常数激励与简谐激励联合作用下Duffing系统的非线性振动_侯磊.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 4 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol． 39 No． 4 2020 基金项目国家自然科学基金 11602070 ; 国家重点基础研究发展计划 2015CB057400 ;中 国 博 士 后 科 学 基 金 2018T110282; 2016M590277 ; 山东省自然科学基金 ZR2016AP06; ZR2018QA005; ZR2018BA021 ; 黑龙江省博士后资助经费 LBH- Z16067 收稿日期2018 －05 －28修改稿收到日期2018 －09 －03 第一作者 侯磊 男， 副教授， 1987 年生 常数激励与简谐激励联合作用下 Duffing 系统的非线性振动 侯磊1， 2，罗钢1，苏小超1，李洪亮1，陈予恕1 1． 哈尔滨工业大学航天学院， 哈尔滨 150001; 2． 哈尔滨工业大学能源科学与工程学院， 哈尔滨 150001 摘要以 Duffing 系统为研究对象，探讨常数激励与简谐激励联合作用下系统的骨架曲线及幅频响应特性，重 点考察常数激励的影响。采用谐波平衡法求解该系统的振动方程，得到幅频响应关系，并给出了骨架曲线以及周期解 的稳定性分析。采用幅频响应曲线和骨架曲线表征系统的基本动力学性质，讨论了常数激励和简谐激励幅值对系统幅 频曲线性态和骨架曲线形态的影响。研究发现，系统振动响应中直流分量与谐波分量的振幅同步变化，但变化趋势相 反。此外，两者骨架曲线的形态均是先向左微偏后转为向右弯曲，因此，在某些参数条件下，对应一个激励频率的周期 解可能有 5 组，其中 3 组为稳定性， 2 组为不稳定解。进一步通过增大常数激励发现其能够对该系统造成的 “刚度增强” 效应，但同时也会伴随着愈加显著的 “刚度渐软” 特性。相应地，对于特定的简谐激励幅值，随着常数激励的增大，系统 的幅频曲线能够由纯硬特性转变为软硬特性共存，甚至纯软特性。但是，在大尺度下观察，常数激励对系统骨架曲线的 影响主要表现在骨架曲线根部的形态上，即随着简谐激励幅值的增大，常数激励对系统共振频率的影响变弱，不同常数 激励下的骨架曲线趋于一致。 关键词常数激励; Duffing 系统; 骨架曲线; 软硬特性共存; 振动突跳 中图分类号V231． 96文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 04． 005 Nonlinear vibrations of Duffing system under the combination of constant excitation and harmonic excitation HOU Lei1， 2，LUO Gang1，SU Xiaochao1，LI Hongliang1，CHEN Yushu1 1． School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China; 2． School of Energy Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China Abstract This paper focuses on the basic dynamical characteristics of a Duffing system under the combination of constant excitation and harmonic excitation． The Harmonic Balance was employed to solve the motion equation of the system． The amplitude- frequency relationship was obtained，and the backbone curve and the stability of the obtained periodic solution were analyzed as well． The amplitude- frequency