基于多模态控制理论的箱梁MDVA参数优化及对低频振动影响分析_周力.pdf

􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈 􀪈 振 动 与 冲 击 第 ３９ 卷第 ２３ 期ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫＶｏｌ． ３９ Ｎｏ．２３ ２０２０ 基金项目 国家自然科学基金（５１６７８４４６） 收稿日期 ２０１９ －０６ －１０ 修改稿收到日期 ２０１９ －０９ －０８ 第一作者 周力 男，博士生，１９８９ 年生 通信作者 罗雁云 男，博士生导师，教授，１９６０ 年生 基于多模态控制理论的箱梁 ＭＤＶＡ 参数优化及 对低频振动影响分析 周 力， 张天琦， 罗雁云 （同济大学 铁道与城市轨道交通研究院，上海 ２０１８００） 摘 要由于多重动力吸振器（ＭＤＶＡ）具有减振效果好、吸振器质量分散的特点，因而，将通过 ＭＤＶＡ 的参数合理 优化进而降低车辆载荷作用下箱梁各板件多个频段内的振动作为研究的主要内容。 基于单自由度系统定点理论与多自 由度多模态控制理论，推导了多目标模态的 ＭＤＶＡ 的参数优化方法；建立车⁃轨⁃桥有限元模型，根据仿真得到的箱梁振动 频谱特征与模态特征，合理设置 ＭＤＶＡ 参数与安装位置，并对比了有无 ＭＤＶＡ 工况下箱梁的振动差异（１ ～２５０ Ｈｚ），结果 表明，ＭＤＶＡ 对箱梁多个频段均有较好的吸振效果。 此外，钢轨与车轮的动力响应结果表明，ＭＤＶＡ 对二者的低频振动同 样有一定的抑制效果。 关键词 多重动力吸振器；多模态控制；参数优化；低频振动影响 中图分类号 Ｕ２５；Ｏ３２８ 文献标志码 ＡＤＯＩ１０． １３４６５／ ｊ． ｃｎｋｉ． ｊｖｓ． ２０２０． ２３． ０１６ ＭＤＶＡ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｂｏｘ ｇｉｒｄｅｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉ⁃ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｉｔｓ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｎ ｌｏｗ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ＺＨＯＵ Ｌｉ， ＺＨＡＮＧ Ｔｉａｎｑｉ， ＬＵＯ Ｙａｎｙｕｎ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｒａｉｌ Ｔｒａｎｓｉｔ， Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０１８００， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ａｓ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｂｅｒｓ （ＭＤＶＡ） ｈａｖｅ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｏｆ ｇｏｏｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔ ａｎｄ ｍａｓｓ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ， ｈｅｒｅ， ＭＤＶＡ’ｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ｒｅａｓｏｎａｂｌｙ ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｏｘ ｇｉｒｄｅｒ’ｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｗｉｔｈｉｎ ｍｕｌｔｉ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｂａｎｄｓ ｕｎｄｅｒ ｖｅｈｉｃｌｅ ｌｏａｄｓ． Ｆｉｒｓｔｌｙ， ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ⁃ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ａ ｓｉｎｇｌｅ⁃ＤＯＦ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ⁃ＤＯＦ ｍｕｌｔｉ⁃ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅ ＭＤＶＡ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｍｏｄｅ ｗａｓ ｄｅｄｕｃｅｄ． Ｓｅｃｏｎｄｌｙ， ｔｈｅ ｖｅｈｉｃｌｅ⁃ｒａｉｌ⁃ｂｒｉｄｇｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｗａｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎｄ ｍｏｄａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｂｏｘ ｇｉｒｄｅｒ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ＭＤＶＡ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｉｎｓｔａｌｌａｔｉｏｎ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｒｅａｓｏｎａｂｌｙ ｓｅｔ ｕｐ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ （１⁃２５０ Ｈｚ） ｂｅｔｗｅｅｎ ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｂｏｘ ｇｉｒｄｅｒ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ＭＤＶＡ ｗｅｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ． Ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ＭＤＶＡ ｈａｖｅ ｂｅｔｔｅｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｍｕｌｔｉ⁃ｂａｎｄ ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｏｆ ｂｏｘ ｇｉｒｄｅｒ； ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｒａｉｌ ａｎｄ ｗｈｅｅｌ ｒｅｖｅａｌ ＭＤＶＡ ｈａｖｅ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｔｈｅｉｒ ｌｏｗ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｂｅｒｓ （ＭＤＶＡ）； ｍｕｌｔｉ⁃ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ； ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ； ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｎ ｌｏｗ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ 地铁高架线桥梁在车辆载荷作用下产生振动，对 周围空气介质产生扰动，形成结构噪声并向外辐射，对 沿线居民的生活与工作带来一定影响。 目前，主要通 过采用减振轨道抑制桥梁的振动进而达到降低桥梁结 构噪声的目的［１⁃２］，但减振轨道的使用可能会带来一些 不利影响，如轮轨振动与相应的辐射噪声增大［３］、车辆 振动增加［４］等。 实际上，车辆、轨道和桥梁相互之间是 动力耦合的，因而，研究如何降低桥梁振动的同时避免 引发其余系统的振动增大是十分有意义的。 动力吸振器作为一种吸能、耗能装置，在 １９２８ 年 由 Ｏｒｍｏｎｄｒｏｙｄ 和 Ｄｅｎ Ｈａｒｔｏｇ 提出，主要由质量、弹簧和 阻尼元件组成，通过将与之相连接的主系统的部分机 械能转化为自身的机械能并消耗，从而实现降低主系 统振动的目的。 理论分析表明，对于单自由度动力吸 振器而言，在工作频段范围内，吸振效果与动力吸振器 的质量成正比，质量越大，吸振效果越好［５］；但当偏离 最优同调条件时，制振性能将显著恶化［６］，此外，质量 过大的动力吸振器在实际应用中安装、布置不便，特别 是对于可利用空间较为有限的结构。 相较之下，多重 动力吸振器（ＭＤＶＡ）具有分散动力吸振器总质量及提 高吸振效果的优点，且鲁棒性较好［７⁃９］。 目前，轨道交通领域在动力吸振器方面的研究已 经取得了一定的成果。 张龙庆等［１０］以浮置板轨道为研 究对象，分析了 ＤＶＡ 在不同质量比下的吸振特性及车 载作用下 ＤＶＡ 对浮置板轨道低频振动的控制特性，发 现 ＤＶＡ 能够有效地降低浮置板轨道的固有频率附近 的低频振动能量；减振效果与质量比成正比。 孙煜 等［１１］设计了用于安装二维动力吸振器的高静刚度低动 刚度减振元件，研究发现，二维动力吸振器可以有效抑 制车体浮沉、点头振动，提高运行平稳性。 文永蓬等［１２］ 重点研究了考虑轨道系统影响的车体⁃动力吸振器的设 计方法，发现在车⁃轨耦合作用下，动力吸振器的设计要 综合考虑动力吸振器质量和设计频率的匹配，设计频 率的阈值决定了动力吸振器的减振效果。 目前，大部 分研究主要集中在采用单重动力吸振器对单个或多个 目标频段进行振动控制、多重动力吸振器对单个目标 频段进行振动控制等方面，有关多重动力吸振器对多 个频段的振动进行控制方面的研究较少。 基于上述原因，本文以轨道交通应用较为广泛的 箱梁为研究对象，采用多重动力吸振器对箱梁各板件 主频段的振动进行控制，以定点扩展理论和多模态控 制理论为基础，推导了以多个振动模态为目标模态的 ＭＤＶＡ 参数优化理论方法，并结合车⁃轨⁃桥有限元模 型，探索该 ＭＤＶＡ 对车⁃轨⁃桥系统的低频振动影响。 １ 多自由度系统的多模态控制理论 对于单自由度的目标系统，动力吸振器的参数可 以通过定点扩展理论较为简单地计算出［１３］，但实际应 用中，减振目标系统（或称主系统）往往是多自由度的， 且各自由度之间相互耦合，很难通过系统的频响函数 直接获得动力吸振器的最优参数。 假设多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度 矩阵分别为［Ｍ］、［Ｃ］和［Ｋ］，位移向量与荷载向量分 别为｛ｘ｝、｛ｆ｝，动方程如式（１）所示 ［Ｍ］｛ｘ ｝ ＋ ［Ｃ］｛ｘ｝ ＋ ［Ｋ］｛ｘ｝ ＝ ｛ｆ｝ （１） 令［Ｃ］和｛ｆ｝为零，稳态振动为｛ｘ｝ ＝ ｛Ｘ｝ｅｊΩｔ，代入 式（１），可以得到无阻尼自由振动的方程 （ － Ω２［Ｍ］ ＋ ［Ｋ］）｛ｘ｝ ＝ ｛０｝（２） 令 λ ＝ Ω２，代入上式。 由于该方程组存在非零解， 所以方程组－ λ［Ｍ］ ＋ ［Ｋ］＝ ０ 成立。 通过求解该 方程组可以得到特征值 λ 及相应的特征向量，进而得 到由特征向量组成的模态矩阵［Φ］。 考虑稳态激励｛ｆ｝ ＝ ｛Ｆ｝ｅｊωｔ作用下的响应，代入式 （１）整理后可得 （ － ω２［Ｍ］｛ｘ ｝ ＋ ［Ｃ］｛ｘ｝ ＋ ［Ｋ］）｛Ｘ｝ ＝ ｛Ｆ｝ （３） 借助模态矩阵［Φ］对系统的位移向量进行坐标变 换，即｛Ｘ｝ ＝ ［Φ］｛δ｝，并代入到系统运动方程式（２） 中，同时在方程两端乘以［Φ］ Ｔ，可得 （ － ω２［Φ］ Ｔ［Ｍ］［Φ］ ＋ ｊω［Φ］Ｔ［Ｃ］［Φ］ ＋ ［Φ］ Ｔ［Ｋ］［Φ］）｛δ｝ ＝ ［Φ］Ｔ｛Ｆ｝ 实际上，不同的特征值求得的特征向量分别关于 质量矩阵和刚度矩阵正交，即， ［Φ］ Ｔ［Ｍ］［Φ］ ＝ ｄｉａｇ［Ｍ １ＭｒＭｎ］ ［Φ］ Ｔ［Ｋ］［Φ］ ＝ ｄｉａｇ［Ｋ １ＫｒＫｎ］ 式中Ｍｒ和 Ｋｒ分别称为 ｒ 阶模态的模态质量和模态刚 度。 同时，假定阻尼矩阵与质量矩阵和刚度矩阵之间 具有以下关系 ［Ｃ］ ＝ α［Ｍ］ ＋ β［Ｋ］ 则同样可以得到［Φ］ Ｔ［Ｃ］［Φ］ ＝ ｄｉａｇ［Ｃ １Ｃｒ Ｃｎ］，其中 Ｃｒ为 ｒ 阶模态的模态阻尼。 综合上述各式，可以得到第 ｒ 阶模态的运动方程如 下式所示 （ － ω２Ｍｒ＋ ｊωＣｒ＋ Ｋｒ）｛Ｘ｝ ＝ ［Φ］ Ｔ｛Ｆ｝ （４） 显然，借助于模态矩阵，多自由度系统的振动可以 解耦为多个互不干涉的单自由度系统的振动。 基于该 性质，文献［１３］提出了多模态控制理论，即将多自由度 系统的各个振动模态分别作为控制对象，并以动力吸 振器所在位置的系统振型幅值大小作为单位 １ 对模态 矩阵中目标模态的振型向量进行归一化处理，得到目 标模态的等价质量后，进而将单自由度动力吸振器的 最优设计关系式［１４］应用到该模态的减振控制中。 ２ 基于多模态控制理论的 ＭＤＶＡ 参数优化 基于上述理论，多自由度系统可以解耦为多个互 不影响的单自由度系统。 如图 １ 所示，以多自由度主 系统解耦后的第 ｒ 阶模态为目标模态，设置 ｎ 个动力吸 振器，相应的动力吸振器质量、刚度和阻尼分为 ｍｉ、ｋｉ、 ｃｉ（ｉ ＝１，２，，ｎ），并假定 ｎ 个动力吸振器所对应的主 系统的等价质量均为 Ｍｒ，模态刚度为 Ｋｒ，忽略主系统 的阻尼，外部激励为 ｆｒ。 系统的动力学方程如式（５） ～ 式（６）所示。 图 １ 多重动力吸振器力学模型 Ｆｉｇ． １ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ＭＤＶＡ Ｍｒｘ ＋ Ｋｒｘ ＝∑ ｎ ｉ ＝１ ［ｋｉ（ｘｉ－ ｘ） ＋ ｃｉ（ｘ ｉ － ｘ ）］ ＋ ｆ ｒ （５） ｍｉｘ ｉ ＋ ｋｉ（ｘｉ－ ｘ） ＋ ｃｉ（ｘ ｉ － ｘ ） ＝ ０ （６） 令 ｆｒ＝ Ｆｒｅｊωｔ，ｘ ＝ Ｘｒｅｊωｔ，ｘｉ＝ Ｘｉｅｊωｔ，联立求得主振动 系统第 ｒ 阶模态的振幅为 ８０１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 Ｘｒ Ｆｒ Ｋｒ ＝ １ （ － Ｍｒω２＋ Ｋｒ） －∑ ｎ ｉ ＝１ ［ｍｉｋｉω２（ － ｍｉω２＋ ｋｉ） ＋ ｍｉω４ｃ２ ｉ］ ＋ ｊ（ｍ ２ ｉω ５ｃ ｉ） （ － ｍｉω２＋ ｋｉ）２＋ （ωｃｉ）２ （７） 上式引入如下物理量λ ＝ ω Ｋｒ Ｍｒ，第个动力吸振 器的质量比、固有频率比和阻尼比分别为 μｎｉ＝ ｍｉ Ｍｒ、 γｉ＝ ｋｉ ｍｉ Ｋｒ Ｍｒ、ξｉ ＝ ｃｉ ２ ｋｉ ｍｉ ，主系统静变形量 Ｘｓｔ＝ Ｆｒ Ｋｒ， 并假定各动力吸振器具有相同的质量比。 求解方程 组，得到主系统第 ｒ 阶模态的位移振幅比 Ｘ Ｘｓｔ ＝ １ Ａ２＋ Ｂ２ （８） 其中， Ａ ＝ （１ － λ２） － μ∑ ｎ ｉ ＝１ λ２［（１ － λ２／ γ２ ｉ） ＋ （２ζｉλ／ γｉ） ２］ （１ － λ２／ γ２ ｉ） ２ ＋ （２ζｉλ／ γｉ）２ Ｂ ＝ μ∑ ｎ ｉ ＝１ λ２（２ζｉλ３／ γｉ） （１ － λ２／ γ２ ｉ） ２ ＋ （２ζｉλ／ γｉ）２ 采用粒子群优化算法［１５⁃１６］，考虑到主系统的位移 振幅比的最大值达到最小时，多重动力吸振器各参数 获得最优解，故选择式（９）作为目标函数，通过寻求相 应的最优解，获得多重动力吸振器各个参数的最优值。 