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第 34 卷 第 1 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.34 No.1 2012 年 .1 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Jan. 2012 基桩完整性检测的概率分析及质量动态评估 徐志军，郑俊杰 *，边晓亚，赵冬安 华中科技大学岩土与地下工程研究所，湖北 武汉 430074 摘 要基于概率理论，对基桩完整性检测的概率分布进行了详细的分析，分析表明抽检结果与总体不合格率和抽检 桩数有关，因此建议将总体不合格率作为评价整批桩质量的标准。利用 Bayesian 方法推导出总体不合格率的先验分布 服从标准的 Beta 分布，由共轭分布原理得出后验分布也服从 Beta 分布。然后分析了总体不合格率后验分布的期望和方 差，得出结论后验分布的期望是先验分布的期望和当前抽样检测不合格率的加权和；后验分布的方差是当前抽检不 合格率及先验分布方差的加权和。通过分析抽检桩数对加权系数和后验分布的期望和方差的影响，结果表明当抽检 桩数小于 10 时，抽检桩数对检测结果有显著影响；当抽检桩数大于 10 时，抽检桩数对抽检结果的影响变小；尤其当 抽检桩数大于 20 时，对抽检结果无显著影响。最后利用先验分布的期望和方差与后验分布的期望和方差的关系建立起 质量检测的动态评估模型。算例分析表明该动态模型可更准确地估计出总体不合格率，具有较重要的工程实际意义。 关键词基桩；不合格率；Bayesian 方法；Beta 分布；抽样检测 中图分类号TU470 文献标识码A 文章编号1000–4548201201–0151–07 作者简介徐志军1984– ，男，博士研究生，主要从事岩土工程数值计算与可靠度设计工作。E-mail zj.xu_hust。 Probabilistic analysis of integrity inspection and dynamic uation of quality for bored piles XU Zhi-jun, ZHENG Jun-jie, BIAN Xiao-ya, ZHAO Dong-an Institute of Geotechnical and Underground Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China Abstract Based on the probability theory, the probability distribution of integrity inspection for piles is analyzed, and the analysis shows that the results of sampling inspection relate to the general unqualified rate and the number of sampling inspection NSI. Therefore the general unqualified rate is suggested to be the criterion to judge the quality of all the bored piles. The prior distribution of the general qualified rate is deduced to follow the normal Beta distribution using the Bayesian , and the posterior distribution also follows the Beta distribution according to the conjugate distribution theorem. The expectation and variance of the posterior distribution are studied, consequently. A conclusion is drawn that the posterior expectation is the weighted sum of the current sampling unqualified rate and the prior expectation, and the posterior variance is the current sampling unqualified rate and the prior variance. It is demonstrated