单自由度齿轮传动系统安全盆侵蚀与分岔_苟向锋.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 2 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol． 39 No． 2 2020 基金项目国家自然科学基金 51365025 ; 天津市自然科学基金重点资 助项目 16JCZDJC38500 ; 天津市高等学校创新团队培养计划 TD13- 5037 收稿日期2018 －05 －03修改稿收到日期2018 －10 －24 第一作者 苟向锋 男， 博士， 教授， 1974 年生 单自由度齿轮传动系统安全盆侵蚀与分岔 苟向锋1， 2，韩林勃1， 2，朱凌云1， 2，石建飞1， 2 1． 天津工业大学机械工程学院， 天津 300387; 2． 天津工业大学天津市现代机电装备技术重点实验室， 天津 300387 摘要齿轮啮合过程中的振动幅值超过一定限度， 会造成系统稳定性的破坏， 影响其安全特性。为研究齿轮传 动系统的安全特性， 以单自由度直齿圆柱齿轮传动系统为研究对象， 数值计算了随着综合传递误差波动系数和时变刚度 波动幅值增大时系统在考察区域内的安全盆， 分析了系统的安全盆侵蚀与分岔过程。结合系统相图、 Poincar 映射图分 析了系统在考察区域内的运动转迁过程， 并计算了系统的最大 Lyapunov 指数图 TLE 及分岔点的 Floquet 乘子; 借助多初 值分岔图进一步分析了系统安全盆侵蚀与分岔现象及演变规律。结果表明 一定范围内随着参数的增大， 系统不同运动 的吸引域演变导致安全盆的侵蚀， 系统的安全性逐渐变差; 在考察区域内， 系统运动分岔和周期跳跃引起安全盆的分岔; 周期跳跃使原运动部分初值的安全盆产生新的安全盆， 另一部分初值的安全盆保持不变， 而倍化分岔和鞍结分岔则使原 安全盆全部分岔为新的安全盆。研究结果可为直齿圆柱齿轮系统的参数设计和选择提供指导， 为保证齿轮传动系统的安 全服役提供理论依据。 关键词齿轮传动系统; 安全盆侵蚀; 安全盆分岔; 多初值分岔; Floquet 乘子 中图分类号O322;TH132． 417文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 02． 018 Erosion and bifurcation of the safe basin for a single- degree- of- freedom spur gear system GOU Xiangfeng1， 2，HAN Linbo1， 2，ZHU Lingyun1， 2，SHI Jianfei1， 2 1． School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China; 2． Tianjin Key Laboratory of Advanced Mechatronics Equipment Technology，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China Abstract In order to study the vibration- boundedness and the safety characteristics of gear transmission systems，a single- degree- of- freedom spur gear transmission system was taken as a studied object． The safety basin of the system in the inspection area was analyzed with the variation of the fluctuant coefficient of comprehension- transmission error and the fluctuant amplitude of time- varying stiffness． The erosion and bifurcation process