混合润滑状态下结合面的法向接触刚度研究_李玲.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 3 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．3 2020 基金项目 国家自然科学基金 51975449 ;陕西省自然科学基金 2018JM5066 收稿日期2018 －08 －09修改稿收到日期2018 －11 －07 第一作者 李玲 男， 博士， 副教授， 硕士生导师， 1981 年生 通信作者 蔡安江 男， 硕士， 教授， 博士生导师， 1965 年生 混合润滑状态下结合面的法向接触刚度研究 李玲，裴喜永，史小辉，李治强，蔡安江 西安建筑科技大学 机电工程学院，西安710055 摘要针对润滑条件下机械结合面的接触特性受油膜影响的问题， 基于结合面接触刚度由油膜接触刚度和固体 表面接触刚度组成的思想， 建立混合润滑状态下结合面的法向接触刚度模型。采用三维的 Weierstrass- Mandelbrot 函数获 得具有分形特征的粗糙表面， 并基于统计学方法建立干摩擦条件下结合面的法向接触刚度模型， 考虑了微凸体的完全弹 性变形、 弹塑性变形以及完全塑性变形过程。在此基础上， 求解了油膜的等效厚度并建立油膜的接触刚度模型。结果表 明 结合面的法向接触刚度随法向载荷的增加而增加， 且混合润滑状态下结合面的接触刚度大于干摩擦条件下结合面的 接触刚度; 该模型避免了油膜厚度测量难的问题， 为机械结构的润滑状态预测提供了帮助。 关键词机械结合面;混合润滑;等效厚度;法向接触刚度;分形理论 中图分类号TH113;TB123文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 03． 003 Normal contact stiffness of machine joint surfaces under mixed lubrication state LI Ling，PEI Xiyong，SHI Xiaohui，LI Zhiqiang，CAI Anjiang School of Mechanical and Electrical Engineering，Xi’ an University of Architecture and Technology，Xi’an 710055，China Abstract Aiming at the problem of contact characteristics of machine joint surfaces being affected by oil film under lubrication conditions，based on the idea of a joint surface’ s contact stiffness consisting of oil film contact stiffness and solid surface contact stiffness，the joint surface’ s normal contact stiffness model was established under mixed lubrication state． The 3- D Weierstrass- Mandelbrot function was used to obtain a rough surface with fractal feature to build a joint surface’ s normal contact stiffness model under dry friction condition using the statistics and considering a micro- convex body’ s full elastic deation process，elastoplastic one and full plastic one． Furthermore，the equivalent thickness of an oil film was solved and its contact stiffness model was built． The results showed that a joint surface’ s contact stiffness increases with increase in normal load;a joint surface’ s contact stiffness under mixed lubrication state is larger than that under dry friction