S型悬臂梁柔度性能的计算与分析_于月民.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 3 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．3 2020 基金项目广东石油化工学院人才引进项目 2019RC083 收稿日期2018 －08 －24修改稿收到日期2018 －10 －21 第一作者 于月民 女， 博士， 教授， 1972 年生 S 型悬臂梁柔度性能的计算与分析 于月民1，盖芳芳1，丁元柱1，于丽艳2 1． 广东石油化工学院 建筑工程学院， 广东 茂名525000; 2． 黑龙江科技大学 理学院， 哈尔滨150022 摘要基于线弹性和小变形假设理论， 以卡氏第二定理为理论基础， 推导了 S 型悬臂梁 x 向、 y 向和 z 向柔度的 解析计算公式， 利用有限元方法对柔度解析式进行校验。通过定义柔度比函数， 比较了倒角 S 型悬臂梁、 直梁 S 型悬臂梁 和圆弧 S 型悬臂梁的柔度性能。结果表明 S 型悬臂梁各柔度计算公式的相对误差均在 10 以内， 理论分析与仿真结果 基本吻合， 验证了 S 型悬臂梁各柔度解析式的正确性。当倒角 S 型悬臂的 γ 0． 2 时， 圆弧 S 型悬臂梁的 x 向和 z 向柔度 最大， 直梁 S 型悬臂梁的 y 向柔度最大。当 α 18， β 6 时， 直梁 S 型悬臂梁的 y 向柔度最大， 圆弧 S 型悬臂梁的 z 向柔度 最大; 倒角 S 型悬臂的参数 0． 2≤γ≤2． 2 时， 圆弧 S 型悬臂梁的 x 向柔度最大; 倒角 S 型悬臂的参数 γ ＞2． 2 时， 倒角 S 型 悬臂梁的 x 向柔度最大。本文的研究内容为 S 型悬臂梁的工程设计和应用提供了理论基础。 关键词S 型悬臂梁; 柔度; 卡式定理; 有限元; 柔度比 中图分类号TH122; TH703文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 03． 037 Compliance calculation and analysis for a S- type cantilever beam YU Yuemin1，GAI Fangfang1，DING Yuanzhu1，YU Liyan2 1． College of Architectural Engineering，Guangdong University of Petrochemical Technology，Maoming 525000，China; 2． College of Science，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin 150022，China AbstractBased on the theory of linear elasticity and small deation，analytical calculation ulas for compliances in x，y and z directions of a S- type cantilever beam were deduced by using Castigliano’ s second theorem． The correctness of these ulas was verified by using the finite element FEM ． Compliances of curved S- type cantilever beam，straight one and arc one were compared by defining the compliance ratio function． The results showed that relative errors of various compliance calculation ulas for S- type cantilever beams are all less than 10， theoretical analysis results agree well with simulation ones to verify the correctness of various compliance analytical calculation ulas for S- type cantilever beams;when γ 0． 2 for curved S- type cantilever beam，compliances in x and z directions of arc one are the largest，compliance in y direction of straight one is the largest;when α 18 and β 6， compliance in y direction of straight S- type cantilever beam is the largest，and compliance in z direction of arc one is the largest;when 0． 