Ｙ ＝ ｍｉｎ ｍａｘ Ｘ Ｘｓｔ （ｕ，γｉ，ξｉ） {} （９） 如图 ２ 所示，在总质量比相同的条件下，多重动力 吸振器的减振效果要明显优于单重动力吸振器。 现有 研究表明，动力吸振器的个数为 ４ ～ ６ 时，减振效果提 升幅度较为明显；超过 ６ 个时，减振效果变化不明显。 图 ２ 使用 ５⁃ＤＶＡ 与 Ｓ⁃ＤＶＡ 时主系统的振幅比曲线对比图 Ｆｉｇ． ２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｒａｔｉｏ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｍａｉｎ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ５⁃ＤＶＡ ａｎｄ Ｓ⁃ＤＶＡ 值得注意的是，上述 ＭＤＶＡ 参数优化理论虽然是 基于目标系统的模态为刚体进行推导的，但当目标系 统为柔性体时，只要保证同一目标模态下个动力吸振 器安装位置所对应的该模态下的系统振型幅值大小相 等，上述理论仍然成立。 此外，为了获得较好的减振效 果，可以将 ＭＤＶＡ 安装在目标模态的振型波峰或波谷 附近，且保证安装位置处的振型幅值大小相等。 ３ 车辆载荷下箱梁 ＭＤＶＡ 参数优化 以城市轨道交通领域应用较为普遍的双线箱梁为 研究对象，通过车辆⁃轨道⁃桥梁的三维有限元仿真计 算，获得车载作用下的箱梁各板件振动响应频谱特征； 结合箱梁的自振模态，选择多个频段与模态作为减振 目标，并依据第 ２ 节中的 ＭＤＶＡ 参数优化相关理论及 优化算法，合理设置 ＭＤＶＡ 安装位置及参数，分析车载 作用下 ＭＤＶＡ 的减振效果及对车辆、轨道系统低频振 动的影响。 ３． １ 车⁃轨⁃桥系统有限元仿真与振动响应分析 以城市轨道交通实际运营线路高架段的普通轨道 双线箱梁为研究对象，横断面几何尺寸如图 ３ 所示，借 助 ＡＢＡＱＵＳ 有限元软件，建立车⁃轨⁃桥系统耦合模型。 其中，车辆子系统中的车体、转向架均简化为刚体，轮 对采用三维实体单元，考虑一、二系悬挂的垂向刚度与 阻尼，并根据实际运营车辆参数（Ｂ 型车） ［１７］进行模型 相关参数设置；轨道子系统中钢轨与道床均采用实体 单元，扣件通过弹簧⁃阻尼单元模拟，参数设置参考普通 整体道床；桥梁子系统中箱梁为实体单元，桥梁支座同 样采用弹簧⁃阻尼单元矩阵进行模拟；根据 Ｈｅｒｔｚ 非线 性理论，通过建立车轮与钢轨轨头表面间的面⁃面接触 模拟轮轨耦合，从而将车辆与轨道两子系统动力耦合。 图 ３ 箱梁横断面（ｃｍ） Ｆｉｇ． ３ Ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｂｏｘ ｇｉｒｄｅｒ （ｃｍ） 本文主要考虑系统的垂向振动，选择美国六级高 低不平顺谱作为系统激励，通过三角级数法［１８］将轨道 谱转化为高低不平顺空间样本（如图 ４ 所示）输入到模 型中，车速定义为 ８０ ｋｍ／ ｈ。 为了验证模型的有效性，本文对该实际运营线路 双线箱梁的振动响应进行了现场测试。 如图 ５ 所示， 分别在桥梁跨中截面的底板、翼板和腹板表面布置加 速度传感器，测量各板面垂向振动。 选取客流高峰时 段振动响应测试结果进行分析，并将仿真结果与现场 对应点位的实测结果进行对比（以底板为例），如图 ６ 所示，可以看出仿真得到的底板、腹板和翼板的振动频 ９０１第 ２３ 期周力等 基于多模态控制理论的箱梁 ＭＤＶＡ 参数优化及对低频振动影响分析 图 ４ 轨道高低不平顺空间样本 Ｆｉｇ． ４ Ｓｐａｔｉａｌ ｓａｍｐｌｅ ｏｆ ｌｅｖｅｌ ｔｒａｃｋ ｉｒｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ 图 ５ 现场测点布置 Ｆｉｇ． ５ Ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｉｎｇ⁃ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｆｉｅｌｄ ｔｅｓｔ 图 ６ 底板、腹板与翼板的振动仿真与实测对比 Ｆｉｇ． ６ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｂｏｔｔｏｍ ｐｌａｔｅ， ｗｅｂ ｐｌａｔｅ ａｎｄ ｆｌａｎｇｅ ｐｌａｔｅ 谱虽然与实测结果存在一定差异，但能够反映箱梁的 低频范围内（１ ～ ２５０ Ｈｚ 频段）的振动分布主要特征。 此外，本文的研究重点是通过多重动力吸振器参数优 化方法对选取的目标频段进行减振及效果分析，故而 认为可在该仿真模型基础上进行本文的后续研究 工作。 对桥梁跨中截面处各板件的振动仿真结果进行频 谱分析，各测点加速度方向与所在板件表面垂直，如 图 ７ ～ 图 １０，可以看出，箱梁的顶板、底板、腹板和翼板 在不同频段均存在峰值，综合选取各个板件峰值较大 的频段作为减振目标频段，具体为１９． ７ Ｈｚ、３２． ７ Ｈｚ、 ４３． ６ Ｈｚ、１０２． ３ Ｈｚ。 