condition;the proposed model avoids the problem of measuring oil film’ s thickness being difficult and provides a help for predicting lubrication state of mechanical structures． Key wordsmachine joint surface;mixed lubrication;equivalent thickness;normal contact stiffness;fractal theory 数控机床是加工高精密零件的关键装备， 由许多 零件、 部件及其相互连接的结合面组成 ［1 ］。通常情况 下， 机床的部分结合面都处于润滑状态， 这样可以降低 结合面的磨损提高机床的寿命。因此关于润滑条件下 结合面的研究对数控机床的发展具有重要的意义。 机械结构中的结合面可等效为两个粗糙表面的接 触， 国内外大量学者对粗糙表面的接触特性进行了广 泛的研究 ［2- 6 ］， 但仍然存在很多问题。其中关于粗糙表 面间的弹性接触应用最多的是 Greenwood 等 ［7 ］提出的 统计接触模型 GW 模型 。GW 模型假设 粗糙表面是 各向同性的， 微凸体在峰顶是球形且具有相同的曲率 半径， 微凸体的高度服从高斯分布。基于此， 粗糙表面 可以通过微凸体高度的均方根、 峰顶曲率半径和峰顶 密度进行表征 ［8- 9 ］。但由于工程表面的多尺度特征， 粗 糙表面形貌的统计学参数均会受到测量仪器分辨率的 影响 ［10 ］， 这些参数不能完全表征粗糙表面形貌， 会造成 基于传统粗糙度参数的统计接触模型的不确定性。因 此， 建立客观的不受统计学参数影响的接触模型成为 了研究的焦点。 Mandelbrot 等 ［11- 12 ］ 首 先 发 现 二 维 Weierstrass- Mandelbrot W- M 函数具有分形特征， 根据 W- M 函数 绘制的曲线处处连续且不可导， 非常适合表征粗糙表 面的表面轮廓， 解决了表面粗糙度参数测量难的问题。 ChaoXing Majumdar 等 ［13- 14 ］基于 W- M 函数将分形几何理论应用 于两粗糙表面间的接触， 将接触表面假定为一个刚性 平面和一个柔性的分形表面， 认为粗糙表面形貌具有 自相似性和尺度独立性， 得到了一种新的结合面接触 模型 MB 模型 ， 最后用功率谱函数计算出接触面的分 形维数和分形尺度参数。Yan 等 ［15 ］改进了 MB 分形接 触模型， 将二维的 W- M 函数推广至三维 W- M 函数， 并 以此建立了三维 YK 分形接触模型， 同时引入一个表征 各向异性表面的参数建立了各向异性表面的三维接触 模型。此外， 为了进一步完善分形接触模型， W- M 函数 被用于建立考虑微凸体弹性变形， 弹塑性变形以及塑 性变形的各个模型中 ［16- 17 ］。然而， 上述关于结合面的 研究中仅限于干摩擦条件下的粗糙表面接触， 忽略了 润滑条件下粗糙表面的接触情况。 实际上， 在数控机床中主轴、 轴承、 工作台等零部 件大部分都是依靠润滑油来降低摩擦和磨损的［18 ］。此 时， 接触表面由固体表面和润滑剂组成，根据润滑状态 的不同， 油膜厚度一般在 0． 1 ～ 100 μm 之间。目前主 要采用超声波法测量油膜的厚度， 通过超声波的频率 与反射系数表征油膜厚度， 同时将接触界面的总刚度 分成固体表面和润滑剂两个部分的接触刚度， 固体表 面的接触刚度可以采用统计学模型进行预测， 但油膜 的接触刚度需要通过实验确定［19- 20 ］。 为此， 本文提出了混合润滑状态下结合面的法向 接触刚度模型。采用分形理论对粗糙表面进行表征， 基于统计学方法建立固体表面的法向接触刚度模型。 然后利用固体表面的弹性接触刚度求解油膜的等效厚 度， 并建立油膜的接触刚度模型。该模型避免了测量 油膜厚度难的问题， 为机械结构的润滑状态预测提供 了帮助。 1混合润滑条件下结合面的接触模型 两粗糙表面之间的接触可以简化为刚性平面与等 效粗糙表面之间的接触， 混合润滑状态下， 它们之间的 间隙由润滑剂填充， 如图1 a 所示。此时， 结合面的法 向接触刚度 K 由固体部分和润滑剂部分组成， 如图 1 b 所示。可表示为 K KS KL 1 a等效结合面 b结合面法向接触刚度 图 1混合润滑条件下结合面接触示意图 Fig． 1Schematic diagram of joint surface in mixed lubrication 式中 KS和 KL分别为固体表面的接触刚度和润滑剂的 接触刚度。 1． 1三维粗糙表面形貌的表征 经典统计学参数和分形参数都可用于表征各向同 性的粗糙表面。