of the safe basin were analyzed． Based on the system phase diagram and Poincar map，the motion bifurcations process of the system in the investigation area was analyzed，and the top Lyapunov exponent TLEand the Floquet multiplier at the bifurcation point were calculated，and the evolution of the system safety basin erosion and bifurcation was further studied by means of the multi- initial bifurcation diagram． The results show that， with the increase of the parameters in a certain range， the evolution of different motions of the system leads to the erosion of safe basin，and the safety of the system becomes worse;in the investigation area，the bifurcation of the safety basin is caused by the bifurcation and periodic jumping of the system，and the periodic jumping will trans a part of the original safe basin into a new safe basin，while the other part of the original safety basin remains unchanged，and the doubling bifurcation and saddle knot bifurcation makes the original whole safety basin become a new safe basin． The results provide a guidance for the design and selection of spur gear system parameters，and provide a theoretical basis for ensuring the safety service of gear transmission systems． Key wordsgear transmission system;erosion of safe basin;bifurcation of safe basin;multi- initial bifurcation; Floquet multiplier 齿轮传动具有传动效率高、 结构紧凑、 传动平稳等 优点， 是应用广泛的机械传动装置之一， 其运行状态直 接影响到机械设备是否正常工作。齿轮运转过程中的 振动和冲击问题是影响系统性能的主要因素之一。振 ChaoXing 动的有界性是系统实际振动过程中最关心的问题之 一， 当系统的振幅超过一定限度， 往往会导致系统结构 的破坏甚至发生安全事故 船舶倾覆、 电网崩溃等 。 安全盆是研究振动有界性问题的有效方法。 安全盆是 Thompson 等 ［1 －3 ］提出的一种考察非线性 动力系统的平衡点、 周期解和混沌运动等随控制参数 变化时其运动由有界变为无界或其有界区域大小变化 的方法， 并将其应用于不规则波浪作用下船舶倾覆问 题的研究。Neves 等 ［4 ］研究了减摇水箱对不稳定船舶 运动的控制， 得出大多数情况下减摇水箱有利于船舶 的稳定。Freitas 等 ［5 ］研究了悬索桥横向振动的安全盆 侵蚀， 发现安全盆侵蚀是由相空间中安全盆边界与周 期鞍轨道不变流形相交造成的。