基于变分模态分解的模态参数识别研究_赵亚军.pdf

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of Engineering，Handan 056038，China; 3． School of Civil Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China AbstractAn out- put only modal parameter identification technique based on variational mode decomposition VMDwas developed for civil structures． The free decay response FDR，which can be recorded in free vibration tests or reconstructed from ambient vibration responsesof a structure was decomposed into modal responses using VMD． The instantaneous modal frequencies were calculated from the modal responses with the empirical envelope EE， while the instantaneous modal damping ratios were calculated using a newly developed procedure． Mode shape vectors were indentified using the modal responses extracted from the FDRs by processing all the available sensors data on the structure． The calculated instantaneous modal frequencies and instantaneous modal damping ratios can capture any transient modal parameter variations． A series of numerical and experimental case studies were conducted to demonstrate the efficiency and highlight the superiority of the proposed in modal parameter identification using free vibration or ambient vibration data． The proposed was proved to be efficient in modal parameter identification for both linear and nonlinear systems，and can be applied to systems with closely spaced modes and sudden modal parameter variations． Key wordsmodal parameter identification;variational mode decomposition VMD ;nonlinear system;closely spaced modes 模态参数 包括模态频率、 阻尼比和振型向量 是 结构的重要参数， 模态参数识别一直是工程领域的研 究热点。模态参数通常通过结构动力试验 包括强迫 振动、 自由振动和环境激励下的随机振动 记录的加速 度或位移信号进行识别。对于大型结构， 很难开展强 迫振动试验， 且过大的强迫激励可能对结构安全或运 营造成影响。因此， 基于自由振动或随机振动的方法 得到了广泛的研究。此外， 基于自由振动或随机振动 的方法无需对输入进行测量， 因此被称作基于输出的 模态 参 数 识 别 Output- only Modal Analysis，OMA 方法 ［1 ］。 传统的 OMA 方法分为频域方法和时域方法。频 域方法包括峰值拾取方法， 频域分解方法等。