燃煤产物组分的计算方法及提高非线性方程组求解收敛速度的措施.pdf

第十六卷 第六 期 南京工学 院 学报 JOU R N A L OFNANJINGINS TIT U TEO FT ECHNOLOG Y V o l . 16 N o . 6 198 6 燃煤产物组分的计算方法及提高 非线性方程组求解收敛速度的措施 陆帆方一麟 热 能工程研究所 摘要燃煤产物中各组分的数量级 从10 一 ‘ 到 一‘“ 相差很大 , 直接 运用最速下降法和牛顿法求解化学反应非线性方程组的收敛速度很慢 , 如 果初 值选取不当 , 还可能无法收敛 。 针甘 这个问题 , 本文衬目标函数和变 量的选取 作了改进 , 显著提高了收 敛速 度和计算精度 , 使迭代次数从 近百 次减少到十次以下 , 大大缩短了计算所耗机 时 , 而且时初 值选取的精确 性 也无需提出严格的要求 。 关键词 燃 煤产物组分 , 收敛速度 , 变量与目标 函数 , 数值方法 。 一 、 概述 在设计计算燃煤装置和分析其性能时 , 必须首先知道燃煤产物 包括燃气和液态或固态 煤渣的热力学性质 , 对于燃煤磁流体发电装置 , 还需知道其电导率 、 霍尔参数等电学性 质 。 燃煤产物的热电物理性质与其组分密切相关 , 因此求解燃烧产物组分是计算其热电物理 参数的关键一步 。 燃煤产物组分的计算通常采用最速下降法和牛顿迭代法求解化学 反应非线 性代数方程组 。 前者对于 “开 局” 、 后者对于 “终局” 有较快的收敛速度 。 然而 , 由于燃煤 产物中各组分的数量级 从1。 一 ‘ 到 10 一‘“ 相差 很大 , 直接运用这两种方法并不能获得较快 的收敛速度 , 往往迭 代近百次也难以得到精确的结果 , 计算所耗机时很长 , 如果初值选取不 当 , 还可能无法收敛 。 针对这些问题 , 本文对目标函数和变量 的选取作了改进 , 显著地提高 了收敛速度 , 经过 不到 1 0 次 的迭代就能得到较高的 计算精度 , 大大缩短了计算所耗机时 , 而 且对初值的选取也无需提出严格的要求 。 本 文于1 9 8 6年1月1 0日收到 。 南 京 工 学 院 孚寺良 更乡 8‘年 二 、 计算所用的数学模型 本文 用来计算燃烧产物平衡组分的数学模型与文献仁1 1 2 」的相同 。 为简单起见 , 假定 燃煤产物没有固态煤渣 。 。 种气态反应物的输入摩尔数分别为Q ‘ 成物 , 其中S 。种 为气态 , S 一S 。种为液 态 。 二 1 , 2 , 。 , 经过发应后生成S 种生 反应物的摩尔分数为X ‘ “一1 , 2 , ⋯ , n 生成物的摩尔分数为Y ‘ j二1 , 2 , ⋯ , S 。, S 。 十,, ⋯ , S , 其 中j簇S 。为气态 的 , jS 。 为液态 的 。 第j种生成物的摩尔分数为 月 Y ,一pV , K , 开X犷 ‘’, 1 j簇S 。 犷 问 艺 门式中 厂 。 护 } 艺 犷 ‘, 一1 ’ jS 。 V ‘j 为生成1摩尔第j种生成物所需第 i 种反应物的摩尔数 , 尸为压力;K , 为第j个反应 方程式的平衡常数 。 根据物质不 灭定律 , 有等式 se Q ‘一 X ‘N 艺 , ’.1 s - 厂 ‘, y , N 乏 ‘, Y , 、 ‘ ‘一i , 2 , ⋯ , S口1 式中N 、 N ‘分 别为 气态和液态的总摩尔数 。 各态摩尔分数之和为 1 , 即 s口 1一 艺X ‘一卜乏Y, 二 1萝二1 SI ‘一 艺 Y , S口1 式14共有S ‘n 一卜2 个方程和相同数量的未知数 , 可以求解 。 2 “ 4 , 式可将未知数和方程数减 少到 n 一卜2 个 , 从而提高求解速度 。 n , 2 3 4 将式1代入 三 、 目标函数的选取 用最优化方法求解非线性代数方程组都要用目标函数来标志解的收敛程度 , 它的选取对 方程组的求解起着重大的作用 。 通常 , 目标函数直接根据方程组写 出 5 第 6期陆帆等 燃煤产物组分的计算方法及提高非线性方程组求解收敛速度的措施夕 7 式中 S口 X ‘N 十 艺 厂 ‘, y , N 艺 犷‘,Y , 、 一Q ‘ ‘二1 , 2 , ⋯ , , 6 犷l s口 j 二s。