2≤γ≤2． 2 for curved S- type cantilever beam， compliance in x direction of arc one is the largest; when γ ＞2． 2 for curved S- type cantilever beam，compliance in x direction of curved one is the largest;the study results provide a theoretical basis for engineering design of S- type cantilever beams and their application． Key words S- type cantilever beam;compliance;Castigliano’s theorem;finite element FEM ; compliance ratio 悬臂梁的变形可实现机构的多自由度运动， 因此 悬臂梁是传感器、 执行器和陀螺仪等的重要组成部分， 他不仅可为机构提供弹性力， 而且能够传递能量， 还可 以吸收振动 ［1- 5 ］。在一些柔性铰链的设计中采用悬臂 梁结构作为变形单元， 可以减小柔性铰链的转动刚 度 ［6- 11 ］。悬臂梁性能的好坏对器件能否按照设计要求 工作起着至关重要的作用。 柔度是评价悬臂梁动力学性能的重要指标之一， 柔度能反映出载荷与变形间的解析关系。目前， 结构 简单的悬臂梁的刚度计算公式已经非常成熟， 而结构 复杂的 S 型悬臂梁并没有成熟的设计计算公式， 在器 件的设计及优化中缺乏理论支持。以往的文献报道 中， 闫凯等 ［12 ］设计了 S 型折叠式柔性铰链， 建立了转角 刚度模型。何光等 ［13 ］对 MEMS 平面 Z 型、 L 型等复杂 形状的多节悬臂梁的平面刚度计算公式进行了推导， 但并未考虑转角处的弯矩对刚度的影响; 吴志亮等 ［14 ］ 对 S 型折叠式悬臂梁的 y 向刚度公式进行了推导， 进 ChaoXing 一步提高了精度。刘双杰等 ［15 ］对圆弧 S 型折叠悬臂梁 的 x， y， z， 3 个方向的刚度计算公式进行了推导。 本文基于线弹性和小变形假设理论， 利用卡氏第 二定理提出 S 型悬臂梁在力作用下的 x 向、 y 向和 z 向 柔度解析计算公式， 采用有限元法对其进行验证。改 变 S 型悬臂梁柔度解析式中的相关参数， 得到直梁 S 型悬臂梁和圆弧 S 型悬臂梁的柔度解析式。通过定义 柔度比函数， 对倒角 S 型悬臂梁、 直梁 S 型悬臂梁和圆 弧 S 型悬臂梁的柔度性能进行比较分析。 1S 型悬臂梁柔度模型 S 型悬臂梁见图 1 所示， b 和 t 分别为悬臂梁的截 面宽度和截面厚度， L 为悬臂梁一半长度， D 为悬臂梁 一半宽度， R 为弯曲处平均倒角半径， a 为折叠处直梁 长度， l 为悬臂梁直梁一半长度。悬臂梁的受力见图 2 所示， 图中 O- xyz 为悬臂梁固定端参考点上的固定坐标 系， p- xyz 为悬臂梁自由端参考点上的局部坐标系。 基于线弹性和小变形假设理论， 由卡氏第二定理 可知， S 型悬臂梁在外载作用下的位移 δj V ε F j 1 式中 Vε为悬臂梁的变形能; Fj为悬臂梁所受的第 j 个 载荷; δj为悬臂梁在 Fj作用方向上的位移。 图 1 S 型悬臂梁 Fig． 1S type cantilever 图 2 S 型悬臂梁受力示意图 Fig． 2Loads of S type cantilever 将 S 型悬臂梁分成9 个部分， 见图3 所示。分别计 算各部分的变形能， 叠加后即为 S 型悬臂梁的变形能 Vε∑ 9 i 1 V εi 2 图 3 S 型悬臂梁计算简图 Fig． 3Calculation diagram of S type cantilever 对 S 型悬臂梁的变形能求解载荷的偏导， 即可获 得 S 型悬臂梁自由端参考点在载荷 Fj作用方向上的位 移 δj。由线弹性理论， S 型悬臂梁的柔度可表示为 Cj δj Fj 3 2S 型悬臂梁柔度计算 S 型悬臂梁自由端参考点受沿 x 向的力 Fx作用 时， 只考虑悬臂梁截面受到轴力以及弯矩的作用， 悬臂 梁的变形能由轴向拉伸变形能和弯曲变形能组成。 轴向拉伸变形能为 V εN ∫ a 0 F2 x EAdx 4 弯曲变形能为 V εM ∫ a 0 F2 x l R 2 EIz dx ∫ l 0 F2 x［ x 2 x － l 2］ 2EIz dx ∫ 2l 0 F2 x x － l 2 2EIz dx ∫ π 2 0 F2 xR［ l Rsin α 2 l Rcos α 2］ EIz dα 5 式中 E 是材料的拉压弹性模量; A 是悬臂梁横截面面 积; Iz是悬臂梁横截面的惯性矩。 