Lenci 等 ［6 ］建立了同 宿分岔控制方法， 并验证了该控制方法对 Helmholtz 振 荡器中安全盆侵蚀和逃逸现象的有效性。葛根等 ［7 ］研 究了在白噪声和简谐联合激励下形状记忆合金梁的安 全盆侵蚀现象， 发现安全盆内部出现的分形特性和随 机激励幅值有关。尚慧琳等 ［8 ］研究了时滞位置反馈对 一类静电微传感器吸合不稳定的控制， 发现时滞量增 加能够减轻安全盆侵蚀的程度。Rong 等 ［9 ］研究了在 谐波和有界随机噪声下非线性碰撞振子的安全盆侵 蚀， 发现随机噪声会使系统变得不安全。张媛等 ［10 －11 ］ 将安全域的思想引入滚动轴承的状态监测中， 采用两 种不同方法进行了滚动轴承运行状态的安全域估计， 并辨识了滚动轴承的正常和故障状态， 验证了两种方 法的有效性。目前， 安全盆的应用除了船舶系统外， 国 内外的学者们已将其扩展至 Duffing 系统 ［12 －13 ］、 电力系 统 ［14 ］等。安全盆作为考察系统安全特性的方法， 已在 众多领域中得到了研究和应用， 但尚无关于齿轮传动 系统安全盆的相关研究报道。 单自由度直齿轮系统是齿轮传动系统最基本的组 成单元， 单自由度直齿轮系统安全盆问题的研究可扩 展至其他类型的齿轮传动系统。本文针对单自由度直 齿轮系统动力学模型， 研究在一定范围内综合传递误 差波动系数 ε 和时变刚度波动幅值 k 变化时系统安全 盆的侵蚀与分岔过程， 分析安全盆侵蚀与分岔现象及 其演变规律。数值计算系统在考察区域内的安全盆特 性， 结合相图、 Poincar 映射图分析系统在安全盆内的 运动类型; 在一定范围内， 随着参数 ε 和 k 的增大， 数 值计算系统的安全盆演变图， 借助多初值分岔图和 TLE 图分析安全盆的侵蚀与分岔过程， 通过 Floquet 理 论 ［15 ］判断系统分岔类型。 1单自由度直齿轮传动系统动力学模型 考虑齿侧间隙、 时变啮合刚度和综合传递误差等 因素， 单级直齿圆柱齿轮传动系统非线性动力学模型 如图 1 所示。图中， θi， rbi， Ii和 Ti i 1， 2 分别表示 主、 从动齿轮的扭转角位移、 基圆半径、 转动惯量和转 矩;k t 和 e t 分别为齿轮副的啮合刚度和沿啮合线 方向的综合传递误差， 其中 t 为时间;cg为齿轮副的啮 合阻尼。根据文献［ 16］ ， 单自由度齿轮传动系统的无 量纲运动微分方程为 x 2ξx 1 kcos ωt f x F εω2cos ωt 1 式中x， x ， x 分别为相对位移、 速度和加速度;ξ 为阻 尼比;k 为啮合刚度波动幅值;ε 为综合传递误差波动 系数;F 为转矩;ω 为啮合频率;f x 为间隙函数， 可 表示为 f x x － D1， x ＞ D1 0，－ D1≤ x ≤ D1 x D1，x ＜ － D { 1 2 式中D1为无量纲齿侧间隙的一半。 单自由度齿轮系统非线性动力学模型的基本参数 如下主、 从动轮齿数分别为 30， 60， 齿宽分别为 100 mm， 95 mm， 齿轮模数 m 3 mm， 压力角 α 20。 图 1齿轮副简化物理模型 Fig． 1A simplified theoretical model of a spur gear pair 齿轮系统在运转过程中存在着振动和冲击， 其幅 值必须控制在合理的范围内， 以保证齿轮系统的运行 安全。在系统相空间定义一个考察区域， 并将该区域 划分成 800 800 个胞， 取每个胞的中心点作为初值 用每个胞中心点的性质代表整个胞的性质 进行迭 代， 当时间趋于无穷大时， 如果相轨迹仍在考察区域 内， 即为系统的安全解， 所有的安全解构成系统安全 盆; 反之构成系统的不安全盆。本文计算 1 000 个周 期， 即经过 1 000 个周期迭代相轨迹仍在考察区域内视 为系统安全解， 反之为系统不安全解。 2参数 ε 对安全盆侵蚀与分岔的影响 安全盆侵蚀是指随着系统参数的变化， 导致系统 安全解变为不安全解的一种非线性动力学现象， 主要 表现为系统吸引域的演变和安全域面积的变化。安全 盆分岔是指安全盆内部原有运动类型的消失或者新运 动类型的出现， 其运动的拓扑结构发生变化的一种非 线性动力学现象， 主要表现为安全解或不安全解转变 为不安全解或安全解、 出现新的安全解、 原安全解的 消失。 