curves and the backbone curves were used to show the main dynamical characteristics of the system． These dynamical characteristics affected by the constant excitation and the amplitude of the harmonic excitation were discussed significantly． In the vibration response of the system，it was shown that when the excitation frequency increases the constant term changes synchronous with the amplitude of the harmonic component，but towards an opposite direction． Nevertheless，the backbone curves for them both bend slightly to the left at the first stage and bend rightward after that． As a result，in some parameter regions，the system may have at most five periodic solutions，three of them are stable and the other two are unstable． By increasing the constant excitation，an effect of“stiffness enhancement”is presenting in the system，but it is accompanied by a more significant“stiffness softening” characteristic． Consequently，for a certain harmonic excitation，the increasing of the constant excitation may change the amplitude- frequency curve from a pure soft spring characteristic to a coexistence of soft and hard spring characteristics， and even to a pure hard spring characteristic finally． In a larger scale，however，the influence of the constant excitation to the backbone curve is mainly reflected at the down part． In other word，with the increase of the harmonic excitation，the effect of the constant excitation on the excitation frequency becomes weak，the backbone curves for different values of ChaoXing constant excitation tend to be similar． Key wordsconstant excitation;Duffing system;backbone curve;soft and hard spring characteristics coexistence; vibration jump phenomenon 常数激励 ［1 －2 ］是一种普遍存在的力的作用形式， 例如在旋转机械中， 裂纹转子系统的重力 ［3 －4 ］， 轴承转 子系统的径向载荷 ［5 －7 ］， 基础运动转子系统的基础激 励 ［8 －9 ］， 机动飞行转子系统的机动载荷［10 －13 ］， 在动力 系统的简化模型中都以常数激励的形式出现， 其与转 子不平衡造成的简谐激励的联合作用能够引起系统发 生超谐共振、 亚谐共振、 接触共振、 参激共振， 以及复杂 的分岔及混沌现象。