基于Chebyshev-变分法的复杂开口形状矩形薄板弯曲振动特性分析_陆斌.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 2 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．2 2020 基金项目国家自然科学基金 51505237; 51675286 ; 宁波市自然科学基 金 2017A610081; 2017A610085 ; 宁波大学王宽城幸福基金; 宁波大 学大学生科研创新计划校级项目 2019SRIP1702 收稿日期2019 －04 －25修改稿收到日期2019 －07 －01 第一作者 陆斌 男， 硕士， 1994 年生 通信作者 陈跃华 男， 博士， 讲师， 1986 年生 基于 Chebyshev-变分法的复杂开口形状矩形薄板弯曲振动特性分析 陆斌，陈跃华，冯志敏，张刚，闫伟，许强 宁波大学海运学院， 浙江 宁波 315832 摘要针对复杂开口形状的矩形薄板弯曲振动问题， 提出一种基于 Chebyshev- 变分原理的建模方法， 建立弹性 边界条件下不同开口形状矩形薄板弯曲振动模型。采用边界约束因子模拟弹性边界条件， 视开口部分为一种物理属性为 零的特殊薄膜。将板的横向位移展开成双重 Chebyshev 多项式级数形式， 建立薄板的拉格朗日泛函， 利用变分法推导薄 板的特征方程并求得固有频率及对应振型。开展开口薄板模态试验研究， 对比理论计算结果与试验结果及有限元结果， 验证该方法及模型的准确性和有效性。研究边界约束和开口形状对弯曲振动特性的影响。结果表明 开口形状对结构低 阶固有频率影响较小， 对高阶固有频率影响较大; 开口形状的改变对结构奇数阶固有频率的影响大于对偶数阶固有频率 的影响。 关键词开口矩形薄板; 弯曲振动; Chebyshev 级数; 变分法 中图分类号TB532文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 02． 025 Bending vibration characteristics analysis of a rectangular plate with complex opening using Chebyshev- variational LU Bin，CHEN Yuehua，FENG Zhimin，ZHANG Gang，YAN Wei，XU Qiang Faculty of Maritime and Transportation，Ningbo University，Ningbo 315832， China AbstractA modeling for the vibration analysis of a rectangular plate with different openings under elastically restrained conditions was proposed based on the Chebyshev- variational theory． Its elastic boundary condition was simulated by introducing boundary constraint factors． The opening portion was regarded as a membrane with zero physical properties． The transverse vibration displacement was expressed in a double Chebyshev series ，based on which the characteristic equation of the plate with opening was obtained by using the variational ． The modal tests of the plate with different openings were carried out． By comparing the experimental results with the corresponding theoretical results and finite element results， the accuracy of the present was validated． The effects of boundary constraint and opening shape on bending vibration characteristics were analyzed． It is shown that the