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建筑结构学报Journal of Building Structures 第 33 卷 第 4 期 2012 年 4 月 Vol. 33No. 4Apr． 2012 020 文章编号 1000-6869 2012 04-0154-04 轴对称受荷弹性圆板下横观各向同性多层地基分析 艾智勇 1，成怡冲2 1． 同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092; 2． 同济大学 教育部岩土及地下工程重点实验室，上海 200092 摘要 将地基视为多层横观各向同性体， 基于弹性圆板与地基的竖向位移协调条件与光滑接触条件， 结合多层横观各向同 性地基应力与位移的传递矩阵解， 推导出多层横观各向同性地基上轴对称受荷弹性圆板问题的解析解。编制了相应的计 算程序， 并对数值计算结果进行了对比分析。结果表明 圆板刚度的增大有助于减小板底位移和沿深度竖向应力; 地基横 观各向同性性质对板底位移及板中心下沿深度竖向应力影响显著。 关键词 多层地基;横观各向同性;弹性圆板;解析解 中图分类号 TU433文献标志码 A Analysis of transversely isotropic layered soils beneath axisymmetrically loaded elastic circular plate AI Zhiyong1，CHENG Yichong2 1． Department of Geotechnical Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China; 2． Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of China Ministry of Education， Tongji University，Shanghai 200092，China Abstract Based on the continuity of vertical displacements and the smooth contact conditions between the layered soils and the elastic circular plate，and combining with the transfer matrix solutions for displacements and stresses of transversely isotropic layered soils，the analytical solution of the elastic circular plate on transversely isotropic layered soils can be obtained． Numerical calculation and analysis were carried out by a computer program． The numerical results show that the increase of the rigidity of the elastic circular plate can contribute to the decrease of the displacements beneath the plate and normal stresses along depth;the transversely isotropy of the soil has remarkable influence on the deflection of the circular plate and the normal stresses under the center of the circular plate． Keywordslayered soils;transversely isotropy;elastic circular plate;analytical solution 基金项目 国家自然科学基金项目 50578121 。 作者简介 艾智勇 1966 ， 男， 江西余江人， 工学博士， 教授。E- mail zhiyongai tongji. edu. cn 收稿日期 2010 年 11 月 451 0引言 文克尔模型和均匀各向同性半空间模型是目前 弹性地基与基础板相互作用研究中较多采用的地基 模型 ［1 ］。