时域方 法包括随机减量法， 随机子空间法等。上述方法容易 ChaoXing 实施， 但处理高阻尼或密集模态结构的能力十分有限。 此外， 传统方法无法识别结构模态参数中的非线性和 非平稳特征。 近年来， 基于时频分析的模态参数识别方法得到 广泛的关注。其中， 基于小波变换 Wavelet Trans， WT ［2 ］和基于经验模态分解 Empirical Mode Decompo- sition，EMD和 希 尔 伯 特 变 换 Hilbert Trans， HT ［3 ］的方法得到了广泛的应用。WT 方法分析结果 往往受母小波函数选择的影响， 目前并无通用的理论 以选择母小波函数。EMD 方法是一种自适应信号处理 技术， 它与 HT 方法结合成为一种强大的时频分析工 具， 通 常 被 称 为 Hilbert- Huang 变 换 Hilbert- Huang Trans，HHT 。大量学者就基于 HHT 方法的模态 参数识别展开了研究， 并提出一些改进算法， 以提高基 于 HHT 方法的性能。 尽管 EMD 方法已得到广泛的应用， 但其存在一些 明显缺陷， 如不能有效的分解密集模态和低能量模态， 可能产生伪模态等 ［4 ］。变分模态分解 Variational Mode Decomposition，VMD ［5 ］是近年来提出的一种自 适应信号分解方法， 它克服了 EMD 方法的一些缺陷， 并已在振动信号分析［6 ］和线性系统识别等领域中体现 出优势。VMD 方法在非线性系统模态识别及非平稳信 号分析中的应用值得深入研究。 现有模态参数识别方法在计算信号瞬时频率时通 常采用 HT 方法。然而， HT 方法具有计算结果波动大， 边界效应明显等缺点［7 －8 ］。为克服 HT 方法的缺陷， 一 些学者提出了改进的算法［9 ］。在计算信号瞬时阻尼方 面， 相关研究则较为缺乏， 通常假定信号阻尼在若干周 期内保持不变， 或采用基于 WT 的方法， 亦有学者提出 了基于信号瞬时振幅和瞬时频率的差分方法求解瞬时 阻尼 ［10 ］。然而， 上述方法存在边界效应明显、 对噪声敏 感等缺点。为此， 本文提出一种新的识别信号瞬时阻 尼的方法。 本文首先简要介绍了 VMD 方法， 在此基础上提出 一种新的模态参数识别方法。通过经验包络法 Em- pirical Envelope，EE 计算模态响应瞬时频率， 并提出 一种新的方法以计算模态响应瞬时阻尼比。通过一系 列数值和试验算例验证了本文方法利用自由振动和随 机振动试验识别模态参数的有效性。 1变分模态分解 在模态参数识别中经常需要将多分量信号 实测 振动响应 分解为单分量信号 模态响应 。传统信号 分解通常采用 EMD 方法以及 EMD 的一些改进算法。 VMD 方法是近年来提出的一种自适应信号分解方法， 考虑式 1 所示的信号分解问题 s t∑ K k 1 vk t∑ K k 1 Ak t cos［ φk t ］ 1 式中s t 为待分解多分量信号;vk t k 1 ～ K 为 分解得到的单分量信号;K 为分解层数;Ak t 和φk t 分别为 vk t 的瞬时振幅和瞬时相位。 VMD 方法在获取单分量信号时摒弃了 EMD 方法 所使用的循环筛分剥离的信号处理方式， 而是将信号 分解过程转移到变分框架内， 通过搜寻约束变分模型 最优解来实现信号自适应分解， 每个单分量信号的频 率中心及带宽在迭代求解变分模型的过程中不断更 新， 最终可根据实际信号的频域特性完成信号频带的 自适应剖分， 得到若干窄带单分量分量信号。其约束 变分模型表达式为 min { vk} ， { fk} ∑ K k 1‖ tδ t j π t * vk t [] e －j2πfkt‖ {} 2 2 2 式中t为随时间的导数;δ t 为 Dirac 方程;j 槡－1;* 为卷积运算;fk t k 1 ～ K 为单分量信号 vk t 的频率中心;‖‖2为向量的 L2 范数。 通过增广 Lagrange 函数求解上述约束变分问 题， 即 L { vk t } ， { fk} ， λ t α∑ K k 1‖ tδ t j π t * vk t [] e －j2πfkt‖2 2 ‖s t －∑ K k 1 vk t ‖ 2 2 〈λ t ， s t－∑ K k 1 vk t 〉 3 式中α 为惩罚参数;λ 为 Lagrange 乘子;〈 〉 为两向量 内积。 