但经典统计学参数受到测量仪器分辨 率的影响， 这些参数只能反映部分粗糙度信息而不能 完全 表 征 粗 糙 表 面 形 貌。在 实 际 工 业 应 用 中 Weierstrass- Mandelbrot 函数 W- M 函数 被广泛地用于 接触表面形貌的表征， 其表征的三维表面轮廓为 z x， y L G L D－2 ln γ 槡 M ∑ M m 1∑ nmax n 0 γn D－3 { cos φm， n－[ cos 2πγn x 2 y2 1/2 L cos tan －1 y x － πm M φ m，] }n 2 式中 z x， y 为随机表面轮廓高度， L 为样本的取样长 度; D 为轮廓曲线的维数 2 ＜ D ＜3 ; G 为尺度参数; γn 为轮廓的空间频率， 通常 γ 取 1． 5; M 为重构表面时叠 加 峰 值 的 数 量; n为 频 率 指 数; nmax int log L/Ls /log[]γ ; Ls为测量尺度 由模型仪器的分 辨率决定 ; φm， n为在［ 0，2π］范围内均匀分布的随机 相位。 图 2 为分形表面的三维仿真图， 仿真参数为 L 0． 1 m;γ 1． 5;G 1． 342 10 －12m; M 10。由图 2 可知， 随着分形维数 D 逐渐增大粗糙表面峰值和谷值 逐渐变小， 表面轮廓愈加光滑， 表面粗糙度减小。 1． 2微凸体的接触状态 根据 GW 模型， 单个微凸体在峰顶可以等效为曲 率半径为 R 的球体， 在法向载荷 F 的作用下， 微凸体的 法向接触变形为 δ， 接触状态如图 3 所示。 令 r表示微凸体的截面半径， 根据图3 可得微凸体 的曲率半径为 R2 R － δ 2 r2 3 由于在法向载荷作用下， 微凸体的法向变形远远 小于其曲率半径， 即 δ ＜ ＜ R， 因此式 3 可以简化为 R r2 2δ 4 此外， 微凸体的真实接触面积为 a πr2 1 2 πr 2 πRδ 5 根据式 2 可得单个微凸体产生的变形为基波波 峰与波谷之间的距离 δ 2GD－2 ln γ 0． 5 2r3－D 6 联立式 5 和式 6 得 δ 25． 5－1． 5DGD－2 ln γ 0． 5π0． 5D－1． 5a1． 5－0． 5D 7 将式 7 代入式 5 得 71第 3 期李玲等混合润滑状态下结合面的法向接触刚度研究 ChaoXing aD 2． 3 bD 2．4 cD 2． 5 图 2三维粗糙表面 Fig． 2Three- dimensional rough surface 图 3微凸体与刚性平面的接触 Fig． 3Rigid plane contact with the asperity R 21． 5D－5． 5π0． 5－0． 5DG2－Da0． 5D－0． 5 lnγ 0． 5 8 研究表明， 微凸体的接触变形由三个阶段组成， 分 别为完全弹性、 弹塑性以及完全塑性。其中微凸体的 临界屈服变形为 ［21 ］ δc πkH 2 E 2 R 9 式中 H 为较软材料的硬度; K 为较软材料硬度系数; K 0． 464 0． 41v;E， v 分别材料的复合弹性模量和泊 松比， E E/［ 2 1 － v2 ］ 。 联立式 7 和式 9 可得 δ δc kH 2 E －2 211－3DG2D－4πD－4 ln γ aD－2 10 当 δ δc时， 临界屈服接触截面积为 ac2 3D －11 / 2 － D kH 2 E 2/ 2 － D π 4 － D / 2 － D ln γ 1/ D －2G2 11 将式 11 代入式 10 得 δ δc ac a D－2 12 因为 2 ＜ D ＜ 3， 所以当 a ＞ ac， δ ＜ δc时， 微凸体处 于弹性变形阶段， 当 a≤ac， δ≥δc时， 微凸体处于弹塑 性或塑性阶段， 且微凸体的临界塑性变形满足如下 条件 ［22 ］ δp≈ 110δc 13 联立式 9 和式 13 可得 δp≈110 πkH 2 E 2 R 110 πkH 2 E 2 21． 5D －5． 5π0． 5 －0． 5DG2 － Da0． 5D －0． 5 ln γ －0． 5 14 根据式 7 和式 14 可得 δ δp 211－3DπD－2G2D－4a2－D lnγ 110 πkH 2 E 2 15 当 δ δp时， 临界塑性接触截面积为 ap 110 πkH 2 E 2 211－3DπD－2G2D－4 ln γ [] 1 2－D 16 将式 16 代入式 15 得 δ δp ap a D－2 17 同理当 a ＞ ap， δ ＜ δp时， 微凸体处于弹塑性变形阶 段或弹性阶段， 当 a≤ap， δ≥δp时， 微凸体处于完全塑 性阶段。 1． 3单个微凸体的法向载荷与接触刚度 基于 Hertz 接触理论， 微凸体的弹性接触载荷与接 触变形的关系为 ［23 ］ fc 4 3 ER1/2δ3/2 18 将式 7 和式 8 代入式 18 得 fc a 1 3 Eπ0． 