through the analysis of the relation between the NSI and the weighted coefficients, and the posterior expectation and variance that the results of sampling inspection are sensitive to the NSI when the NSI is less than ten, but when NSI is greater than ten, especially, greater than twenty, the results of sampling inspection are insensitive to the NSI. Finally, a dynamic uation model of the general unqualified rate is established using the relation between the prior expectation and variance and the posterior expectation and variance. The results from the numerical example indicate that the general unqualified rate can be more accurately estimated using the dynamic uation model, which is significant in engineering practice. Key words pile; unqualified rate; Bayesian ; Beta distribution; sampling inspection 0 引 言 在高层建筑和桥梁工程中，桩基础是一种广泛应 用的基础形式。但由于桩基础施工技术复杂，影响因 素较多，预制桩容易出现断桩的缺陷，灌注桩则容易 出现桩底沉渣、孔洞、缩颈、夹泥及腐蚀等多种形态 的质量缺陷。 Cameron等[1]分别抽取5000根和4550根灌 ─────── 基金项目国家自然科学基金项目（50978112） ；教育部留学回国人员 科研启动基金资助项目（20091341） ；华中科技大学博士论文创新基金 资助项目（01-09-240953） 收稿日期2010–11–19 *通讯作者 152 岩 土 工 程 学 报 2012 年 注桩的桩芯发现1.5和1.9的桩含有不同类型的缺 陷；Oneill等[2]抽取2986根灌注桩的桩芯发现20的 桩含有不同类型的缺陷。缺陷的存在会影响桩的完整 性，而桩的完整性直接影响桩的承载力[3]。Sarhan等[4] 和Iskander等[5]采用室内试验和数值模拟方法系统地 分析了桩的缺陷尺寸对桩承载力的影响，分析表明 当缺陷面积占桩的横截面积的15时，桩的承载力大 约减小10；Iskander等[6]根据静载试验的结果分析了 桩身孔洞和桩底沉渣对桩承载力的影响。 Wong[7]采用 室内离心机试验和数值模拟方法对单桩和群桩中的桩 底沉渣、短桩缺陷进行了详细的分析，数值分析采用 了FB-Pier程序[8]。因此，为了确保桩基的施工质量和 安全性，在施工完成后通常要进行桩的完整性检测。 在检测过程中，由于人为原因、检测的不确定性 以及其他因素，导致了桩的缺陷不一定全部被检测出 来。Li等[9]利用贝叶斯原理，修正了灌注桩缺陷的发 生概率和尺寸大小。Zhang等[10]给出了考虑桩底沉渣 的灌注桩可靠度分析方法。以上的研究成果都是专注 于单桩缺陷，对于某个桩基工程，怎样通过检测结果 来判断所有工程桩的质量是非常重要的。 怎么才能判断所有工程桩的质量呢最好的办法 就是将所有的工程桩全部进行检测，但是这样做既浪 费时间又浪费金钱。因此在实际工程中，将全部工程 桩进行检测一般是不可取的。针对这一问题，相关学 者和规范建议采用抽取一部分桩或百分比的形式进行 抽样检测， 并且是通过一次抽检来衡量整个工程质量。 例如Linkins[11]建议抽检桩数不能少于总桩数的30。 文献[12]规定抽检桩数不能少于总桩数的10， 并且不 能少于10根。 郑俊杰等[13]和甘幼琛[14]分析了这些建议 和规定存在的不足，例如北京首都国际机场T3航站楼 工程， 共有16000根桩， 如按现行上述规定进行基桩完 整性检测，经济效益和检测时间都是不允许的[13]。 本文基于概率理论，详细地分析了抽样检测的概 率分布，建议将总体不合格率作为整批桩质量的评价 标准，并利用Bayesian方法建立了总体不合格率的动 态评估模型，不仅充分利用了工程中的经验数据，而 且使评估结果更加接近实际值。 