421振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 2． 1参数 ε 变化下的安全盆侵蚀与分岔 取系统参数ω 1． 3， F 0． 3， ξ 0． 05， D11． 0， k 0． 05。在系统响应的相空间中选取一个考察区域 H1 {－ 2． 0≤x≤2． 0，－ 2． 0≤x ≤2． 0} 。图 2 为 H 1 内， 参数 ε∈ 0． 1， 0． 4 时系统的安全盆侵蚀与分岔 过程。 当 ε ≤ ε10． 135 25 时 图 4 中的 A 点 ， 系统在 H1内为完整的安全盆。图 2 a 为 ε 0． 100 的安全 盆， 系统在 H1内均为安全的周期 1 运动， 黑色部分为 周期 1 运动的初值组成部分 P1S 。对应的相图和 Poincar 映射图如图 3 a 所示， 黑色实线为相图、 黑点 为 Poincar 映射。由图可见， 其相轨迹始终在 H1内， 即 为安全解。当 ε ε1时， 系统在 H1内出现了不安全的 周期 2 运动， 完整的安全盆遭到破坏， 即系统发生安全 盆分岔， 如图2 b 所示， 白色部分为不安全周期2 运动 的初值组成部分 P2U 。P2U 的出现是由于在 ε ε1 时， 系统一部分初值下的运动发生了周期跳跃 其 TLE 发生突变且小于 0， Floquet 乘子未穿越单位圆 ， 出现 了新的周期 2 运动， 即发生了安全盆分岔， 出现了新的 不安全解。图 3 b 为 ε 0． 136 时 P2U 的相图和 Poincar 映射图， 其相轨迹超越了 H1， 即， P2U 为不安 全解， 系统在 H1内表现为 P1S 和 P2U 共存。 随着 ε 逐渐增大， 安全盆 P1S 的面积逐渐减小， 不 安全盆 P2U 的面积逐渐增大， P1S 不断被 P2U 侵蚀， 如 图 2 b～ 图 2 f 所示。在这一过程中， 系统运动类型 及其相应的拓扑结构未发生变化。该参数范围内， 系 统未出现安全盆分岔， 仅由于初值对参数的敏感性， 导 致系统 P1S 被 P2U 逐渐侵蚀， 而使其面积逐渐减小， P2U 的面积逐渐增大， 即仅发生了安全盆侵蚀。 当 ε ε2 0． 260 75 时 图 4 中的 B 点 ， 其 TLE 近似 为 0， Floquet 乘 子 由 － 0． 994 748， 0变 为 －1． 003 266， 0 ， 即由单位圆内穿出了单位圆， 系统 发生了倍化分岔， 安全的周期 1 运动倍化为安全的周 期 2 运动， 原来的安全盆 P1S 分岔为安全盆 P2S。图 2 g 为 ε 0． 27 时 H1内的安全盆，P2S 为安全的周期 2 运动， 灰色区域为其初值组成部分 吸引域 ， P2S 的 相图和 Poincar 映射图如图 3 c 所示， 其相轨迹在 H1 内， 即为安全解。系统在 H1内为 P2S 和 P2U 共存， 随 着 ε 继续增大， P2S 不断被 P2U 侵蚀， 安全盆侵蚀过程 如图 2 g～ 图 2 h 所示。 当 ε ε3 0． 300 75 时 图 4 中的 C 点 ， 其 TLE 近似为 0， Floquet 乘子由 － 0． 998 325 7， 0变为 －1． 001 610， 0 ， 系统发生了倍化分岔， 不安全的周 期 2 运动 P2U 倍化为不安全的周期 4 运动 P4U 。 ε 0． 311 时 H1内的安全盆如图 2 i 所示， 浅灰色区 域为 P4U 的初值组成部分， 图 3 d 为 P4U 的相图和 Poincar 映射图， 其部分相轨迹超越了 H1， 即 P4U 为不 安全解。相比图 2 h ， 安全的 P2S 被不安全的 P4U 不 断侵蚀。 当 ε ε4 0． 312 75 时 图 4 中的 D 点 ， 系统一 部分初值下的运动发生了突变 其 TLE 发生突变且小 于 0， Floquet 乘子未穿越单位圆 ， 不安全盆内出现了 新的运动类型， P2U表示不安全周期 2 运动的初值组 成部分， P4U 在部分初值范围内转迁为不安全的 P2U， 系统在 H1内为 P2S， P2U和 P4U 共存， 其安全盆如图 2 j 。P2U的相图、 Poincar 映射图如图 3 e ， 相轨迹 超越了 H1。 当 ε ε5 0． 