shape of the opening has little effect on the low- order natural frequencies of the structure，but has a great influence on the high- order natural frequencies． Furthermore，the shape of the opening shows greater influence on odd- order natural frequencies than that on even- order natural frequencies． Key wordsrectangular thin plate with opening;bending vibration;Chebyshev series; variational 开口矩形薄板作为一种常见且重要的工程结构， 被广泛应用于船舶、 航空航天、 机械及建筑等领域中。 尤其在船舶结构的设计和建造中， 为减轻质量， 利于空 气和液体的自由流动及电缆、 管道的贯通， 通常在船体 构件上设置许多不同形状和尺寸的开口。开口形状一 般以矩形为主， 也有三角形和曲边形等较为复杂的非 对称形开口。这些开口在一定程度上改变了原有结构 的振动特性， 因此开展具有复杂开口形状的薄板弯曲 振动特性研究具有实际意义。 近年来， 国内外学者针对矩形薄板弯曲振动问题 进行了大量的研究。付江松等 ［1 ］使用不同组合级数逼 近位移函数从而得到矩形板弯曲振动的近似解， 并通 过克拉尼实验验证了该方法的有效性。靳国永等 ［2 ］研 究了边界约束对板结构横向振动的影响， 结果表明边 界旋转刚度的微小改变会对结构模态产生较大的影 响。陈美霞等 ［3 ］利用边界元法结合有限元法研究了平 板在空气中和水中的振动特性， 得到了固有频率随着 ChaoXing 平板周围流场的增强而不断降低的结论。鲍四元等 ［4 ］ 采用 Hamilton 体系和分离变量法建立薄板弯曲振动控 制方程组， 求解得到了经典边界条件下矩形板弯曲振 动规律。Bao 等 ［5 ］提出了一种改进的傅里叶 － 里兹方 法来分析扇形板的面内振动， 引入对数径向变量简化 了总能量和拉格朗日函数的表达式， 降低了计算成本。 在此基础上， Bao 等 ［6 ］又将谱几何展开和哈密顿原理结 合起来， 建立了一个统一的双坐标模型， 用于分析矩形 板和扇形板的横向振动问题， 结合实例验证了该统一 模型 的 普 遍 性。Jayasinghe 等 ［7 ］ 使 用 动 态 矩 阵 法 Dynamic Coefcient Matrix，DCM 得到了矩形板固有频 率解， 经验证采用该方法得到的结果具有较高的精度。 基于平板振动的理论基础， 国外学者对开口板振 动特性开展了相关研究， 但国内学者对这方面的研究 较少。目前， 数值法和能量法是研究开口板弯曲振动 特性的常用方法。数值法中的有限元法因其广泛的适 用性而被经常使用。张媛等 ［8 ］利用有限元计算得到了 开口薄板的前三阶固有频率值及对应的振型图， 发现 开口尺寸变化不会影响薄板的模态振型。Chang 等 ［9 ］ 采用一种高精度的矩形单元， 其在每个顶点和四边的 中点各有一个节点， 通过子空间迭代计算了开口厚板 的固有频率并有效地降低了计算量。Zhang 等 ［10 ］通过 Hencky 条形网扩展模型 Hencky Bar- net Model，HBM 分析了矩形开口板的振动特性。诸如子参数元素 法 ［11 ］、 子结构处理法［12 ］等其他数值方法也被应用于开 口板的弯曲振动分析中。 里兹法作为一种常见的能量方法， 因其求解过程 简便而被广泛应用于开口板的振动研究。Lam 等 ［13 ］使 用改进的里兹法并引入正交多项式作为位移函数研究 了开口矩形板的弯曲振动问题。Singh 等 ［14 ］采用改进 的里兹法对具有各项同性开口薄板进行了线性和几何 非线性静力分析， 利用几何对称性得到了具有中心圆 孔的矩形板固有频率。Huang 等 ［15 ］基于里兹法， 采用 两组位移容许函数准确描述了 V 形缺口尖端附近的弯 矩和剪切力奇点， 研究了边缘具有 V 形切口的矩形板固 有振动特性。李凯等 ［ 16 ］利用能量法和开口的对称关系 简化了开口板振动求解问题， 得到了薄板自由振动的固 有频率解。采用能量法求解振动问题的关键在于选取适 当的位移函数以提高计算精度。容许函数选取多以改进 傅里叶级数 ［ 17 －18 ］和具有梁函数特性的特征正交多项 式 ［ 19 ］为主。此外， 第一类 Chebyshev 多项式级数也被广 泛地应用于厚矩形板 ［ 20 ］、 曲面加筋板［ 21 ］、 功能梯度板［ 22 ］ 等结构的振动分析中， 其优点在于形式简单、 计算特征方 程时方便快速且能满足开口板的边界条件。