S 型悬臂梁自由端参考点受沿 y 向的力 Fy作用 时， 只考虑悬臂梁截面受到轴力以及弯矩的作用， 悬臂 梁的变形能由轴向拉伸 压缩 变形能和弯曲变形能 组成。 轴向拉伸 压缩 变形能为 V εN ∫ l 0 F2 y EAdx ∫ 2l 0 F2 y 2EAdx 6 弯曲变形能为 V εM ∫ a 0 F2 y R x 2 3R a x 2 2EIz dx ∫ l 0 2F2 y 2R a 2 EIz dx ∫ 2l 0 F2 y 2R a 2 2EIz dx ∫ π 2 0 F2 yR［ R － Rcos α 2 R a Rsin α 2］ 2EIz dα ∫ π 2 0 F2 yR［ 3R a － Rcos α 2 3R 2a Rsin α 2］ 2EIz dα 7 772第 3 期于月民等S 型悬臂梁柔度性能的计算与分析 ChaoXing S 型悬臂梁自由端参考点受沿 z 向的力 Fz作用 时， 只考虑悬臂梁截面受到扭矩以及弯矩的作用， 悬臂 梁的变形能由扭转变形能和弯曲变形能组成。 扭转变形能为 V εT ∫ a 0 F2 z l R 2 GIt dx ∫ l 0 2F2 z 2R a 2 GIt dx ∫ 2l 0 F2 z 2R a 2 2GIt dx ∫ π 2 0 F2 zR Rcos α － R － lsin α 2 2GIt dα ∫ π 2 0 F2 zR asin α Rsin α R lcos α 2 2GIt dα ∫ π 2 0 F2 zR acos α 3Rcos α － R － lsin α 2 2GIt dα ∫ π 2 0 F2 zR 2asin α 3Rsin α R lcos α 2 2GIt dα 8 弯曲变形能为 V εM ∫ a 0 F2 z［ R x 2 3R a x 2］ 2EIx dx ∫ l 0 2F2 z［ x 2 x － l 2］ 2EIx dx ∫ 2l 0 F2 z x － l 2 2EIx dx ∫ π 2 0 F2 zR［ lcos α Rsin α 2 Rcos α acos α － lsin α 2］ 2EIx dα ∫ π 2 0 F2 zR 3Rsin α asin α lcos α 2 2EIx dα ∫ π 2 0 F2 zR 3Rcos α 2acos α － lsin α 2 2EIx dα 9 式中 Ix是悬臂梁横截面的惯性矩; G 是材料的剪切弹 性模量; It是悬臂梁横截面的惯性矩。 定义参数 α L t ，β D t ，γ R t 10 S 型悬臂梁的一半长度 L l R， 悬臂梁一半宽度 D a 2R。可求得 S 型悬臂梁的柔度为 Cx， C β －2γ 1 6α26γπ 3γ 2 2α2－4αγ8 α － γ 7γ 2 α 2 －2αγ Eb 11 Cy， C 4［ α － γ β2 6α －10γ 3γπ 2β γ β －2γ 3γ － β－ πγ 2 2β －3γ ］ Eb 12 Cz， C t2{ 16 α － γ 3 2γπ［ 10γ β － γ3 β －2γ 2 2 α － γ 2］ } 2Eb3 t2{ β － γ ［ 30γ β － γ8 β －2γ 2 －6γ α － γ ］ } 2Eb3 1 μ { γπ［ 3γ β － γ3 β －2γ 2 2 α － γ 2］ } 2Eλt 1 μ { α － γ ［ 3β2 γ 2γ β ］ β －2γ ［ α － γ 2 2 α － γ γ 3γ2］ } 2Eλt 13 式中 μ 是材料的泊松比; λ 是 S 型悬臂梁的截面因数。 利用有限元分析软件 ANSYS 建立 S 型悬臂梁模 型， 对 S 型悬臂梁的柔度公式进行验证。S 型悬臂梁材 料选用合金钢， 其弹性模量 E 210 GPa， 泊松比 μ 0． 3。S 型悬臂梁的截面宽度 b 5 mm， 截面厚度 t 1 mm， 悬臂梁直梁一半长度 l 20 mm， 弯曲处倒角半径 R 1 mm， 折叠处直梁长度 a 10 mm。有限元模型见 图 4 所示， 在 S 型悬臂梁的自由端加单位载荷， 即 Fx 1 N， Fy1 N， Fz1 N， 计算自由端参考点在单位载荷 图 4 S 型悬臂梁有限元网格划分模型 Fig． 4Finite element mesh model of S type cantilever 方向上的位移， 从而得到 S 型悬臂梁的柔度， 有限元分 析的结果和柔度公式计算结果见表 1 所示。 表 1解析计算结果与有限元分析结果对比 Tab． 1The results contrast between compliance computation and finite element analysis 柔度解析法有限元误差/ Cx10 －3 / mN －1 0． 