基于分数阶傅里叶滤波的电动助力器故障检测_黄铭.pdf

􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈 􀪈 振 动 与 冲 击 第 ３９ 卷第 ２３ 期ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫＶｏｌ． ３９ Ｎｏ．２３ ２０２０ 基金项目 国家自然科学基金面上项目（５１７７５５３０）； 国家重大科技专项 （２０１５ＺＸ０２１０１） 收稿日期 ２０１９ －０６ －０５ 修改稿收到日期 ２０１９ －０８ －２８ 第一作者 黄铭 男，硕士生，１９９５ 年生 通信作者 郑永军 男，博士，副教授，硕士生导师，１９７７ 年生 基于分数阶傅里叶滤波的电动助力器故障检测 黄 铭， 郑永军， 汪洋百慧 （中国计量大学 计量测试工程学院， 杭州 ３１００１８） 摘 要由于强噪声环境的影响，在阶次跟踪（Ｏｒｄｅｒ Ｔｒａｃｋｉｎｇ）分析中，电动助力器内的齿轮变速运转产生的振动 信号无法准确反映故障信号，为解决这一情况，用含噪声的线性调频信号模拟电动助力器变速运转产生的非平稳信号，通 过分数阶傅里叶变换（Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ， ＦｒＦＴ） 和分数阶傅里叶域带通滤波器（Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｄｏｍａｉｎ Ｂａｎｄｐａｓｓ Ｆｉｌｔｅｒ）对其进行滤波操作，对比滤波前后信号频谱图，验证分数阶傅里叶滤波（Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｆｉｌｔｅｒ）能够较准 确的滤除非平稳信号中的噪声分量。 基于该仿真实验所得结论，提出针对电动助力器变速转动产生的振动信号进行故障 检测效果的优化方法，通过对实际测得的电动助力器电机减速运转产生的振动信号进行分数阶傅里叶滤波，对比滤波前 后信号阶次跟踪谱图效果，验证该滤波方法对强噪声环境下测得的齿轮故障信号具有较好的滤波效果，具有一定的实用 价值和普适性。 关键词 分数阶傅里叶滤波； 阶次跟踪； 非平稳信号； 强噪声 中图分类号 ＴＨ１１３； ＴＰ２７７ 文献标志码 ＡＤＯＩ１０． １３４６５／ ｊ． ｃｎｋｉ． ｊｖｓ． ２０２０． ２３． ０３６ Ｆａｕｌｔ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｂｏｏｓｔｅｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ＨＵＡＮＧ Ｍｉｎｇ， ＺＨＥＮＧ Ｙｏｎｇｊｕｎ， ＷＡＮＧＹＡＮＧ Ｂａｉｈｕｉ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍｅｔｒｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｃｈｉｎａ Ｊｉｌｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００１８， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ｎｏｉｓｅ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ， ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ， ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｄｕｅ ｔｏ ｇｅａｒｓ ｖａｒｉａｂｌｅ ｓｐｅｅｄ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｉｎ ａｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｂｏｏｓｔｅｒ ｃａｎ’ｔ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ ｒｅｆｌｅｃｔ ｆａｕｌｔ ｓｉｇｎａｌ． Ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｔｈｉｓ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｗｉｔｈ ｎｏｉｓｅ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｖａｒｉａｂｌｅ ｓｐｅｅｄ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｂｏｏｓｔｅｒ． Ｔｈｅ ｎｏｎ⁃ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｉｇｎａｌ ｗａｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｎｄ ａ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｄｏｍａｉｎ ｂａｎｄｐａｓｓ ｆｉｌｔｅｒ． Ｔｈｅ ｓｉｇｎａｌ ｓｐｅｃｔｒａ ｂｅｆｏｒｅ ａｎｄ ａｆｔｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｗｅｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｃａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｏｕｔ ｎｏｉｓｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎ⁃ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｉｇｎａｌ ｍｏｒｅ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ａｎ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｆａｕｌｔ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｖａｒｉａｂｌｅ ｓｐｅｅｄ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｂｏｏｓｔｅｒ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｗａｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌｌｙ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｄｕｅ ｔｏ ｄｅｃｅｌｅｒａｔｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｂｏｏｓｔｅｒ ｍｏｔｏｒ． Ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｉｇｎａｌ’ｓ ｏｒｄｅｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｓｐｅｃｔｒａ ｅｆｆｅｃｔｓ ｂｅｆｏｒｅ ａｎｄ ａｆｔｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ， ｉｔ ｗａｓ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ａ ｂｅｔｔｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｇｅａｒ ｆａｕｌｔ ｓｉｇｎａｌｓ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｕｎｄｅｒ ｓｔｒｏｎｇ ｎｏｉｓｅ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ； ｉｔ ｈａｓ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｖａｌｕｅ ａｎｄ ｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ； ｏｒｄｅｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ； ｎｏｎ⁃ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｉｇｎａｌ； ｓｔｒｏｎｇ ｎｏｉｓｅ 电动助力器通过电机驱动齿轮，推动滚珠丝杆进 行往复运动，从而将电机扭矩力转变为丝杆推力。 电 动助力器运转时产生的振动信号能实时反应机械的结 构性能变化，是电动助力器故障分析的主要分析对象。 对于旋转机械在匀速或稳定工况下产生的振动信号， 已经有较为成熟的故障检测方法，即采集不同故障类 型的振动信号，通过提取故障特征值，对后续的振动信 号进行模式识别即可达到较好的故障识别效果［１⁃３］。 但在实际使用中，电动助力器处于变速运转或者 变负载等非稳定工况的情况更加常见。 这些工作情况 不仅对机械内部损耗更大，且其产生的振动信号也更 能明显的反映齿轮的磨损、裂纹、缺齿、齿面胶合等故 障信息。 由于非稳定工况下产生的振动信号属于非平 稳信号，其故障特征随工况不断变化，因此稳定工况下 的振动信号分析方法不再适用于这类故障诊断。 对于旋转机构变工况的故障检测，目前已提出的 方法有卡曼滤波优化信号（Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ） ［４］、阶次 跟踪（Ｏｒｄｅｒ Ｔｒａｃｋｉｎｇ） ［５⁃７］ 和短时傅里叶变换（Ｓｈｏｒｔ⁃ ｔｉｍｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ， ＳＴＦＴ） ［８⁃９］解调并重构信号等方 法。 其中，阶次跟踪方法思路是将时域上的非稳态信 号通过角度域的等角度重采样为角度域的稳态信号并 进行短时傅里叶分析。 可见阶次跟踪和短时傅里叶变 换一样基于傅里叶变换，因此等时间间隔采样和平均 谱值的性质依旧存在，导致在分析含较强噪声的非平 稳信号时依旧会产生“频谱拖尾”和噪声分量掩盖故障 特征信号的现象。 为改善对电动助力器振动信号的阶次跟踪分析 中，因强噪声而造成的信号聚集程度低、谱线平移等现 象，本文根据分数阶傅里叶变换 （Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ， ＦｒＦＴ） 和 分 数 阶 傅 里 叶 域 带 通 滤 波 器 （Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｄｏｍａｉｎ Ｂａｎｄｐａｓｓ Ｆｉｌｔｅｒ） 的仿真验 证，提出基于分数阶傅里叶滤波的电动助力器振动信 号故障分析方法以有效、准确的区分并过滤噪声，改善 在转动机械的振动信号阶次分析中出现的谱线聚集 性，并通过对实测振动信号进行分析，验证方法有 效性。 １ 分数阶傅里叶变换相关概念及对非平稳信 号的滤波应用 １． １ 分数阶傅里叶变换相关概念 分数阶傅里叶变换是传统傅里叶变换的广义形 式，通过将信号在时频坐标面内，坐标轴绕着原点逆时 针旋转任意角度后，观测分析信号在该分数域内的聚 集程度。 ＦｒＦＴ 具备傅里叶变换的优势，同时由于信号 中各分量的时频分布在随坐标轴旋转到某一特定角度 时具有最小聚集宽度。 