因此， 常数激励与简谐激励联合 作用下动力系统的非线性行为及机理是兼具理论价值 和现实意义的科学问题。在针对常数激励的研究中， Wu 等应用奇异性理论讨论了常数激励对 1 ∶ 2 内共振 系统周期解局部分岔的影响， 表明常数激励一方面起 主分岔参数的作用; 另一方面， 常数激励与系统中某些 非线性项的系数一起确定分岔解基本类型。近期， 侯 磊等研究了常数激励对一类两自由度参激系统的影 响， 发现常数激励对系统超谐共振的发生起到决定性 作用。 Duffing 系统是最经典的非线性动力系统之一， 其 能够代表诸多工程振动系统的简化动力学模型。在早 期的研究中， 学者们讨论了 Duffing 方程的分岔结构及 标度特性 ［14 ］、 全局分岔特性［15 ］、 解的转迁集的解析表 达式 ［16 ］， 等等。近年来， 王坤等［17 ］应用定性分析方法， 获得了一类 Duffing 系统具有唯一周期解的必要条件; 刘晓君等 ［18 ］研究了一个非自治分数阶 Duffing 系统的 激变现象。在旋转机械领域， 多位学者开展了针对 Duffing 型转子系统在常数激励与简谐激励联合作用下 的非线性动力学研究， 表明常数激励能够引起系统主 共振频率的改变， 并且在其作用方向上的自由度上的 改变更为显著， 从而造成垂直方向与水平方向共振频 率发生错位， 导致系统随转速变化时发生复杂的振动 突跳现象 ［19 －20 ］。为了进一步揭示这些非线性现象的 动力学机理， 有必要针对简化模型开展细致的解析研 究。2008 年， Kovacic 等 ［21 ］讨论了常数激励对某Duffing 系统周期解的数目的影响， 但所采用的模型中未考虑 线性刚度项， 故不能代表诸如转子系统这类带有弹性 支承的工程系统。 本文针对常数激励与简谐激励联合作用下的 Duffing系统， 研究其基本动力学性质， 所采用的模型考 虑线性刚度项， 可描述不考虑垂直方向与水平方向耦 合的 Duffing 型转子系统的单个自由度的运动规律。讨 论的动力学性质包括系统周期解的幅频响应、 稳定性， 以及骨架曲线， 重点关注常数激励的影响。 1研究对象及幅频响应 1． 1研究对象 本文的研究对象为 y 2ξy y γy3 F0 F1cos ωt 1 式中y 为描述系统运动的无量纲位移， 线性派生系统 的无量纲固有频率为 1;ξ 为阻尼比;γ 为无量纲非线 性刚度系数;F0为常数激励;F1和 ω 分别为简谐激励 的幅值和频率。 1． 2主共振幅频响应方程 受篇幅限制， 本文只讨论系统在主共振情况下的 周期响应， 采用谐波平衡法求解。 设系统的振动响应可表达为 y t A0 A1cos ωt θ 2 即响应中包含直流分量和基频谐波分量， 忽略高阶谐 波分量。 将式 2 代入式 1 ， 并令常数项、cos ωt 及 sin ωt 项的系数分别平衡， 得 A0 γA3 0 3 2 γA 0A 2 1 F0 3a A1 － ω 2A 1 3γA2 0A1 3 4 γA 3 1 F1cos θ 3b － 2ξωA1 F1sin θ 3c 以上是一个关于直流分量 A0，一次谐波分量幅值 A1与 相角 θ 的耦合方程组。 为了得到幅频响应方程， 将式 3b 与式 3c 平方 相加消去相角 θ，并与式 3a 结合， 得到 A2 0 1 γA2 0 3 2 γA 2 1 2 F2 0 4a A2 1 1 － ω2 3γA 2 0 3 4 γA 2 1 2 － 2ξω [] 2 F2 1 4b 2骨架曲线 振动系统幅频响应曲线族的骨架曲线表示系统的 自由振动频率 等效固有频率 随振幅变化的曲线， 反 映了振动系统的基本动力学特性。具体地， 骨架曲线 是一族幅频响应曲线的峰值点的轨迹。 对于式 1 ， 在上述得到的幅频响应方程式 4b 中， 关于激励频率 ω 求导， 得到 1 － ω2 3γA 2 0 3 4 γA 2 1 － 2ζ2 0 5 联立式 4b ，消去 ζ， 即可得到精确的骨架曲线。