1010． 1119． 0 Cy10 －4 / mN －1 0． 8140． 7932． 6 Cz10 －4 / mN －1 0． 7270． 7899． 6 由表 1 中数据可知， 有限元结果和柔度公式计算 结果的偏差分别为 9． 0、 2． 6 和 9． 6， 均在 10 以 内， 公式所得的结果与有限元分析结果基本一致， 从而 验证了 S 型悬臂梁柔度计算公式的正确性。 3结构参数对柔度性能的影响 S 型悬臂梁的弯曲处平均倒角半径 R 0 时， 即为 直梁 S 型悬臂梁， 直梁 S 型悬臂梁的一半长度 L l， 悬 臂梁一半宽度 D a。当 S 型悬臂梁的柔度计算公式 中 γ 0 时， 可得到直梁 S 型悬臂梁的柔度计算公式。 S 型悬臂梁的折叠处直梁长度 a 0 时， 即为圆弧 S 型 872振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 悬臂梁， 圆弧 S 型悬臂梁的一半长度 L l R， 悬臂梁 一半宽度 D 2R。S 型悬臂梁的柔度计算公式中 β 2γ 时， 可得到圆弧 S 型悬臂梁的柔度计算公式。S 型 悬臂梁的弯曲处平均倒角半径 R 和折叠处直梁长度 a 均不为零时， 即为倒角 S 型悬臂梁。 为进一步分析结构参数 α， β 和 γ 对这三种 S 型悬 臂梁柔度性能的影响， 比较这三种 S 型悬臂梁的柔度 性能， 将倒角 S 型悬臂梁作为比较基准， 定义柔度比 函数 fx， k α， β， γ Cx， K Cx， C fy， k α， β， γ Cy， K Cy， C，K S， A fz， k α， β， γ Cz， K Cz，          C 14 式中 S 是直梁 S 型悬臂梁; A 是圆弧 S 型悬臂梁。 柔度比函数消除了变量 E 的影响， 悬臂梁的截面 宽度 b 和截面厚度 t 相同的情况下， 柔度比函数只与 α， β 和 γ 有关。 分析直梁 S 型悬臂梁与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 函数随 α， β 变化时， 倒角 S 型悬臂梁的 γ 为常数。图5 ～ 图7 是直梁 S 型悬臂梁与 γ 0． 2 的倒角 S 型悬臂梁 的柔度比函数随 α， β 变化曲线。在分析直梁 S 型悬臂 梁与倒角 S 型悬臂梁的柔度比函数随参数 γ 变化时， α， β 为常数。图 8 是当 α 18， β 6 时， 直梁 S 型悬臂 梁与倒角 S 型悬臂梁的柔度比函数随倒角 S 型悬臂梁 参数 γ 变化曲线。 通过分析图 5 ～ 图 8， 可以得到以下的结论 当倒 角 S 型悬臂梁的 γ 0． 2 时， 柔度比函数 fx， k α， β， γ 随 参数 α， β 增大而增大; 柔度比函数 fy， k α， β， γ 随参数 α， β 减小而增大; 柔度比函数 fz， k α， β， γ 随参数 α 增 大 β 减小而增大。当 α 18， β 6 时， 柔度比函数 fx， k α， β， γ 随参数 γ 增大而减小; 0． 2≤γ≤3． 2 时， 柔 度比函数 fy， k α， β， γ 随参数 γ 增大而增大， γ ＞3． 2 时 柔度比函数 fy， k α， β， γ 随参数 γ 增大而减小; 0． 2≤γ ≤2． 2 或 γ ＞4． 2 时， 柔度比函数 fz， k α， β， γ 随参数 γ 增大而减小， 2． 2 ＜ γ≤4． 2 时柔度比函数 fz， k α， β， γ 随参数 γ 增大而增大。图 5 中柔度比函数 fx， k α， β， γ ＜1， 可知 γ 0． 2 的倒角 S 型悬臂梁比直梁 S 型悬臂 梁有着更大的 x 向柔度， 尤其是当参数 α， β 比较小的 时候; 图 6 中柔度比函数 fy， k α， β， γ＞ 1， 可知直梁 S 型悬臂梁比 γ 0． 2 的倒角 S 型悬臂梁有着更大的 y 向柔度， 尤其是当参数 α， β 比较小的时候; 图 7 中柔度 比函数 fz， k α， β， γ＜1， 可知 γ 0． 2 的倒角 S 型悬臂 梁比直梁 S 型悬臂梁有着更大的 z 向柔度， 尤其是当参 数 α 比较小而 β 比较大的时候。由图 8 可知 fx， k α， β， γ 和 fz， k α， β， γ 都小于 1， 倒角 S 型悬臂梁比直梁 S 型悬臂梁有着更大的 x 向柔度和 z 向柔度; 由 fy， k α， β， γ＞1 可知， 直梁 S 型悬臂梁比倒角 S 型悬臂梁有着更 大的 y 向柔度。 图 5直梁 S 型与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 f x， k α， β， γ Fig． 