5D－22 7． 5－1． 5D ln γ0． 5GD－2a2－0． 5D 19 在完全塑性变形阶段微凸体的塑性接触载荷可以 表示为 81振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing fp a λσya 20 式中 λ H σy， 为一个无量纲的参数; σy 为较软材料的 屈服强度。 而弹塑性变形阶段微凸体的接触载荷可以表 示为 ［24 ］ fcp a 2． 79λσya －n c an1 21 式中 n D －1 ln λ ln 110 － D －1 ln 2。 通常处于弹性状态的微凸体可以储存弹性应变 能， 处于弹塑性状态的微凸体可以储存弹塑性应变能， 所以弹性和弹塑性应变能是结合面固体表面法向接触 刚度的主要组成部分， 设单个微凸体在完全弹性、 弹塑 性阶段的接触刚度分别为 kc、 kcp， 其表达式分别为 kc dfc dδ 4 2 － 0． 5D π0． 5Ea 0． 5 3 1． 5 － 0． 5D 22 kcp dfep dδ 2． 79λσya － n c n 1 an －0． 5 0． 5D 25． 5 －1． 5DGD －2 ln γ 0． 5π0． 5D －1． 5 1． 5 －0． 5D 23 1． 4结合面固体表面的法向载荷与刚度 微凸体的接触面积分布函数 n a 与最大接触面 积之间的关系为 n a D －1 2 a0． 5D －0． 5 1 a －0． 5D －0． 5， 0 ＜ a≤a1， 2 ＜ D ＜3 24 式中 a1为最大的接触面积。 联立式 11 、 式 16 和式 24 可得结合面的接触 面积为 Ar∫ ap 0 an a da ∫ acp a an a da ∫ a1 acan a da D － 1 2 1． 5 － 0． 5D a1 25 图 4 所示为分形维数 D 与真实接触面积的关系， 结合面的真实接触面积随着分形维数的增加而增加， 此外， 从图 4 可知， 当 D ＜2． 9 时， 真实接触面积缓慢增 加， 当 D ＞2． 9 时， 真实接触面积急剧增加。 图 4分形维数 D 与真实接触面积的关系 Fig． 4The relationship between fractal dimension D and real contact area 联立式 11 、 式 16 、 式 18 、 式 19 、 式 20 和 式 24 得结合面的弹性接触载荷、 弹塑性接触载荷、 完 全塑性接触载荷分别为 Fc∫ a1 acfc a n a da D － 1 3 2． 5 － D Eπ0． 5D－22 6． 5－1． 5D ln γ0． 5 GD－2a0． 5D－0． 5 1 a2． 5－D 1 － a2． 5－D c 26 Fcp∫ ac apfcp a n a da 1． 395λσya －n c D － 1 a0． 5D－0． 5 1 1． 5 － 0． 5D n a1． 5－0． 5Dn c － a1． 5－0． 5Dn p 27 Fp∫ ap 0 fp a n a da D － 1 2 1． 5 － 0． 5D Ha0． 5D－0． 5 1 a1． 5－0． 5D p 28 因此， 结合面的接触载荷为 F Fc Fcp Fp 29 图 5 所示为不同分形维数下真实接触面积与法向 载荷的关系。从图 5 可知， 法向载荷随着真实接触面 积的增加而增加， 且当真实接触面积一定时， 分形维数 越小， 需要的法向载荷越大。这主要因为表面越粗糙， 单位面积的微凸体个数越少， 单个微凸体承受的法向 载荷越大。 图 5真实接触面积与法向载荷的关系 Fig． 5The relationship between normal load and real contact area 联立式 11 、 式 16 、 式 22 、 式 23 和式 24 得 结合面固体部分的法向接触刚度为 KS∫ ac apkcpn a da ∫ a1 ackcn a da 2． 79λσya －n c n 1 D － 1 a0． 5D－0． 5 1 26． 5－1． 5DGD－2 ln γ 0． 5π0． 5D－1． 5 1． 5 － 0． 5D n an c － an p 2 2 － 0． 5D D － 1 3 1． 5 － 0． 5D 1 － 0． 5D Eπ－0． 5 a0． 5D－0． 5 1 a1－0． 5D 1 － a1－0． 5D c 30 图 6 表示不同分形维数下真实接触面积与法向接 触刚度的关系， 从图中可以看出， 结合面的法向接触刚 91第 3 期李玲等混合润滑状态下结合面的法向接触刚度研究 ChaoXing 度随着真实接触面积的增加而增加， 当真实接触面积 一定时， 法向接触刚度随着表面粗糙度的增加而减小， 这与图 5 呈相反的规律。 