图 ７ 顶板振动加速度频谱图 Ｆｉｇ． ７ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｒｏｏｆ 图 ８ 底板振动加速度频谱图 Ｆｉｇ． ８ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｂｏｔｔｏｍ ｐｌａｔｅ 图 ９ 腹板振动加速度频谱图 Ｆｉｇ． ９ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｗｅｂ ｐｌａｔｅ 图 １０ 翼板振动加速度频谱图 Ｆｉｇ． １０ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｆｌａｎｇｅ ｐｌａｔｅ ３． ２ 基于多模态控制理论的 ＭＤＶＡ 参数优化 采用 ＬＡＮＣＺＯＳ 方法，计算简支箱梁的振动模态， ０１１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 选取减振目标频段附近的振动模态作为目标模态，如 图 １１ ～ 图 １４ 所示。 ＭＤＶＡ 安装位置的选择需结合以 下几个因素进行综合考虑① 结合各模态振型分布，优 先选取振幅较大处作为安装位置，以提高动力吸振器 的吸振效果；② 同一目标模态的各动力吸振器安装位 置处的振型幅值大小相等；③ 避免选取不同模态的振 型幅值均较大处，以减小任一目标模态的 ＭＤＶＡ 对其 余目标模态的影响。 图 １１ 第 ４ 阶模态振型图（２０ Ｈｚ） Ｆｉｇ． １１ ４ｔｈ⁃ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅ ｓｈａｐｅ （２０ Ｈｚ） 图 １２ 第 ７ 阶模态振型图（３０ Ｈｚ） Ｆｉｇ． １２ ７ｔｈ⁃ｏｒｄｅｒ ｍｏｄａｌ ｓｈａｐｅ （３０ Ｈｚ） 图 １３ 第 ５８ 阶模态振型图（１０３ Ｈｚ） Ｆｉｇ． １３ ５８ｔｈ⁃ｏｒｄｅｒ ｍｏｄａｌ ｓｈａｐｅ （１０３ Ｈｚ） 图 １４ 第 ５９ 阶模态振型图（１０４ Ｈｚ） Ｆｉｇ． １４ ５９ｔｈ⁃ｏｒｄｅｒ ｍｏｄａｌ ｓｈａｐｅ （１０４ Ｈｚ） 基于上述原则，结合各目标模态的振型分布，有限 元模型中 ＭＤＶＡ 布置，如图 １５ 所示。 其中，以第 ４ 阶 模态为减振目标的 ６⁃ＤＶＡ 分布在顶板、底板的板中和 板端；以第 ７ 阶模态为减振目标的 ６⁃ＤＶＡ 分布在两侧 图 １５ 不同目标模态的 ＭＤＶＡ 布置图 Ｆｉｇ． １５ Ｌａｙｏｕｔ ｏｆ ＭＤＶＡ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔａｒｇｅｔ ｍｏｄｅｓ 翼板边缘的中部与端部；以第 ５８ 阶模态为减振目标的 ４⁃ＤＶＡ 分布在该阶模态振型在顶板的振幅最大处；以 第５９ 阶模态为减振目标的６⁃ＤＶＡ 分布在底板的１／１２、 １／３、５／１２、７／１２、２／３ 和 １１／１２ 处。 按照上述位置布置 ＭＤＶＡ 后，基于模态分析所得 到的各目标模态的广义质量和 ＭＤＶＡ 安装位置的振型 幅值大小，可以得到相应的模态质量，取各动力吸振器 的质量比为而依据多模态控制的 ＭＤＶＡ 参数优化理 论，计算得到各动力吸振器的参数。 ４ ＭＤＶＡ 对车⁃轨⁃桥系统低频振动影响分析 图 １６ ～ 图 １９ 分别为安装 ＭＤＶＡ 前后（质量比为 ０． ０２），箱梁顶板、底板、腹板和翼板的中点的振动频谱 变化情况，对比分析后发现① 各板件在目标频段（峰 值频率 １９． ７ Ｈｚ、３２． ７ Ｈｚ、４３． ６ Ｈｚ、１０２． ３ Ｈｚ 附近）的 振动加速度幅值均有不同程度地降低；② 对于箱梁的 不同板件而言， 减振效果也与控制该频段振动的 ＭＤＶＡ 安装位置有关，如第 ５９ 阶模态相对应的 ＭＤＶＡ 安装在顶板上，与其余板件相比，顶板在该模态对应频 段附近的振动响应幅值降低更为明显；③ 各板件在非 目标频段的振动加速度幅值有增大也有减小，但整体 上减振效果显著，如表 １ 所示。 图 １６ 有、无 ＭＤＶＡ 工况下顶板振动加速度频谱对比图 Ｆｉｇ． １６ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｒｏｏｆ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ＭＤＶＡ 图 １７ 有、无 ＭＤＶＡ 工况下底板振动加速度频谱对比图 Ｆｉｇ． １７ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｂｏｔｔｏｍ ｐｌａｔｅ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ＭＤＶＡ １１１第 ２３ 期周力等 基于多模态控制理论的箱梁 ＭＤＶＡ 参数优化及对低频振动影响分析 图 １８ 有、无 ＭＤＶＡ 工况下腹板振动加速度频谱对比图 Ｆｉｇ． １８ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｗｅｂ ｐｌａｔｅ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ＭＤＶＡ 图 １９ 有、无 ＭＤＶＡ 工况下翼振动加速度频谱对比图 Ｆｉｇ． １９ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｆｌａｎｇｅ ｐｌａｔｅ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ＭＤＶＡ 