Winkler地基上修正Timoshenko梁振动分析_王家乐.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 3 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．3 2020 基金项目国家自然科学基金 812778072 ;长沙理工大学土木工程优 势重点学科创新基金 16ZDXK09 收稿日期2018 －09 －20修改稿收到日期2018 －12 －05 第一作者 王家乐 男， 硕士生， 1991 年生 通信作者 夏桂云 男， 教授， 1972 年生 Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁振动分析 王家乐，夏桂云 长沙理工大学 土木工程学院，长沙410004 摘要利用 Bernoulli- Euler 梁理论建立的弹性地基梁模型应用广泛， 但其在高阶频率及深梁计算中误差较大， 利 用修正的 Timoshenko 梁理论建立新的弹性地基梁振动微分方程， 由于其在 Timoshenko 梁的基础上考虑了剪切变形所引 起的转动惯量， 因而具有更好的精确度。利用 ANAYS beam54 梁单元进行振动模态的有限元计算， 所求结果与理论基本 无误差， 从而验证了该理论的正确性。基于修正 Timoshenko 梁振动理论推导出了弹性地基梁双端自由- 自由、 简支- 简支、 简支- 自由、 固支- 固支等多种边界条件下的频率超越方程及模态函数。分析了弹性地基梁在不同理论下不同约束条件及 不同高跨比情况下的计算结果， 从而论证了该理论计算弹性地基梁的适用性。分析了不同弹性地基梁理论下波速、 群速 度与波数的关系。得到了约束条件和梁长对振动模态及地基刚度对振动频率有重要影响等结论。 关键词弹性地基梁;剪切变形;转动惯量;边界约束;高频段;波速;群速度;振动模态 中图分类号O32文献标志码A DOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 03． 005 Vibration analysis for a modified Timoshenko beam on Winkler elastic foundation WANG Jiale，XIA Guiyun School of Civil Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410004，China Abstract The elastic foundation beam model based on Bernoulli- Euler beam theory is widely used，but it has larger errors in calculations of higher order natural frequencies and deep beams． Here，based on the modified Timoshenko beam theory，a new vibration differential equation of an elastic foundation beam was established． Due to considering the moment of inertia caused by shear deation based on Timoshenko beam theory，it has a better accuracy． The beam54 element of the finite element software ANSYS was used to do the finite element calculation for the beam’ s vibration modes，and the results basically had no errors compared with the theoretical solution to verify the correctness of the proposed theoretical model． Based on the modified Timoshenko beam theory，the elastic foundation beam’ s natural frequency transcendental equations and modal functions under various boundary conditions including free- free，pinned- pinned，pinned- free and clamped- clamped were deduced． The calculation results of an elastic foundation beam under different theories，different boundary conditions and different ratios of height to span were analyzed to verify the applicability of the proposed theoretical model． The relations among wave velocity，group velocity and wave number under different theories were analyzed． It was shown that constraint conditions and beam length have important effects on an elastic foundation beam’ s vibration modes;foundation stiffness affects an elastic foundation beam’ s natural vibration frequencies significantly． Key wordselastic foundation beam;shear deation;moment of inertia;boundary constraint;high frequency section;wave velocity;group velocity;vibration mode 弹性地基梁在土木工程界应用广泛， 铁路， 隧道， 房建基础中均有涉及。地基模型有 Winkler 地基模型、 弹性半空间地基模型、 黏弹性三参数地基模型等， 目 前， 各种地基上 Euler 梁研究较为丰富， 如雷晓燕 ［1 ］建 立了轨道基础刚度突变条件下的轨道振动微分方程， 推导了移动荷载作用下轨道变形的解析表达式; 崔奕 等 ［2 ］为改进传统地基梁计算方法提出了变基床系数的 弹性地基梁解法; 彭丽等 ［3- 4 ］利用复模态分析方法推导 出了黏弹性三参数地基梁横向自由振动解析解， 这些 理论虽有较大的适用空间， 但在梁高跨比较大、 局部悬 空等情况下由于未考虑梁的剪切变形影响则会带来较 ChaoXing 大误差。Tang 等 ［5 ］在传统梁理论的基础上考虑了剪切 变形与转动惯量的影响， 研究了不同边界条件下轴向 运动 Timoshenko 梁的固有频率、 振型和临界速度; Magrab［6 ］运用拉普拉斯变换方法研究了弹性地基上 Timoshenko 梁的固有频率和振型; Morfidis［7 ］分析了三 参数地基上 Timoshenko 梁振动特点， 并对不同地基上 Timoshenko 梁进行了对比研究。对此， 国内也有较丰 富的研究， 如彭丽等 ［8 ］修正了自己的原有计算模型推 导出了黏弹性三参数地基上 Timoshenko 梁横向自由振 动的 解 析 解; 夏 桂 云 等 ［9 ］ 在 原 有 Winkler 地 基 梁 Timoshenko 梁基础上考虑了地基水平摩阻的影响发现 水平摩阻对地基梁挠度、 转角、 弯矩均有较大影响。但 上述研究未考虑剪切变形所引起的转动惯量在地基梁 振动中的影响。陈镕等 ［10 ］首次在 Timoshenko 梁振动 研究中考虑剪切变形引起的转动惯量所带来的影响， 修正了传统 Timoshenko 梁运动方程， 发现了其对梁高 频段频率有较大影响。然而， 人们基于此理论的弹性 地基梁研究很少， 目前仅见夏桂云等 ［11 ］在研究圆形水 池轴对称振动时发现其振动微分方程与 Winkler 地基 上 Timoshenko 深梁振动微分方程的一致性。 本文作者基于理论解的基础上推导出多种边界条 件下频率求解超越方程及模态函数， 并与 ANSYS 有限 元计算结果进行对比， 结果符合异常良好。在不同梁 高跨比和不同边界条件下与传统弹性地基梁理论进行 对比， 从而发现了一些有用的结论， 并分析了弹性地基 梁在不同理论下波速、 群速度与波数的变化关系及其 在高频段频率变化规律。分析了振动频率随地基刚度 的变化及不同多种边界条件下不同梁长模态特点， 从 而为弹性地基梁振动分析和计算提供有利工具。 1Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁理论 修正 Timoshenko 梁理论应用于弹性地基梁振动 见图 1 计算中得到如下微分方程 C w x － ψ D 2ψ x 2 － ρI 3w xt2 0， C 2w x 2 － ψ  x － Kw － ρA 2w t 2 q 0 1 图 1 Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁振动模型 Fig． 1Modified Timoshenko beam vibration model on Winkler Foundation 式中 G 为材料剪切模量; E 为材料弹性模量; k 为剪切 修正系数; I 为截面惯性矩; 其中 D EI， 为截面抗弯刚 度; C kGA， 为截面抗剪刚度。 式 1 解耦且不考虑外载时 即 q 0 可得其自由 振动方程为 4w x 4 ρA D 2w t 2 － ρI D ρA C 4w t 2 x 2 － K C 2w x 2 Kw D 0 2 设式 2 的解为 w x， t W x T t 3 式中 T t Acos ωt Bsin ωt 。 可解的 W x A1cosh αx B1sinh αx C1cos βx D1sin βx 4 利用初始条件可确定 A1、 B1、 C1、 D1， 设 W 0 W0、 ψ 0 ψ0、 Q 0 Q0、 M 0 M0可得初参数解如 下式 W x a1 x W0 b1 x ψ0 c1 x Q0 d1 x M0， ψ x a2 x W0 b2 x ψ0 c3 x Q0 d4 x M0， Q x a3 x W0 b3 x ψ0 c3 x Q0 d3 x M0， M x a4 x W0 b4 x ψ0 c4 x Q0 d4 x M0 5 式中 ai、 bi、 ci、 di i 1， 2， 3， 4 ， 参考文献［ 11］ 。 