图 6真实接触面积与法向接触刚度的关系 Fig． 6The relationship between normal contact stiffness and real contact area 1． 5油膜的接触刚度 当结合面处于干摩擦的状态时， 结合面的接触刚 度由固体部分组成， 但是混合润滑状态时， 结合面的接 触刚度由液体部分和固体部分组成， 假设微凸体的平 均高度平面与刚性平面之间的空间充满润滑油， 油膜 的等效厚度为 h， p 为施加的名义接触压力， 则油膜的 弹性接触刚度可以定义如下 KL － dp dh 31 把油膜看作理想流体， 流体内不存在任何切应力， 而只存在法向应力。这种情况下， 流体只有一个弹性 常数体积模量 B， 体积模量表示单位体积变化量所引起 的压力变化， 公式为 ［25 ］ B － dp dV/V 32 当油膜厚度很薄时， 油膜的单位体积变化量近似 等于单位厚度变化量即有 dV/V dh/h。这时体积模 量 B 可写为 B － h dp dh 33 因为流体中的波速为 c B 槡 ρ 34 所以油膜的接触刚度可以表示为 KL ρc 2 h 35 式中 c 为纵波在液体中的传播速度; ρ 为液体的密度， 如表 1 所示。 为了简化计算， 将油膜的厚度等效为 h d0－ Δd d0－∫ dF K弹 36 式中 d0为光滑刚性平面与微凸体平均高度平面之间 表 1润滑材料的声学特性 Tab． 1Acoustic properties of the lubricant 材料密度/ kgm －3 纵波速度/ ms －1 油8761 450 水 20℃1 000 1 483 的初始距离; d03σ， σ 为等效粗糙表面微凸体高度的 均方差。Δd 为粗糙表面的等效弹性变形量; K弹为固 体表面的弹性接触刚度。 联立式 35 和式 36 得润滑剂的接触刚度为 KL ρc 2 d0－∫ dF K弹 37 此时结合面的总接触刚度为 K KS KL 2． 79λσya －n c n 1 D － 1 a0． 5D－0． 5 1 26． 5－1． 5DGD－2 ln γ 0． 5π0． 5D－1． 5 1． 5 － 0． 5D n an c － an p 2 2 － 0． 5D D － 1 3 1． 5 － 0． 5D 1 － 0． 5D Eπ－0． 5 a0． 5D－0． 5 1 a1－0． 5D 1 － a1－0． 5D c ρc 2 d0－∫ dF K弹 38 2模型验证 图 7 所示为不同接触模型结合面接触刚度随法向 压力的变化规律。其中横坐标为法向载荷与名义接触 面积的比值， 即法向压力， 纵坐标为法向接触刚度与名 义接触面积的比值， 结合面的法向接触刚度随着法向 压力的增加而增加。选用的参数为 E 115． 4 GPa， v 0． 3， D 2． 4， σy0． 355 MPa， G 1． 342 10 －12 m， γ 1． 5， An 0． 01 m2， c 和 ρ 由表 1 给出。图 7 将 WXL［26 ］模型以及 YK 见文献［ 15］ 模型的解与新模型 进行了对比， 发现当法向压力一定时， 新模型与 WXL 模型以及 YK 模型具有一致性， 说明了本文提出的混合 润滑状态下结合面的法向接触刚度模型的合理性与有 效性， 但由于油膜接触刚度的存在导致新模型获得的 图 7不同接触模型结合面接触刚度与法向压力关系 Fig． 7The relationship between contact stiffness and normal pressure of different contact models 02振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 接触刚度大于 WXL 模型与 YK 模型。 3结果与分析 3． 1润滑剂对结合面的接触刚度的影响 图 8 a 和图 8 b 为不同分形维数下固体表面接 触刚度， 油膜接触刚度以及结合面接触刚度的变化规 律。由图可知结合面的接触刚度随着真实接触面积的 增加而增加， 且油膜的接触刚度基本不变， 但整体呈增 大趋势。当真实接触面积较小时， 油膜的接触刚度大 于固体表面的接触刚度， 此时油膜的接触刚度占主导 作用， 但随着法向载荷的增加， 真实接触面积增加， 固 体表面的接触刚度大于油膜的接触刚度， 此时固体表 面的接触刚度占主导作用。这说明在低载荷情况下， 油膜的接触刚度对结合面的接触特性具有重要的意 义。此外， 对比图 8 a 和图 8 b 可知， 随着分形维数 的增加， 粗糙表面变得光滑， 油膜以及结合面的接触刚 度增加， 这与实际情况是相符的。 