1 完整性检测不合格率的概率分布 在实际工程中， 对少量比例的工程桩进行抽检后， 工程师们关心的是怎样通过现场抽检结果准确地估计 出整个工程的质量[9]。 Bayesian统计将工程中的经验数 据和现场监测数据联系起来，从而达到对工程更加精 确的估计[15]。将实际工程中的基桩不合格的概率作为 一个事件，则这是一个随机事件，记为 p r 。设 p r 的先验分布为 p r， 先验分布可以根据工程数据通过 理论分析得到，因此 p R 的后验分布为 p rKL r p r ， 1 式中， K 是归一化常数， L r 是似然函数。 1.1 总体不合格率先验分布的推导 在某个桩基工程中，设总桩数为N，其中不合格 桩数为n，合格桩数为 0 n，则 0 / / 1 ， ， ， pn N pnN pp        2 式中， p 和p分别表示工程中桩的总体不合格率和总 体合格率。 （1）基桩抽样检测的统计规律分析 在基桩完整性检测过程中，随机抽取k 根进行抽 样检测，这是一个k 重伯努利试验。设检测出的不合 格桩数为一随机变量 R ，则从k 根桩中抽取l 根不合 格桩的概率抽检不合格率为 - - / 0,1,, lk lk nN nN P RlC CClk 。 3 由式（2） 、 （3）可知，抽样不合格桩的概率分布 实际上是一个与总桩数 N、总体不合格率 p、抽样不 合格桩数 l 以及抽检桩数 k 有关的函数。下面分两种 情况来讨论抽样不合格桩的概率分布。 a）假设抽检桩数 k 不变。图 1 中给出了抽检不合 格率的概率分布曲线。图 1（a） 、1（b）和 1（c）分 别表示当 p0.10，0.15，0.20 时抽样不合格率的概率 分布曲线。 由图 1 可看出， 随着抽检桩总数 N 的增加， 抽检不合格率基本上没有变化，因此抽检不合格率和 工程总桩数无关。 表 1 给出了工程总桩数分别为 100， 500 和趋向无 穷大时的抽检不合格率。由表 1 可以看出，当总桩数 第 1 期 徐志军，等. 基桩完整性检测的概率分析及质量动态评估 153 图 1 在 p 不变的条件下抽样不合格桩的概率分布k10 Fig. 1 Probabilistic distribution of unqualified piles based on invariable p k10 一定时，p 对抽检不合格率的影响很显著，随着 p 的 增大，抽检不合格率随之变小，并且变小幅度很大。 因此抽检不合格率和总体不合格率 p 有密切关系。 表 1 在 N 不变的条件下抽检不合格桩的概率分布k10 Table 1 Probabilistic distribution of unqualified piles based on .invariable N k10 总桩数 p l0 l1 l2 l3 l4 0.10 0.3305 0.40800.2015 0.05180.0076 0.15 0.1901 0.35050.2810 0.12990.0383N100 0.20 0.0095 0.26790.3182 0.20920.0841 0.10 0.3452 0.39130.1952 0.05640.0105 0.15 0.1937 0.33480.2563 0.11440.0330N500 0.20 0.1050 0.26840.3050 0.20280.0874 0.10 0.3487 0.38740.1937 0.05740.0112 0.15 0.1969 0.34740.2759 0.12980.0401N   0.20 0.1073 0.26830.3019 0.20120.0880 b） 假设总体不合格率 p 不变， 图 2 给出了 p 不变 时抽检不合格率的概率分布曲线。 在图 2（a） 、2（b）和 2（c）分别表示抽检桩数 图 2 在 k 不变的条件下抽样不合格桩的概率分布（p 10） Fig. 2 Probabilistic distribution of unqualified piles based on ..invariable k p10 k 为 10，12，15 时抽样不合格率的概率分布。由图 2 可知，分布曲线是平缓的，表明总桩数对抽检不合格 率的影响很小，因此总桩数 N 对抽样结果的影响可以 忽略不计。 表 2 给出了工程总桩数为 100， 500 和趋向无穷大 时的抽检不合格率。由表 2 可以看出，当总桩数一定 时，抽检桩数 k 增加 2 根或 3 根时，抽检不合格率变 化很显著。例如，当 N100，l0 时，k 从 10 增加到 12，抽检不合格率从 0.1808 减小到 0.1253，变化幅度 为5.55； 如果k 从10 增加到15， 变化幅度为10.98， 变化幅度很大，因此抽检桩数对抽样结果影响很大。 