325 25 时 图 4 中的 E 点 ， 其 TLE 近似 为 0， Floquet 乘 子 由 － 0． 654 789， 0变 为 －1． 007 310， 0 ， 系统发生了倍化分岔， 系统的 P4U 运动倍化为不安全的周期 8 运动 P8U 。其安全盆如 图 2 k 所示， 灰色部分 P8U 表示不安全解的初值组成 部分， 系统在 H1内为 P2S， P2U和 P8U 共存。P8U 的 相图和 Poincar 映射图如图3 f 所示， 相轨迹逃出 H1， 图中实际是 8 个黑点 4 个黑点与另 4 个黑点几乎重 合 。相比图 2 j ， 安全的 P2S 不断被侵蚀， 其初值组 成部分逐渐缩小。 当 ε ε6 0． 326 25 时 图 4 中的 F 点 ， 其 TLE 近 似 为 0，Floquet 乘 子 由 0． 915 945，0 变 为 1． 021 546， 0 ， 系统的周期 2 运动发生了鞍结分岔， P2S 安全盆经鞍结分岔为 PNU， 且不安全的 P8U 完全 转迁为 PNU 周期 N 运动， N ＞8 ， 系统在 H1内均为不 安全解， 如图 2 l 所示， 深灰色部分为 PNU 的初值组 成部分， 系统在 H1内为 P2U和 PNU 共存。PNU 的相 图、 Poincar 映射图如图 3 g 所示， 相轨迹逃出 H1 ， 图 中灰线表示 Poincar 映射图。 综上所述， 系统安全盆侵蚀是系统的安全区域被 共存的不安全区域不断侵蚀， 使安全区域面积逐渐减 小的过程， 安全盆的侵蚀导致齿轮系统在考察区域内 的安全特性变弱， 最终引起系统结构的破坏， 如图 2 中， P1S 区域和 P2S 区域面积的减小。考察区域内新的 系统运动类型的出现、 消失及转迁导致系统安全盆发 生分岔， 进而引起安全盆内系统运动类型的突变以及 其相应拓扑结构的变化， 如图 2 中， P2U 和 P2S 的出现 图 2 b 和图 2 f ， P1S 和 P2S 的消失等 图 2 g 和 图 2 l ， 安全盆的分岔对系统振动稳定性和安全性有 重要的影响。此外， 安全盆侵蚀的开始和结束是由安 全盆分岔引起的， 之所以出现这样的现象， 是由于当参 数变化引起系统分岔时， 其运动的拓扑结构发生了变 化， 其安全性也随之发生改变。 图 2 中， 安全盆侵蚀与分岔的现象对实际工程具 有一定的指导意义。随着误差波动幅值 ε 的增大， 系 521第 2 期苟向锋等单自由度齿轮传动系统安全盆侵蚀与分岔 ChaoXing 图 2系统安全盆随 ε 的侵蚀与分岔过程 Fig． 2Erosion and bifurcation of safe basins of system via ε 图 3相图及 Poincar 映射图 Fig． 3Phase portraits and Poincar mapping diagrams 统的安全区域逐渐被侵蚀和分岔而变小， 其安全性 逐渐被破坏。当误差波动幅值增大到一定值时， 系 统考察区域内的运动全部变得不安全。由此可见， 系统的综合传递误差应取较小值， 即， 可通过选择较 621振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 高的齿轮传动精度或轮齿修形等， 以保证系统的运 行安全。 系统的安全盆侵蚀与分岔是与系统运动的分岔过 程密切相关的。系统的多初值分岔能够更为清晰地描 述系统运动的分岔过程及其对系统安全特性的影响。 为此， 下文将根据系统随参数 ε 变化时的多初值分岔 图及其 TLE 图， 进一步揭示系统随参数 ε 变化时安全 盆侵蚀与分岔的演变规律。 2． 2系统随参数 ε 变化的多初值分岔 数值计算系统随参数 ε 变化时的多初值分岔图及 其 TLE 频谱图如图4 a 和图4 b 所示。分岔点 A， B， C， D， E， F 的横坐标对应于“2． 1” 节中的 ε1 ， ε 2 ， ε 3 ， ε 4， ε5 ， ε 6。由图可见， 当 ε≤ε1 0． 135 25 时， 系统运动 为安全的周期 1 运动 黑线 ， 其安全盆对应图 2 a 。随着 ε 的增大， 经过分岔点 A 后 ε ＞ ε1 ， 周 期 1 运动在部分初值下发生跳跃， 突变出现不安全 的周期 2 运动 深灰线 。