碌z 九 一 艺、 * 乞 Y ,一 1 i n 1 「 52 ⋯乏 \j 51 j1 Y,一1 , 1 i二 ,十 2 7 8 j i的三个表达式别分与方程2 、 3 、 4相对应 。 这样选取目标函数的缺点是 1 . 由于 Q ‘ 值远小于 1 , 而且各Q ‘ 的数量级相差较大 , 而在式5 所示 的 目标函数 f 。中, 各f ‘ 是同等对待的 , 因此与式7 、 8对应的方程3 、 4可获得较高的精 度 , 而与式6对应的方程2的精度很低 。 例如当各f ‘ 均收敛到1 j ‘ 灯10 一‘ 时 , 方程 3 、 4满足了0 . 1的精度要求 , 而对Q ‘澎10‘月的 方程 2来说 , 相对误差达到10 0 。 若要求方程2的精度达到0 . 1 , 则要求各f ‘ 收敛到 f ‘}毛10 - - 吕, 这时方程3 、 4 远 远超过精度要求 。 可见 , 由于各方程不是同时达到精度要求 , 势必大大增加迭代次数 。 2 . 在迭代过程中 , 若某些X 、比其真值小得 多 , 则与之对应的式6变成 f ‘二一 Q ‘, 此时X ‘的微小变化对该f‘的影响就表现不 出来 , 如果这个X ‘对其他f‘的影响也不大的话, 它的变化就反映不到f 。 上 , 使 乙f 。/ 』X “ 0 , 这将使X “ ‘死” 在这一点上 , f 。值 也不会进 一步收敛 。 为了克服这些缺点 , 对f ‘ 的选取作为下改进 首先将方程2变形为 , 。 ,I Q ‘一 艺价 , Y j N 一 艺价 , Y ,N 子二O v ‘亨了 犷 一,, 1 V‘了0 一x ‘N 一卜艺。‘, Y,N十 乏价 , 均N I , ’. 1 v ‘夕。 分二s 口1 v ‘20 即将犷 ‘j为 负的各项移到左边 , 使上式左右两侧均为正值 。 再将上式除以其左侧值 , 得 X ‘N 十 5 口 艺 厂 ‘ s- , y ,N十 艺 厂 ‘, Y,y , N 考 v‘10 I二5口 1 v ‘s 户0 S z i ” . 9 。 。, ‘、一 艺 ‘, , 、 ‘ 1, S一1 ,v ‘, ‘ 0 礼 艺s 0 一 卜 方程9 与3 、 4具有相 同的形式 , 因此可得同样的 一计 算精度 。 在迭代 过程中 , 方程9 、 3和4的右端并不等于 l 。 若它们的右端大于 1 , 则取 南京工学 院 学报 夕夕左 ‘ 年 其右端减 1 作为f ,; 若右端小于 1 , 则取1减去右端的倒数作为f ‘, 即 ‘君 瓜 N 一一 艺厂 ‘jyjN 一卜 不 夕‘,扮 0 10 Q ‘一 艺 、 、, , 、 - V‘z O1 1 、.产 、、 了 口石马O 凌‘ 工 通 土 了.、 f 、 ‘ 了 子了 ,、 、 || .|le s | 夕 sz 乏 Y i , 2 夕一 “ 1 1 f支 i簇 , 2 , f才 X誉时 , 那些i镇 。 的f ‘随X‘变化的灵敏度提高到与n if n 十 2的f ‘相同的水平; 而当X ‘ X于 时 , 不 仅显著提高了灵敏度 , 而且完全 消除 了f 。 和f ‘ 几 乎不随X ‘变化 的现象 。 图1改进前后f 。 和j‘随 尤 ‘ 的变化曲线 四 、 最速下降法的改进 在最速 下降法中 , 通常根据第K次迭代的尤 , 值万 , 泊 和口 尤渝按 下式计算第K 1 口j 次迭 第 6期 陆帆等 燃煤 产物组分的计算方法 及提高非线性方程组求解收敛速度的措施9 9 代的X ‘值 X厂 十‘ 二X 〔二, _, 坦赵 一J 丫之 ‘ , 14 式中几为步长因子 。 由上式得X ‘的变化率为 }X了 K ‘’一X 济 万, }_} i _ 1 口f 。 1 , 一 不干二蔽二万- 一 - - l l 二二丁王万 丁e s . 4,‘花一二 下 万 奋 石不 J 入 ‘n ’ { 1人户八 ’ 1口入户 n ’I , 几 . . . . 叮. . . . . . . . . . . 