大型空间柔性桁架结构等效建模与动力学分析_刘梅.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 3 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．3 2020 基金项目国家自然科学基金 11732005 ; 民航资助项目 D020213 ; 上海市自然科学基金 16ZR1415700 收稿日期2018 －07 －19修改稿收到日期2018 －10 －23 第一作者 刘梅 女， 博士生， 1989 年生 通信作者 曹登庆 男， 博士， 教授， 1958 年生 大型空间柔性桁架结构等效建模与动力学分析 刘梅1，曹登庆1，黄庭轩2，孙禄君2 1． 哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨150001; 2． 上海航天控制技术研究所，上海 201109 摘要大型空间柔性桁架结构具有周期性、 大柔度、 构型复杂等特点， 其等效建模是进行振动控制器设计的关键 性技术之一。基于能量等效原理和经典 Timoshenko 梁理论， 对刚性连接的大型空间柔性正三棱柱桁架结构进行了等效 建模与动力学分析， 采用 Taylor 展开方法推导了等效梁模型的刚度和质量表达式， 对比分析桁架结构与等效梁模型的固 有振动特性， 二者吻合较好。数值结果表明了等效方法的有效性且等效梁模型具有较高的精度。 关键词大型空间柔性桁架结构;周期性;能量等效原理;等效梁模型;固有振动特性 中图分类号V414． 2文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 03． 010 Equivalent modeling and dynamic analysis for large flexible space truss structures LIU Mei1，CAO Dengqing1，HUANG Tingxuan2，SUN Lujun2 1． School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China; 2． Shanghai Aerospace Control Technology Institute，Shanghai 201109，China AbstractLarge flexible space truss structures have features of periodicity，large flexibility and complex configuration，their equivalent modeling is one of key techniques to design vibration controllers． Here，based on the energy equivalent principle and the classical Timoshenko beam theory，equivalent modeling and dynamic analysis were conducted for a large space flexible positive triangular prism truss structure with rigid joints． Taylor expansion was used to derive its equivalent beam model’ s stiffness and mass expressions，and the natural vibration characteristics of the truss structure and its equivalent beam were analyzed contrastively． Both of them agreed better with each other． The numerical results showed that the proposed equivalent approach is effective;the equivalent beam model has a higher accuracy． Key wordslarge flexible space truss structure;periodicity;energy equivalent principle;equivalent beam model; natural vibration characteristics 空间可展结构具有质量轻、 支撑刚度大、 抗振性 好、 收纳率高等诸多优点， 使得其在航天领域的应用愈 来愈广泛。