表 2 在 k 不变的条件下抽样不合格桩的概率分布p0.15 Table 2 Probabilistic distribution of unqualified piles based on .invariable k p0.15 总桩数kl0 l1 l2 l3 l4 100.18080.3569 0.2419 0.12970.0345 120.12530.3047 0.3128 0.17830.0625N100 150.07100.2250 0.3062 0.23630.1150 100.19380.3493 0.2489 0.12990.0391 120.13890.3020 0.2962 0.17320.0672N500 150.08410.2302 0.2895 0.22170.1157 100.19690.3474 0.2459 0.12980.0401 120.14220.3012 0.2924 0.17200.0683N   150.08740.2312 0.2856 0.21840.1156 在分析图 1，2 和表 1，2 时，没有给出当抽样不 合格桩数4l 根时的分析结果，因为当4l 时，抽检 不合格率的单位级数小于 10 -3，对其分析没有太大的 工程意义。尤其当5l 时，单位级数已经小于 10 -5， 这样的结果对工程几乎没有影响。 综上分析，抽样结果受总桩数 N 的影响不大，可 忽略不计，总体不合格率 p 和抽检桩数 k 对抽检结果 影响很大。因此，对于总桩数很大的工程，建议不一 定要严格按照规范或相关文献建议的比例抽检大量的 桩。本文建议将总体不合格率作为评价整批桩质量的 标准。 （2）总体不合格率先验分布的推导 在工程实际中，一般不对全部工程桩进行检测， 式（3）并不是严格的独立同分布，当 k（对全 部桩进行检测）时，则有 154 岩 土 工 程 学 报 2012 年 1 0,1,, llk l k P RlC pplk   。 4 根据大数定理， 式 （4） 可近似代替式 （3） 。 式 （4） 是一个与 p，k 和 l 有关的函数，不含总桩数 N 这个变 量，因此抽样结果与总桩数无关，这和前面的分析结 果相吻合。即对于总桩数很大的工程，建议不一定要 严格按照规范或相关文献建议的比例抽检大量的桩。 式（4）服从二项分布，p 是分布参数，由概率理 论可知， 二项分布中的待定参数 p 服从标准的 Beta 分 布[16]，其密度函数为 11 1 01 0 else ab ab ppp abp Rl          ，5 式中， 1 0 expd r rxxx     ，rR。 式（4）可简写为Be , a b，其中, a b是标准Beta 分布的形参数，由式（4）知p就是总体不合格率。 Beta分布的拟合精度很高[16]，且Beta分布的分布区 域是[0，1]，不合格率范围也是[0，1]，因此用Beta 分布拟合总体不合格率是合理的， 且拟合的精度很高。 Beta分布的期望和方差分别为 2 var 1 a E p ab ab p abab         ， 。 6 由式（6）可反解出两个参数， 1 1 var 1 1 1 var E p E p aE p p E p E p bE p p           ， 。 7 将式（7）代入式（5）中，可以得出总体不合格 率的先验分布的表达式。 1.2 不合格率后验分布的推导及分析 由共轭先验分布定理[17]可知， 标准的Beta分布 的后验分布也服从Beta分布，密度函数为 11 1 01 0 else a lb k l abk ppp albklp Rl             ， 8 式中， 1 0 expd r rxxx     ，rR。 所以，式（8）就是总体不合格率的后验分布， 后验分布的期望为 / al E p lpE abk     ， 9 式中， /kabk，/pl k   表示当前抽样检测 不合格率，1 。 由式（9）知，总体不合格率的后验分布的期望 是其先验分布的期望 E和当前抽样检测不合格率 p 的加权和， /kabk是先验分布的期望 E的加权系数，1/ababk 是当前 抽检不合格率的加权系数，这两个系数决定了总体 不合格率后验分布的期望，图 3 给出了两个加权系 数的分布曲线。 图 3 , 和k之间的特性曲线 Fig. 3 Characteristic curves of ,  and k 由图 3 知，总体不合格率先验分布的两个形参数 a和b确定后，总体不合格率的后验期望介于当前抽 检不合格率与先验期望之间，它偏向哪一侧由加权系 数的大小决定。抽检桩数k越小，越大，而越 小，当前抽检信息对后验分布的期望起了主导作用， 先验分布的期望的作用越来越小。反之k越大，越 小，而越大，当前抽检信息对后验分布的期望的影 响大大降低，后验分布的期望估计主要依赖于先验分 布的期望。