a －ω2 ρI D ρA C － [] K C ω2 ρI D ρA C － [] K C 2 4 ρAω2 D － K 槡 D 槡 2 ， β ω2 ρI D ρA C － [] K C ω2 ρI D ρA C － [] K C 2 4 ρAω2 D － K 槡 D 槡 2 13第 3 期王家乐等Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁振动分析 ChaoXing 2多 种 边 界 情 况 下 Winkler 地 基 上 修 正 Timoshenko 梁理论振动频率超越方程及模 态函数 2． 1两端自由弹性地基梁 两端自由弹性地基梁， 其自由振动的边界条件为 当 x 0 时， M00， Q00; 当 x L 时， M l0， Q l0。 将解析式 5 代入边界条件， 即得 a3 l b3 l a4 l b4 l [] W0 ψ {} 0 0 6 式 6 有非 0 解的条件是系数行列式为 0， 从而得 到其振动频率的超越方程为 2 －2cos βl ch αl αγ β － φ βφ α － γ－ βφ α － γ αγ β － φ [] sh αl sin βl0 7 由式 5 可得其模态函数表达式为 Wn x βnφn αnγn β nφncosh α nx αnγn αnγn β nφncos β nx － βn －φ n γn β n －φ n－φn α n －γ n sinh αnx － αn －γ n γn β n －φ n－φn α n －γ n sin βn           x βnφn α n －γ n C αnγn β nφn sinh αnl α n －γ n βn －φ n C γn β n －φ n－φn α n －γ n cosh αnl → ← － αnγn β n －φ n C αnγn β nφn sinh βnl － α n －γ n βn －φ n C γn β n －φ n－φn α n －γ n cos βn                                           l W0 8 2． 2两端简支弹性地基梁 两端简支弹性地基梁， 其自由振动的边界条件为 当 x 0 时， W00， M00; 当 x L 时， W l0， M l0。 将解析式 5 代入边界条件， 即得 b1 l c1 l b4 l c4 l [] ψ0 Q { } 0 0 9 式 9 有非 0 解的条件是系数行列式为 0， 从而得 到其振动频率的超越方程为 sin βl 0 10 继而可得其模态函数表达式为 Wn x βn －φ n γn β n －φ n－φn α n －γ n sinh αnx － αn －γ n γn β n －φ n－φn α n －γ n sin βnx － 1 C － φn γn β n －φ n－φn α n －γ n sinh αnx γn γn β n －φ n－φn α n －γ n sin βn           x β n －φ n sinh αnl － αn －γ n sin βnl 1 C －φnsinh αnl γnsin βnl                               ψ0 11 2． 3简支- 自由弹性地基梁 简支- 自由弹性地基梁， 其自由振动的边界条件为 当 x 0 时， W00， M00; 当 x L 时， M l0， Q l0。 将解析式 5 代入边界条件， 即得 b3 l c3 l b4 l c4 l [] ψ0 Q { } 0 0 12 与上述边界条件类似可得其频率超越方程为 1 βφ α － γ th αl－ 1 αγ φ － β tg βl 0 13 继而得到其模态函数表达式为 Wn x βn － φ n γn β n － φ n－ φn α n － γ n sinh αnx － αn － γ n γn β n － φ n－ φn α n － γ n sin βnx － 1 C － φn γn β n － φ n－ φn α n － γ n sinh αnx γn γn β n － φ n－ φn α n － γ n sin βn           x α n － γ n βn － φ n Ccosh αnl － αn － γ n βn － φ n Ccos βnl － φ n α n － γ n cosh αnl γn β n － φ n cos βn                               l ψ0 14 2． 4固支- 固支弹性地基梁 固支- 固支弹性地基梁， 其自由振动的边界条件为 当 x 0 时， W00， ψ00; 当 x L 时， W l0， ψ l0。 将解析式 5 代入边界条件， 即得 c1 l d1 l c2 l d2 l [] Q0 M {} 0 0 15 23振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 与上述边界条件类似可得其频率方程为 2 － 2cos βl ch αl γ2 － φ 2 γφ sh αl sin βl 0 16 继而得到其模态函数表达式为 Wn x 1 C － φn γn β n －φ n－φn α n －γ n sinh αnx γn γn β n －φ n－φn α n －γ n sin βn           x － 1 D － 1 αnγn β nφn cosh αnx 1 αnγn β nφn cos βn [] x － φn C［ γn βn－φn－φn αn －γ n ］ sinh αnl － 1 D αnγnβnφn cosh αnl → ← γn C［ γn βn－φn－φn αn －γ n ］ sin βnl 1 D αnγnβnφn cos βn                                   l Q0 17 3振动方程求解 本文算例以 Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁理 论进行求解， 并利用 ANSYS beam54 梁单元进行有限元 计算 ［12 ］， 对结果对比分析。 