其中， 文献 ［ 20］ 中的位移容许函数由切比雪夫多项式乘上边界函 数组成， 该文献中给出的边界函数只模拟了几种经典的 组合边界。文献［ 22］ 选取具有正交范围的位移切比雪 夫阶多项式的零点作为网格点， 其精度取决于网格点的 细分程度。另外文献［ 20 －22］ 中均未对开口板结构的 弯曲振动问题进行相应的建模。 目前， 开口矩形薄板的研究大多局限于矩形或圆 形等对称开口形状， 对于具有非对称开口和曲边开口 等复杂开口形状的薄板振动研究较少。文献［ 23］ 将板 域进行分割， 通过各个板域能量相加的方法建立开口 板的振动模型， 且其只针对开口形状为矩形的薄板， 未 涉及具有如三角形、 曲边形等复杂开口形状的矩形薄 板建模问题。针对上述问题， 本文引入 Chebyshev 级数 结合能量变分法建立弹性边界条件下的复杂开口矩形 板弯曲振动模型， 采用边界约束因子模拟开口板的弹 性边界条件。本文将开口视为一种物理属性为零的特 殊薄膜， 认为开口区域的总能量为零， 通过未开口的整 板总能量减去开口处原板域的能量从而得到开口板的 拉格朗日泛函方程， 基于变分法对振动能量方程进行 求解。通过引入弹性边界约束因子， 从而在处理任意 边界条件问题时只需修改约束因子大小， 而无需对位 移函数进行修改求解。对于具有曲边开口、 三角形开 口等复杂开口板问题， 只需得到开口轮廓的曲线函数 表达式即可通过对应的积分变换进行求解。本文设计 并开展矩形、 三角形和曲边形开口的矩形板模态试验 研究， 将计算结果与试验结果及有限元结果进行对比 分析， 验证该方法的有效性和准确性。 1理论分析 1． 1开口矩形板物理模型 为了研究具有复杂开口形状的矩形薄板弯曲振动 特性， 选取的研究对象为具有矩形开口、 三角形开口及 曲边形开口的矩形薄板， 如图 1 所示。 图 1 中， Lx， Ly分别是矩形薄板的长度和宽度， 三 角形斜边 yL1和曲线 yL2的物理表达式分别为 yL1∶ G1 x ax b 1 yL2∶ G2 x cx2 dx e 2 1． 2位移容许函数 由于正交性和形式简洁性， 引入高计算效率的 Chebyshev 级数作为位移容许函数， n 阶 Chebyshev 级 数定义为 Tn x cos n arccos x ， n 0， 1， 2， ; | x | ≤1 3 相应的递推公式为 Tn1 x 2xTn x－ Tn－1 x 4 由数学归纳法可以得到第 n 阶 Chebyshev 级数的 具体表达式 Tn x∑ ［n/2 ］ k 0 － 1 k n 2k n － 2k xn－2k 1 － x2 k 5 971第 2 期陆斌等基于 Chebyshev- 变分法的复杂开口形状矩形薄板弯曲振动特性分析 ChaoXing 图 1开口薄板理论模型 Fig． 1 Rectangular thin plate with different openings 式中 ［ n/2］ 为 n/2 取整部分。 故连续函数 f x 在区间 ［－ 1， 1］ 的 Chebyshev 展 开式为 f x∑ ∞ n 0 αnTn x a0 2 ∑ ∞ n 0 αncos nθ 6 因此， 开口矩形薄板的弯曲振动方程可以用 Chebyshev级数表示。由于 Chebyshev 级数定义区间是 ［－1， 1］ ， 需要将薄板的物理坐标进行相应的变换， 使 用如下坐标变换公式 x Lx 1 /2，y Ly η 1 / 2 0 ≤ x ≤ Lx， 0 ≤ y ≤ Ly 7 坐标变换后板的位移函数可以描述为 w ， η∑ M m 0∑ N n 0 AmmTm Tn η 8 式中 Amn是 Chebyshev 展开式系数; Tm 为第 m 阶 Chebyshev级数; M， N 为 Chebyshev 级数的截断项数。 需要注意的是， 矩形薄板的横向位移表示为无穷多项 Chebyshev 级数的总和， 但在实际计算中将选择有限 项， 以便于提高计算效率。 1． 3拉格朗日泛函法 开口矩形薄板的弯曲振动中存在的边界力和力矩 包括横向剪切力 Qx和 Qy， 弯矩 Mx和 My， 扭矩 Mxy和 Myx， 它们分别可以用位移函数表示为 Mx － D 2w x 2 μ 2w y 2 9 My － D 2w y 2 μ 2w x 2 10 Mxy Myx － D 1 － μ 2w xy 11 Qx M x x M xy y － D 3w x 3 3w xy 2 12 Qy M y y M xy x － D 3w y 3 3w x 2 y 13 式中 D Eh3 12 1 － μ2 为抗弯刚度， 其中 E 为杨氏模量， h 为厚度， μ 为泊松比。 