这时工程中经验数据对不合格率分布的确 定起主导作用，并通过样本信息进行修正。从图 2 还 可看出，当抽检桩数10k时，k对总体不合格率的 分布影响很大，10k时，k对总体不合格率分布影 响曲线趋平缓，尤其20k时，抽检桩数对不合格率 分布影响变得很小，这时再增加抽检桩数意义不大。 图 4 给出了后验分布期望与抽检桩数k的关系特 征曲线。 图 4 不同的当前抽检不合格率条件下 / El的特征曲线 Fig. 4 Characteristic curves of / El based on different .sampling unqualified rates 第1期 徐志军，等. 基桩完整性检测的概率分析及质量动态评估 155 由图 4 知，当抽检桩数10k时，k对期望影响 很大，当10k时，曲线趋于平缓，期望对k越来越 不敏感，尤其当20k时，抽检桩数对先验期望基本 上没什么影响。例如，令p0.20，当k1时，期望为 35.56，当k10时，期望为27.78；减小了7.78； 当k20时， 期望为25， 减小了2.78； 当k50时， 期望为22.41，减小了2.59。可见，当抽检桩数 20k时，再增加抽检桩数对抽检的结果影响不大。 由式（8）知，后验分布的方差为 2 Var/ 1 / 1/ 1 al bkl p l abkabk E p lE p l abk       2 Var ppp， 10 式中， 22 2 11 E p abkabk       ，， 32 2 1 ababbk b abkabk     ， k abk   。 由式（10）知，总体不合格率后验分布的方差是 当前抽检不合格率的平方 2 p 、当前抽检不合格率 p 和先验分布方差Var p的加权和， 加权系数分别为 ， ，，其特征曲线见图5～7。从图5～7可以看 出，当抽检桩数10k 时，k对加权系数的影响很显 著；当10k 时，其影响程度变小；尤其当20k 后， k对加权系数基本上没什么影响。另外，当10k 时， 图 5 2 p 的加权系数曲线 Fig. 5 Weighted coefficient curve of 2 p 图 6 p 的加权系数曲线 Fig. 6 Weighted coefficient curve of p  图 7 Var 的加权系数曲线 Fig. 7 Weighted coefficient curve of Var  从图3，4还可以看出是单调递减的，是单调递增 的，单调区间的绝对值基本相同，但是 2 pp，综 合起来分析，当10k时，影响当前抽检不合格率的 加权系数是单调递增的。 由图7知， 当10k时，是 单调递减的。 因此， 总体不合格率的先验分布确定后， 抽检桩数k越大， 当前抽检不合格率的加权系数越大， 越小，抽检不合格率在后验分布的方差中占的比重 越大，先验分布的方差所起的“作用”越小，这时总 体不合格率后验分布的方差主要依赖于当前抽检信 息；反之，抽检桩数k越小，当前抽检不合格率的加 权系数越小，越大，先验分布的方差所起的“作用” 越大，当前抽检不合格率在其后验分布中占的比重就 越小，表明基桩检测工程经验数据在检测中起主导作 用。这时仅仅利用当前抽检信息不能较准确地估计出 总体不合格率的分布状态，可以通过抽检信息对基桩 不合格率的后验分布进行校正。 图8给出了抽检桩数对后验分布方差的影响曲 线。由图8知，当抽检桩数10k时，k对后验方差 的影响很明显，当10k时，曲线趋于平缓，期望对 k越来越不敏感，尤其当20k时，抽检桩数对不合 格率的影响已经很小。通过对总体不合格率后验分布 的期望和方差分析可知，不合格率应该是“动”的， 而不是“静”的，因此相关文献和规范[11-12]建议用一 次性抽检来判断整批桩质量是不科学的。 图 8 不同当前抽检不合格率条件下 / El的特征曲线 Fig. 8 Characteristic curves of / El under different sampling unqualified rates 156 岩 土 工 程 学 报 2012年 由加权系数曲线和抽检桩数对后验期望和方差影 响曲线可知，当抽检桩数10时，抽检桩数对检测结 果影响变小，尤其当抽检桩数20时，抽检桩数对抽 检的结果影响很小， 此时再增加抽检桩数的意义不大。 因此，当工程桩的总数很大时，仍按照相关文献和规 范[11-12]建议的抽检比例是不合理的，也是不经济的。 2 基桩完整性检测不合格率的动态估 计模型 在基桩完整性检测中，每次检测结果应该是“承 前启后”的，即不仅仅是对总体不合格率的更接近的 估计，又可以作为下次合格率估计的先验信息。因此 总体不合格率的估计值应该是一个 “动态变量” ， 随着 抽检次数增加，检测的结果就越接近实际值。 