然而， 实际天然土往往沉积而成， 呈现显著 的成层性和横观各向同性性质， 具体表现为 各层内 土的性质比较均匀， 而各层之间差别较大; 土体水平 方向和竖直方向的性质 变形模量、 泊松比和剪切模 量等 存在差异， 例如水平变形模量通常大于竖向变 形模量， 而在水平面内却往往各向同性。显然， 采用 横观各向同性多层地基模型来分析地基与基础结构 的共同作用问题更接近工程实际， 但目前相关研究 很少。文献［ 2］研究了弹性圆板与正交各项异性介 质相互作用的数值解; 文献［ 3］ 运用传递矩阵法分析 了中心荷载作用下对称刚性板下横观各向同性地基 的沉降及反力。鉴于目前对相关问题的解析解还鲜 有研究， 本文在文献［ 4］ 研究结果基础上， 对文献［ 5］ 中的分析方法进行拓展， 推导轴对称受荷弹性圆板 下横观各向同性多层地基的解析解， 编制相应的程 序， 分析地基的横观各向同性性质以及圆板的刚度 等因素对板底位移及板中心下竖向应力的影响。 1轴对称受荷弹性圆板下多层地基 解析解 横观各向同性多层地基上承受轴对称荷载作用 的弹性圆板如图 1 所示。横观各向同性材料的参数 有 竖向弹性模量 Ev， 水平向弹性模量 Eh， 竖向剪切 模量 Gv， 水平向应力引起的竖向应变泊松比 ν hv， 竖 向应力引起的水平向应变泊松比 νvh，水平向应力引 起的正交水平向应变的泊松比 νh。 根据 Maxwell 功能 互等定理 Ehνvh Evνhv ， ν vh和 νhv可选其一。 多层地基上作用任意轴对称荷载时， 第 i 层土深 度 z 处的应力与位移为 ［4-6 ］ 珚 G ξ， z B珚G ξ， Hn 1 式中珚G ξ， z ［ 珔u ξ， z ， 珔 w ξ， z ， 珋τrz ξ， z ， 珚σz ξ， z ］ T; 定义Φβ ξ， z为 4 4 的传递矩阵， 下标 β 表示矩阵 元素需通过对应土层的参数关系式 β 2 0、 β 2 ＞0 和 β 2 ＜0 三种情况来确定 ［4 ］， 则 B Φβ ξ， z － Hi Φβ ξ，－ ΔHi1 Φβ ξ， － ΔHn ， 为计算深度至 底层各层传递矩阵的乘积， 其中 ξ 为 Hankel 变换参 数， Hi为地基表面至第 i 层土底面的距离， 而 ΔH i为 第 i 层土的厚度; 珔u ξ， z 、珔w ξ， z 、 珔τrz ξ， z和 珚σz ξ， z分别代表 1 阶 Hankel 变换后的径向位移 u r， z ， 0 阶 Hankel 变换后的竖向位移 w r， z ， 1 阶 Hankel 变换后的剪应力 τrz r， z和 0 阶 Hankel 变换后的竖 图 1横观各向同性多层地基上轴对称受荷弹性圆板 Fig． 1Axisymmetrical elastic circular plate on transversely isotropic layered soils 向应力 σz r， z 。 对式 1 中的珚G ξ， Hn ，若仅考虑地基表面受 力情况， 则可由式 2 确定。 珚 G ξ， 0 f珚G ξ， Hn 2 式中 fΦβ ξ， － ΔH1Φβ ξ， －ΔH2 Φ β ξ， － ΔHn 。 若假设地基底面固定， 则有 珔u ξ， Hn 珔w ξ， Hn 0 3 经典薄板理论 ［1， 7 ］中圆形薄板轴对称弯曲时的 挠度方程为 D Δ 4w r p r－ q r 4 式中 D 为板的抗弯刚度， D Eph3 12 1 － ν 2 p ， 其中 Ep、 νp、 h 分别为圆板弹性模量、 泊松比、 厚度; Δ 2 为 Laplace 算子， Δ 2  2 r 2 1 r   r ， Δ 4 Δ 22; w r为板的挠度;p r为圆板上作用的轴对称荷 载; q r为圆板底面地基反力。 假设弹性圆板与地基变形协调且表面光滑接 触， 可得 τrz r， 0 0 σz r， 0 － q r { 5 式 3 、 式 4 和式 5 经 Hankel 变换后代入式 2 ， 得 珔u ξ 珋p ξ－ 珋q ξ Dξ 4 0 － 珋q ξ               f 0 0 珔τrz ξ， Hn 珚σz ξ， Hn             6 式中珋p ξ 、珋q ξ分别为 p r 、 q r相对应的 0 阶 Hankel 变换。 551 文献［ 5］ 通过式 6 中矩阵 f 求逆得到 珋p ξ与 珋q ξ之间的关系。对于横观各向同性地基， 考虑矩 阵求逆在数值计算中通常难以得到稳定的结果， 因 此， 本文直接由式 6 推导得到 珔τrz ξ， Hn 珚σz ξ， Hn {} F 0 － 珋p ξ MDξ 4         1 7 式中 M t1/t2， t1 f24f33－ f34f23， t2 f34f43－ f33f44， F f33f34 f43f[] 44 －1 ， fij为 f 中的第 i 行 j 列元素。 