通常情况都是通过添加润滑油来改善结合面的接 触特性， 但当结合面处于特殊环境中， 如水面以下， 两 粗糙表面接触界面周围的间隙由水填充， 此时结合面 的接触刚度由水形成的膜的接触刚度与固体表面的接 触刚度组成， 如图 8 c 和图 8 d 。从图可知， 结合面 的接触刚度随着真实接触面积的增加而增加， 与图 8 a 和图 8 b 具有相似的规律， 且表面越光滑， 接触刚 度越大， 但润滑剂为油的结合面接触刚度大于润滑剂 为水的结合面接触刚度。 a油 D 2． 3 b油 D 2． 4 c水 D 2． 3 d水 D 2． 5 图 8不同润滑剂下真实接触面积与法向接触刚度的关系 Fig． 8The relationship between real contact area and normal contact stiffness under different lubricants 3． 2分形参数对结合面的接触刚度的影响 图 9 为不同分形维数下结合面接触刚度的变化规 律， 分形维数表征的是粗糙表面的峰值和谷值， 分形维 数越大， 粗糙表面越光滑。从图 9 可知， 随着分形维数 的增加， 当 D ＜2． 9 时， 结合面的接触刚度为逼近于零 的一条直线， 对分形维数为 2． 4 ～2． 6 的曲线进行局部 放大， 发现结合面的接触刚度随分形维数的增加缓慢 增加; 当 D ＞2． 9 时， 结合面的接触刚度随着分形维数 的增加急剧增加， 这是由结合面真实接触面积快速增 加引起的。 图 10 为不同尺度参数下结合面接触刚度的变化 规律。从图可知， G 越大， 意味着粗糙表面形貌的幅值 越大， 表面越粗糙， 结合面的接触刚度越小。这是由于 粗糙表面越光滑， 真实接触面积越大， 即结合面的接触 刚度越大。此外， 可以发现新模型求解的结合面接触 刚度明显大于不考虑油膜接触刚度的模型。 4结论 混合润滑条件下， 机械结合面的接触特性受液体 油膜的影响变得显著， 结合面接触刚度由固体表面的 12第 3 期李玲等混合润滑状态下结合面的法向接触刚度研究 ChaoXing 图 9不同分形维数下真实接触面积与法向接触刚度的关系 G 1． 342 10 －12m Fig． 9The relationship between real contact area and normal contact stiffness with different fractals G 1． 342 10 －12 m 图 10G 与接触刚度的关系 D 2． 4 Fig． 10The relationship between normal contact stiffness and G D 2． 4 接触刚度和液体油膜的接触刚度组成。 1采用三维的 W- M 函数描述了具有分形特征 的粗糙表面， 并基于统计学方法建立了结合面法向接 触刚度模型， 考虑了微凸体的弹塑性变形过程， 更好地 揭示了微凸体的变形机理。 2利用固体表面的弹性接触刚度求解了油膜的 等效厚度， 建立了油膜的接触刚度模型， 避免了采用超 声波测量液体油膜厚度难的问题， 为机械结构的润滑 状态预测提供了帮助。 3通过与经典的接触模型对比， 发现新模型与 经典模型具有一致性， 确保了本文所建模型的合理性 和有效性。分析结果表明， 结合面的接触刚度随法向 载荷的增加而增加， 且混合润滑状态下结合面的接触 刚度大于干摩擦下结合面的接触刚度。此外液体油膜 的接触刚度受材料本身的声学特性以及粗糙表面的分 形参数影响。 参 考 文 献 ［1］ CHIU H，LEE C．Prediction of machining accuracy and surface quality for CNC machine tools using data driven approach［ J］ ． Advances in Engineering Software， 2017， 114 246- 257． ［2］ YUAN Y，CHENG Y，LIU K，et al． A revised Majumdar and Bushan model of elastoplastic contact between rough surfaces ［J］ ．AppliedSurfaceScience， 2017， 425 1138- 1157． ［3］ ZHAO L，ZHANG M，HE Y，et al．