表 １ 有、无 ＭＤＶＡ 工况下车⁃轨⁃桥系统振动加速度级对比 Ｔａｂ． １ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｌｅｖｅｌ ｖｅｈｉｃｌｅ⁃ ｒａｉｌ⁃ｂｒｉｄｇｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ＭＤＶＡ 线性振动加速度级／ ｄＢ 顶板底板腹板翼板钢轨车轮 无 ＭＤＶＡ１０６． ８１０２． ８１０９． ７１１０． ４１２６． ０１３０． ４ 有 ＭＤＶＡ１０４． ８９９． １１０５． ２１０４． ９１２５． ５１３０． ０ 此外，对安装 ＭＤＶＡ 前后车⁃轨⁃桥系统中车轮与钢 轨的振动加速度响应也进行了对比，如图 ２０ ～ 图 ２１， 发现在低频范围内（１ ～２５０ Ｈｚ），车轮与钢轨的振动在 绝大多数频段内呈下降趋势，特别是各主要峰值频段， 图 ２０ 有、无 ＭＤＶＡ 工况下钢轨振动加速度频谱对比图 Ｆｉｇ． ２０ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｒａｉｌ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ＭＤＶＡ 图 ２１ 有、无 ＭＤＶＡ 工况下车轮振动加速度频谱对比图 Ｆｉｇ． ２１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｗｈｅｅｌ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ＭＤＶＡ 但在部分频段有所增大。 总体而言，如表 １ 所示，车轮 与钢轨的振动加速度级均有所降低。 ５ 结 论 基于定点扩展理论和多模态控制理论，提出了应 用于多模态控制的多重动力吸振器（ＭＤＶＡ）参数优化 方法，同时以城市轨道交通箱梁为研究对象，结合模态 振型分布特征与车载作用下的箱梁振动频谱分布，合 理选择 ＭＤＶＡ 安装位置及参数优化， 对比分析了 ＭＤＶＡ 对车辆载荷作用下的车⁃轨⁃桥系统低频振动影 响，得到如下结论 （１） 对于多自由度目标系统而言，有多个目标频 段的 ＭＤＶＡ 参数优化过程中，通过将同一目标模态的 ＭＤＶＡ 安装在振型幅值大小基本相等的位置，并结合 多模态控制理论，能够将多自由度多模态控制问题转 化为单自由度问题，从而依据定点理论进行参数优化。 （２） 针对不同目标模态的 ＭＤＶＡ 能够同时有效减 小多个目标频段或模态的振动响应幅值，但同时会对 非目标频段的振动产生一定影响，但总体上目标系统 的振动水平能够得到明显改善。 （３） 将车辆载荷作用下箱梁各板件的多个振动峰 值频段作为目标频段，通过合理设置 ＭＤＶＡ 的参数与 安装位置，能够有效降低箱梁的振动，同时车轮与钢轨 在低频段（１ ～ ２５０ Ｈｚ）的振动响应大小也一定程度上 有所降低。 参 考 文 献 ［ １］ 李小珍，梁林，赵秋晨，等． 不同轨道结构形式对高架箱梁 结构噪声的影响［Ｊ］． 土木工程学报，２０１８，５１（１０） ７８⁃８７． ＬＩ Ｘｉａｏｚｈｅｎ， ＬＩＡＮＧ Ｌｉｎ， ＺＨＡＯ Ｑｉｕｃｈｅｎ， ｅｔ ａｌ． Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｒａｃｋ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｔｙｐｅ ｏｎ ｎｏｉｓｅ ｒａｄｉａｔｅｄ ｆｒｏｍ ａｎ ｅｌｅｖａｔｅｄ ｂｏｘ⁃ ｇｉｒｄｅｒ［Ｊ］． Ｃｈｉｎａ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｊｏｕｒｎａｌ， ２０１８， ５１（１０） ７８⁃８７． ［ ２］ 张迅，苏斌，李小珍． 扣件刚度与阻尼对铁路箱梁车致振动 噪声的 影 响 研 究 ［ Ｊ］．振 动 与 冲 击， ２０１５， ３４ （１５） １５０⁃１５５． ２１１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 ＺＨＡＮＧ Ｘｕｎ， ＳＵ Ｂｉｎ， ＬＩ Ｘｉａｏｚｈｅｎ．Ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｆａｓｔｅｎｅｒ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ａｎｄ ｄａｍｐｉｎｇ ｏｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ⁃ｂｏｒｎｅ ｎｏｉｓｅ ｏｆ ｒａｉｌｗａｙ ｂｏｘ⁃ ｇｉｒｄｅｒｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ， ２０１５，３４（１５） １５０⁃１５５． ［ ３］ 徐志胜，翟婉明． 高速铁路板式轨道结构参数对轮轨噪声 的影响［Ｊ］． 