式 2 所示的约束变分模型优化问题转换为求解 上述增广 Lagrange 函数的鞍点问题， 可通过交替方向 乘子算法求解， 该方法在频域对 vk和 fk进行迭代， 迭代 过程求解为 v n1 k f sf －∑ i≠k v n i fλ n f /2 1 2α 2πf － 2πf n k 2 4a fn1 k ∫ ∞ 0 2πfvn k f 2df ∫ ∞ 0 v n k f 2df 4b 式中n 为迭代步数;为傅里叶变换; 迭代过程在 ∑ ‖v n1 k － vn k‖ 2 2 ∑ ‖v n k‖ 2 2 ＜ ε 时停止。 VMD 方法的详细介绍参见 Dragomiretskiy 等的研 究。需要说明， VMD 方法需要预先指定分解层数 K， Dragomiretskiy 等给出了一些过分解 K 过大 和欠分解 K 过小 的典型特征。此外， 文献［ 11］ 提出一些确定 分解层数的算法。本文根据信号傅里叶谱中的频带数 量来选择 K， 并配合 Dragomiretskiy 等的研究中典型特 611振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 征以防止过分解或欠分解。 2本文方法 本文提出的模态参数识别方法分为三步 ①通过 自由振动试验或通过随机减量法从结构随机振动信号 中获取结构 FDR， 进而采用 VMD 从 FDR 中提取模态 响应; ②计算各阶模态响应的瞬时频率和瞬时阻尼， 进 行得到模态频率和模态阻尼; ③处理所有可用传感器 得到的模态响应， 以提取结构的模态振型向量。上述 步骤中， 结构振动试验不属于本文的研究范畴， 第①步 已在理论背景一节给出了详细的论述， 本节着重介绍 第②、 第③步的内容。 2． 1模态频率及模态阻尼 假定已通过 VMD 方法提取出了结构的模态响应 vi t ，i 1 ～ N，N 为模态数量 ， 则可分别求解 v t 的瞬时频率 记为 f t 和瞬时振幅 记为 q t 。求 解信号瞬时频率和瞬时振幅最常用的方法为 HT 方法。 然而， 受 Bodrosian 定理和 Nuttall 定理限制 ［12 ］， HT 方法 得到的瞬时频率可能包含较大的波动。此外， HT 方法 具有较为明显的边界效应。为克服 HT 方法的缺陷， 一 些学者提出了改进的算法。其中， 经验包络计算结果 稳定， 且边界效应较弱， 其优势已在郑近德等和张明杰 的研究中得到验证。因此， 本文采用 EE 方法对信号瞬 时频率和瞬时振幅进行求解。 对于时变阻尼信号， 可假定信号阻尼在若干周期 内保持不变， 并分段求解信号阻尼， 但该方法不能得到 信号阻尼的瞬时特性。基于 WT 的瞬时阻尼计算方法 通常具有较为明显的边界效应。近年来， 有学者提出 了基于信号瞬时振幅和瞬时频率的差分方法求解瞬时 阻尼。然而， 该类方法对噪声及瞬时频率求解效果较 为敏感。为此克服上述方法缺陷， 本文提出一种新的 识别信号瞬时阻尼的方法， 阐述如下 根据 q t ， 可计算得到 v t 的瞬时对数衰减率 δ t m ln q tm q tm－1 2πξ tm 1 － ξ2 tm 槡 5 式中m 为采样点数;ξ t 为 v t 的瞬时模态阻尼 比， 且 ξ t ln［ q tm /q tm－1 ］ 4π 2 { ln［ q tm /q tm－1 ］ } 槡 2 6 对于小阻尼情况， ln［ q tm /q tm －1 ］ 2π， 式 6 可简化为 ξ t ln［ q tm /q tm－1 ］ 2π 7 式 7 不涉及差分运算， 受噪声影响较小， 且不受 瞬时频率结果影响， 因此计算结果较为稳定。相比基 于 WT 的方法， 式 7 边界效应较弱。 对于线性系统， 通过 EE 方法和式 7 计算得到的 瞬时模态频率和模态阻尼比近似为常量; 对于非线性 系统， 瞬时模态频率和模态阻尼比随时间发生变化。 试验及实测研究表明， 大量土木结构的模态频率和模 态阻尼比往往随振幅发生变化。因此， 可将瞬时模态 频率和模态阻尼比通过最小二乘拟合转换为随振幅变 化的模态频率及模态阻尼比， 即 ［ q t ， f t ］→    多项式拟合 f q 8a ［ q t ， f t ］→    多项式拟合 f q 8b 同样， 对于线性系统 f q 和 ξ q 近似为常量。 f q 和 ξ q 的变化反应了结构模态频率和阻尼比随振 幅的变化趋势。 2． 