注意 到 ζ 和 F1均为小量， 可得足够近似的关于直流分量 A0 05振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 的骨架曲线为 ω2e 1 2 1 5γA2 0 F0 A 0 6 注意到关系式 3a 可看作 A0的三次方程，从中可解出 A0 A0 A1 ，在式 4 中，令 ζ 0，F10，可求得关 于谐波分量振幅 A1的幅频响应曲线足够近似的骨架 曲线方程为 ω2e 1 3γ A0 A1 2 3 4 γA 3 1 7 3周期解的稳定性 振动方程周期解的稳定性是系统非线性动力学特 性分析的一个重要部分。根据幅频响应方程式 4 可 求得系统的周期解， 进而应用 Floquet 理论判断求得的 周期解的稳定。计算 Floquet 乘子的方法有很多， 本文 采用文献［ 22 －23］ ， 具体计算步骤如下 首先， 取系统的状态向量 U ［ yy ］ T ［ Y1Y2］ T 8 将式 1 改写为状态空间方程， 即 U t Y2 － 2ξY2－ Y1－ γY3 1 F0 F1cos ω [] t F t， U t 9 设 U*为式 9 的一个平衡点，ΔU 为一个小的扰 动， 那么有 ΔU F t， U* ΔU≈ F t， U* U * ΔU A t， U* t ΔU 10 因此，平衡点 U*的稳定性可根据上述扰动方程 的 Jacobian 矩阵 A t， U* t 判定。为此， 需构造单值 矩阵， 通过单值矩阵的特征值 即 Floquet 乘子 判定 A 矩阵的特征值符号。 Hsu 方法给出了一种构造单值矩阵的近似方法， 表 达式为 M Ψ T∏ 1 n Nne An ΔT ∏ 1 n Nn I ∑ Nj j 1 AnΔT j j 11 式中T 为解的周期;I 为单位矩阵;An为时变矩阵 A t， U* t 在一个周期内第 n 个微小时间片段内的 平均化常值， 即 An 1 ΔT ∫ tn tn－1A t， U * t dt 12 式中，tn nΔT/Nn，n 1， 2， ， Nn。 将 U*离散化， 结合式 11 ， 可得 An≈ A tn， U* tn 13 将式 12 代入式 10 ， 计算单值矩阵 M 的特征值 即可得到 Floquet 乘子，从而判定 U*的稳定性。以上 处理方法的优点是程序化过程简便。 4研究结果与分析 不失一般性， 计算参数取 ξ 0． 01， γ 4， 采用幅频 响应曲线、 骨架曲线刻画系统的基本动力学性质， 并重 点讨论常数激励与简谐激励大小对系统动力学特性的 影响。 图 1 给出了常数激励 F0 0． 45 时系统的骨架曲 线 如图 1 中点划线所示 ， 以及简谐激励幅值分别取 F10． 002， F10． 006， F10． 010， F10． 013 和 F1 0． 020时系统的幅频响应曲线， 其中实线表示稳定解， 虚线表示不稳定解。图 1 a 代表响应中的直流分量， 图 1 b 代表谐波分量的振幅 A1。 图 1F0 0． 45 时系统的幅频响应曲线 粗虚线代表骨架曲线 Fig． 1Amplitude- frequency response of the system for F00． 45 heavy dashed linefor backbone curve 由图 1 b 可见， 随着振幅的增大， 骨架曲线先向 左微偏后向右弯曲。相应地， 随着 F1的增大， 幅频曲 线整体上移， 且 A1的最大幅值逐渐增大， 共振区变宽。 随着骨架曲线向左微偏， 幅频曲线由近似线性系统特 性 如 F10． 002 变为出现具有软弹簧特性的共振滞 后区 如 F10． 006 ， 且随着 F1的增大， 幅频曲线的共 振滞后区逐渐扩大， 当 F10． 010 时， 具有软弹簧特性 的共振滞后区达到最大。当 F1进一步增大时 如 F1 0． 013 ， 由于骨架曲线向右弯曲， 幅频曲线上产生一个 具有硬弹簧特性的共振滞后区， 表现出软硬特性共存 现象。此后， 随着 F1的进一步增大 如 F10． 020 ， 具 有软弹簧特性的共振滞后区逐渐缩小， 而具有硬弹簧 15第 4 期侯磊等常数激励与简谐激励联合作用下 Duffing 系统的非线性振动 ChaoXing 特性的共振滞后区逐渐扩大， 与此同时两个共振滞后 区由相互叠加逐渐变为彼此分离。特别地， 在两个共 振滞后区相互叠加时， 如点画线表示的 F1 0． 013 的 情况， 在叠加区内一个激励频率对应的振幅 A1有 5 个 解 例如画一条竖线与幅频响应曲线相交形成 5 个交 点 ， 其中 3 个为稳定解 A 点、 C 点、 E 点 ， 两个为不稳 定解 B 点、 D 点 。 