单质体非线性系统基于趋近律的谐振控制同步分析.pdf

收稿日期2012 －05 －31 基金项目国家自然科学基金资助项目 51105066 ;中央高校基本科研业务费专项资金资助项目 N110403004 ． 作者简介李小号 1978 － ， 男， 湖北随州人， 东北大学讲师， 博士;刘杰 1944 － ， 男， 辽宁昌图人， 东北大学教授， 博士生导师． 第34卷第2期 2013 年 2 月 东北 大 学 学 报 自 然 科 学 版 Journal of Northeastern University Natural Science Vo l． 34， No． 2 Feb．2 0 1 3 单质体非线性系统基于趋近律的谐振控制同步分析 李小号，赵群超，刘杰 东北大学 机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳110819 摘要基于单质体双激振源非线性振动机械的机电耦合动力学模型， 构造了双激振电机的转速差、 相 位差状态空间方程， 提出了双激振电机基于滑模趋近律的谐振控制同步策略． 针对该类非线性振动机械的谐 振同步特性 对外干扰的敏感性， 引入卡尔曼滤波器， 建立了双激振电机基于卡尔曼滤波器的滑模趋近律 谐振同步控制方案． 通过仿真实验数据分析， 验证了文中建立的谐振同步控制策略对该类振动机械同步运动 控制的有效性， 可使双激振电机获得满意的谐振同步运动效果． 关键词单质体; 非线性系统; 趋近律; 谐振; 控制同步 中图分类号TH 113. 2文献标志码A 文章编号1005 －3026 2013 02 －0271 －04 Reaching- Law- basedControlledSynchronizationStrategyin Harmonic Vibration of Single- Mass Nonlinear Systems LI Xiao- hao，ZHAO Qun- chao，LIU Jie School ofMechanical Engineering＆ Automation， Northeastern University， Shenyang 110819， China． Corresponding author LI Xiao- hao，E- mailxhli me． neu． edu． cn AbstractBased on the electromechanical coupling dynamic model of the single- mass nonlinear vibration machinery，state- space equations of the speed difference and phase difference were constructed for the double driven motors． A controlled synchronization strategy based on the sliding mode reaching law was designed for harmonic vibration of the double driven motors． The Kalman filter was introduced into the strategy to cope with the sensibility of the harmonic vibration synchronization of the nonlinear vibration machines． The simulation analysis results verified the validity of the strategy，which shows that the double driven motors can synchronize the machinery in harmonic vibration satisfactorily． Key words single- mass;nonlinear system;reaching law;harmonic vibration;controlled synchronization 双电机同步激振非线性振动机械广泛应用于 矿山、 冶金行业， 如自同步振动筛、 自同步节肢冷 矿筛、 自同步轧机等 ［1 ］． 国内外很多学者针对该 类振动同步机械展开了大量深入的研究， 但大多 数研究是将该类振动机械进行线性或拟线性化处 理， 在远超共振状态下进行分析［2 ］． 由谐振原理 可知， 如果非线性振动机械能在谐共振点附近区 域内稳定工作， 则利用较小的激振力就能实现较 大的振幅， 这意味着振动系统能以最小的激振力 达到系统工作要求的振幅， 使振动机械系统具备 节能、 高效的特性． 但当非线性振动系统工作在谐 振区域内时， 系统对外界扰动， 包括负载波动、 电 源扰动等影响因素异常敏感， 使双激振电机实现 同步异常困难， 从而导致非线性振动系统的激振 力产生波动， 工作状态极不稳定［3 －5 ］． 为了利用双 激振电机激励非线性振动系统谐振同步工作的优 势， 本文在建立双电机激励单质体非线性振动系 统的机电耦合动力学模型基础上， 对单质体非线 性振动系统基于滑模趋近律的谐振同步特性进行 分析， 建立了单质体非线性振动系统在谐振区域 内实现同步的控制策略． 1单质体振动系统的动力学模型 基于实验室现有的双电机激励振动筛， 建立如 图1 所示的单质体非线性振动同步系统． 图中， 双 激振电机反向同步回转， 激励振动机体在竖直方向 谐振工作． 图中 Oxy 为非线性振动系统坐标系． 计 算系统的动能、 势能及耗散能并代入 Lagrange 方 程， 得到式 1 所示的机电耦合动力学方程． 