5Compliance ratio fx， k α， β， γof straight beam and curved S type cantilever 图 6直梁 S 型与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 f y， k α， β， γ Fig． 6Compliance ratio fy， k α， β， γof straight beam and curved S type cantilever 图 7直梁 S 型与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 f z， k α， β， γ Fig． 7Compliance ratio fz， k α， β， γof straight beam and curved S type cantilever 分析圆弧 S 型悬臂梁与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 函数随 α， β 变化时， 倒角 S 型悬臂梁的 γ 为常数， 圆弧 S 型悬臂梁的 γ β/2。图 9 ～ 图 11 是圆弧 S 型悬臂梁 与 γ 0． 2 的倒角 S 型悬臂梁的柔度比函数随 α， β 变 972第 3 期于月民等S 型悬臂梁柔度性能的计算与分析 ChaoXing 图 8直梁 S 型与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 Fig． 8Compliance ratio of straight beam and curved S type cantilever 化曲线。在分析圆弧 S 型悬臂梁与倒角 S 型悬臂梁的 柔度比函数随参数 γ 变化时， α， β 为常数， 圆弧 S 型悬 臂梁的 γ 为常数， 且 γ β/2。图 12 是当 α 18， β 6 时， 圆弧 S 型悬臂梁与倒角 S 型悬臂梁的柔度比函数 随倒角 S 型悬臂梁参数 γ 变化曲线。 通过分析图 9 ～ 图 12， 可以得到以下的结论 当倒 角 S 型悬臂梁的 γ 0． 2 时， 柔度比函数 fx， k α， β， γ 随 参数 α 减小 β 增大而增大; 柔度比函数 fy， k α， β， γ 随 参数 α 增大 β 减小而增大; 柔度比函数 fz， k α， β， γ 随 参数 α 减小 β 增大而增大。当 α 18， β 6 时， 柔度比 函数 fx， k α， β， γ 和 fz， k α， β， γ 随参数 γ 增大而减小; 0． 2≤γ≤3． 2 时， 柔度比函数 fy， k α， β， γ 参数 γ 增大 而增大， γ ＞3． 2 时， 柔度比函数 fy， k α， β， γ 参数 γ 增 大而减小。图 9 中柔度比函数 fx， k α， β， γ＞1， 可知圆 弧 S 型悬臂梁比 γ 0． 2 的倒角 S 型悬臂梁有着更大 的 x 向柔度， 尤其是当参数 α 比较小而 β 比较大的时 候; 图 10 中柔度比函数 fy， k α， β， γ＜ 1， 可知 γ 0． 2 的倒角 S 型悬臂梁比圆弧 S 型悬臂梁有着更大的 y 向 柔度， 尤其是当参数 α 比较小而 β 比较大的时候; 图 11 中柔度比函数 fz， k α， β， γ＞ 1， 可知圆弧 S 型悬臂梁 比γ 0． 2 的倒角 S 型悬臂梁有着更大的 z 向柔度， 尤其 图 9圆弧 S 型与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 f x， k α， β， γ Fig． 9Compliance ratio fxk α， β， γof arc and curved S type cantilever 是当参数 α 比较小而 β 比较大的时候。由图 12 可知 fz， k α， β， γ＞1， 圆弧 S 型悬臂梁比倒角 S 型悬臂梁有 着更大的 z 向柔度; 0． 2≤γ≤2． 2 时 fx， k α， β， γ＞1， 圆 弧 S 型悬臂梁比倒角 S 型悬臂梁有着更大的 x 向柔度， γ ＞2． 2 时 fx， k α， β， γ＜ 1， 倒角 S 型悬臂梁比圆弧 S 型悬臂梁有着更大的 x 向柔度; γ 3． 2 时 fy， k α， β， γ ＞1， 圆弧 S 型悬臂梁比倒角 S 型悬臂梁有着更大的 y 向柔度， 0． 2≤γ ＜3． 2 或 γ ＞3． 2 时 fy， k α， β， γ＜1， 倒 角 S 型悬臂梁比圆弧 S 型悬臂梁有着更大的 y 向柔度。 图 10圆弧 S 型与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 f y， k α， β， γ Fig． 10Compliance ratio fy， k α， β， γof arc and curved S type cantilever 图 11圆弧 S 型与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 f z， k α， β， γ Fig． 