分岔点 A 处的 TLE 出现 了跳跃， 但未接近 0， 如图 4 b 所示。在点 A 和 B 之间， 系统运动表现为安全的周期 1 运动与不安全 的周期 2 运动共存， 对应的安全盆及其侵蚀过程如 图 2 b～ 图 2 f 所示。 图 4系统随 ε 变化时的多初值分岔图及 TLE 图 Fig． 4Diagram of multi- initial bifurcation and TLE via ε 随着 ε 的增大并经过分岔点 B 后 ε ＞ ε2 ， 安全的 周期 1 运动经倍化分岔转迁为安全周期 2 运动 黑 线 ， 在点 B 和 C 之间， 系统运动表现为安全的周期 2 运动与不安全的周期 2 运动共存， 相应的 TLE 如图 4 b 所示， 均小于等于 0， 其对应的安全盆及侵蚀过程 如图2 g 和图2 h 所示。经过 B 点的 Floquet 乘子及 前后周期类型如表 1 所示， 由表可知， 当 ε 经过 B 点 时， Floquet 乘子从－1， 0 穿出单位圆， 所以该点发生 了倍化分岔。 表 1倍化分岔点附近运动周期及其 Floquet 乘子 Tab． 1Floquet multipliers and motion periodic number near period- doubling bifurcation point 综合误差 ε周期Floquet 0． 260 01－0． 986 007， 0 0． 260 51－0． 994 748， 0 0． 261 02－1． 003 266， 0 0． 261 52－0． 967 631， 0 当参数 ε 增大并经过分岔点 C 后 ε ＞ ε3 ， 不安全 的周期 2 运动经过倍化分岔为不安全的周期 4 运动 深灰线 ， 该参数范围内， 系统表现为安全的周期 2 运 动与不安全的周期 4 运动共存， 对应安全盆如图 2 i 所示。根据 C 点前后的 Floquet 乘子变化情况及该点 的 TLE 值， 可判断系统在该点发生了倍化分岔。 当参数 ε 继续增大到达 D 点后 ε ＞ ε4 ， 系统中出 现了新的不安全的周期 2 运动， 如图 4 a 中浅灰线所 示。此时， 系统运动表现为安全的周期 2 运动、 不安全 的周期 2 运动和不安全的周期 4 运动共存， 其对应的 安全盆如图 2 j 所示。D 点的 TLE 发生了突变， 但未 接近 0， 而其 Floquet 乘子也未穿越单位圆， 故该点发生 了跳跃， 系统运动在部分初值下由于突变而产生了新 的周期 2 运动。 如图 4 a 中深灰线 E 点 ε ε5 所示， 不安全的 周期 4 运动经过倍化分岔为不安全的周期 8 运动 该 点的 Floquet 乘子经－ 1， 0 点穿越单位圆 ， 此时， 系 统运动表现为安全的周期 2 运动、 不安全的周期 2 运 动和不安全的周期 8 运动共存， 其对应的安全盆如图 2 k 所示。 当参数 ε 增大并经过分岔点 F 后 ε ＞ ε6 ， 不安全 的周期 2 运动经鞍结分岔转迁为周期 N N ＞ 8 运动、 不安全的周期 8 运动经过倍化分岔也变为周期 N N ＞ 8 运动， 如图 4 a 中黑色区域， 此时， 系统的运动表现 为不安全的周期 2 运动与不安全的周期 N N ＞8 运动 共存， 其对应的安全盆如图 2 l 所示。由表 2 可知， F 前后的 Floquet 乘子及周期类型， F 点前后， Floquet 乘 子从 1， 0 穿出单位圆， 所以该点为鞍结分岔。 表 2鞍结分岔点附近运动周期及其 Floquet 乘子 Tab． 2Floquet multipliers and motion periodic number near saddle- node bifurcation point 综合误差 ε周期Floquet 0． 325 52 0． 819 420， 0 0． 326 02 0． 915 945， 0 0． 326 5N 1． 021 546， 0 0． 327 0N 0． 974 880， 0 由上可见， 随着参数 ε 的增大， 系统多初值分岔过 程与安全盆的侵蚀和分岔过程相对应。