1 X矛 君’X 于 口f 旦 才 几 I , X二 ‘ 口 干;‘ 一 } X,} 1 X宁 2 X宁 I , 口j 。 l几 . - - 下 砰 矛 屯二亏 } 。 入户 n ’ }a 茱舀‘万一 . 人丁 对大多数方程组 , 各 不万补偿俨万不「的 数量级是接近的 OL 人 厂 “‘ /人『」 口f 。 因此 , 在相同的几下 , 相邻两次迭代 的变化率约与X宁 ‘ 成反比 。 一般燃煤产物中各X 、的 数量级相差很大 , 如果某两个X兮例如 ‘ 二。和‘ 的 的数量级相差 1 0 ‘5, 则X ‘变化率的数量 级就相差1 0 ’ 。, 此时要使小的X 二 变 化亿分之一 的话 , 大的X , 就要变化1 0 ” 倍 , 这样运算下 去 , 它 的解是很难收敛的 。 为了解决这一问题 , 取X ‘ X , /X护作为变量 , 则迭代式变成 补。 一 沁K 一; . 李 一 , j一 1 , , 一 , 。 2 . l 5 OX 爹 K’ 一漂 丘 可用凳 , 变化H后f 。的 变化盯 。, 除以H来代替 , 即 口X 歹 君’ 尹、 曰尹产、 . 廿 Y 万 Y K _ 只 J舀 J J‘J ., 刁f 。, j毛” 一卜2 令刀一刀H , 并将X j一X 万X萝代入上式 , 得 XJK ” X梦 K’一X 亨 刀』f 。,, j , 十2 1 6 17 实际上 , 在迭代过程中X , 的真值X兮是未知的 , 但可用X厂’或X萝 尤 卜” 近似代替 , 由此得 8 0 9 ,1 J l 八乙 了‘、沙了、 、 f 或 式中 万J K ‘’ X;K ’1一刀』f。, , 刃J ‘ 卜 ‘’ X J K’/ 1刀乙f 。s, j镇 n 2 j〔 儿 2 刀、三_ 万一 f 。 _ f 。H H 酬 势 - ’ 孕、 五 、 牛顿迭代法的改进 通常的牛顿迭代法以X j为变量 , 在燃煤产物组分计算中 , 由于雅可比矩阵中的元素J ‘j _ 口f ‘, ‘二*、,。 二 。二 , 。‘, 。 _ 、 “。*” 、。* ,、 ,,、二, 、 ,* _ 。。 等拼的数量级相差很大 , 因而此矩阵是个 “病态” 矩阵 , 难以求解 。 为了解决这一问题 , 口X 厂 ‘ 一一一 ‘” 一 ‘ 、’ ’ . ’一 曰 ‘一 ” ‘”一 ’ ‘ 曰 ” 尸 一切’ 州 ’“z研 “ ”’ 一一 ’ ‘ 一 ’ 象最速下降法一样 , 取万, Xj /X,作为变量 , 此时雅可比矩阵元素J ,, 一盯,/ 创X,/X 勿 , 迭代式变成 100 南 京工学院学报 1986 年 . . . ‘‘. . . . . . . . . . . . . . ‘ . , 口 . . . . . .. . . . . . .. . . . 一一 召. . . . . , . . . . . . . 门门、护 沪 、‘尹、、尹 、 .1 1 | .| || e s| |11 式中 [X〕 K ’ 「X] 尤一 [J] 一’[ F」 , [X〕二「X l, X Z, ⋯ , X , *2 了 ; [F]一f l, f Z , ⋯ , f , 、 2 ]T ; 、⋯ ‘、l|e se s ..e s | l 盯一 ” X . 口f 口X 口f ’ 。凳 2 口月2 「J] 口f Z 口X , 2 尊 呼 擎呼 口f 。十 刁f 。 2 口f 。十2 尸勺创 口X l 口X , 日X 。 k 、 其中X , , 表示N , X , 表示N 。 将X j二Xj/X 萝代入式 21 得 一.1 J土 一 厂‘ - ƒ 日 † 0 一.1 1 一一厂玺 [X」 K , 二 0 1 X 育 、 o ‘ ⋯ X〕 一仁‘〕 一 “F〕 , -工 - 一 X 份 2 式中[X] 一巨X ,, 入 上式并化简之 , X , X , 2 卫 。 由于在迭代过 程中X亨是未知的 , 改用XJ K’ 得 、飞. | .1 ⋯ 声 n t ln[ l⋯ 优f 尤, 0 O X奋 了, 仁X] 尤 ‘ 一「尤] K 一 { 一 } 00X4熟 一 、J.日 一 、JJ一,2 1一 K2一盆 小 2 ‘Vf Œ咬 ” f 了 ” 叶了 。 