11Compliance ratio fz， k α， β， γof arc and curved S type cantilever 图 12圆弧 S 型与倒角 S 型悬臂梁的柔度比 Fig． 12Compliance ratio of arc and curved S type cantilever 082振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 4结论 本文利用卡氏二定理推导出了 S 型悬臂梁的柔度 解析式， 用有限元的方法验证了 S 型悬臂梁柔度解析 式的有效性。基于 S 型悬臂梁柔度解析式， 改变结构 参数获得直梁 S 型悬臂梁和圆弧 S 型悬臂梁的柔度解 析式。通过定义柔度比函数， 分析了倒角 S 型悬臂梁、 直梁 S 型悬臂梁和圆弧 S 型悬臂梁的柔度性能， 主要 结论概括如下 1当倒角 S 型悬臂梁的 γ 0． 2 时， 圆弧 S 型悬 臂梁比倒角 S 型悬臂、 直梁 S 型悬臂梁有更大的 x 向和 z 向柔度， 尤其是当参数 α 比较小而 β 比较大的时候; 直梁 S 型悬臂梁比倒角 S 型悬臂、 圆弧 S 型悬臂梁有 更大的 y 向柔度， 尤其是当参数 α， β 比较小的时候。 2当 α 18， β 6 时， 直梁 S 型悬臂梁比圆弧 S 型悬臂梁、 倒角 S 型悬臂梁有更大的 y 向柔度， 尤其是 当倒角 S 型悬臂梁的参数 γ 3． 2 的时候; 圆弧 S 型悬 臂梁比倒角 S 型悬臂、 直梁 S 型悬臂梁有更大的 z 向柔 度， 尤其是当倒角 S 型悬臂的参数 γ 比较小的时候; 当 0． 2≤γ≤2． 2 时， 圆弧 S 型悬臂梁比倒角 S 型悬臂、 直 梁 S 型悬臂梁有更大的 x 向柔度， 尤其是当倒角 S 型悬 臂的参数 γ 比较小的时候， γ ＞2． 2 时， 倒角 S 型悬臂梁 比圆弧 S 型悬臂梁、 直梁 S 型悬臂梁有更大的 x 向柔 度， 尤其是当倒角 S 型悬臂的参数 γ 比较大的时候。 参 考 文 献 ［1］ 石然， 裘安萍， 苏岩． 硅微谐振式加速度计的实现及性能测 试［ J］ ． 光学 精密工程， 2010， 18 12 2583- 2589． SHIRan，QIUAnping，SUYan．Implementationand experiments of micromechanical differential silicon resonant accelerometer ［J］ ． Opt． Precision Eng． ， 2010， 18 12 2583- 2589． ［2］ 陈光焱， 吴嘉丽， 赵龙， 等． 基于阿基米德螺旋线的低 g 值 微惯性开关［ J］ ． 光学精密工程， 2009， 17 6 1257- 1261． CHEN Guangyan， WU Jiali， ZHAO Long， et al． Low- g micro inertial switch based on Archimedes spiral［ J］ ． Opt． Precision Eng． ， 2009， 17 6 1257- 1261． ［3］ 伞海生， 宋子军， 王翔， 等． 适用于恶劣环境的 MEMS 压阻 式压力传感器［ J］ ． 光学 精密工程， 2012， 20 3 550- 555． SANHaisheng，SONGZijun，WANGXiang，etal． ． Piezoresistive pressure sensors for harsh environments［J］ ． Opt． Precision Eng． ， 2012， 20 3 550- 555． ［4］ 杨期江， 李伟光， 赵学智， 等． 挠性支承可倾瓦轴承动力特 性研究［ J］ ． 振动与冲击， 2018， 37 16 111- 117． YANG Qijiang， LI Weiguang， ZHAO Xuezhi， et al． A study on dynamic characteristics of flexure pivot tilting pad bearings ［ J］ ． Vibration and Shock， 2018， 37 16 111- 117． ［5］ WANG Nianfeng， LIANG Xiaohe， ZHANG Xianmin． Stiffness analysis ofcorrugatedflexurebeamusedincompliant mechanisms［ J］ ． Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2015， 28 4 776- 784． ［6］ 于靖军， 郝广波， 陈贵敏， 等． 柔性机构及其应用研究进展 ［ J］ ． 