因此，确定特定旋转角度，使有 用信号聚集程度在该分数阶傅里叶域内达到最佳，从 而能将有用信号和噪声信号分离开来，有效地抑制在 时域和频域中都和有用信号存在耦合的干扰信号或噪 声信号［１０］。 如图 １ 中的（ａ）、（ｂ）所示的信号分布，有 用信号 ｓｉｇｎａｌ 和噪声 ｎｏｉｓｅ 在时域和频域都存在耦合的 深色部分，单纯的使用时频分析效果不理想。 当时频 面旋转 α 角度时，得到分数阶傅里叶域 ｕ，得到图 １ （ｃ），在该域上有用信号 ｓｉｇｎａｌ 和噪声 ｎｏｉｓｅ 不再耦合， 能在不受噪声信号分量影响下分析有用信号分量［１１］。 由此可见，ＦｒＦＴ 适用于分析时变的非平稳信号，如线性 调频信号（Ｌｉｎｅａｒ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ， ＬＦＭ）。 而对 于转动机械，如轴承、齿轮的变速转动产生的振动信号 在一定时间范围内可以看作多分量的 ＬＦＭ［１２］。 由图 １ 还可以直观看出，当 α ＝ π ２ 时，分数阶傅里叶域 ｕ 与频 域 ｆ 重合，此时信号由分数阶傅里叶域转到传统傅里叶 变换后的频域。 图 １ 时频分析和 ＦｒＦＴ 对含耦合噪声的信号的处理对比 Ｆｉｇ． １ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｉｍｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ＦｒＦＴ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｉｇｎａｌｓ ｗｉｔｈ ｃｏｕｐｌｅｄ ｎｏｉｓｅ 对于信号 ｘ（ｔ），其分数阶傅里叶变换定义式为 Ｘα（ｕ） ＝∫ ＋∞ －∞ ｘ（ｔ）Ｋα（ｔ，ｕ）ｄｔ（１） 式中 α 为图１ 中分数阶域坐标轴 ｕ 与时域横轴 ｔ 的夹 角［１３］；ＫＰ（ｔ，ｕ）为分数阶傅里叶变换的核函数，其定义 式如下 Ｋα（ｔ，ｕ） ＝ １ － ｊｃｏｔ α ２π ｅｘｐ（ｊ ｔ２＋ ｕ２ ２ ｃｏｔ α － ｊｕｔｃｓｃ α），α ≠ ｎπ δ（ｔ － ｕ），α ＝ ２ｎπ δ（ｔ ＋ ｕ），α ＝ （２ｎ ＋ １）π （２） 根据文献［１４］，定分数阶傅里叶变换阶次 Ｐ，其公 式为 Ｐ ＝ ２α π （３） 可见式（１）、式（２） 也是阶次 Ｐ 的函数，因此式 （１）、式（２）可表示为 ＸＰ（ｕ） ＝∫ ＋∞ －∞ ｘ（ｔ）ＫＰ（ｔ，ｕ）ｄｔ（４） ４６２振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 ＫＰ（ｔ，ｕ） ＝ １ － ｊｃｏｔ Ｐπ ２ ２π ｅｘｐ（ｊ ｔ２＋ ｕ２ ２ ｃｏｔ Ｐπ ２ － ｊｕｔｃｓｃ Ｐπ ２ ），Ｐ ≠ ２ｎ δ（ｔ － ｕ），Ｐ ＝ ２ｎ δ（ｔ ＋ ｕ），Ｐ ＝ ２ｎ ＋ １ （５） 由式（４）可得分数阶傅里叶逆变换定义式为 ｘ（ｔ） ＝∫ ＋∞ －∞ ＸＰ（ｕ）Ｋ－Ｐ（ｕ，ｔ）ｄｕ（６） 式（３）中，当 Ｐ ＝１ 时，可得到 α ＝ π ２ ，此时结合式 （５）、式（４）可表示为 Ｘ（ｕ） ＝ １ ２π∫ ＋∞ －∞ ｅ －ｊｗｔｘ（ｔ）ｄｔ （７） 可见式（７）即是普通傅里叶变换，进一步验证普通 傅里叶变换是分数阶傅里叶变换中 ｕ 域与时域夹角为 直角时的特殊情况。 且由夹角范围 ０ ＜ α ＜ π 可知，Ｐ 的取值范围是 ０ ＜ Ｐ ＜２ 。 １． ２ 分数阶傅里叶变换对含噪声非平稳信号滤波 操作 以单分量 ＬＦＭ 信号为例，推导分数阶傅里叶域的 带宽滤波算法。 与传统整数域频域滤波器所使用的乘 性滤波机理类似，分数域滤波器同样具备相应的乘性 滤波机理［１５］ ｘｏｕｔ＝ Ｆ －α［Ｆα［ｈ］Ｆα［ｘ ｉｎ］］ （８） 式中Ｆα［ｈ］为对应 α 角度的 ＦｒＦＴ 带宽滤波器，通过求 取不同的角度 α，可以得到不同类型的分数域滤波器； Ｆα［ｘｉｎ］为输入滤波器的分数阶傅里叶变换后的 ＬＦＭ 信号。 