算例如下 梁长 L 16 m， 截面宽度为 0． 3 m， 高度 为 0． 4 m， 弹性模量 E 3． 6 1010N/m2， 剪切模量 G 1． 5 1010N/m2， 泊松比 υ 0． 2， 材料密度 ρ 7． 757 103kg/m3， 剪切修正系数为 5/6， 地基弹性系数 K 8 106N/m2。本文计算结果与用 Ansys 有限元计算结果 如图 2 ～5 所示。 图 2两端自由弹性地基梁振动频率计算结果 Fig． 2Calculation results of vibration frequencies of elastic foundation beams with free- free ends 由图 2 ～3 可看出， 由本文计算结果得出的频率值 与 Ansys 有限元计算结果前十阶频率最大相对误差自 由边界条件下为 0． 926， 简支- 自由边界条件为 0． 310， 两者计算结果基本吻合， 从而证明 Winkler 地 基上修正Timoshenko梁理论的正确性。 由图4 ～ 5可 图 3简支- 自由弹性地基梁振动频率计算结果 Fig． 3Calculation results of vibration frequencies of elastic foundation beams with pinned- free ends 图 4两端自由弹性地基梁前 4 阶振型 Fig． 4The first 4 order modes of elastic foundation beam with double free- free ends 图 5简自边界弹性地基梁前 4 阶振型 Fig． 5The first 4 order modes of elastic foundation beam with pinned- free ends 知， 两端自由边界条件下本文解析解第 1 阶振型驻点 在0． 5L 处， 第 2 阶振型驻点分别在 0． 306L 处、 0． 694L 处， 第3 阶振型的驻点分别在0． 219L、 0． 5L、 0． 781L 处， 第 4 阶振型的驻点分别在 0． 169L、 0． 388L、 0． 613L、 0． 838L 处; 简自边界条件下本文解析解第 1 阶振型驻 点在 0． 388L 处， 第 2 阶振型驻点分别在 0． 225L 处、 0． 656L 处， 第 3 阶振型的驻点分别在 0． 156L、 0． 463L、 0． 763L 处， 第 4 阶振型的驻点分别在 0． 119L、 0． 350L、 0． 588L、 0． 825L 处， 其与 ANSYS 计算结果完全符合。 值得注意的是， 本文理论只是针对弹性地基梁的横向 33第 3 期王家乐等Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁振动分析 ChaoXing 弯曲振动， 而弹性地基梁的振动还应包括纵向振动和 刚体振动 ［13 ］。 4计算示例 4． 1不同理论的弹性地基梁振动分析 利用原始算例参数， 改变梁长， 得出不同理论下不 同边界条件下弹性地基振动频率求解结果如表 1 和表 2 所示。其中传统值为 Winkler 地基上 Bernoulli- Euler 梁理论计算结果， 表中误差为相对误差， 其计算公式为 ω 传统 － ω 本文 /ω传统。由计算结果可看出传统 Winkler 地基上 Bernoulli- Euler 梁理论振动计算结果均较本文 理论计算结果偏大且随着梁高跨比的增大其相对误差 值愈趋增大， 当 L 2 m 时， 其高跨比为 0． 4/2 0． 2， 简 支地基梁一阶振动频率相对误差为 5． 730， 二、 三阶 频率相对误差分别为 31． 774、 42． 664; 两端自由地 基梁一阶频率相对误差已达 15． 907， 二、 三阶频率相 对误差分别为 30． 686、 42． 405， 阶数越高相对误差 增长愈迅速， 梁长为 8 m、 4 m、 2 m 三种情况下简支地 基梁其八阶频率相对误差分别为 18． 615、 42． 664、 66． 975; 两端自由地基梁其八阶频率相对误差分别 为 21． 694、 47． 244、 70． 451。显然， 从相对误差 看， 在弹性地基梁振动理论中考虑梁剪切变形及其所 引起的转动惯量的 Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁 与不考虑其影响的 Winkler 地基上 Bernoulli- Euler 梁振 动理论计算结果在高跨比较大的深梁低频段及一般梁 高频段振动有较大偏差。所以， 在涉及弹性地基梁具 体工程计算中， 当梁为深梁或者高频段对计算结果有 重大影响的分析中 诸如冲击等问题 ， 采用本文理论 更为适宜， 否则会带来较大偏差。另外， 边界条件对相 对误差值也有较大影响。 表 1两端简支弹性地基梁前 8 阶频率计算结果 Tab． 