由图1 a 图可见， 由于式 4 中 A0与 A1的耦合作 用， 当系统发生共振时，A1的急剧变化也会引起系统 振动响应中直流分量 A0的同步变化，只是 A0的变化 趋势始终与 A1相反，即系统发生共振 A1增大时 A0减 小， 共振结束后 A1减小时 A0增大。但骨架曲线的形态 也是随着 A0的减小先向左微偏后向右弯曲，A0 的共 振区线上出现滞后区的情况与相对应的 A1的情况一 致。特别情况下， 在两个共振滞后区相互叠加时， 在叠 加区内 A1有 5 解时对应的 A0也有 5 解， 且两者的对应 解的稳定性也相同 A 点、 C 点、 E 点为稳定解， B 点、 D 点为不稳定解 。 这里引出一个对于振动方程中常数项的处理方式 的讨论。在通常情况下， 对于带有常数项的振动方程， 人们习惯于不假思索地对振动位移作平移变换， 从而 消掉常数项， 然后求解方程， 在求近似解析解时往往忽 略了响应中可能存在的直流分量， 造成的结果是忽略 了直流分量随激励频率改变时可能发生的变化， 相当 于假设直流分量是一个固定常数。在常数激励较小 时， 系统振动响应中直流分量的量级与谐波响应分量 相比较小， 这种求解方程的处理方式可能引起较小的 误差。然而， 当常数激励较大时， 系统振动响应中直流 分量可能与谐波响应分量的量级相当， 那么上述处理 方式则可能引起较大的计算误差， 甚至可能导致对共 振曲线定性性质的完全错误的结论。例如， 对于大多 数工程振动系统， 重力作用引起的常数激励往往对系 统共振曲线的形态影响不大， 可以采用上述处理方式。 但是， 对于某些类似机动飞行转子系统中机动载荷这 种常数激励的作用， 采用上述处理方式则可能不妥， 那 么对于带有常数项的振动方程如何进行解析求解， 对 传统的多尺度法和平均法如何改进或创造性运用， 将 是一个值得进一步研究和探讨的科学问题。 为了进一步讨论常数激励对系统动力学性质的影 响， 图 2 给出了常数激励分别取 F0 0． 25， F0 0． 35， F00． 45， F00． 55 和 F00． 7 时系统的骨架曲线 点 划线所示 ， 以及简谐激励幅值取 F10． 015 时系统的 幅频响应曲线， 其中实线表示稳定解， 虚线表示不稳定 解。图 2 a 代表响应中的直流分量 A0， 图 2 b 代表 谐波分量的振幅 A1。 首先， 由图 2 b 可见， 随着常数激励的增大， 骨架 图 2F1 0． 015 时系统的幅频响应曲线 粗虚线代表骨架曲线 Fig． 2Amplitude- frequency response of the system for F10． 015 heavy dashed linefor backbone curve 曲线整体右移， 表明系统的共振频率逐渐提高， 体现了 常数激励对系统造成的 “刚度增强” 效应。当常数激励 较小时 见 F00． 25 ， 骨架曲线向左微偏的幅度非常 小， 随着常数激励的增大， 骨架曲线向左微偏的幅度越 来越大， 但随着振幅的增大， 骨架曲线向左微偏以后均 逐渐转为向右弯曲， 且随着常数激励的增大， 这种向右 弯曲的幅度逐渐减小， 导致骨架曲线根部错位明显， 但 顶部趋于接近。相应地， 对于特定的简谐激励幅值 如 F10． 015 ， 随着常数激励的增大， 系统的幅频曲线由 仅存在具有硬弹簧特性的共振滞后区 见 F0 0． 25 变为产生新的具有软弹簧特性的共振滞后区 见 F0 0． 35 ， 从而表现为软硬特性共存现象。随着常数激励 的进一步增大， 具有软弹簧特性的共振滞后区逐渐扩 大， 而具有硬弹簧特性的共振滞后区逐渐缩小， 两个共 振滞后区由相互分离 见 F0 0． 35 逐步变为交叉重 叠 见 F0 0． 45 ， 甚至前者完全包含后者 见 F0 0． 55 。当 F00． 7 时， 具有硬弹簧特性的共振滞后区 完全消失， 系统的幅频曲线完全转变为软特性。也就 是说， 常数激励虽然对系统产生了“刚度增强” 效应， 但 同时伴随着 “刚度渐软” 特性愈加显著。因此， 常数激 励对系统共振频率的提高在低振幅或者说简谐激励幅 值较小时表现的更为明显， 而当简谐激励幅值较大时， 常数激励对系统共振频率的影响较弱。 