将式 7 代入式 1 后并进行 Hankel 逆变换 ［8 ］， 可推导横观各向同性多层地基内任意位置位移与应 力的解析解 u r， z ∫ ∞ 0 B14f33－ B13f34 珚Q ξ ξJ1 ξr dξ 8a w r， z ∫ ∞ 0 B24f33－ B23f34 珚Q ξ ξJ0 ξr dξ 8b τrz r， z∫ ∞ 0 B34f33－ B33f34 珚Q ξ ξJ1 ξr dξ 8c σz r， z∫ ∞ 0 B44f33－ B43f34 珚Q ξ ξJ0 ξr dξ 8d 式中 J0、 J1分别为 0 阶和 1 阶 Besse 函数;B ij为式 1 中矩阵 B 的第 i 行 j 列元素;珚Q ξ 珋p ξ t1 Dξ 4 t2 ， 珋p ξ为轴对称荷载， 其类型包括均布荷载、 集中荷载 等， 当半径为 R 的弹性圆板上作用满布均布荷载 p 时，珋p ξ表达式为 珋p ξ pRJ1 ξR ξ 9a 当弹性圆板中心作用集中荷载 P 时，珋p ξ表达 式为 珋p ξ P 2π 9b 2数值计算与分析 2. 1各向同性弹性地基上轴对称受荷圆板的位移 为验证本文理论方法及程序的正确性， 本文引 用文献［ 9］ 中弹性半空间地基上轴对称受荷圆板的 算例进行分析计算， 两者结果对比见图 2， 其中 Es和 νs为弹性地基的弹性模量和泊松比，Ep为圆板弹性 模量。本文取深度为一较大值来模拟弹性半空间， 如取深度 1 000 m。 从图 2 的对比结果可见 本文结果与文献［ 9］ 中 图 2沿径向变化的地表竖向位移对比 Fig． 2Comparison of vertical displacements along radial line 计算的结果吻合较好， 验证了本文理论和数值计算 方法的正确性。 2. 2分层地基上的轴对称受荷圆板的位移 本文对以下算例结果进行无量纲化处理， 即采 用无量纲竖向位移系数 Iw wEv/ pd ， 以及无量纲 竖向应力系数 Iz σz/p， 分析轴对称荷载下圆板的 不同刚度对地表不同径向位置沉降 w 及圆板中心下 不同深度处竖向应力 σz的影响， 其中 Ev1为首层土 弹性模量， d 为圆板直径 d 2R， p 为作用在圆板 上轴对称均布荷载。 表 1土层参数 Table 1Parameters of soils 土层 Ev/kPaEh/kPaνvhνhGv/kPa ΔH /m 16 0003 0000. 250. 252 4005. 0 28 00016 0000. 400. 253 2005. 0 310 0005 0000. 350. 254 0005. 0 412 00012 0000. 300. 255 0005. 0 514 00014 0000. 250. 255 6005. 0 算例中的横观各向同性土层参数见表 1。为便 于分析， 弹性圆板相对于土的刚度 k 定义为 ［10 ］ k Ep Ev1 1 － ν 2 h1 h R 3 10 式中 Ep为圆板弹性模量; νh1为首层土的竖向模量 和水平向应力引起的正交水平向应变的泊松比; h 为 圆板厚。算例中的均匀各向同性土的层数和每层厚 度与表 1 相同， 并取表 1 中每层土的 Ev和 νh分别作 为其弹性模量和泊松比。 图 3 为不同圆板刚度时地表竖向位移系数 Iw沿 径向的变化情况， 由图 3 可知， 多层地基上弹性圆板 受均布荷载作用的地表竖向位移沿径向逐渐减小; 圆板范围内， 圆板刚度越大， 板底位移越小; 相同刚 度下， 横观各向同性地基与均匀各向同性地基的竖 向位移不同。 图 4 为不同刚度圆板中心下沿深度的竖向应力 系数 Iz变化情况， 由 4 可见， 多层地基上轴对称受荷 651 图 3不同圆板刚度时地表竖向位移系数 I w Fig． 3Vertical surface displacement coefficient Iwalong radial line with different plate rigidities 圆板中心下， 不同深度处的竖向应力沿深度逐渐减 小， 并最终趋向于零; 相同条件下， 圆板刚度越大， 竖 向应力越小; 相同刚度下， 横观各向同性地基与均匀 各向同性地基的竖向应力分布不同。 对比算例计算结果， 地基不考虑横观各向同性 而只考虑均匀各向同性是不安全的。以上算例虽不 能完全代表多变的工程土层条件， 但从中可见 地基 的横观各向同性性质对地基中的位移及应力分布影 响显著。因此， 针对不同工程情况， 有必要考虑地基 的横观各向同性性质。 图 4不同刚度圆板中心下不同深度处的 竖向应力系数 Iz Fig． 