2模态振型向量 结构的模态振型向量可通过处理所有可用传感器 得到的模态响应得到。假定结构上共有 n 个传感器， 则对于第 k 阶模态， 共可提取 n 条可用的模态响应， 记 做 vik t i 1 ～ n 。由于 vi k t i 1 ～ n 的阻尼比相 等 均为第 k 阶模态的模态阻尼比 ， 则根据式 7 可 得， 对于任意两条模态响应 qjk tm qik tm qjk tm－1 qik tm－1 9 式中qik t 和 qjk t 分别为 vi k t 和 v j k t 的瞬时振幅。 式 9 说明 qjk t /qik t 为一常数。然而， 受测量 噪声及计算误差干扰， 实际计算得到的 qjk t /qik t 可 能有一定的波动。因此， 可对 qjk t /qik t 在时域内进 行平均以减小误差， 即 rij k mean［ qjk t /qik t ］ 10 至此， 第 k 阶模态的振型可表示为 Φk ［ 1， r12 k ， ， r1n k］ T 11 3基于自由衰减振动识别模态参数 VMD 方法克服了 EMD 方法的一些缺点， 同时保持 了分解多分量信号和检测信号振幅或频率瞬态变化的 能力， 因而更适合于非线性和非平稳信号的时频分析。 因此， 本文方法在特定类型结构的模态参数识别中有 着优于基于 EMD 的方法的性能。本节通过三个算例 基于自由振动响应 验证本文方法的有效性和优 越性。 3． 1具有密集模态的三自由度系统 该算例源自 Kijewski 等的研究， 为具有密集模态的 三自由度系统， 其运动方程可表示为 mx cx kx 0 12 式中x， x ， x 分别为位移， 速度， 加速度矩阵; m， k， c 分 别为系统的质量， 刚度， 阻尼矩阵， 具体取值参见 Kijewski等的研究。 711第 2 期赵亚军等基于变分模态分解的模态参数识别研究 ChaoXing 系统模态频率的理论解分别为0．567 Hz， 1．006 Hz， 1． 095 Hz， 模态阻尼比的理论解为 0． 01。Kijewski 等基 于 Morlet 小波变换对该系统模态参数进行了识别， 结 果表明识别结果对母小波函数中心频率的选取十分 敏感。 对该系统在第三个自由度处施加单位初始激励 1 cm/s2 ， 记录各自由度处的 FDR 采样频率 100 Hz ， 第三自由度处的 FDR 如图 1 所示， 其幅值谱显示该 FDR 有三种频率成分。通过 VMD 方法将该 FDR 分解 为三个模态响应 分别记为 v1 t ， v2 t ， v3 t ， 结果 如图 2 所示。可见 VMD 方法成功分解出 FDR 中的三 种模态响应。为验证 VMD 方法较 EMD 方法的优势， 采用 EMD 方法对图 1 所示的 FDR 进行分解， 发现 EMD 方法未能分解两密集模态， 且分解结果中有 5 条 伪模态。这些伪模态可能在处理实际工程时对使用者 产生误导。限于篇幅限制， 本文未给出 EMD 分解 结果。 图 1三自由度系统 FDR 及其幅值谱 Fig． 1FDR of 3DOF system and its amplitude spectra v1 t ， v2 t ， v3 t 的瞬时振幅和瞬时频率 分别 记为 f1 t ， f2 t ， f3 t 分别示于图 2 和图 3 a 。可 见瞬时振幅结果与信号峰值吻合良好; f1 t ， f2 t ， f3 t 分别非常接近 0． 567 Hz， 1． 006 Hz， 1． 095 Hz， 从 而验证了本文方法的精度。为验证 EE 方法较传统 HT 方法的优势， 图 3 a 同时给出了 HT 方法计算得到的 f1 t ， 可见 HT 方法有明显的边界效应。v1 t ， v2 t ， v3 t 的瞬时模态阻尼比 分别记为 ξ1 t ， ξ2 t ， ξ3 t 如图 3 b 所示。可见 ξ1 t ， ξ2 t ， ξ3 t 均非 常接近其理论值 0． 01 。受 VMD 端部效应的影响， ξ1 t ， ξ2 t ， ξ3 t 在两端仍有一定程度的波动。图 3 b 同时给出了 Kijewski 等研究中基于 WT 方法的计 算结果。可见， 相比 WT 方法， 本文方法的边界效应大 大减弱。 根据三个自由度处记录的 FDR， 可对系统瞬时模 态频率和模态阻尼比分别进行识别， 识别结果均值如 表 1 所示。可见三个自由度处的 FDR 均可准确的识别 图 2三自由度系统模态响应 Fig． 