同时， 空间可展结构的自由度高、 构型复 杂、 运行环境特殊， 使得对其进行动力学分析时建模难 度大、 耗时耗力， 且难以用于结构设计与振动控制。因 此， 建立复杂空间可展结构的合理简化模型， 并保证其 动力学分析的精度与速度是解决大型空间柔性结构设 计与振动控制的关键技术之一， 也是近年来柔性航天 器结构振动领域的研究热点之一。 早在 20 世纪 80 年代， Noor 等 ［1- 4 ］提出了空间周期 桁架结构等效连续体建模方法， 基于能量等效原理， 分 别将梁式和板式的周期桁架结构等效为梁模型和板模 型。针对刚性连接的三棱柱桁架结构， Noor 等采用微 极弹性理论， 将其等效为空间微极梁模型， 并通过静力 学、 动力学和屈曲分析验证了等效模型的精度。Lee［5 ］ 根据各构件的刚度和质量矩阵， 通过矩阵转换， 得到等 效梁模型的刚度和质量矩阵， 研究了平面非对称桁架 结构的振动特性， 其等效梁模型固有频率比原结构偏 高。基于 Rayleigh 原理分析， 其原因在于等效梁模型 自由度数降低， 相当于约束条件增加导致振动频率偏 高。Burgardt 等 ［6 ］将平面桁架结构位移表示为分段线 性函数， 采用平均化方法定义等效梁模型的应力和应 变参数， 并进行了静力学分析。Necib 等 ［7 ］将平面周期 桁架结构等效为各向异性 Timoshenko 梁， 采用位移等 效方法研究了非对称平面桁架结构的固有振动及瞬态 响应特性， 该等效方法需预先获知节点力的大小及分 布情况， 并指定其边界条件。Moreau 等 ［8 ］运用均匀化 ChaoXing 方法建立了平面类梁桁架连续体模型， 并研究了其在 大变形情况下的屈曲问题。近期， Stephen 等 ［9- 10 ］采用 状态变量传递矩阵法等效出铰接非对称类梁周期桁架 结构的连续体参数， 并对其进行了拉伸- 扭转耦合振动 分析。Salehian 等 ［11- 13 ］研究了铰接及带有柔性铰的类 梁周期桁架结构的等效模型， 运用能量等效方法与哈 密顿原理得到等效模型的偏微分方程， 并结合实验对 平面周期桁架结构进行了动态响应验证。Kebiche 等 ［14 ］采用能量法将具有初应力状态的离散结构经过 4 次矩阵转换得到等效模型的刚度， 并研究了初应力的 影响。Murphey［15 ］推导了不同形式的铰接桁架结构轴 向、 弯曲、 剪切和扭转刚度的简化通用方程， 并研究了 结构参数对该通用方程计算精度的影响。Guo 等 ［16 ］将 双层铰接环形桁架结构等效为连续体模型， 结合有限 元仿真及实验结果对其振动特性进行对比分析。陈素 芳等 ［17 ］根据均匀化方法研究了单向纤维增强复合材料 等效后的均质材料属性， 对其进行热动态特性分析。 刘福寿等 ［18- 19 ］研究了刚性连接的环形天线周期桁架结 构等效模型， 将平面周期单元等效为 Timoshenko 梁单 元， 对环形桁架结构面内和面外的振动特性进行了分 析。董纪伟等 ［20 ］运用均匀化方法建立了三维编织复合 材料的等效弹性模量均匀化列式， 并与实验结果进行 了对比。 上述文献中， 主要研究对象为铰接形式的桁架结 构， 而空间可展桁架结构完全展开后， 铰链锁定， 因此 可假定构件之间连接方式为刚性连接。Noor 等根据微 极弹性理论， 建立了刚性连接的类梁桁架结构等效微 极梁模型。Liu 等建立了刚性连接的平面周期单元环 形桁架结构的等效 Timoshenko 梁模型， 考虑了弯曲曲 率对结构横向位移的影响， 表明等效 Timoshenko 梁模 型具有较高的精度。 本文运用经典 Timoshenko 梁理论， 将刚性连接的 直线式大型空间柔性正三棱柱桁架结构等效为空间 Timoshenko 梁模型。基于能量等效原理， 采用 Taylor 展 开方法， 将梁、 杆构件组成的空间柔性正三棱柱伸展臂 空间周期单元桁架结构 等效为空间 Timoshenko 梁模 型， 系统推导了模型的几何方程、 应变能、 动能、 刚度矩 阵和质量矩阵表达式; 结合已有文献的算例和实际工 程算例的动力学分析结果验证了该等效方法的有效 性、 准确性与可靠性。 