图 1单质体非线性振动系统的动力学模型 Fig. 1Dynamic model of the single- mass nonlinear vibration system m y kyy ε kyy3cy ym1r1θ2 1sinθ1 m2r2θ2 2sinθ2－m1r1θ1cosθ1－m2r2θ2cosθ2， J1θ1c1  θ1m1r1 ycosθ1m1r1gcosθ1T1， J2θ2c2  θ2m2r2 ycosθ2m2r2gcosθ2T2        ． 1 式中 m m0 m1 m2为振动系统总质量; m0 为 振动体的质量; mi为激振电机和偏心块质量 i 1， 2 ; θi为激振电机的相位角; Δα 为双激振电机 的相位差 Δα θ1 － θ 2 2 ; ri为偏心块的偏心矩; ky 为振动系统 y 向弹簧刚度的线性项; ky为振动系 统 y 向弹簧刚度的非线性项; cy为振动系统 y 向 阻尼; ε 是与弹簧特性有关的小参数; Ji为激振电 机转动惯量 Ji mir2 i ; c i为激振电机回转等效 阻尼系数; Ti为激振电机输出电磁转矩． 利用非线性振动系统平均法［6 ］求解式 1 ， 忽略高阶小量， 可得振动系统 y 向一次稳态振动 响应 y∑ 2 i 1 miriθ2 i m珔ω2－ ke 2 4mξ2ω2 e珔 ω 槡 2sin 珔 ωt y ， 2 y arctan－ 2珚 ωc y ω2e－ 珚ω 2 ． 3 式中 ke为图 1 振动系统的 y 向等效刚度［6 ］， ke ky－ 3 4 ε π a2ky， a 为式 2 振动响应的振幅值; ωe 为图 1 振动系统的 y 向等效固有频率 ［6 ］ ， ω e ke m 槡 ; ξ 为振动系统的 y 向阻尼比; 珚 ω 为双激振电 机的平均转速， 珚ω ω1 ω 2 /2． 2滑模趋近律谐振同步控制模型 根据双激振源非线性振动机械的实际设计条 件， 令 m1 m2， r1 r2， c 1 c 2， l1 l2． 取两激振电机的转速差、 相位差为状态变量， 令 e1 θ 1 － θ 2， e2  θ1－θ2． 对式 1 中的后两式进行差运算， 并进行 2π 周期取平均， 引入式 2 、 式 3 ， 略去高阶项， 可 得式 4 所示的转速差、 相位差状态空间方程  x Ax B u w ， y Cx v． } 4 式中 x ［ e1， e2］ T; A 01 0－ m2 1珚 ω2r21 cos2y m ke m － 珚ω 2 cos2y ω 2 e－ 珚 ω2 2 4珚ω2c 2 槡 [] y J             1 ; B ke J1 cos2y m        0 ; C [ ] 1 0 ; w ［ w1， w2］ T 为非线性 振动系统工作过程中产生的白噪声信号， v ［ v1， v2］ T 为振动信号检测过程中产生的噪声信号． 基于文献［ 7］ ， 定义滑模趋近律控制同步切 换函数为 ds dt － γsgn s－ ks． 5 式中 γ 为大于零的常数， 表示趋近滑模面的速率． 对于式 4 中的控制项 u， 取控制信号函数为 u CB －1 － CAx ds d t ． 6 针对振动同步控制过程中的干扰噪声信号 w， v， 对式 6 滑模趋近律同步控制器设计卡尔曼 滤波器 ［8 ］ Mn k P k CT CP k CT R k ． 7 272东北大学学报 自然科学版第 34 卷 式中 P k AP k －1 AT BQBT; R k I － MnC P k ． 将式 7 设计的卡尔曼滤波器引入双激振电 机转速差、 相位差状态空间方程式 4 ， 得 x k Ax k －1 Mn k ［ y k －CAx k －1 ］ ， youtCx k } ． 8 根据式 4 、 式 6 、 式 7 和式 8 设计双激振 电机滑模趋近律谐振同步控制方案如图2 所示． 图 2双激振电机基于 Kalman 滤波的滑模趋近律谐振同步控制方案 Fig. 2Reaching- law- based controlled synchronization model with the Kalman filter for double driven motors 3双激振电机趋近律控制同步实验 基于实验室现有的双电机激振自同步振动 筛， 选取如下振动系统结构参数 m 150 kg， m1m21. 0 kg， r1r20. 05 m， ky2. 5 104N/m， cy100 N s/m， k1. 0 104N/m， c105 N s/m， c1 c20. 015 N m s/rad． 根据该振动筛的实际工作状况， 设置工作过 程噪声信号 w k［－ 0. 35， 0. 35］ T， 检测过程 噪声信号 v k［－0. 1， 0. 1］ T， 进行图 2 所示的 控制同步仿真， 得到图3 所示的转速差 图 3a 、 相 位差 图3b 、 转速差相位差的相平面轨迹 图 3c 及振动系统 y 向振动响应 图3d 的仿真结果． 图 3双激振电机谐振控制同步运动仿真 Fig. 3Controlled synchronization movement simulation of double driven motors a 转速差仿真; b 相位差仿真; c 相平面轨迹仿真; d y 向振动响应仿真． 由图 3a 可知， 在双电机激振非线性振动系统 起振阶段， 由于双激振电机的不同步运动， 造成两 电机转速差在较宽范围内波动; 同时， 双激振电机 由于转速差的较大差异， 造成相位差由起振时的 约 0， 陡然增大到约 14 图 3b ． 在图 2 所示双 激振电机控制同步策略的调整作用下， 双激振电 机的转速差渐趋减小， 其相位差波动也减小并趋 向恒定值． 到约 4 s 时， 双激振电机转速差稳定在 372第 2 期李小号等 单质体非线性系统基于趋近律的谐振控制同步分析 约 0 rad/s， 相位差近似稳定在约 8保持不变． 为了对双激振电机振动同步过程中的转速 差、 相位差相互作用关系进行分析， 对双激振电机 的转速差、 相位差的相平面运动轨迹进行了仿真 图 3c ． 