2Modal responses of 3DOF system 图 3三自由度系统瞬时模态频率及阻尼比 Fig． 3Modal frequencies and damping ratios of 3DOF system 表 1三自由度系统瞬时模态频率及阻尼比均值 Tab． 1Mean values of modal frequencies and damping ratios of 3DOF system 模 态 mean［ f t ］ 1stDOF2edDOF3rdDOF mean［ ξ t ］ 1stDOF2edDOF3rdDOF 10． 5670． 5670． 5680． 0100． 0100． 010 21． 0061． 0060． 0100． 010 31． 0951． 0941． 0950． 0100． 0100． 010 出系统的模态参数。由于第二个自由度处的 FDR 不含 模态2 的成分 模态2 的振型为［ 1．00 0．00 －1．00］ T ， 故根据该 FDR 不能识别出模态 2 的模态参数。 该系统模态振型可通过“2． 2” 节的方法进行识 别， 各阶模态振型识别结果与理论值对比如表 2 所 示， 可见本文方法能较为准确的识别模态振型。该 算例说明本文方法适用于具有密集模态的结构模态 参数识别。 为考察本文方法对不同阻尼比系统的识别精度， 811振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 表 2三自由度系统模态振型向量 Tab． 2Mode shape vectors of 3DOF system 模态识别值理论值 1［ 1． 00， 2． 73， 1． 00］ T ［ 1． 00， 2． 73， 1． 00］ T 2［ 1． 00， 0． 00，－1． 00］ T ［ 1． 00， 0． 00，－1． 00］ T 3［ 1． 00，－0． 72， 1． 00］ T ［ 1． 00，－0． 73， 1． 00］ T 将式 12 系统的阻尼比改为0．02， 0．03， 0．04， 0．05， 不同 阻尼比下的识别结果见表 3。可见， 在阻尼比高达 0． 04 时， 本文方法仍具备较高的精度。继续增加阻尼比， 模态 1 识别精度不受影响， 而模态 2、 模态 3 结果出现一定程 度的误差。这是由于过高的阻尼比导致信号衰减很快， 可用信号非常短， VMD 方法难以准确分解两临近模态。 表 3不同阻尼比下三自由度系统模态参数识别结果 Tab． 3Identification results for different damping ratios 阻尼比 mean［ f t ］ 模态 1模态 2 模态 3 mean［ ξ t ］ 模态 1模态 2 模态 3 0． 0100． 5671． 0061． 0950． 0100． 0100． 010 0． 0200． 5671． 0061． 0950． 0200． 0200． 020 0． 0300． 5671． 0071． 0970． 0300． 0300． 030 0． 0400． 5671． 0081． 0880． 0400． 0400． 040 0． 0500． 5671． 0091． 0880． 0500． 0530． 047 为考察噪声对本文方法识别精度的影响， 在图 1 所示的 FDR 中加入零均值高斯白噪声， 并定义噪声比 例为 NR 噪声标准差/信号标准差。不同噪声比例下 模态频率和模态阻尼识别结果如表 4， 可见本文方法具 有良好的抗噪性能。 表 4不同噪声比例下三自由度系统模态参数识别结果 Tab． 4Identification results with noises NRf1f2f3ξ1ξ2ξ3 00． 5670． 0101． 0060． 0101． 0950． 010 50． 5700． 0111． 0090． 0111． 0970． 010 100． 5700． 0111． 0090． 0111． 0980． 010 3． 2具有瞬态效应的两自由度系统 该算例为具有瞬态效应的两自由度系统， 其 FDR 如式 13 所示， 其中 ξ 0． 02， f1 0． 5 Hz， f2 1 Hz，f 2 0． 95 Hz。该系统第二个模态在 t 15 s 时振幅和频率 均出现波动， 用以模拟结构运营过程中的突发破坏。 