开口薄板弯曲振动的弹性约束边界条件可表示为 Ckx0w － Qx 14 Ckx1w Qx 15 Cky0w － Qy 16 Cky1w Qy 17 CKx0w － Mx 18 CKx1w Mx 19 CKy0w － My 20 CKy1w My 21 将边界约束因子模拟分布在薄板的边界上， 通过 改变位移约束因子 Ck 和旋转约束因子 CK 的数值 大小来有效地模拟开口薄板的弹性边界条件。规定 Ckx0 Ckx1 ， Cky0 Cky1 分别代表 x 0 Lx 和 y 0 Ly 边上的位移约束因子， CKx0 CKx1 ， CKy0 CKy1 分别代表 x 0 Lx 和 y 0 Ly 边上的旋转约束因子。当 Ck与 CK取 0 时， 边界上的力和力矩均为零， 则模拟自由边界 条件， 用字母 ‘F’ 表示; 当 Ck与 CK取∞时， 边界上的力 和力矩均为无穷大， 则模拟固支边界条件， 用字母 ‘C’ ; 当 Ck取∞， CK取 0 时， 边界上的力无穷大， 力矩为零， 则模拟简支边界条件， 用字母 ‘S’ 。所以当约束边界因 子 Ck， CK 取 0 ～ ∞时， 可以模拟开口薄板的任意弹性 边界条件。 由能量法可知， 开口矩形薄板弯曲振动的拉格朗 日泛函 L 可表示为板的总势能 U 和总动能 T 的函数， 即公式 L U － T 22 矩形薄板中的开口部分可认为是一种物理属性为 零的特殊薄膜， 其材料密度， 杨氏模量和泊松比等参数 均为零。所以在建立理论模型时， 通过将未开口矩形 薄板的总能量减去开口处原板域的能量， 从而得到开 081振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 口薄板的能量方程。 以曲边开口形状为例， 由图1 c 可知， 开口的曲边 在笛卡尔坐标系中的物理表达式为 yL2∶ G2 x cx2 dx e Lx1≤ x ≤ Lx2 23 开口薄板结构的总势能 U 由弯曲应变能 Up和储 存在边界的弹性势能 Uk组成。 完整矩形薄板的弯曲应变能为 Up1 D 2∫ Lx 0∫ Ly 0 2w x 2 2 2w y 2 2 { 2μ 2w x 2 2w y 2 2 1 － μ 2w x y } 2 dxdy 24 开口处原板域的弯曲应变能可描述为 Up2 D 2∫ Lx2 Lx1∫ cx2dxe Ly1 2w x 2 2 2w y 2 2 { 2μ 2w x 2 2w y 2 2 1 － μ 2w x y } 2 dxdy 25 储存在边界的弹性势能可描述为 Uk 1 2∫ Lx 0 Cky0w2 CKy0 w  y [] 2 y 0 dx 1 2∫ Lx 0 Cky1w2 CKy1 w  y [] 2 y Ly dx 1 2∫ Ly 0 Ckx0w2 CKx0 w  x [] 2 x 0 dy 1 2∫ Ly 0 Ckx1w2 CKx1 w  x [] 2 x Lx dy 26 开口矩形薄板的总势能可表达为 U Up1 Uk－ Up2 27 完整矩形薄板的动能为 Tp1 1 2 ρhω2∫ Lx 0∫ Ly 0 w2dxdy 28 式中 ρ 为矩形板材料密度。 开口处原板域的动能为 Tp2 1 2 ρhω2∫ Lx2 Lx1∫ cx2dxe Ly1 w2dxdy 29 开口矩形薄板的总动能表示为 T Tp1－ Tp2 30 将式 27 和式 30 代入拉格朗日函数式 22 中， 对泛函 L 中的未知位移系数取极值 L/Amn 0 31 得到以下特征方程 K － ω2M q 0 32 式中 K 和 M 分别为开口矩形薄板的刚度矩阵和质量 矩阵; q 为未知位移系数 Amn组成的向量; ω 为圆频率。 因为 Chebyshev 级数的定义区间为［－ 1， 1］ ， 所以 需要对特征方程中的元素进行相应的坐标变换， 变换 后的刚度矩阵 K、 质量矩阵 M 及未知位移系数向量 q 分别为 ［ K］ α， β 4DLy L3 x ∫ 1 －1∫ 1 －1 －∫ 2 1∫ g η1 ［ T″m T″m ］ ［ Tn η Tn η ］ d dη 4DLx L3 y ∫ 1 －1∫ 1 －1 －∫ 2 1∫ g η1 ［ Tm Tm ］ ［ T″n η T″n η ］ d dη 4Dμ LxLy ∫ 1 －1∫ 1 －1 －∫ 2 1∫ g η1 ［ T″m Tm ］ ［ Tn η T″n η ］ d dη ∫ 1 －1∫ 1 －1 －∫ 2 δ 1∫ g η1 ［ Tm T″m ］ ［ T″n η Tn η ］ dd                   η 8Dμ LxLy∫ 1 －1∫ 1 －1 －∫ 2 1∫ g η1 ［ T m T m ］ ［ T n η T n η ］ d dη Lx 2 Cky0［ Tn － 1 Tn － 1 ］∫ 1 －1 ［ Tm Tm ］ d 2Lx L2 y