设一个单分量 ＬＦＭ 信号为 ｓ（ｔ） ＝ Ａｅｘｐ［ｊ（２πｆ０ｔ ＋ πｋｔ２＋ φ）］ｒｅｃｔ ｔ Ｔ （９） 式中ｆ０为载频；ｋ 为线性调频斜率；单位 Ｈｚ／ ｓ；φ 为信 号初始相位；ｒｅｃｔ ｔ Ｔ 为脉宽为 Ｔ 的矩形脉冲。 对该信号做任意阶的 ＦｒＦＴ 变换，得到 ｓＰ（ｔ） ＝∫ ∞ －∞ ＫＰ（ｔ，ｕ）ｓ（ｔ） ＝ ＡＡα∫ ＋ Ｔ ２ － Ｔ ２ ｅｊπ（ｕ ２＋ｔ２）ｃｏｔ α－ｊ２πｕｔｃｓｃ αｓ（ｔ）ｄｔ ＝ ＡＡαｅｊφｅｊπｃｏｔ αｕ ２ｅ－ｊπ（ｆ０－ｕｃｓｃ α）２ ｃｏｔ α＋ｋ ２（ｃｏｔ α ＋ ｋ） ∫ ｖ２ ｖ１ｅ ｊπ ２ｘ２ｄｘ （１０） 其中， ｖ１＝２（ｃｏｔ α ＋ ｋ） － Ｔ ２ ＋ ｆ０－ ｕｃｓｃ α ｃｏｔ α ＋ ｋ （１１） ｖ２＝２（ｃｏｔ α ＋ ｋ） Ｔ ２ ＋ ｆ０－ ｕｃｓｃ α ｃｏｔ α ＋ ｋ （１２） 由 Ｆｒｅｓｎｅｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ 可得［１６］ ｓＰ（ｔ） ＝ ＡＡαｅｊφｅｊπｃｏｔ αｕ ２ｅ－ ｊπ（ｆ０ － ｕｃｓｃ α）２ ｃｏｔ α ＋ ｋ ２（ｃｏｔ α ＋ ｋ） ［（ｃ（ｖ２） － ｃ（ｖ１）） ＋ ｊ（ｓ（ｖ２） － ｓ（ｖ１））］（１３） 其中， ｃ（ｖ） ＝∫ ＋ｖ ０ ｃｏｓ π ２ ｘ２ｄｘ（１４） ｓ（ｖ） ＝∫ ＋ｖ ０ ｓｉｎ π ２ ｘ２ｄｘ（１５） 对于有限长的 ＬＦＭ 信号，其脉宽为 τ，则其带宽为 脉宽的倒数 １ τ 。 由于在分数阶傅里叶域 ｕ 域上的 ＬＦＭ 信号 ｓＰ（ｔ）的脉宽为Ｔ２＋ Ｂ２，其中 Ｂ 为 ｕ 域上有用信 号的带宽。 所以 ｓＰ（ｔ）的带宽为 １ Ｔ２＋ Ｂ２ 。 矩形脉冲 带宽 Ｔ 的数量级一般为 １０ －４ ～１０ －６而信号带宽 Ｂ 的数 量级一般为 １０４～１０６，因此 ｓＰ（ｔ）的带宽可表示为 ｕｍ＝ １ Ｂ （１７） 为避免信号经过滤波处理后在后续逆变换过程中 失真，带宽滤波器的滤波带宽 ｕＦ应为 ｕｍ的两倍［１７］，即 ｕＦ＝ ２ｕｍ＝ ２ Ｂ （１８） 使用 ＭＡＴＬＡＢ 生成一个含噪声的 ＬＦＭ 信号，信号 表达式为 ＬＦＭ ＝ ｅｉｋπｔ ２ ＋ ｎｏｉｓｅ（ｔ）（１９） 式中ｅｉｋπｔ ２为线性调频信号的实部；ｋ 为线性调频斜率， 单位 Ｈｚ／ ｓ，其表达式为 ｋ ＝ Ｂ Ｔ （２０） 式中Ｂ ＝３ １０７Ｈｚ，Ｔ ＝１． ５ １０ －４ｓ，ｎｏｉｓｅ（ｔ）为与时间 ｔ 相关的噪声。 分别如下图 ２（ａ）、（ｂ）所示，可见信号在时域、频 域上由于有用信号和噪声的耦合，导致有用信号部分 的性质不能明显表示。 且在频域上有用信号的频率被 噪声淹没。 测得该信号信噪比 ＳＮＲ ＝ －１３． ５２ ｄＢ。 同时由于该含噪 ＬＦＭ 信号的有用信号与噪声耦 合，在对其进行滤波去噪处理时难以准确有效地将噪 音滤除并完整保留有用的 ＬＦＭ 信号。 现结合 ＦｒＦＴ 的 定义及性质，经过多次实验比较实验效果，发现令 Ｐ 在 ０ ～２ 以 ０． ０１ 为步长取值，分别用对应阶次 Ｐ 的分数阶 傅里叶变换系统对该 ＬＦＭ 信号进行 ＦｒＦＴ，可以保证算 法的运行效率且不错过信号聚集的峰值点。 通过阶次 扫描得到的信号在（Ｐ，ｕ）平面上的聚集效果如下图 ３ 所示同时计算每一个 Ｐ 值对应的 ＦｒＦＴ 处理后的信号 采样点集合的标准差，扫描结束后取标准差最大的一 组信号采集点作为信号聚集在扫描域中以不同颜色标 ５６２第 ２３ 期黄铭等 基于分数阶傅里叶滤波的电动助力器故障检测 记，并输出相应 Ｐ 阶次的切片图，见图 ３。 （ａ） （ｂ） 图 ２ 含噪声 ＬＦＭ 信号的时域和频域图 Ｆｉｇ． ２ Ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｉａｇｒａｍ ａｎｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｎｏｉｓｙ ＬＦＭ ｓｉｇｎａｌｓ 图 ３ ＬＦＭ 信号的 ＦｒＦＴ 扫描结果及对应 Ｐ ＝１． ２３ 的切片图 Ｆｉｇ． ３ ＦｒＦＴ ｓｃａｎ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ＬＦＭ ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ ｓｌｉｃｅ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ Ｐ ＝１． ２３ 经过阶次扫描，算法求出 Ｐ ＝ １． ２３ 时的信号采集 点集具有最大标准差。 由图３ 可见在 Ｐ ＝１． ２３ 时，ＬＦＭ 信号在分数阶傅里叶域有一个明显的信号聚集，其幅 值为２３． １８ ｄＢ，提取 Ｐ ＝１． ２３ 时 ＬＦＭ 信号的 ＦｒＦＴ 变换 切片，在图中由箭头指出。 结合 Ｐ ＝１． ２３ 和图 １ 可以推断出，由于 ＦｒＦＴ 是将 信号绕坐标原点逆时针旋转一定角度，此时 ｕ 域与时 域坐标轴夹角 α ＝ Ｐ π ２ ＝１． ２３ π ２ ＝ １２３ ２００π ，噪声信号 在该域中不具有明显的聚集特性，而有用信号分量在 该域的聚集效果达到最佳。 由公式（１８）可得滤波器的 滤波带宽为 ｕＦ＝ ２ Ｂ ＝ ２ ３ １０７Ｈｚ ＝ ０． ６６ μｓ 由以上分析得到的分数域带通滤波器处理后得到 滤波后 ＬＦＭ 信号的 ＦｒＦＴ 图，如图 ４ 所示。 图 ４ 对 ＬＦＭ 信号进行 Ｐ ＝１． ２３ 的 ＦｒＦＴ 变换并带通 滤波后图像 Ｆｉｇ． ４ Ｉｍａｇｅ ｏｆ ｐｅｒｆｏｒｍｉｎｇ ＦｒＦＴ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｐ ＝１． ２３ ｏｎ ｔｈｅ ＬＦＭ ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ ｂａｎｄｐａｓｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ 由图 ４ 可见因噪声造成的信号毛刺大部分被准确 滤去，此时，根据式（３），取 － Ｐ ＝ －１． ２３，对该滤波后的 信号进行分数阶傅里叶逆变换，得到滤波后信号的时 域图、频域图如下图 ５（ａ）、（ｂ）所示。 由以上 ＦｒＦＴ 对含噪 ＬＦＭ 信号的滤波处理后，该 ＬＦＭ 信号信噪比 ＳＮＲ ＝ ６． ３１ ｄＢ。 现使用上文阐述的 方法对一系列低信噪比的单分量 ＬＦＭ 信号进行处理， 如表 １ 所示。 表 １ ＬＦＭ 信号信噪比处理前后对比 Ｔａｂ． １ ＬＦＭ ｓｉｇｎａｌ’ｓ ｓｉｇｎａｌ⁃ｔｏ⁃ｎｏｉｓｅ ｒａｔｉｏ ｂｅｆｏｒｅ ａｎｄ ａｆｔｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ 处理前 ＳＮＲ／ ｄＢ处理后 ＳＮＲ／ ｄＢ －３７． ９５－２５． ４６ －２８． ２６－４． ６２ －１３． ３１５． １９ －５． ６２１３． ２６ ３． ５６１８． ４１ １１． ５１３１． ２１ ２５． ６５３５． １５ 由以上数据可见，输入信号的信噪比低于 －２５ ｄＢ 时，由于信号噪声分量过强，有用信号被完全淹没，扫 描信号数据集求得的标准差之间没有明显差异［１８］，不 能较准确地判断出信号聚集的位置，导致 ＦｒＦＴ 无法在 ６６２振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 （ａ） （ｂ） 图 ５ 带宽滤波并做 ＦｒＦＴ 逆变换的 ＬＦＭ 信号时域和频域图 Ｆｉｇ． ５ Ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｉａｇｒａｍ ａｎｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ＬＦＭ ｓｉｇｎａｌｗｉｔｈｂａｎｄｗｉｄｔｈｆｉｌｔｅｒｉｎｇａｎｄｉｎｖｅｒｓｅ ＦｒＦＴ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｕ 域上将有用信号和噪声分量有效分离，导致滤波效果 较差；输入信号信噪比在 － １５ ｄＢ 到 １５ ｄＢ 左右时， ＦｒＦＴ 已经能在 ｕ 域上将有用信号和噪声信号有效的区 分开来，滤波效果有明显提升；随着输入信号的信噪比 继续提高，有用信号在信号整体的占比远大于噪声信 号的占比，ＦｒＦＴ 变换前后，ｕ 域上可分离的噪声信号强 度已经很小，因此信噪比的提升也不再明显。 