在多初值条件 721第 2 期苟向锋等单自由度齿轮传动系统安全盆侵蚀与分岔 ChaoXing 下， 系统出现多条分岔分支 如图 4 a 中黑线、 浅灰线 和深灰线 ， 即， 系统出现多种运动响应共存。这些共 存响应的出现、 消失及转迁引起系统安全盆的分岔， 而 共存响应初值范围 吸引域 的演变则引起系统安全盆 的侵蚀。 3参数 k 对安全盆侵蚀与分岔的影响 本节研究参数 k∈ 0， 0． 35 时系统的安全盆侵蚀 与分岔。取系统参数 ω 1． 7， F 0． 5， ξ 0． 05， D1 0． 5， ε 0． 2。在系统相空间中选取一个考察区域 H2 { x， x －2． 0≤x≤2． 0， －2． 0≤x≤2． 0} 。 3． 1参数 k 变化下的安全盆侵蚀与分岔 将考察区域 H2作与“2． 1” 节中 H1同样的处理。 利用同样的方法得到随着参数 k 的增大时， 系统安全 盆侵蚀与分岔过程如图 5 所示。 当 k ＜ k1 0． 194 75 时， 系统在 H2 内为 P1S 和 P2U 共存， 如图 5 a～ 图 5 e 所示。P1S 和 P2U 对应 的相图、 Poincar 映射图分别如图 6 a 和图 6 b 所 示。随着 k 逐渐增大， 部分 P1S 变为 P2U， 发生安全盆 侵蚀， 安全区域面积不断减小， 不安全区域面积不断增 大， 系统的安全特性越来越差。 图 5系统安全盆随 k 的变化 Fig． 5The change of safe basins of system with k 821振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 当 k k10． 194 75 时 图 7 中的 A 点 ， 系统出现 了另一个不安全周期 2 运动， 如图 5 f 所示， 浅灰色部 分代表新出现的不安全周期 2 运动的初值组成部分 P2U ， 部分 P2U 转迁为 P2U， 系统在 H2内为 P1S， P2U 和 P2U共存。P2U的出现是由于在 k k1时， 系 统一部分初值下的运动发生了突变 其 TLE 发生突变 且小于 0， Floquet 乘子未穿越单位圆 ， 出现了新的周 期 2 运动， 即发生了安全盆分岔， 出现了新的不安全 解。P2U的相图、 Poincar 映射图如图 5 c ， 相轨迹逃 出 H2。 当参数 k 继续增大到 k k20． 253 25 时 图 7 中 的 B 点 ， 系统一部分初值下的运动再次发生了突变， 出现了新的不安全的周期 6 运动 P6U ， 如图 5 g 所 示， 深灰色部分为 P6U 的初值组成部分， 部分 P2U 转 迁为 P6U， 系统在 H2内为 P1S， P2U， P2U和 P6U 共存。 P6U 的相图、 Poincar 映射图如图 6 d 所示。 随着参数 k 继续增大， 当 k k3 0． 256 75 时 图 7 中的 C 点 ， 其 TLE 近似为 0， Floquet 乘子由 － 0． 635 421， 0 变为－1． 004 561， 0 ， 系统发生了 倍化分岔， P2U 倍化为 P4U， 如图5 h 所示。P4U 的相 图、 Poincar 映射图如图 6 e ， 相轨迹逃出 H2。 随着参数 k 增大到 k k40．258 75 时 图7 中的 D 点 ， 其 TLE 近似为0， Floquet 乘子由－0．567 845， 0 变 为－ 1． 002 213， 0 ， 系统发生了倍化分岔， P6U 转迁 为 PNU， 其安全盆如图 5 i 所示， 系统在 H2内为 P1S， P2U、 P4U 和 PNU 共存。PNU 的相图、 Poincar 映射图 如图 6 f ， 相轨迹逃出 H2。 当 k k50．268 25 时 图7 中的 E 点 ， 其 TLE 近似 为0， Floquet 乘子由 0．923 597， 0 变为 1． 002 147， 0 ， 系统发生鞍结分岔， PNU 退化为 P4U， 系统在 H2内仅 余下 P1S， P2U和 P4U 共存， 其安全盆如图 5 j 所示。 当 k k6 0． 281 75 时 图 7 中的 F 点 ， 其 TLE 近似为 0， Floquet 乘子由－ 0． 965 478， 0 变为 － 1． 