径 d/mm 钢绞线抗拉强度设 计值 pt f/kPa 钢绞线抗拉强度 均值 f /kPa 600 ≥75 4 15.2 mm 1.860106 2.109106 1000 ≥115 7 15.2 mm 1.860106 2.109106 2000 ≥140 13 15.2 mm 1.860106 2.109106 表 2 定义一下的安全系数 1 K和可靠指标 1  Table 2 Relationship between 1 K and 1  锚杆抗拔力设计值/kN 安全系数 K1 可靠指标 1  600 1.736 6.487 1000 1.823 6.842 2000 1.693 6.296 若改变表1中设计钢绞线的根数n的值， 以1000 kN级锚杆为例，安全系数 1 K与可靠指标 1 的变化如 图2所示。锚杆杆体抗拉强度的变异系数 f 取不同值 时，安全系数 1 K与可靠指标 1 的相关关系如图3所 示。根据水利水电工程结构可靠度设计统一标准 [16]的规定， 对于结构构件按照一类破坏的一级、 二级、 三级划分时，其承载能力极限状态的可靠指标分别对 应为3.7，3.2，2.7。当 1 为2.7，3.2，3.7时， 1 K为 1.112～1.171，1.154～1.260，1.197～1.363，见图3。 图 2 钢绞线根数 n 与抗拔安全系数 K1和可靠指标 1 的关系 （ T  1000 kN） Fig. 2 Diagram of number of strands n and factor of safety K1 versus reliability index 1  T  1000 kN 图 3 安全系数 K1和可靠指标 1 的相关关系 Fig. 3 Relationship between K1 and 1  （2） 定义二核算锚杆的抗拔安全系数与可靠指标 在式（16） 、 （17）中，本文取1.0，1.0； 根据施工经验，取 D L5 m；其它参数值见表1。以 1000 kN级锚杆为例， 安全系数 2 K与可靠指标 2 随钢 绞线根数n的变化如图4所示。锚杆杆体与注浆体黏 结强度的变异系数 ms f 取不同值时，安全系数 2 K与可 靠指标 2 的变化关系如图5所示。当 2 为2.7，3.2， 3.7时， 2 K的取值范围见图5和表3。 图 4 钢绞线根数 n 与安全系数 K2和可靠指标 2 的关系 （ ms f 0.3， T 1000 kN） Fig. 4 Diagram of number of strands n and factor of safety K2 versus reliability index 2  ms f 0.3， T 1000 kN 图 5 安全系数 K2和可靠指标 2 的相关关系 Fig. 5 Relationship between K2 and 2  表 3 安全系数 K2取值范围 Table 3 Range of factor of safety K2 可靠指标 2 变异系 数 ms f  安全系数 K2 K2值范围 0.1 1.171 0.2 1.470 2.7 0.3 2.671 1.1712.671 （ f  0.10.3） 0.1 1.260 0.2 1.877 3.2 0.3 12.669 1.26012.669 （ f  0.10.3） 0.1 1.363 0.2 2.596 3.7 0.3 发散 1.3632.596 （ f  0.10.2） （3） 定义三核算锚杆的抗拔安全系数与可靠指标 与前述两中定义的计算方式相同， 对式 （24） 、（25） 中的参数，依据规范规定和为简化计算起见，本文取 2 D0.6 m，h10 m，10， D P根据设计参数为 3148.47 kN。对于非扩大头注浆体与土层的黏结强度 的变异系数 mg1 f 与扩大头注浆体与土层的黏结强度的 第 2 期 王玉杰，等. 基于可靠度分析的锚杆抗拔安全系数取值标准研究 307 变异系数 mg2 f ，本文该设计算例中设 mg f  mg1 f  mg2 f  以1000 kN级锚杆为例， 安全系数 3 K与可靠指标 3 随钻孔直径d的变化如图6所示。 mg f 取不同值时， 安全系数 3 K与可靠指标 3 的变化关系如图7所示。 当 3 为2.7，3.2，3.7时， 3 K的取值范围见图7和表4。 图 6 钻孔直径 d 与安全系数 3 K和可靠指标 3 的关系 （ mg f 0.4， T 1000 kN） Fig. 6 Diagram of the diameter of bore hole d versus factor of safety K3 and reliability index 3  mg f 0.4， T 1000 kN 图 7 安全系数 3 K和可靠指标 3 关系 Fig. 7 Relationship between 3 K and 3  表 4 安全系数 3 K的取值范围 Table 4 Range of factor of safety 3 K 可靠指标3 变异系数 mg f  安全系 数 K3 K3值范围 0.1 1.108 0. 