口 一 欠口 Œ 欠 厂J 一 Y 一 刁 一 口口 一 口 X f 尤’ 口f , 口X f 万’ X奋 K’ 口f l 口X 奋 尤’ 万矛 络 盖 尤奋 K’ 口f 日X 玉 尤’ X盗 K’ 完 、 ⋯X止 牡 了 J 一叹二 口 一y” 一 八 刁 以 。。。。。。 X - [F〕 . K 口f 。 口X 贷 尤’ X盛K 口f 。、 口X 盛 尤’ X万 擎 玉 六 、 雅可比矩阵的计算 由于f ‘ 根据其正负分别取对或f; , 当f ‘ 。时 , f ‘一 方 , 典 口入 _口f 刁X , 而当f 第6期陆帆等 燃煤产物组分的计算方法 及提 高非线性 方程组求解收敛迷度的措 施10 1 f ‘ f万 1 一 1 一 一二丁一 J 奋 2 6 2 5 2 7 班 拼 。 ” 乡f ‘ _口f万_1 亏见 - 一反牙 , 一 1 f万厂 因此雅可比矩阵的 元素为 釜 一卜‘、, ’豁一 卜‘ *’ 毛绘 , ‘ 卜“ “肠轰, “ 0 了.、 、, 哎宁 了 、 ‘、 一一 - 夕 .通 . ” J 一是 否要乘以 ] 一f ‘ .1 一. 少 口 子 J一 欠 一 口 一己 夕 即在计算j ‘, 时应根据f ‘ 的正负判断X j 由 1 式可得 、, 口Y ; 瓜淤 一 阮巧 1 。 2 , 爪1 , 2 , s, 由式1 0 , 并令 。 ‘一 Q ‘一 万 V 、, y , x 。 1 - S- 艺 ‘ Y 了X , 、2 得 户一1 V‘声芍0 ,一‘。斗1 v i,0 ; ”阴 刃 一袱 一 , ’ ,口 尤 丫 厂 / x 。。‘, x ”, , 十 呈 厂 * j一 X 一 一 口 矛 . .一 无 一 口一己 爪X , 2 9 3 0 2 8 ” Q 一 丫 口 l 无 . ” 口 . 了 l 艺 玖 夕, s口1 i ] , 2 , 口Y ‘ 八 ’油无万X 。 、 _ 左丝些 O子 .’. , 月 ”一 」 , 2 , 二 ’ , n 考虑到六很小时 一, 上式最后 一项可略去 , 并将式 2 7 代入得 、 , 釜 一 X 阴“‘爪 万 , 一 s忍 艺玖 , U 二, 丫,X 。十, 夕. 1 ” 口 产 / 了 、 , 了 Sz 、 一 艺 犷 * 夕. 5 口千1 , 二 , n; 犷 二, Y , X , , 2耳一 1, 2 , ⋯ , 22 月 土 一 目 2 , r . , 产 l ,一 一 1 阴 一一 山 式中 将式10分别对X 。 一 。、 N和X , 2 二N ; 27路 2书 7矛 Z 求导 , 、 *十口f奋 门 呵了习与予盔 留户 鲁 项 , ” X 口f户 S召 尤 ‘尤” 卜, 一 艺 ‘ / ‘, Y , 万 。 十, , 二. 卜’ 万灭石 二 f砚 ,2 31 一 ” 认 一 一 1口2南京工学院学报1986 年 Sz 互价 , 巧瓜 尤 一 艺 一 扮 “户 。 , -- 一 i 3 2 将式 11 、 12又 、}尤 求导并 代入式 2 6 , 得 、,口 、, OJ J 4 气J邝j 月甩 了 了 尤 , 尤 、 S召 一尤 。 一、乏、,, ,y, 7二l sl 一 艺 V 。, y , 夕.5 君辛i 7,z撼2了 鱿 一 己 v 口f二 2 了飞” 之二 丁, 一 口入 , 122〔灯 、 。 一 麟六 一万一 口f言 、2 口万 , 月 黔 卜 刃一 ;份 一 0 3“, 七 、 改进的效果 笔者对改进前后的计算方法都编制了程 序 , 并 在南京工学院计算中心的D PS 一8 分时系 统上 进行了计算 , 算出了5种压力和1 7个不 同温度下燃煤产物的组分共8 5组数据 。 用改进后 的程序 计算时 , 用 前一组计算结果 作为下一组计算的初值 , 取得很好的收敛效果 , 在省去最 速 下降 法的情况下 , 平 均每组数据只需用 牛顿法迭代 8 次达到精度要求{ f 、 10 - - , , 迭代 时目标函数从最初的1 0 ’迅速下 降到终了的10 ’以下。 而用改进前的程序计算时 , 迭代上百 次 也难以达 到这个精度 , 而且如 果初 值选取 不 当还不能收敛 。 