由上述 分析可见，本文提出的基于 ＦｒＦＴ 的滤波方法具有一定 的使用价值。 ２ 使用 ＦｒＦＴ 优化强噪声旋转机械振动信号的 分析方法 ２． １ 方法流程 由以上 ＦｒＦＴ 对含噪 ＬＦＭ 信号的处理过程及结果， 本论文提出一种基于 ＦｒＦＴ 的非平稳信号滤波方法，并 使用编写相关程序，验证该方法在强噪声环境下转动 机械的振动信号阶次分析中的可行性和优化效果。 其 基本滤波流程，如图 ６ 所示。 如图 ６ 所示，将分数阶傅里叶阶次 Ｐ 以一定步长 在 ０ ～ ２ 取值，并用取得的每个阶次取值 Ｐ 所对应的 ＦｒＦＴ 系统对转动机械的振动信号 ｘ（ｔ）进行处理，得到 ｕ 域上信号幅值随着 Ｐ 取值变化而变化的信号数据集， 以与阶次Ｐ相同的步长，取０ ＜ Ｐｓｃａｎ＜ ２扫描搜索该数 图 ６ 基于 ＦｒＦＴ 滤波方法的振动信号阶次分析流程图 Ｆｉｇ． ６ Ｆｌｏｗ ｃｈａｒｔ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｏｒｄｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＦｒＦＴ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ 据集，求得该数据集合中没一组数据的标准差 ＳＤ （Ｐｓｃａｎ），确定最大的标准差数值 ｍａｘ（ＳＤ（Ｐｓｃａｎ））及其 对应的分数阶傅里叶阶次 Ｐｍａｘ，从而确定信号聚集程 度最高的（Ｐｍａｘ，ｕ）坐标值，以 Ｐｍａｘ阶次的 ＦｒＦＴ 系统再 次对原信号进行处理，得到对应的处理后信号，根据 ３ ｄＢ 带宽原理，信号幅值等于最大值的二分之根号二倍 时对应的频带宽度。 由此编写相应程序求取有用信号 的带宽即为 ｕｍ，进而求出带通滤波器的滤波带宽 ｕＦ所 得信号通过合适参数的带通滤波器进行滤波，滤去噪 声信号，保留高度聚集的有用信号分量，得到处理后的 信号 ｆｌｔｄｘ（ｔ）。 再取 Ｐｍａｘ阶次的逆得到 － Ｐｍａｘ，对信号 ｆｌｔｄｘ（ｔ）进行 ＦｒＦＴ 逆变换得到带宽滤波处理后的振动 信号 ｏｕｔｘ（ｔ），随后可进行后续的阶次分析以得到振动 信号的特征性质。 ２． ２ 实例验证 以某一台车辆电动转向助力电机作为实例测量对 象，由出厂参数已知电机齿轮阶数为 ３０。 选用一组该 助力电机减速运转阶段的振动信号进行分析。 图 ７ 是 该振动信号的时域图和对应的转速变化曲线。 由图 ７ 可见由于运行环境嘈杂，振动传感器记录的振动信号 包含大量噪声信号，信号在时域上完全无法进行分析。 如图 ８ 所示，强噪声同样导致信号后期阶次分析 中，图 ８（ａ）中的频谱⁃转速切片含有大量噪声尖峰，掩 盖了谐振的特征频率。 图 ８（ｂ）中的主阶次 ３０ 同样出 现信号强度拖尾现象或偏移，其他谐振阶次的尖峰也 被噪声信号产生的干扰阶次所掩盖，使该信号的故障 分析价值大打折扣。 这是由于阶次跟踪本质上是以 ＦＦＴ 为基础，因此是对非平稳信号的分段平稳假设，对 于频率、幅值变化激烈或者含有较强环境噪声的信号， 其有分析价值的阶次信号仍然会因为谱涂抹现象，且 ７６２第 ２３ 期黄铭等 基于分数阶傅里叶滤波的电动助力器故障检测 （ａ） （ｂ） 图 ７ 电机振动信号及其对应转速变化 Ｆｉｇ． ７ Ｍｏｔｏｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｓｐｅｅｄ ｃｈａｎｇｅ 图 ８ 电机振动信号阶次分析 Ｆｉｇ． ８ Ｏｒｄｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｍｏｔｏｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ 振动谐波部分频率大部分也被噪声淹没。 