1周期单元运动学假设及几何方程 大型空间柔性正三棱柱伸展臂桁架结构 下文简 称 桁架结构 为直线式类梁结构， 由典型的空间周期 单元构成， 结构进入长期服役状态之后， 铰链锁定。图 1 为桁架结构示意图， 周期单元由 3 根纵梁、 6 根横梁 和6 根斜杆连接而成， 见图2 a 。按照右手定则， 在周 期单元中心处建立直角坐标系 O- xyz， 见图 2 b 。x 轴 沿垂直于周期单元横截面方向， 且位于正三角形横截 面的中心。根据平截面假定， 假设周期单元横截面变 形之后仍然保持为一个平面， 则横截面上任一点的位 移 ux， uy， uz在平面 Oyz 上线性变化， 位移分量正方向 的定义见图 3， 则该横截面上任一点的位移可表示为公 式 1 的形式。 图 1桁架结构 Fig． 1Truss structure a周期单元 b横截面 图 2空间周期单元示意图 Fig． 2The schematic diagram of repeating element ux x， y， z u0 x x－ yθ 0 z x zθ 0 y x uy x， y， z u0 y x yε 0 y x z－ θ 0 x x 1 2 γ0yz x uz x， y， z u0 z x y θ 0 x x 1 2 γ0yz x zε0z x            1 式中 u0 x x ， u 0 y x ， u 0 z x 为横截面中心处 y 0， z 0 的位移; θ0 x x ， θ 0 y x ， θ 0 z x 为横截面分别绕 x 轴、 y 轴和 z 轴的转角; ε0y x ， ε0z x 为横截面中心处分别沿 y 轴和 z 轴的正应变， γ0yz x 为 Oyz 横截面上的切应变。 采用 Taylor 展开方法， 将式 1 中 ux， uy， uz在坐标 原点处展开， 忽略应变导数项。根据经典连续介质理 论， 结构上任一点的转角可由该点的位移导出， 空间周 期单元任一横截面上各点的位移与转角为 07振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing ux x， y， z ≈ux0－ yθz0 zθ y0 xεx0－ xyκ y0 xzκz0 uy x， y， z ≈uy0 yεy0 z－ θx0 1 2 γyz0 x θ z0 γ xy0－ xzκx0 1 2 x2κy0 uz x， y， z ≈uz0 y θx0 1 2 γyz0 zεz0 x γxz0－ θy0 xyκx0 － 1 2 x2κz0 θx 1 2 u z y － u y  z θy 1 2 u x z － u z  x θz 1 2 u y x － u x                         y 2 式中 ux0， uy0， uz0 ， θ x0 ， θ y0和 θz0为空间周期单元中心处 的位移和转角。 图 3位移分量正方向 Fig． 3The positive direction of displacement component 空间周期单元中心处几何方程为 θy0 － du0 z x dx x 0 － γ xz0 θz0 du0 y x dx x 0 － γ xy0 εx0 du0 x x dx x 0 κx0 dθ 0 x x dx x 0 κy0 dθ 0 z x dx x 0 κz0 dθ 0 y x dx x                    0 3 式中 εx0为轴向拉伸应变， γxy0和 γxz0为剪切应变， κx0为 扭转曲率， κy0和 κz0为弯曲曲率。已知构件上各点的坐 标， 代入式 2 中即可得到该点的位移及转角表达式。 需要指出的是， 基于式 2 描述的空间周期单元的 位移与转角表达式以及式 3 描述的空间周期单元的 应变- 位移关系， 可将用于平面周期单元结构的等效方 法 参见文献［ 18- 19］ ， 推广应用于空间桁架结构的等 效， 实现从二维到三维的突破。此外， 本文将刚性连接 的桁架结构与文献［ 16］ 中将铰接形式的桁架结构等效 为梁模型的不同之处在于本文在式 2 中 Taylor 展开 时考虑了弯曲曲率 κy0 ， κ z0对结构横向位移 uy， uz产生 的影响， 推导了考虑构件弯曲曲率影响的刚性连接周 期性桁架结构等效过程， 详见式 2 。 2建立等效梁模型 工程中常用梁模型有两种 Euler- Bernoulli 梁与 Timoshenko 梁。Euler- Bernoulli 梁不考虑弯曲变形引起 的剪切变形， 适用于细长梁; Timoshenko 梁则综合考虑 弯曲变形及剪切变形的影响， 更适用于表征短粗梁的 动力学特性。