可 见上述 改进 的效果是 很明显 的 。 参 考文献 〔1二 L u H ao、hen , LiD aji, T a n g C飞 u m ing an dX u 一 Yiqia n C a l ou l a tio n fo r the e o川po sitio na n d p r opertio so f s eedede oa l e o mbu stio n Prod uets ata ld iffer e nt sla g cf - no; 一 a l , a 士 。, 20tl l Sym p osi , n lo n E n gin e e ring 八sp eeto fM HD , U n iv o r sityo f 、a lifo rn ia , Ir 、in ‘ , C alifo r n ia U . S 八 . Ju ne , 」98 2 . 「2〕吕浩生 不 同排渣率下煤的燃烧 产物成份与热电性质 计算 , 硕士 论文 , 南京工学 院 , 1981 . 第 6 期陆帆等燃 谋产物组分的计算方法及提高非线性方程组求解收敛速度的措施1 03 Cal culatlonoof Coal Fired P r oduet Co nPositionand Measures ForSpeed i昭 up Co n verge nc e inSol ving N onli. ear Equ ations L n F an F a”9 Yfl艺 ” The rm o ene rgy E n gineering R ese a r eh In stitu te ABSTRAOT Sin ee the or de r o f variouse o mp o nen ts o f eoal fir ed p ro d u etare diffe - ren tfr o m eaeho therto a g rea t e x te n t , the eonv e rgen t spee dby u sin gthe 5te epest d ese e n t an dN ew ton ‘5 m etho ddir e etly willbe v e ryslo w . It is a e o mp u tertim e一eo n s u m ing j o b and div e rge n tiftheinitial v a l u eso f p ro d u et e o mp osition i、 no t r ationallyseleete d . Fo rs o lving tl iisp ro bl em , thisPaPer imp r ove s the s ele etiono f var iab l esaan d o bj e etiv e fu nctio n . It en ha n ees the eo nv e rgen t spe edan d eale u latio n ae e u r aeyo b vio u slya n dd ee r e a s es theite r a - tio n fr o m a bo u t hu nd r ed tim es to l e ss tha n tentim es , whieh shortens the e o mPute r tim eeon su mPtio n to a g r e ate x tent . In a dditio n , the initial v a l u e s ele etion with a ee u r a ey 15 n o m orerequir ed . Key w ords e oa l 一fir ede o mb u s tio n p r o d u et variable san d o bj e etive fu n etion eo mPo sitio n , eonvergene esPe ed , n umeriea lm etho d .