交通运输工程学报，２００６， ６（４） ２３⁃２６． ＸＵ Ｚｈｉｓｈｅｎｇ， ＺＨＡＩ Ｗａｎｍｉｎｇ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｓｌａｂ ｔｒａｃｋ ｆｏｒ ｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄ ｒａｉｌｗａｙ ｏｎ ｗｈｅｅｌ⁃ｒａｉｌ ｎｏｉｓｅ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｒａｆｆｉｃ ａｎｄ Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２００６， ６ （４） ２３⁃２６． ［ ４］ 王平，徐金辉，汪力，等． 轨道刚度对车辆⁃轨道系统频率响 应的影响［Ｊ］． 铁道工程学报，２０１４， ３１（９） ４６⁃５２． ＷＡＮＧ Ｐｉｎｇ， ＸＵ Ｊｉｎｈｕｉ， ＷＡＮＧ Ｌｉ， ｅｔ ａｌ． Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｒａｃｋ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ⁃ｔｒａｃｋ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｒａｉｌｗａｙ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｏｃｉｅｔｙ， ２０１４， ３１（９） ４６⁃５２． ［ ５］ 周劲松，张伟，孙文静，等． 铁道车辆弹性车体动力吸振器 减振分析［Ｊ］． 中国铁道科学，２００９， ３０（３） ８６⁃９０． ＺＨＯＵ Ｊｉｎｓｏｎｇ， ＺＨＡＮＧ Ｗｅｉ， ＳＵＮ Ｗｅｎｊｉｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｂｅｒ ｏｎ ｔｈｅ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｃａｒｂｏｄｙ ｏｆ ｒａｉｌｗａｙ ｖｅｈｉｃｌｅｓ ［ Ｊ］．Ｃｈｉｎａ Ｒａｉｌｗａｙ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ２００９， ３０（３） ８６⁃９０． ［ ６］ 杨琳，苏荣华，何锃． 参数变异对动力吸振器动态性能的 影响［Ｊ］． 华中科技大学学报（自然科学版），２０１０， ３８ （４） １２５⁃１２８． ＹＡＮＧ Ｌｉｎ， ＳＵ Ｒｏｎｇｈｕａ， ＨＥ Ｚｈｅｎｇ． Ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｖａｒｉａｎｃｅｓ ｏｎ ｄｙｎａｍｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｂｅｒｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ （ Ｎａｔｕｒｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ ）， ２０１０， ３８ （ ４ ） １２５⁃１２８． ［ ７］ ＰＡＮ Ｇｏｎｇｙｕ， ＺＨＡＮＧ Ｙｉｎｇ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｗｏ⁃ｓｅｒｉｅｓ⁃ｍａｓｓ ｄｙｎａｍｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｂｅｒ ａｎｄ ｉｔ’ ｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｎ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｊ］． Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ， ２０１２， １４６（９） ３６８⁃３７３． ［ ８］ ＳＵＮ Ｈｏｎｇｌｉｎｇ， ＺＨＡＮＧ Ｐｅｉｑｉａｎｇ， ＣＨＥＮ Ｈａｉｂｏ， ｅｔ ａｌ． Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃｖｉｂｒａｔｉｏｎａｂｓｏｒｂｅｒｓｉｎｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌｕｎｄｅｒ ｍｕｌｔｉ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｓ ［Ｊ］． Ａｐｐｌｉｅｄ Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ， ２００８， ６９（１２） １３６１⁃１３６７． ［ ９］ ＷＡＮＧ Ｘｉ， ＹＡＮＧ Ｂｉｎｔａｎｇ， ＹＵ Ｈｕ．Ｏｐｔｉｍａｌ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ａ ｍｕｌｔｉｄｙｎａｍｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｂｅｒ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ［ Ｊ ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ， ２０１７， １３９（３） １⁃７． ［１０］ 张龙庆，朱胜阳，蔡成标，等． 