CKy0［ Tn － 1 Tn － 1 ］∫ 1 －1 ［ Tm Tm ］ d Lx 2 Cky1［ Tn 1 Tn 1 ］∫ 1 －1 ［ Tm Tm ］ d 2Lx L2 y CKy1［ Tn 1 Tn 1 ］∫ 1 －1 ［ Tm Tm ］ d Ly 2 Ckx0［ Tm － 1 Tm － 1 ］∫ 1 －1 ［ Tn η Tn η ］ dη 2Ly L2 x CKx0［ Tm － 1 Tm － 1 ］∫ 1 －1 ［ Tn η Tn η ］ dη Ly 2 Ckx1［ Tm 1 Tm 1 ］∫ 1 －1 ［ Tn η Tn η ］ dη 2Ly L2 x CKx1［ Tm 1 Tm 1 ］∫ 1 －1 ［ Tn η Tn η ］ dη 33 ［ M］ α， β ρhL xLy 4 ∫ 1 －1∫ 1 －1 －∫ 2 1∫ g η1 ［ Tm Tm ］ ［ Tn η Tn η ］ d dη 34 ［ q］ α ［ A00， A01， ， A0M， A10， ， A1M， A20， ， AMN］ 35 定义 α m 1 n 1 ， β m 1 n 1 。上 式中 1，2 ， η 1 ， η 2， 和曲线 g 均为坐标变换所得， 具 体变换表达式为 i 2Lxi/Lx－ 1， ηi 2Lyi/Ly－ 1， i 0， 1 36 将式 33～ 式 35 代入式 32 中， 得坐标变换后 的开口矩形板弯曲振动特征方程 K［α， β ］ － ω 2M ［α， β ］ q［α， β ］ 0 37 通过上述处理方法， 将开口矩形薄板振动问题转 化成特征值的求解问题， 得到弹性边界条件下开口薄 板弯曲振动的各阶固有频率， 将计算得到的特征向量 反向替换位移表达式 8 中的未知系数， 可以得到开口 板的各阶振型数据。对于具有复杂开口形状的矩形薄 板弯曲振动特性分析， 只需知道开口形状的曲线方程 181第 2 期陆斌等基于 Chebyshev- 变分法的复杂开口形状矩形薄板弯曲振动特性分析 ChaoXing 并对其进行坐标变换， 然后代入到上述公式中即可求 解出各阶固有频率及其对应振型。 2数值计算与分析 本文分析边界约束、 开口面积大小和开口形状对 矩形薄板弯曲振动特性的影响， 并与试验结果及有限 元结果进行对比， 验证了本文方法和理论模型的有效 性和准确性。以 Chebyshev 多项式级数为基函数的位 移表达式中， 截断级数 M， N 的取值对计算结果的精确 度影响较大。两类边界约束因子在无穷大时的取值也 在一定程度上影响了计算精度， 经后文算例验证， 当边 界约束因子 Ck， CK 1 108时， 理论模型中的边界 条件能完全变为经典边界条件。 2． 1收敛性分析 通过算例1 研究了本文方法的收敛性， 薄板的材料 参数为 密度 ρ 7 850 kg/m3， 泊松比 μ 0． 3， 杨氏模量 E 2．1 1011Pa。几何参数为 长度 Lx8 m， 宽度 Ly 6 m， 厚度 h 0． 01 m。如图 1 a 所示， 开口长度 a1 4 m， 宽度 b13 m。薄板的外部边界为四边固支边界， 记为CCCC。如表1 所示， 将计算得到的前6 阶固有频率 与有限元结果及文献［ 24］ 结果进行对比分析。 表 1 CCCC 边界下开口薄板固有频率 Tab． 1 Natural frequencies of rectangular thin plate with opening under CCCC boundary 截断级数 M N 模态阶数 123456 87． 087． 9510． 5812． 4313． 7016． 26 107． 057． 749． 9512． 0413． 1215． 69 127． 047． 639． 6611． 9012． 4815． 35 146． 987． 529． 5111． 7811． 9615． 05 166． 967． 469． 4511． 7311． 7414． 94 186． 947． 439． 4111． 5911． 7014． 85 206． 937． 419． 3911． 5011． 6814． 79 226． 937． 399． 3711． 4311． 6614． 75 246． 927． 379． 3611． 3811． 6514． 71 266． 917． 349． 3511． 3411． 6414． 68 286． 907． 339． 3311． 3011． 6314． 65 306． 907． 339． 3311． 2811． 6314． 64 316． 907． 339． 3311． 2811． 6314． 64 文献［ 26］6． 907． 299． 31 11． 0911． 6314． 56 FEM6． 907． 309． 3211． 1211． 