007 854， 0 ， 系统发生了倍化分岔， P4U 倍化为 P8U， 系统在 H2内为 P1S， P2U和 P8U 共存， 其安全盆如 图5 k 所示。P8U 的相图、 Poincar 映射图如图6 g 。 参数 k 继续增大到 k k70．290 25 时 图7 中的 G 点 ， 其TLE 近似为0， Floquet 乘子由－0．879 542， 0 变 为－ 1． 006 542， 0 ， 系统发生了倍化分岔， P8U 倍 化为 PNU， 系统在 H2内为 P1S， P2U和 PNU 共存， 其安全盆如图 5 l 所示。PNU 的相图、 Poincar 映 射图如图 6 h 。 当 k k80．334 75 时 图7 中的 H 点 ， 其 TLE 近似 为0， Floquet 乘子由 0． 964 574， 0 变为 1． 037 21， 0 ， 系统发生了鞍结分岔， PNU 转迁为 P2U， 系统在 H2内 仅为 P1S 和 P2U共存， 其安全盆如图 5 n 所示。 图 6相图及 Poincar 映射图 Fig． 6Phase portraits and Poincar mapping diagrams 综上所述， 随着参数 k 增大， 安全盆面积不断减 小， 不安全盆面积不断增大， P1S 不断被侵蚀， 如图 5 f～ 图 5 n 所示。 可见， 随着刚度波动系数的增大， 系统的安全域逐 渐被侵蚀而变小， 其安全性被逐渐破坏。当刚度波动 系数增大到一定值时， 系统考察安全域内的运动全部 变得不安全。因此， 系统的刚度波动系数应控制在合 理的范围。这一计算结果与工程实际吻合， 即， 可通过 保证齿轮刚度变化控制在一定的范围内， 以保证系统 的运行安全。 921第 2 期苟向锋等单自由度齿轮传动系统安全盆侵蚀与分岔 ChaoXing 为了清晰地描述系统运动的分岔过程及其对系统 安全特性的影响， 根据系统随参数 k 变化时的多初值 分岔图及其 TLE 图， 以进一步揭示系统随参数 k 变化 时安全盆侵蚀与分岔的演变规律。 3． 2系统随参数 k 变化的多初值分岔 数值计算得到了系统的多初值分岔图和对应的 TLE 频谱图分别如图 7 a 和图 7 c 所示， 图 7 b 为 图 7 a 的局部放大图。图中分岔点 A， B， C， D， E， F， G， H 的横坐标对应于 “3． 1” 节中的 k1， k2， k3， k4， k5， k6， k7， k8。当 0≤k ＜ k1时， 系统为周期 1 运动 P1S 与周 期 2 运动 P2U 共存， 如图 7 a 中浅灰线和黑线所示， 对应的安全盆如图 5 a～ 图 5 e 所示。 当参数 k 增大经过分岔点 A 后 k ＞ k1 ， 部分初值 下， 系统出现了另一个周期 2 运动 P2U ， 如图 7 a 中深灰线所示， 对应的安全盆如图 5 f 所示。 随着参数 k 的继续增大到达 B 点时 k k2 ， 系统 发生分岔出现周期 6 运动 P6U ， 在图 7 b 中用深灰 线表示， 此时的安全盆如图 5 g 所示。 如图 7 b 所示， 黑色分岔曲线经过 C 点时 k k3 ， 周期 2 运动倍化为周期 4 运动， 其变化与图 5 h 的安全盆图一致。如图 7 b 点 D k k4 ， 周期 6 运动 P6U经过倍化分岔转迁为周期 N N ＞ 8运动 PNU ， 安全盆图 5 i 与之对应。 当参数 k 增大到 E 点后 k k5 ， 系统发生了鞍结 分岔， 周期 N 运动转迁为周期 4 运动， 如图 7 b 所示， 对应安全盆如图 5 j 所示。 当参数 k 增大经过分岔点 F 后 k ＞ k6 ， 不安全的 周期4 运动 P4U 经过倍化分岔转迁为不安全的周期 8 运动， 如图7 b 黑线所示， 对应安全盆如图5 k 所示。 随着参数 k 的继续增大， 如图 7 b 中的 G 点 k k7 ， 周期 8 运动 P8U 经过倍化分岔转迁为周期 N N ＞8 运动 PNU ， 对应的安全盆如图 5 l 所示。 当参数 k 增大经过分岔点 H 后 k ＞ k8 ， 周期 N N ＞8 运动 PNU 经过鞍结分岔转迁为周期 2 运动 P2U ， 如图7 a 中深灰线所示， 对应的安全盆如图 5 n 所示。 图 7系统随 k 变化时的多初值分岔图及 TLE