2 1.123 0.3 1.278 2.7 0.4 发散 1.1081.278 （ mg f  0.10.3） 0.1 1.137 0. 2 1.195 0.3 2.694 3.2 0.4 发散 1.1372.649 （ mg f  0.10.3） 0.1 1.17 0. 2 1.309 0.3 发散 3.7 0.4 发散 1.171.309 （ mg f  0.10.2） 3.3 计算成果分析 图2，4是1000 kN级的锚杆按定义一和定义二的 计算结果， 实际上通过对600 kN和2000 kN算例的计 算发现它们具有相同的特点①锚杆的抗拔安全系数 K和可靠指标都随着锚杆设计参数（钢绞线根数或 钢绞线总截面积）的增大而增大；②安全系数K显现 出随着设计参数增大而无限增大的趋势，而可靠指标 的增长幅度逐渐减小直至趋于一个固定值；③随着 钻孔直径的增大 （或注浆体周长的增大） ， 可靠指标 3  有明显的峰值。 从图3，5，7可见，锚杆的抗拔安全系数K和可 靠指标的相关关系对材料强度的变异系数比较敏 感。①锚杆杆体的抗拉强度变异性小，则锚杆的抗拔 安全系数K和可靠指标随着钢绞线根数n的增加二 者线性关系比较明显；②对于锚杆杆体与注浆体的黏 结强度以及注浆体与土层的黏结强度的变异性较大 时，锚杆的抗拔可靠指标的增大，所对应的安全系 数K取值范围越来越发散，如表3，4所示。 当按水利水电工程结构可靠度设计统一标 准[16]的规定取2.7，3.2和3.7时，所对应的安全系 数取值范围与材料强度的变异系数的关系如前所示。 根据工程经验及以往的相关统计资料，若取 f  0.072， ms f 0.1， mg f  mg1 f  mg2 f 0.3，从表2～5 中可得出对应于为2.7，3.2和3.7的安全系数K值 见表5。 表 5 为 2.7，3.2 和 3.7 的安全系数 K 值 Table 5 Values of factor of safety for  2.7, 3.2, 3.7 安全系数 K 可靠指标  定义一 f 0.072 定义二 ms f 0.1 定义三 mg f 0.3 2.7 1.132 1.171 1.278 3.2 1.190 1.260 2.694 3.7 1.253 1.363 ∞ 从表5可见，对于相同的可靠指标值，按3种 定义核算的锚杆抗拔安全系数K值中定义三最大、定 义二其次、定义一最小。也就是说，在这3种定义下 由于各自的材料强度的变异性不同，要达到相同的结 构可靠指标值，在锚杆的抗拔安全设计中要求K3 K2K1。 4 讨 论 在锚杆的抗拔安全设计中，以往的做法是用单一 安全系数法进行“一刀切”，即不考虑锚杆抗拔失稳 的类型，采用一样的安全系数标准。这种做法不但掩 盖了不同破坏类型的差异性，也会给工程安全控制中 带来不确定因素，增加了工程的风险。 从本文将可靠度理论引入到锚杆的抗拔安全性评 价的计算结果中来看，可靠指标值随着设计参数尺度 的增大会逐渐趋于一个稳定值或达到一个峰值后减 小，这一现象符合在结构设计中结构的安全性达到一 定程度之后，随着结构设计参数尺度的增大，结构的 安全性的增加幅度会越来越小直至不再增加，甚至减 小的规律，也能体现出结构优化设计的概念。在锚杆 的抗拔安全性设计中，需要考虑到好几方面的因素， 但显然一味的增加设计尺度的大小不可能无限的增大 308 岩 土 工 程 学 报 2012 年 锚杆抗拔的安全性，甚至有可能影响到锚杆的抗拔安 全性。本文从可靠论理论上证明了在锚杆的抗拔安全 性设计中， 按不同定义方式进行抗拔安全系数核算时， 所要求的安全系数值的大小是不一样的，这与在工程 实践中的认识也是一致的。 5 结 论 （1）锚杆的抗拔安全系数K和可靠指标都随 着锚杆设计尺度（钢绞线根数、钢绞线总截面积、钻 孔孔径、注浆体长度）的增大而增大，安全系数K显 现出随着设计尺度无限增大而无限增大的趋势，而可 靠指标的增长幅度越来越小直至稳定或减小。 （2）安全系数K与可靠指标之间在相关变量 变异系数一定的条件下存在着一一对应的关系，在锚 杆结构尺度已定的条件下，二者随着材料强度（杆体 的抗拉强度、杆体与注浆体的黏结强度和注浆体与土 层的黏结强度）的变化呈一一对应关系。 （3） 在锚杆抗拔安全系数3种不同的定义下由于 各自的材料强度的变异性不同，要达到相同的结构可 靠指标值，要求K3 K2 K1。 （4） 材料强度变异性的大小是影响锚杆安全系数 与可靠指标相互关系的主要因素，准确合理的给出材 料强度的变异系数的大小对锚杆抗拔安全可靠度分析 有重要意义。 参考文献 [1] 程良奎, 范景伦, 韩 军, 等. 岩土锚固[M]. 北京 中国建 筑工业出版社, 2003. 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