6514． 60 注 FEM 为有限元 ANSYS 软件计算结果。 由表 1 可知， 计算结果与有限元结果和文献结果 吻合良好， 验证了本文方法具有良好的有效性。随着 截断级数的不断增大， 本文计算结果逐渐收敛。当截 断级数 M N 30 时， 开口薄板的各阶固有频率基本 趋于稳定， 这证明了本文方法的收敛性和稳定性。根 据瑞利 － 里兹法的频率收敛特性［25 ］可知， 由该方法得 到的振动系统方程特征值是相应精确特征值的上限， 即得到的各阶频率是需要预测的各阶频率的上限。另 外， 由于截断级数的存在， 本文结果可能也具有一定的 截断误差。因此， 相比文献［ 26］ 和有限元结果， 本文固 有频率预测值总体偏高。 综上， 在保证结果精确性的条件下， 适当选取截断 级数能有效地提高计算效率， 故在后文的算例中， 将取 截断级数为 30。 2． 2准确性分析 为了进一步充分证明本文方法的准确性， 开展了 开口薄板振动模态试验。薄板材料参数为 密度 ρ 2 680 kg ∕ m3、 泊松比 μ 0． 36、 杨氏模量 E 5． 9 1010Pa。几何参数为 长度 Lx 0． 2 m， 宽度 Ly 0． 3 m， 厚度 h 0． 002 m。试验时采用的边界条件均为 FFFC， 试验对象实物如图 2 所示。图 2 a 中曲边形开 口的轮廓表达式为 yL2∶ G2 x － 100 x2 20 x － 0． 85 0． 08 m ≤ x ≤ 0． 12 m 38 图 2 b 中三角形开口轮廓的表达式为 yL1∶ G1 x － 3 2 x 0． 3 0． 06 m ≤ x ≤ 0． 12 m 39 图 2 c 中矩形开口长度 a1 0． 1 m， 宽度 b1 0． 08 m 。 本文采用锤击法测量开口板的振动模态， 图 3 为开口薄板振动模态试验系统示意图， 用到的仪器包 括 DH5922 信号采集仪， CA- YD- 160 加速度传感器， LC- 01 力锤与力传感器和 DH5855- 1 电荷适调器。 图 2振动模态试验对象实物图 Fig． 2 The rectangular plates with different openings of vibration modaltest 图 3开口薄板振动模态试验系统示意图 Fig． 3 Vibration modaltest system of rectangular thin plate with opening 281振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 振动模态试验采取基座固定法来模拟开口矩形板 的 FFFC 边界条件， 如图 4 所示， 将矩形板的一端放置 在两块夹板之间， 将基座上的螺栓穿过两块夹板， 套上 螺母进行固定。基座固定在地面上， 且施加在螺母上 的紧固力足够大， 开口板这一端既不能自由移动， 也不 能自由转动， 从而模拟了固支边界条件。在模态试验 建模中， 将开口矩形板沿 X 轴和 Y 轴进行若干等分， 等 分数越多， 相应的测点也就越多， 得到的结果越精确。 本文采用单点拾振法， 即加速度传感器的位置不变， 力 锤不断改变测点位置， 在不同激励点进行敲击。利用 计算机软件进行模态分析处理， 进而提取开口薄板的 模态参数， 结果如表 2 所示。 图 4开口板安装及固支边界实现示意图 Fig． 4 Installations of plate with opening and clamped boundary 表 2FFFC 边界下开口矩形板试验结果与计算结果比较 Tab． 2 Comparison of test results and calculation results of rectangular plates with opening under FFFC boundary 模态 阶数 开口形状 曲边开口 试验 本文 FEM 三角形开口 试验 本文 FEM 矩形开口 试验 本文 FEM 116．8817．3517．3316．6317．3117．2419．3819．8719．87 257．2556．7656．6955．6355．5955．2256．2556．5456．42 3106．88 108．05108．04106．63 106．36105．92101．88 102．69102．31 4196．13 195．48195．53189．75 191．76190．84185．00 184．70184．41 5265．25 265．03264．12254．38 252．67249．47239．38 241．10240．93 6312．13 313．01312．54300．63 302．97298．11321．25 323．82323．10 7401．38 398．