v1 t e －2πξf1tcos 2πf 1t 13a v2 t e －2πξf2tcos f 2t ， 0 ＜ t ≤ 15 0． 4e －2πξf2tcos［ f 2 t － 15 ］ ， 15 ＜ t ≤ { 30 13b 式 13 所示 FDR 采样频率 100 Hz 及其幅值谱 如图 4 所示。受傅里叶变换频率分辨率限制， 幅值谱 未能检测到频移。尽管可以通过增加信号长度来增加 频率分辨率， 但傅里叶变换不能捕获频移的确切时刻。 图 4两自由度系统 FDR 及其幅值谱 Fig． 4FDR of 2DOF system and its amplitude spectra 采用 VMD 方法将该 FDR 分解为两个模态响应， 结 果如图 5 所示。可见 VMD 方法分解结果如真实模态 响应吻合良好。EMD 方法同样可以提取出两个模态响 应， 然而， EMD 分解结果中产生多条伪模态。限于篇幅 限制， 本文未给出 EMD 分解结果。由本文方法计算得 到的两瞬时模态频率 分别记作 f1 t ， f2 t 如图 6 a 所示， 可见 f1 t ， f2 t 与真实值吻合良好， 且本文 方法准确捕获到了模态响应中的频移特点。两瞬时模 态阻尼比 分别记作 ξ1 t ， ξ2 t 如图 6 b 所示， ξ1 t ， ξ2 t 同样与真实值吻合良好。ξ1 t ， ξ2 t 在 t 15 s 附近的波动是由模态响应幅值波动所导致的。 图 5两自由度系统模态响应 Fig． 5Modal responses of 2DOF system 图 6两自由度系统瞬时模态频率及阻尼比 Fig． 6Modal frequencies and damping ratios of 2DOF system 911第 2 期赵亚军等基于变分模态分解的模态参数识别研究 ChaoXing 上述算例表明， 本文方法能够准确捕获结构振动 过程中突发的模态参数变化。因此， 本文方法有望应 用到土木结构实时监测系统中。 3． 3单自由度非线性系统 试验验证 该算例为某桥梁节段模型涡激振动 Vortex- In- duced Vibration， VIV 系统。研究表明， VIV 是一种典 型非线性气动弹性现象， 其振动频率及阻尼比在振动 过程中可能发生较大幅度的变化［13 ］。某桥梁节段模型 在 VIV 区间的 FDR 及其幅值谱如图 7 所示。可见 FDR 中含有一定程度的低频及高频噪声， 其中低频噪 声可能由传感器零漂导致， 高频噪声为 VIV 系统中常 见的高阶成分 在 VIV 分析中， 该部分成分通常认为可 忽略 ［14 ］ 。受低频及高频噪声影响， 直接对 FDR 进行 分析可能对模态参数识别引入一定的误差。因此， 首 先采用 VMD 方法对该 FDR 进行处理， 得到的模态响应 及其幅值谱如图 8 所示， 可见低频及高频噪声被成功 滤除。尽管也可以通过滤波器对 FDR 进行滤波， 然而 滤波器可能改变 FDR 的相位及幅值特点， 且滤波器不 能分离密集模态。 图 7单自由度非线性系统 FDR 及其幅值谱 Fig． 7FDR of nonlinear system and its amplitude spectra 图 8单自由度非线性系统模态响应及其幅值谱 Fig． 8Modal responses of nonlinear system and its amplitude spectra 由本文方法计算得到的瞬时模态频率 f t 和模态 阻尼比 ξ t 如图 9 所示， 可见 f t 和 ξ t 随振幅发生 变化， 体现了该系统模态参数的非线性特点。为验证 模态参数识别的精度， 通过式 8 拟合得到 f q 和 ξ q ， 并代入运动方程， 即 mx 2πf q ξ q x 4π2f 2 q x 0 14 通过 Newmark- β 反算结构模态响应， 结果如图 10 所示。可见反算结果如实测结构吻合良好， 从而说明 了模态参数识别的精度。该算例充分说明本文方法适 用于模态参数随振幅变化的非线性系统， 而该类系统 在土木工程领域非常常见。 图 9单自由度非线性系统模态频率及阻尼比 Fig． 9Modal frequency and damping ratio of nonlinear system 图 10非线性系统模态响应反算值与实测值对比 Fig． 