4Vertical normal stress factors Izunder center of circular plate with different plate rigidities 3结论 1 将传递矩阵法与经典薄板理论相结合推导 出轴对称受荷弹性圆板下横观各向同性多层地基的 解析解， 并通过与已有文献结果的对比验证了本文 理论的正确性。 2 数值计算结果表明， 圆板刚度的增大有助于 减小板底位移和沿深度竖向应力， 地基的横观各向 同性性质对板挠度及板中心下的沿深度的竖向应力 影响显著。 参考文献 ［ 1］ Selvadurai A P S． Elastic analysis of soil- foundation interaction［ M］ ．AmsterdamElsevierScientific Publishing Company， 1979． ［ 2］ Melerski E S． Numerical modelling of elastic interaction between circular rafts and cross- anisotropic media［J］ ． Computers and Structures，1997，64 1/2/3/4 567- 578． ［ 3］ 袁聚云，孙洋波，王美云， 等． 传递矩阵法分析中心 荷载下对称刚性板地基沉降及反力［ J］ ． 力学季刊， 2005， 26 2 316- 321． Yuan Juyun，Sun Yangbo， Wang Meiyun，et al． Analysis of settlement and contact pressure of symmetric rigid plate on subgrade under central concentrated load with of transferring matrix［ J］ ． Chinese Quarterly of Mechanics，2005，26 2 316- 321． in Chinese ［ 4］ 陈光敬，赵锡宏，于立． 传递矩阵法求解成层横观 各向同性弹性体轴对称问题［J］ ． 岩土工程学报， 1998，20 5 105- 108． CHEN Guangjing，ZHAO Xihong，YU Li． Transferring matrix to solve axisymmetricproblemsoflayeredcross- anisotropic elastic body［ J］ ．ChineseJournalofGeotechnical Engineering， 1998， 20 5 105- 108． in Chinese ［ 5］ 艾智勇，梅阿敏，董洲． 多层地基上轴对称受荷弹 性圆板问题［J］ ． 土木建筑与环境工程，2009，31 1 33- 37． AI Zhiyong，MEI Amin，DONG Zhou． Axisymmetric loaded elastic circular plate on multi- layered soil［J］ ．Journal of Civil，Architectural ＆ Environmental Engineering， 2009，31 1 33- 37． in Chinese ［ 6］ Ai Z Y，Yue Z Q，Tham L G，Yang M． Extended Sneddon and Muki solutions for multilayered elastic materials［J］ ．International Journal of Engineering Science， 2002， 40 13 1453- 1483． ［ 7］ Gladwell G M L．Contact problems in the classical theory of elasticity［ M］ ． The NetherlandsSijthoff and Noordhoff，Aalphen aan den Rijn， 1980． ［ 8］ Sneddon I N． The use of integral trans［M］ ． New YorkMcGraw- Hill， 1972． ［ 9］ 文国庆，陈华容． 弹性半空间地基上的板在轴对称 荷载作用下的一般解［ J］ ． 岩土工程学报，1989，11 5 109- 119． ［ 10］ Milovic D．Stresses and displacements for shallow foundations［ M］ ． AmsterdamElsevier， 1992． 751