1Calculation results of the first eight order frequencies of beams with pinned- pinned ends 阶次 L 8 mL 4 mL 2 m 本文传统误差/本文传统误差/本文传统误差/ 115． 94415． 9680． 15028． 17728． 5331． 24893． 13398． 7945． 730 228． 17728． 5331． 24893． 13398． 7945． 730318． 233391． 02418． 615 355． 05356． 8953． 238194． 257220． 28911． 817599． 914879． 30031． 774 493． 13398． 7945． 730318． 233391． 02418． 615896． 1841 563． 05042． 664 5140． 112153． 3468． 630455． 559610． 71825． 4061 192． 9782 442． 20251． 152 6194． 257220． 28911． 817599． 914879． 30031． 7741 486． 7623 516． 73757． 723 7254． 061299． 52815． 180747． 4971 196． 74837． 5391 777． 1804 786． 65162． 872 8318． 233391． 02418． 615896． 1841 563． 05042． 6642 064． 6746 251． 94066． 975 表 2两端自由弹性地基梁前 8 阶频率计算结果 Tab． 2Calculation results of the first eight order frequencies of beams with free- free ends 阶次 L 8 mL 4 mL 2 m 本文传统误差/本文传统误差/本文传统误差/ 120． 06320． 2290． 82154． 7157． 2934． 508186． 63221． 93415． 907 239． 77840． 9042． 753136． 87153． 31610． 727423． 228610． 59630． 686 372． 24776． 2325． 227246． 585299． 53017． 676689． 2731 196． 75442． 405 4114． 404124． 5108． 117372． 373494． 75524． 736963． 0451 978． 20051． 317 5164． 308185． 27511． 317507． 064738． 89931． 3761 241． 6842 955． 04657． 981 6220． 358258． 37414． 714646． 3711 031． 91637． 3621 522． 4924 127． 27163． 111 7281． 177343． 74418． 202788． 031 373． 79242． 6381 804． 1375 494． 87267． 167 8345． 613441． 36121． 694930． 8861 764． 51947． 2442 085． 5417 057． 84970． 451 4． 2不同理论下弹性地基梁的波速及群速度 对于 Winkler 地基上 Bernoulli- Euler 梁理论自由振 动方程 D 4w x 4 ρA 2w t 2 Kw 0 18 其基本解 w Hei kx－ωt 19 式中 H 为振动振幅; k 为波数; ω 为圆频率， ω kc; c 为 波速。将式 19 代入式 18 得 Dk4－ ρAk2c2 K 0 20 从而可解得波速为 c Dk4 K ρAk 槡 2 21 振动圆频率为 ω kc Dk4 K ρ 槡 A 22 群速度为 43振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing cg dω dk 2Dk3 1 ρA Dk4 K 槡 23 同理， 将式 19 代入式 2 可解得 Winkler 地基上 修正 Timoshenko 梁波速、 圆频率、 群速度分别为 c k4 K C k2 K D ρI D ρA C k4 ρA D k 槡 2 24 ω kc k4 K C k2 K D ρI D ρA C k2 ρA 槡 D 25 cg dω dk 4k3 2k K C － ω 2 ρI D ρA [] C 2ω k2 ρI D ρA C ρA [] D 26 从式 21 可看出， Winkler 地基上 Bernoulli- Euler 梁弯曲波速度可以无限增长至无穷大， 这显然是不合 理的。Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁由于在与弹 性地基的相互作用中考虑了剪切变形及其所引起的转 动惯量所带来的影响， 弯曲波速度大大降低且趋于一 定值， 这个极限值和梁截面的形状有关， 也和梁的材料 特性有关， 但与截面惯性矩无关［14 ］。 4． 2． 1算例分析 取一简支弹性地基梁， 原始计算参数不变， 得 Winkler 地基上 Bernoulli- Euler 梁与 Winkler 地基上修 正 Timoshenko 梁的波速、 群速度和波数的关系如图6 ～ 7 所示 注 BEB 为 Bernoulli- Euler 梁， TB 为 Timoshenko 梁 。 图 6两种弹性地基梁理论下波速与波数的关系图 Fig． 