10Comparison between original and calculated FDRs 4基于随机振动响应识别模态参数 上节算例全面证明了本文方法利用自由振动响应 识别不同类型系统模态参数的能力。然而对于大型结 构而言， 自由振动试验的代价非常高昂。因此， 有必要 研究本文方面在利用随机振动响应识别结构模态参数 的能力。本节以 “ 3． 1” 节中的三自由度系统为例， 结合 随机减量法 ［15 ］， 研究本文方法利用随机振动响应识别 结构模态参数的能力。 假定该系统受高斯白噪声序列 时长 7 200 s， 标准 差 0． 2 cm/s2 的激励， 其第三自由度处的随机振动响 应如图 11 所示。需要说明， 由于真实的环境激励 风 荷载， 交通荷载等 不可能固定在一个点上， 因而上述 激励方式并不真实。本节为方便研究， 对环境激励进 行了简化。使用随机减量法对图 11 所示的随机振动 响应进行分析， 重建得到的 FDR 及其幅值谱如图 12 所 示。采用 VMD 方法将重建得到 FDR 分解为三个模态 响应 分别记为 v1 t ， v2 t ， v3 t ， 结果如图 13 所 021振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 示。v1 t ， v2 t ， v3 t 的瞬时振幅、 瞬时模态频率 分 别记为 f1 t ， f2 t ， f3 t 和瞬时模态阻尼比 分别记 为 ξ1 t ， ξ2 t ， ξ3 t 分别示于图 13、 图 14 a 和图 14 b ， 可见瞬时模态频率和模态阻尼比均与理论值吻 合良好。由于随机振动响应中模态 1 成分能量较低 见图12 b ， 受噪声影响， 重建 FDR 中模态1 成分受 到一定程度的污染， 因此模态 1 的参数识别结果出现 一定程度的波动。 图 11三自由度系统随机振动响应 Fig． 11Ambient response of 3DOF system 图 12三自由度系统 FDR 及其幅值谱 随机响应识别结果 Fig． 12Reconstructed FDR and its amplitude spectra 图 13三自由度系统模态响应 随机响应识别结果 Fig． 13Modal responses of 3DOF system 根据三个自由度处重建的 FDR， 可对系统模态振 型向量进行识别。限于篇幅限制， 不再给出相关结果。 该算例表明， 与随机减量法结合， 本文方法可以有效的 从结构随机振动响应中识别模态参数。 图 14三自由度系统瞬时模态频率及阻尼比 随机响应识别结果 Fig． 14Modal frequencies and damping ratios of 3DOF system 5结论 本文提出一种新的基于 VMD 方法的结构模态参 数识别方法。VMD 方法克服了 EMD 方法的一些缺陷， 因而更适合于非线性非平稳信号的时频分析。为识别 模态参数可能具有的非线性非平稳特征， 使用 EE 方法 计算了模态响应的瞬时频率， 并提出一种新的方法以 计算模态响应的瞬时阻尼比。结构的模态振型向量可 通过处理所有可用传感器得到的模态响应得到。 通过一系列数值和试验算例验证了本文方法的有 效性， 突出了本文方法在利用自由振动或随机振动试 验结果进行模态参数识别中的优势。算例表明， 瞬时 模态频率和瞬时模态阻尼比可以捕获模态参数的任何 瞬态变化; 本文方法适用于线性和非线性系统， 且可用 于识别具有密集模态和瞬态特性的系统。此外， 本文 方法具有良好的抗噪声性能。 参 考 文 献 ［1］ BAGHERI A，OSMAN E O，DEVIN K H． Structural system identification based on variational mode decomposition［J］ ． Journal of Sound and Vibration， 2018， 417 182 －197． ［2］ KIJEWSKI T，KAREEM A． Wavelet transs for system identification in civil engineering［J］ ． Computer Aided Civil and Infrastructure Engineering， 2003， 18 5 339 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