针对周期单元构型复杂的桁架结构， 剪 切变形是不可忽略的， 等效后梁模型横截面参数增大， 即等效梁模型高跨比增加。基于上节给出的描述空间 周期单元的位移和转角表达式以及应变- 位移关系， 将 空间桁架结构等效为考虑剪切变形影响的空间 Timoshenko 梁模型 下文简称 等效梁模型 ， 更能反应 原结构的固有特征。 基于能量等效原理， 等效梁单元与周期单元的应 变能和动能分别相等。桁架结构展开到位后进入锁定 状态， 假设构件连接处为刚性连接， 同时结合各构件的 几何形状， 设定纵梁和横梁类型为空间梁单元， 斜杆类 型为空间杆单元。周期单元总应变能与动能分别为单 元内 15 根构件的应变能和动能之和。值得注意的是， 桁架结构两端的横梁与中间部分不同， 中间部分的横 梁为相邻周期单元共用， 故计算时需取横梁横截面几 何参数和质量参数的一半， 这使得两端周期单元能量 表达式与中间部分有所不同， 两端周期单元的能量表 达式系数详见附录。周期单元能量表达式为 Ue∑ 15 k 1 1 2 w k TT k TK kT kw k 4 Te∑ 15 k 1 1 2 w k TT k TM kT kw k 5 式中 Ue和 Te分别为周期单元的应变能和动能， w i { uxi， uyi， uzi ， θ xi ， θ yi ， θ zi} T 和 w k { wT i， w T j} T 分别为节 点 i 的位移向量和构件 k 上节点 i 和 j 的位移向量， 上 标 “ ” 表示对时间的导数， K k和 M k为构件 k 的刚 度矩阵和质量矩阵， T k为构件 k 的坐标转换矩阵。 经典梁理论中， 假定横截面上各纤维层之间无相 互挤压， 为使周期单元与空间梁模型等效， 令 U e εy0 U e εz0 U e γyz0 0 6 因此， 周期单元应变能可表示为 εx0 ， γ xy0 ， γ xz0 ， κ x0 ， κ y0， κz0的函数， 则等效梁模型应变能表达式为 Ue 1 2 C11ε2 x0 C22γ 2 xy0 C33γ 2 xz0 C44κ 2 x0 C55κ2 y0 C66κ 2 z0 7 17第 3 期刘梅等大型空间柔性桁架结构等效建模与动力学分析 ChaoXing 式中 系数 C11， C22， C33， C44， C55， C66的表达式详见 附录。 图 4等效梁模型的建立及分析流程图 Fig． 4The flow diagram for modelling and analyzing of the equivalent beam model 计算周期单元动能时忽略位移表达式中应变项， 仅考虑其刚体位移， 则等效梁模型周期单元的动能表 达式为 Te 1 2 B11u 2 x0 B22u 2 y0 B33u 2 z0 B44θ 2 x0 B55θ 2 y0 B66θ 2 z0 8 式中 系数， B11， B22， B33， B44， B55， B66的表达式详见附录。 根据描述空间周期单元的位移和转角表达式 2 得到势能表达式 7 和动能表达式 8 ， 即可分别推导 出等效梁模型的弹性矩阵和惯性矩阵， 进而可以求得 等效梁模型的刚度矩阵和质量矩阵。基于有限单元 法， 采用 MATLAB 工程计算软件编制等效梁模型的动 力学特性计算程序， 图 4 为其流程示意图。 3校验等效梁模型 这里以 Noor 等讨论的刚性连接周期桁架结构为 例， 验证本文等效方法的有效性及准确性。基于能量 等效原理与微极弹性理论， Noor 等将刚性连接周期桁 架结构等效为空间微极梁模型， 给出了 10 个周期单元 悬臂桁架结构及其等效梁模型的固有振动频率。采用 本文方法给出的等效梁模型的固有频率与 Noor 等给出 的结果列于表 1。由表 1 可以看出， 本文结果与 Noor 等给出的有限元计算结果及等效微极梁模型的计算结 果具有较好的一致性， 最大误差仅为 2． 62， 表明本文 等效方法是有效的， 并且具有较高的精度。值得注意 的是， 第 4 阶为局部振动频率， Noor 等和本文建立的等 效梁模型都不能给出单个构件的局部模态。 与 Noor 等采用微极弹性理论将刚性连接的桁架结 构等效为微极梁模型的方法比较， 虽然微极梁模型与 桁架有限元模型的相对误差＜2． 88 也在合理范围 内， 但本文提出的等效为 Timoshenko 梁的方法不仅推 导过程相对简单， 而且等效梁模型的维数从 10 维降到 6 维， 更容易为从事结构设计的工程师们所接受。 