机械工程学报， 2015， 51 13 53- 68． YU Jingjun， HAO Guangbo， CHEN Guimin， et al． State- of- art of compliant mechanisms and their applications［ J］ ． Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51 13 53- 68． ［7］ HOU C W， LAN C C． Functional joint mechanisms with constant torque outputs［ J］ ． Mechanical and Machine Theory， 2013， 62 166- 181． ［8］ 邱丽芳， 韦志鸿， 俞必强， 等． LET 柔性铰链的等效刚度分 析及其参数优化［ J］ ． 工程力学， 2014， 31 1 188- 192． QIU Lifang， WEI Zhihong， YU Biqiang， et al． Analysia of equivalent stiffness and parameter optimization of LET flexure hinge［ J］ ． Engineering Mechanics， 2014， 31 1 188- 192． ［9］ 曹毅， 刘凯， 单春成， 等． 抗拉柔性铰链的理论建模及有限 元分析［ J］ ． 光学 精密工程， 2016， 24 1 119- 125． CAO Yi， LIU Kai， SHAN Chuncheng， et al． Theory modeling and finite element analysis of tensile flexure hinge ［J］ ． Opt． Precision Eng． ， 2016， 24 1 119- 125． ［ 10］ 刘凯， 曹毅， 丁锐． 平面折展机构平面弹簧设计与分析 ［ J］ ． 中国机械工程， 2016， 27 19 2663- 2667． LIU Kai， CAO Yi， DING Rui． Design and analysis of LETs planar spring［J］ ． China Mechanical Engineering， 2016， 27 19 2663- 2667． ［ 11］ 王念峰， 张志远， 张宪民， 等． 三种两自由度柔顺精密定位 平台的性能对比与分析［J］ ． 机械工程学报， 2018， 54 13 102- 109． WANG Nianfeng， ZHANG Zhiyuan， ZHANG Xianmin， et al． PerancecomparisonandanalysisofThree2- DOF compliant precisionpositioningstages ［J］ ． Journalof Mechanical Engineering， 2018， 54 13 102- 109． ［ 12］ 闫凯， 张静， 寇子明． S 型折叠柔性铰链结构设计［ J］ ． 中国 机械工程， 2017， 28 14 1696- 1700． YAN Kai， ZHANG Jing， KOU Ziming． Structure design of S- typefoldableflexiblehinges ［J］ ．ChinaMechanical Engineering， 2017， 28 14 1696- 1700． ［ 13］ 李华， 石庚辰． MEMS 平面微弹簧弹性系数的研究［ J］ ． 探 测与控制学报， 2005， 27 4 42- 44． LI Hua， SHI Gengchen． Study on the elastic coefficient of MEMS planar microspring［J］ ． Journal of Detection and Control， 2005， 27 4 42- 44． ［ 14］ 吴志亮， 常娟， 冯鹏洲， 等． 引信用 MEMS 平面微弹簧刚度 分析［ J］ ． 南京理工大学学报 自然科学版 ， 2008， 32 2 140- 143． WU Zhiliang， CHANG Juan， FENG Pengzhou， et al． Elastic coefficient analysis of MEMS planar microspring used in fuse ［ J］ ． Journal of NanjingUniversity of Science and Technology Natural Science ， 2008， 32 2 140- 143． ［ 15］ 刘双杰， 郝永平． S 型折叠式微悬臂梁刚度计算［J］ ． 光学 精密工程， 2013， 21 2 388- 393． LIUShuangjie，HA