由于耦合作用， 在图 2 a 中反映了 A0与 A1的同 25振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 步变化， 但变化趋势相反， 系统发生共振时 A1增大 A0 减小， 共振结束后 A1减小 A0增大。A0骨架曲线形态 的变化也与 A1相似， 即随着常数激励的增大， 骨架曲 线整体右移， 同时骨架曲线向左微偏的幅度越来越大， 而向左微偏以后向右弯曲的幅度逐渐减小。此外， 随 着常数激励的增大， 系统振动响应中直流分量的成分 也随之增大， 表现为骨架曲线右移的同时也整体上移。 相应地， 对于特定的简谐激励幅值 如 F10． 015 ，A0 的共振曲线上滞后区的变化情况也与相对应的 A1的 变化情况一致。 进一步探讨大振幅下骨架曲线的变化趋势， 如图 3 所示。可见， 随着振幅的增大， 不同常数激励下的骨架 曲线趋于一致， 并且与无常数激励下的骨架曲线趋同， 表明在大尺度下， 常数激励对系统骨架曲线的影响主 要表现在骨架曲线根部的形态上。因此， 在简谐激励 幅值进一步增大时， 常数激励对系统共振频率的影响 越来越微弱。 图 3大尺度下的骨架曲线对比 Fig． 3Comparison of the backbones in a larger scale 5结论 本文针对常数激励与简谐激励联合作用下 Duffing 系统的非线性振动开展了研究工作。采用谐波平衡法 求解该系统的振动方程， 得到幅频响应关系， 并计算了 骨架曲线， 讨论了常数激励和简谐激励幅值对系统幅 频曲线性态和骨架曲线形态的影响。通过分析得出如 下结论 1对于确定的系统参数和特定的常数激励， 关 于系统振动响应中的直流分量和谐波分量的振幅均具 有确定的骨架曲线， 并且骨架曲线的形态均是先向左 微偏后转为向右弯曲， 对应的幅频曲线在简谐激励幅 值较小时表现为软特性， 当简谐激励幅值增大时表现 处软硬特性共存现象。特别情况下， 当具有软特性的 共振滞后区与具有硬特性的共振滞后区相互叠加时， 在叠加区内一个激励频率对应的振幅有 5 个解， 其中 3 个为稳定解， 两个为不稳定解， 因此， 当激励频率缓慢 升高或缓慢降低时， 该系统将发生复杂的振动突跳 行为。 2由于耦合作用， 系统振动响应中直流分量与 谐波分量的振幅同步变化， 但变化趋势相反， 即系统发 生共振时谐波分量的振幅增大而直流分量减小， 共振 结束后谐波分量的振幅减小而直流分量增大。相应 地， 关于直流分量的幅频曲线也具有与谐波分量幅频 曲线相对应的多解现象和共振滞后行为， 因此， 假设直 流分量为定常值的处理方式在某些参数条件下是不可 取的， 可能引起较大的计算误差， 甚至导致幅频曲线定 性性质的错误。 3常数激励能够对该系统造成的“刚度增强” 效 应， 但同时也伴随着“刚度渐软” 特性愈加显著。具体 表现为， 随着常数激励的增大， 骨架曲线整体右移， 系 统的共振频率逐渐提高， 与此同时， 骨架曲线形态上向 左微偏的幅度越来越大， 而向左微偏以后向右弯曲的 幅度却逐渐减小。从幅频曲线性态上看， 对于特定简 谐激励幅值的系统， 常数激励的增大能够导致其由纯 硬特性向软硬特性共存， 直至纯软特性的转变。 4随着简谐激励幅值的增大， 常数激励对系统 共振频率的影响变弱。在大振幅下， 不同常数激励下 的骨架曲线趋于一致， 并且与无常数激励下的骨架曲 线趋同。因此， 在大尺度下观察， 常数激励对系统骨架 曲线的影响主要表现在骨架曲线根部的形态上。 本文的研究结果初步揭示了常数激励对 Duffing 系 统基本动力学性质的影响规律， 希望能够引起学者们 对动力系统中常数激励的足够重视。进一步研究工作 可集中含常数激励的工程非线性振动系统的分岔特性 研究及实验研究等方面。 参 考 文 献 ［1］ WU Z Q，CHEN Y S． Effects of constant excitation on local bifurcation ［ J］ ． Applied Mathematics and Mechanics， 2006， 27 2 161 －166． ［2］ 侯磊，陈予恕，李忠刚． 一类两自由度参激系统在常数激 励下的响应研究［ J］ ． 物理学报， 2014， 63 13 134501． HOU 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