动力吸振器在浮置板轨道低 频振动控制中的应用 ［ Ｊ］． 工程力学，２０１６， ３３ （９） ２１２⁃２１９． ＺＨＡＮＧ Ｌｏｎｇｑｉｎｇ， ＺＨＵ Ｓｈｅｎｇｙａｎｇ， ＣＡＩ Ｃｈｅｎｇｂｉａｏ， ｅｔ ａｌ． Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｂｅｒｓ ｉｎ ｌｏｗ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｆｌｏａｔｉｎｇ ｓｌａｂ ｔｒａｃｋｓ ［ Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ２０１６， ３３（９） ２１２⁃２１９． ［１１］ 孙煜，周劲松，宫岛，等． 基于负刚度的高速动车组二维动 力吸振器研究［Ｊ］． 同济大学学报（自然科学版），２０１８， ４６（６） ８５４⁃８６０． ＳＵＮＹｕ，ＺＨＯＵＪｉｎｓｏｎｇ，ＧＯＮＧＤａｏ，ｅｔａｌ．Ｔｗｏ⁃ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｄｙｎａｍｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｂｅｒ ｏｆ ｈｉｇｈ⁃ｓｐｅｅｄ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｕｎｉｔ（ＥＭＵ） ｔｒａｉｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）， ２０１８， ４６ （６） ８５４⁃８６０． ［１２］ 文永蓬，李琼，尚慧琳，等． 考虑车轨耦合作用的车体动力 吸振器减振性能研究［Ｊ］． 振动与冲击，２０１６， ３５（２１） ５３⁃６２． ＷＥＮＹｏｎｇｐｅｎｇ，ＬＩＱｉｏｎｇ，ＳＨＡＮＧＨｕｉｌｉｎ，ｅｔａｌ． Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ａｂｓｏｒｂｅｒｓ ｆｏｒ ｕｒｂａｎ ｒａｉｌ ｖｅｈｉｃｌｅ ｂｏｄｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ⁃ｔｒａｃｋ ｃｏｕｐｌｉｎｇ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ， ２０１６， ３５（２１） ５３⁃６２． ［１３］ 背户一登． 动力吸振器及其应用［Ｍ］． 任明章，译． 北京机 械工业出版社，２０１３． ［１４］ 刘国政，史文库，郑煜圣，等． 动力吸振器在驱动桥减振降 噪上的应用［Ｊ］． 振动与冲击，２０１８， ３７（１４） ２０２⁃２０７． ＬＩＵ Ｇｕｏｚｈｅｎｇ， ＳＨＩ Ｗｅｎｋｕ， ＺＨＥＮＧ Ｙｕｓｈｅｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｂｓｏｒｂｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｎｏｉｓｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄｒｉｖｅ ａｘｌｅ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ， ２０１８， ３７（１４） ２０２⁃２０７． ［１５］ 王淳，陈雅菊． 基于多目标粒子群算法的动力吸振器参数 优化和决策研究［Ｊ］． 舰船科学技术，２００９， ３１ （１１） ４６⁃５０． ＷＡＮＧＣｈｕｎ，ＣＨＥＮＹａｊｕ．Ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｐａｒｔｉｃｌｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｍｕｌｔｉ⁃ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃｖｉｂｒａｔｉｏｎａｂｓｏｒｂｅｒ ［ Ｊ ］．ＳｈｉｐＳｃｉｅｎｃｅａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， ２００９， ３１（１１） ４６⁃５０． ［１６］ 张多． 动力吸振器参数优化及其主动控制技术研究［Ｄ］． 西安长安大学，２０１５． ［１７］ 赵雷． Ｂ 型城市轨道交通车辆转向架低动力作用仿真研 究［Ｄ］． 北京北京交通大学，２０１０ ２１⁃２２． ［１８］ 陈春俊，李华超． 频域采样三角级数法模拟轨道不平顺信 号［Ｊ］． 铁道学报，２００６（３） ３８⁃４２． ＣＨＥＮ Ｃｈｕｎｊｕｎ， ＬＩ Ｈｕａｃｈａｏ． Ｔｒａｃｋ ｉｒｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ｓａｍｐｌｉｎｇ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｃｈｉｎａ Ｒａｉｌｗａｙ Ｓｏｃｉｅｔｙ， ２００６（３） ３８⁃４２． ３１１第 ２３ 期周力等 基于多模态控制理论的箱梁 ＭＤＶＡ 参数优化及对低频振动影响分析