90399．54390．63 393．38392．60400．63 400．47398．31 8419．25 420．02418．26410．38 414．99412．11406．25 407．55407．80 9607．05 607．11608．02593．75 599．51594．57557．50 557．35556．23 10670．88 669．87668．00611．88 610．39605．13628．13 623．49617．16 由表 2 可知， 本文计算结果与试验结果吻合程度 较高。以曲边形开口薄板为例， 前 10 阶固有频率中， 采用本文方法得到的结果与试验结果的最大误差为 2． 78 ， 在可接受范围内。进一步证明了关于复杂开 口形状矩形薄板弯曲振动特性的建模方法的准确性。 另外， 提取了曲边开口板振动模态试验的前 5 阶振 型， 将计算结果与试验结果及有限元结果进行对比分 析。如图 5 所示， 发现振型高度吻合， 证明了该方法 的正确性， 从而也反向证明了试验方法的合理性和准 确性。 图 5FFFC 边界下曲边开口矩形板前 5 阶振型对比图 自左向右 本文结果; 试验结果; 有限元结果 Fig． 5 The first five vibration modes of the rectangular plate with curved openingunder FFFC boundary From left to right the present results;the test results;the ANSYS results 2． 3边界条件对开口薄板弯曲振动特性的影响 为了验证本文方法的普适性， 通过算例 2 研究了 不同边界约束对开口薄板振动特性的影响。开口薄板 的材料参数与前文算例 1 中相同。开口板的几何参数 为 长度 Lx1 m， 宽度 Ly1． 5 m， 厚度 h 0． 01 m， 内 部开口为曲边形开口， 曲边在区间［－1， 1］ 上的函数表 达式为 yL2∶ g － 10 3 2 4 15 － 2 5 ≤≤ 2 5 40 将曲线表达式代入式 33～ 式 35 中得到七种组 合边界条件下开口薄板的固有频率解， 并与有限元结 果进行比较， 如表 3 所示。为了更加直观地表示边界 约束对开口薄板弯曲振动特性的影响， 将不同边界条 件下曲边开口薄板的前 16 阶固有频率计算值绘制成 如图 6 所示的折线图。 381第 2 期陆斌等基于 Chebyshev- 变分法的复杂开口形状矩形薄板弯曲振动特性分析 ChaoXing 表 3不同边界条件下曲边开口板固有频率 Tab． 3 Natural frequencies of rectangular plate with curved opening under different boundaries 边界条件计算方法 模态阶数 12345678 FFFC FSFC FCFC FCSC FCCC SCCC CCCC 本文方法3． 6612． 1423． 2342． 6756． 0565． 2685． 5493． 53 FEM3． 6612． 1023． 2342． 3655． 6464． 3085． 7693． 24 本文方法16． 6928． 2453． 2067． 5170． 79111． 06118． 67128． 16 FEM16． 8927． 9652． 5467． 4170． 35110． 16119． 83126． 66 本文方法25． 0433． 9165． 6474． 3279． 42124． 25133． 61140． 53 FEM24． 9533． 6064． 4774． 0678． 42123． 39132． 95138． 39 本文方法27． 9256． 3269． 53102． 79122． 73137． 00176． 53181． 30 FEM27． 7656． 5568． 27101． 21121． 87135． 87175． 45179． 77 本文方法29． 5669． 5673． 02112． 43134． 10146． 32188． 15202． 20 FEM29． 8469． 6073． 23111． 48135． 67144． 73187． 51201． 61 本文方法54． 2288． 82121． 71162． 05166． 72220． 93235． 40274． 46 FEM54． 5388． 38121． 63161． 90166． 74219． 80233． 83270． 98 本文方法72． 5397． 97144． 06172． 12188． 45240． 27240． 96298． 45 FEM72． 4997． 46142． 64170． 85188． 93