A new for modelingroughmembranesurfaceandcalculationof interfacial interactions［J］ ． Bioresource Technology，2016， 200 2 451- 457． ［4］ SONG H，GIESSEN E V D，LIU X． Strain gradient plasticity analysis of elasto- plastic contact between rough surfaces［J］ ． Journal of the Mechanics ＆ Physics of Solids， 2016， 96 18- 28． ［5］ CLAUSNIZER H， FIDLINA， FIGULIR， etal． Experimental investigation of the permeability of a tribo- contact in dry friction clutches［J］ ． Tribology International， 2017， 118 157- 162． ［6］ EID H，ADAMS G G．An elastic plastic finite element analysis of interacting asperities in contact with a rigid flat ［ J］ ． Journal of Physics D Applied Physics， 2007， 40 23 7432． ［7］ GREENWOOD J A， WILLIAMSONJBP．Contactof nominally flat surfaces［ J］ ． Proceedings of the Royal Society of London， 1966， 295 1442 300- 319． ［8］ JACKSON R L，GREEN I．A statistical model of elasto- plastic asperity contact between rough surfaces［ J］ ． Tribology International， 2006， 39 9 906- 914． ［9］ MEDINA S，NOWELL D，DINI D． Analytical and numerical models for tangential stiffness of rough elastic contacts［J］ ． Tribology Letters， 2013， 49 1 103- 115． ［ 10］ SAYLES R S，THOMAS T R．Surface topography as a nonstationary random process ［J］ ．Nature， 1978， 271 5644 431- 434． ［ 11］ MANDELBROT B B． The fractal geometry of nature． ［M］ ． LondonW． H． Freeman， 1983． ［ 12］ MANDELBROT B B，PASSOJA D E， PAULLAY A J． Fractal character of fracture surfaces of metal［J］ ． Nature， 1984， 308 5961 721- 722． ［ 13］ MAJUMDAR A．Roleoffractalgeometryinroughness characterization and contact mechanics of surfaces［ J］ ． Trans Asme J Tribology， 1990， 112 2 205- 216． ［ 14］ MAJUMDAR A，BHUSHAN B．Fractal model of elastic- plastic contact between rough surfaces ［J］ ．Journal of Tribology- Transactions of the Asme， 1991， 113 1 1- 11． ［ 15］ YAN W，KOMOVOPOULOS K． Contact analysis of elastic- plastic fractal surfaces［J］ ．Journal of Applied Physics， 1998， 84 7 3617- 3624． ［ 16］ 杨红平， 傅卫平， 王雯， 等． 基于分形几何与接触力学理论 的结合面法向接触刚度计算模型［J］ ． 机械工程学报． 2013， 49 1 102- 107． YANG Hongping， FUWeiping， WANGWen， etal． Calculation model of the normal contact stiffness of joints based on the fractal geometry and contact theory［ J］ ． Journal of Mechanical Engineering， 2013， 49 1 102- 107． ［ 17］