表 1固有频率结果对比 Tab． 1Comparisons of natural frequencies 阶次桁架结构/Hz等效梁模型/Hz误差/ 1 8． 942b9． 078b 8． 920b1． 53－0． 25 2 35． 548t35． 313t 35． 590t－0． 66 0． 12 3 47． 930b48． 750b 49． 234b1． 71 2． 72 4 96． 315l 5 104． 068t106． 555t 105． 405t2． 39 1． 29 6 104． 089e106． 817e 107． 086e2． 62 2． 88 7 117． 437b116． 131b 119． 074b－1． 11 1． 39 a上标 b 代表弯曲振型; t 代表扭转振型; e 代表拉伸振型; l 代 表局部振型。 b括号内的数值为文献［ 3］ 中计算结果。 c下文图和表中上标含义同上。 4仿真分析 某桁架结构由 36 个图 2 所示的周期单元构成， 结 构由梁和杆构件组成， 纵梁和横梁为空心圆柱， 斜杆为 实心圆柱， 其几何形状示意图见图 5。 采用 ANSYS 有限元仿真软件建立桁架结构模型， 桁架结构两端为自由- 自由边界条件， 取其固有振动特 性作为参照， 与等效梁模型结果对比分析。 a纵梁和横梁 b斜杆 图 5构件形状示意图 Fig． 5The schematic diagram of shape for members 桁架结构及其等效梁模型在两个方向上的弯曲频 率及振型相同， 故针对弯曲振动形式， 本文算例中每一 阶次代表两个方向上的振动频率和振型。构件几何参 数和材料属性常数分别列于表 2 与表 3。 表 2桁架构件的几何参数 Tab． 2Geometrical parameters of truss members L/mmD/mmh/mm 纵梁2 7401001 横梁3 200501 斜杆4 212． 86 桁架结构与等效梁模型的前 10 阶固有振动频率 列于表 4。由表 4 可知， 前 10 阶固有频率最大误差仅 为 1． 738。结构的前6阶模态振型见图6， 由图6可 27振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 表 3桁架构件的材料属性常数 Tab． 3Material constants of truss members 密度/ kgm －3 杨氏模量/GPa泊松比 纵梁2 700690． 33 横梁3 9603700． 22 斜杆1 60088 见， 第 1、 3、 5 阶振型为弯曲振动模态， 而第 2、 4、 6 阶振 型为扭转振动模态。 采用位移最大值归一化方法， 选取桁架结构结点 处的转角位移与等效梁相应位置处转角位移进行对比 分析， 其归一化结果 α 表示归一化参数 见图 7。由图 7 可见， 第 1、 3 阶模态是 y 方向的弯曲模态， 第 5 阶模 态则是 y 方向和 z 方向弯弯耦合模态; 第 2、 4、 6 阶模态 是纯扭转模态。桁架结构与等效梁的振型保持一致， 进一步表明了等效方法的有效性。 表 4桁架结构与等效梁模型固有频率对比 Tab． 4Comparisons of natural frequencies of the truss obtained bythefull- scaleFEMandequivalent beam model 阶次桁架结构/Hz等效梁模型/Hz误差/ 11． 633b1． 641b0． 476 23． 099t3． 078t－0． 661 34． 224b4． 202b－0． 538 46． 186t6． 163t－0． 364 57． 594b7． 489b－1． 380 69． 248t9． 260t0． 132 711． 328b11． 142b－1． 639 812． 275t12． 377t0． 827 915． 132b14． 967b－1． 091 1015． 253t15． 518t1． 738 a第 1 阶振型b b第 2 阶振型t c第 3 阶振型b d第 4 阶振型t e第 5 阶振型b f第 6 阶振型t 图 6桁架结构振型图 Fig． 6The mode shapes of truss structure a第 1 阶振型b b第 2 阶振型t c第 3 阶振型b d第 4 阶振型t e第 5 阶振型b f第 6 阶振型t 图 7桁架结构与等效梁模型振型对比 Fig． 