图中， 相平面运动轨迹在同步控制策略 的作用下， 从远离理想控制滑模面的位置快速向 该滑模面逼近， 在经历了双激振电机转速调整、 控 制量围绕控制滑模面振荡运动的初始阶段后， 趋 于稳定的滑模面运动． 实现了图 2 控制策略对图 1 非线性振动系统双激振电机的控制同步作用． 为讨论图1 非线性振动系统在双激振电机同 步情况下的谐振工作状态， 对系统的 y 向振动响应 进行了仿真 图3d ． 在约 4 s 时， 振动系统出现稳 定的大振幅振动响应， 测定双激振电机的转频 ω1 ω 2 珔ω≈91. 06 rad/s 此时激振电机转速约为 870 r/min ， 计算非线性振动系统频率比 珔ω/ωe≈ 0. 964 由模态分析知， 图 1 振动系统的第 2 阶固 有频率 ωe≈94. 5 rad/s ， 符合预设的非线性振动 系统谐振条件 ωe≈珚ω． 将该谐振同步条件代入式 4 、 式 5 及式 8 有 s s － 1. 03 ＜ 0， 满足趋近 律控制滑模面到达条件 ［9 －10 ］， 即该双电机激振非 线性系统可实现谐振情况下的控制同步运动． 4结论 1通过对双激振电机同步激励非线性振动 系统耦合动力学模型的理论分析， 建立、 分析并讨 论了单质体非线性振动系统基于滑模趋近律控制 的同步控制策略， 实现非线性振动系统双激振电 机起、 停及工作阶段的控制同步运动． 对多激振源 振动机械系统的同步控制应用具有一定的普适 性． 2仿真结果证明了文中同步控制策略的有 效性， 该策略能够满足多激振源工程振动机械的 同步运动特点要求， 可为该类振动机械的应用和 推广提供理论及实验依据． 参考文献 ［1］闻邦椿， 李以农， 张义民， 等． 振动利用工程［M］ ． 北京 科 学出版社， 2005 37 －108． Wen Bang- chun， Li Yi- nong， Zhang Yi- min， et al． Project of vibration utilization ［M］ ． Beijing Science Press， 2005 37 － 108． ［2］Blekhman I I， Fradkov A L， Tomachina O P， et al． Self- synchronizationandcontrolledsynchronization general definitionandexampledesign ［J］．Mathematicsand Computers in Simulation， 2002， 58 4/5/6 367 －384． ［3］Yamapi R， Woafo P． Dynamics and synchronization of coupled self- sustained electromechanical devices［J］． Journal of Sound and Vibration， 2005， 285 5 1151 －1170． ［4］李小号， 刘杰， 刘劲涛． 单质体非线性系统谐波锐共振的谐 振同步分析［ J］ ． 机械工程学报， 2010， 46 1 86 －91． Li Xiao- hao，Liu Jie，Liu Jin- tao． Analysis of harmonic oscillation synchronization for the single- mass nonlinear system under harmonic wave sharp resonance conditions［J］． Journal of Mechanical Engineering， 2010， 46 1 86 －91． ［5］Wen J M， Cao Z C． Sub- harmonic resonances of nonlinear oscillationswithparametricexcitationbymeansofthe homotopy analysis ［J］． Physics Letters A， 2007， 371 5/6 427 －431． ［6］陈树辉． 强非线性振动系统的定量分析方法［M］ ． 北京 科 学出版社， 2007 21 －44． Chen Shu- hui． Quantitative analysis of strong non- linear vibration system ［M］ ． Beijing Science Press， 2007 21 －44． ［7］Lin C M， Mon Y J． Decoupling control by hierarchical fuzzy sliding- mode controller ［J］ ． IEEE Transactions on Control System Technology， 2005， 13 4 593 －598． ［8］Olusola O I，Vincent U E，Njah A N． Synchronization， multistability and basin crisis in coupled pendular ［J］． Journal of Sound and Vibration， 2010， 329 4 443 －456． ［9］Vincent U E， Njah A N， Akinlade O． Synchronization and basin bifurcations in mutually coupled oscillators ［J］ ． Pramana Journal of Physics， 2007， 68 5 749 －756． ［ 10］ Nekoukar V． Adaptive fuzzy terminal sliding mode control for a class of MIMO uncertain nonlinear systems［J］ ． Fuzzy Sets and Systems， 2011， 179 1 34 －49． 472东北大学学报 自然科学版第 34 卷