设初始先验分布为 00 Be,a b，由式（9） 、 （10） 可得出第i次抽检出的不合格率分布的期望和方差的 递推公式为 11 2 11 / / Var/ Var/ iiiiiii i iiiiiiii E plpE pl plpppl           ， 。11 式（11）的初始边界条件为 111110 2 1111110 / Var/ Var i E plpE p plppp         ， ，12 式中， 0 a和 0 b是先验分布的两个形参数， 11 1 ， 1  2 001100 /,/1kabkabk ， 1  23 0100 2 /1E pabkab， 22 00000000 / 1abbkbabkabk。 i1111 / Var/ /Var/ iiiiiii E plplE plpl  ，和， 分别是第i次和第1i次的基桩检测不合格率的后验 分布的期望和方差， i p 是第i次当前抽检不合格率， iiii ，， ，分别是估计的加权系数。 基桩总体不合格率的动态估计模型见图9。 图 9 基桩检测不合格率的动态估计模型 Fig. 9 Dynamic estimation model for unqualified rate of pile inspection 每次新的总体不合格率估计是在对前一次估计的 基础上，引入抽检信息进行校正得到的。加权系数 ,,,, iiiii     决定先验信息和样本信息对当前不合格 率估计的影响权重。在工程中，可以用后验分布的期 望作为总体不合格率并用方差和不合格率取值范围对 不合格率进行修正。 3 算例分析 文献[1，2]收集到3组完整性检测数据，不合格率 分别为0.015，0.019，0.20，由此构造出了一个检测 的先验分布序列，则先验样本序列的期望和方差分别 是 0 E p0.078， 0 Varp0.011。由式（7）可解出 先验分布两个参数的值为 0 a  0.423， 0 b  4.998，则 总体不合格率的先验分布为 0.5773.998 5.421 1 0.4234.998 p Rlpp    。13 桩基是隐蔽结构， 其完整性检测对保证桩基工程的 安全具有重要意义，但是当总工程桩数较多时，建议不 一定要严格按照规范或相关文献建议的比例抽检大量 的桩。文献[18]收集到某一灌注桩的现场监测数据，总 桩数297根，采用低应变反射波法随机抽检41根桩， 其中不合格桩5根。由式（8）可知，后验分布为 4.42339.998 1 46.421 1 5.42340.998 p Rlpp   。14 经过校正后的均值和方差分别是 1 / E p l0.117、 1 Var/ p l0.0025。由此可见，利用本文建立的动态 模型对不合格率的历史信息进行更新后，不合格率的 期望增大，而方差减小。方差越小，表明数据越集中， 估计出的不合格率就越接近实际值。 现再对某个灌注桩工程进行桩的完整性检测，设 抽检桩数为10根， 不合格桩数2根， 由此得出再次校 正后的分布为 6.42347.998 2 56.421 1 7.42348.998 p Rlpp   。15 则后验分布的均值和方差分别为 2 /E p l0.142 和 2 Var/p l0.0018。由此可见，第二次校正后的方 差比第一次校正后的方差变小，这就说明校正后的数 据更加集中，更加接近实际值。在工程中，可以用校 正后的期望作为灌注桩总体不合格率，并用方差和不 合格率取值范围对不合格率进行修正。 4 结 论 （1） 抽样检测结果与总体不合格率和抽检桩数有 关，因此建议将总体不合格率作为评价桩基质量的标 准。 （2）当抽检桩数小于10根时，抽检桩数对检测 结果有显著影响， 当抽检桩数大于10根后， 抽检桩数 第1期 徐志军，等. 基桩完整性检测的概率分析及质量动态评估 157 对抽检结果的影响变小， 当抽检桩数大于20根时， 抽 检桩数对抽检结果无显著影响。因此，对于总桩数很 大的工程，建议不一定要严格按照规范推荐的比例抽 检大量的桩。 （3） 基桩不合格率动态估计模型将灌注桩的工程 经验数据和当前基桩抽检信息进行了融合，充分利用 了基桩的所有信息，提高了对基桩检测评估的精度。 （4） 利用动态估计模型可以较准确地估计出基桩 的不合格率， 对基桩的不合格率进行接近实际的估计， 解决了由于基桩检测样本过小而导致的基桩的质量状 况无法在短时期内进行有效评价的问题，提高了经济 效益，具有较重要的工程实际意义。 本文提出的总体不合格率以及对抽检桩数的分析仅 供参考，理论分析只作为抛砖引玉。另外，本文建议的 参数只是为了说明方法的运用而已，希望能引起相关部 门或研究机构的管理者和学者的重视，并进行深入的 研究， 以促使基桩完整性检测与评估更加科学和合理。 参考文献 [1] CAMERON G, CHAPMAN T. 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