6Relation between wave velocity and wave number on two elastic foundation beams theory 从图7 可看出， 对于 Winkler 地基上 Bernoulli- Euler 梁其群速度lim k→∞ c ∞， 这显然是不符合能量传送规律 的， 而 Winkler 地 基 上 修 正 Timoshenko 梁 相 比 于 Bernoulli- Euler 梁随着波数的增大其群速度大大减少， 当波数到达一定值其变化趋势已相当平缓， 有着明显 的上限值。 为分析得弹性地基梁在不同理论下频率变化规 律， 其高阶频率计算结果如图 8 所示。 图 7两种弹性地基梁理论下群速度与波数的关系图 Fig． 7Relation between group velocity and wave number on two elastic foundation beam theory 图 8不同理论下弹性地基梁振动频率 Fig． 8Vibration frequencies of elastic foundation beams under different theories 从图 8 可以看出， Winkler 地基上 Bernoulli- Euler 梁振动频率在到达一定阶次后趋向于等加速率增加; Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁高阶振动频率则趋 向于线性增加， 两者趋向速率与地基弹性系数 K 有关， 显然， 当 K→0 时弹性地基梁振动理论退化为梁振动 理论。 4． 3振动频率随地基刚度的变化 为分析弹性地基梁振动频率与地基刚度的关系， 仍以两端自由弹性地基梁为例， 改变地基刚度， 其他参 数保持不变， 其前 5 阶振动频率如图 9 所示。 图 9不同地基刚度时的前 5 阶振动频率 Fig． 9The first 5 order vibration frequencies of different foundation stiffness 53第 3 期王家乐等Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁振动分析 ChaoXing 从图 9 可看出， 随着地基刚度的增加弹性地基梁 的振动频率亦随之增大， 且增加幅度逐步加大; 地基刚 度越大， 弹性地基梁振动频率变幅愈小， 振动频率更 集中。 4． 4振动模态分析 为考察边界条件及梁长对弹性地基梁振动模态的 影响， 选取梁长为 16 m、 4 m 两种情况多种边界条件下 进行分析， 其余参数保持不变， 计算结果如图 10 ～ 15 所示。 由图 4 ～5、 图 10 ～ 15 可看出， 除自由边界条件下 模态幅值随阶数变化不明显外， 其余边界条件下地基 梁模态幅值皆随着阶数增加而降低， 固支边界条件下 一二阶模态幅值变化显著; 改变梁长， 对自由边界弹性 地基梁振动幅值几乎无影响， 其余边界条件下地基梁 均随着梁长缩短振动幅值减小， 其在固支边界条件下 表现更为明显， Al1为梁长 16 m 一阶幅值， Al2为梁长 4 m 一阶幅值， 此时， Al1/Al2 58． 83， 随着阶数增加模态 幅值相差有所降低。简支边界条件下地基梁梁长为 4 m 的一阶模态幅值与梁长为 16 m 的四阶模态幅值相 等， 两者模态函数一致。 图 10简支边界条件下地基梁前 4 阶振型 L 16 m Fig． 10The first four modes of foundation beams with pinned- pinned ends L 16 m 图 11简支边界条件下地基梁前 4 阶振型 L 4 m Fig． 11The first four modes of foundation beams with pinned- pinned ends L 4 m 图 12固支边界条件下地基梁前 4 阶振型 L 16 m Fig． 12The first four modes of foundation beams with clamped- clamped ends L 16 m 图 13固支边界条件下地基梁前 4 阶振型 L 4 m Fig． 13The first four modes of foundation beams with clamped- clamped ends L 4 m 图 14自由边界条件下地基梁前 4 阶振型 L 4 m Fig． 14The first four modes of foundation beams with free- free ends L 4 m 图 15简自边界条件下地基梁前 4 阶振型 L 4 m Fig． 15The first four modes of foundation beams with pinned- free ends L 4 m 63振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 5结论 1本文以考虑剪切变形引起的转动惯量建立的 Winkler 地基上修正 Timoshenko 梁振动理论推导了多 种边界条件下弹性地基梁振动求解超越方程及模态函 数， 为弹性地基梁的振动分析提供了有利工具， 丰富了 弹性地基梁振动研究的计算方法。 2在多种边界条件下本文计算结果与有限元法 计算结果一致， 验证了本文理论的正确性。由算例 4． 1 可知， 相比于传统理论 Winkler 地基上 Euler 梁理论 ， 本文理论振动频率计算结果均偏小。在两端自由边界 条件 下， 高 跨 比 较 大