7Comparisons of mode shapes of truss structure and equivalent beam model 37第 3 期刘梅等大型空间柔性桁架结构等效建模与动力学分析 ChaoXing 5结论 针对梁和杆组成的大型空间柔性正三棱柱桁架结 构， 将刚性连接的空间周期单元等效为考虑剪切变形 的空间 Timoshenko 梁单元， 采用能量等效原理得到了 等效梁模型的刚度和质量参数表达式， 从而建立了此 类空间桁架结构的等效方法。通过理论分析和数值算 例可以得到如下结论 1对于周期单元构型复杂的桁架结构， 其剪切 变形的影响是不可忽略的。因此， 考虑剪切变形的影 响， 将其等效为空间 Timoshenko 梁模型更能反应原结 构的固有特征。 2与 Noor 等采用微极弹性理论将刚性连接的桁 架结构等效为微极梁模型的等效方法比较， 本文提出 的等效方法不仅推导过程相对简单， 而且等效梁模型 的维数从 10 维降到 6 维， 更易于从事结构设计的工程 师们所采用。与刘福寿等 ［19 ］等效理论推导过程相比， 推导了空间三维周期单元的位移及转角表达式， 拓展 了该等效方法的应用范围。 3数值结果表明， 等效空间 Timoshenko 梁模型 与原桁架结构的固有频率和振型吻合较好， 表明等效 梁模型具有较高的精度， 等效方法是有效的。该等效 方法便于在振动控制器设计中应用， 对大型空间柔性 桁架结构的动力学分析与控制律设计及优化具有重要 指导作用。 参 考 文 献 ［1］ NOOR A K．Continuummodelingforrepetitivelattice structures［ J］ ． Applied Mechanics Reviews，1988，41 7 285- 296． ［2］ NOOR A K，ANDERSON M S，GREENE W H． Continuum models for beam-and platelike lattice structures ［J］ ． AIAA Journal， 1978， 16 12 1219- 1228． ［3］ NOOR A K，NEMETH M P．Analysis of spatial beamlike lattices with rigid joints ［J］ ． Computer s in Applied Mechanics and Engineering， 1980， 24 1 35- 59． ［4］ NOOR A K，NEMETH M P．Micropolar beam models for lattice grids with rigid joints ［J］ ．Computer s in AppliedMechanicsandEngineering， 1980， 21 2 249- 263． ［5］ LEE U．Dynamic continuum modeling of beamlike space structures using finite- element matrices ［J］ ． AIAA Journal， 1990， 28 4 725- 731． ［6］ BURGARDT B， CARTRAUD 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AdEdL3 b AbEbL 3 d AbEbL3 d2AdEdL 3 b 3ElIzlLl 1 2 AlElL2 bLl， C66 AdEdL4 lL 2 b 2L3 d AdEdL3 b AbEbL 3 d AbEbL3 d2AdEdL 3 b 3ElIylLl 1 2 AlElL2 bLl 与 C 11 3Ll 4AdEdAlElL3 b3AbEbAlElL 3 d6AbEbAdEdL 3 l 4AdEdL3 b3AbEbL 3 d ， C 22 C33 3 L3 d AdEdL2 bL 2 l， C 44 9 8 GbJbLb3GlJlLl 1 2L3 d AdEdL4 bL 2 l， C 55 AdEdL4 lL 2 b 2L3 d 2AdEdL3 b3AbEbL 3 d 3AbEbL3 d4AdEdL 3 b 6ElIzlLl AlElL2 bLl， C66 AdEdL4 lL 2 b 2L3 d 2AdEdL3 b3AbEbL 3 d 3AbEbL3 d4AdEdL 3 b 6