同时由于 ＦＦＴ 的平均谱值性质，极短时间内的故障脉冲信号在 谱线上依旧无法明显体现。 现根据本文所提方法对该 信号进行处理。 根据图 ６ 的流程，取分数阶傅里叶阶次 Ｐ 以 ０． ００１ 为步长在０ ～２ 均匀取值，并使用相应阶次的 ＦｒＦＴ 系统 对电机振动信号进行处理，得到阶次 Ｐ 和分数阶傅里 叶域 ｕ 域的扫描图和信号聚集程度最佳的切片图，见 图 ９。 图 ９ 电机振动信号 ＦｒＦＴ 扫描结果和对应 Ｐ ＝１． １７５ 的电机 振动信号 ＦｒＦＴ 切片图 Ｆｉｇ． ９ Ｍｏｔｏｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ＦｒＦＴ ｓｃａｎ ｒｅｓｕｌｔ ａｎｄ ｍｏｔｏｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ＦｒＦＴ ｓｌｉｃｅ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ Ｐ ＝１． １７５ 通过计算各个处理后信号数据集的标准差，在 Ｐ ＝ １． １７５ 处，对应的信号标准查为最大值，从算法输出的 图像中可见，信号在 Ｐ ＝ １． １７５ 处出现聚集的最大值， 可见信号随着时频域坐标轴绕原点逆时针旋转到与时 域横轴夹角为 α ＝ Ｐ π ２ ＝１． １７５ π ２ ＝ ２９π １００ 时的聚集 强度达到峰值。 因此取 Ｐｍａｘ＝ １． １７５ 代入分数阶傅里 叶系统，用所得系统对电机振动信号进行处理，得到对 应 ｕ 域信号 ＦｒＦＴ 切片图如图９ 中箭头所指。 从该切片 图可见，对应 Ｐ ＝ １． １７５ 的 ｕ 域下有用信号明显聚集， 而噪声分量在该域下仍然存在但和有用信号分量已经 可以较好的区分。 根据 ３ ｄＢ 带宽原理，选择合适的带 宽滤波滤去该域下的噪声分量，得到图 １０ 的效果。 可 见滤波处理后，大部分环境噪声被准确去除，保留有用 的振动信号主分量和其谐振分量在该域的聚集，为后 续的信号阶次分析提供了较好的材料。 现对傅里叶变换阶次取反，得到 － Ｐ ＝ －１． １７５，根 据式（３），将 － Ｐ 代入 ＦｒＦＴ 系统对信号进行分数阶傅 里叶逆变换，即可得到滤波处理后的振动信号时频分 ８６２振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 析，如图 １１ 所示。 图 １０ 对振动信号进行 Ｐ ＝１． １７５ 的 ＦｒＦＴ 变换并带通 滤波后图像 Ｆｉｇ． １０ ＦｒＦＴ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｗｉｔｈ Ｐ ＝１． １７５ ｆｏｒ ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ ｂａｎｄｐａｓｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｉｍａｇｅ 图 １１ 滤波处理后的电机振动信号时域和频域图 Ｆｉｇ． １１ Ｔｉｍｅ⁃ｄｏｍａｉｎ ｄｉａｇｒａｍａｎｄ Ｓｐｅｃｔｒａｌ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｍｏｔｏｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ａｆｔｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ 将图 １１（ａ）与图 ７（ａ）对比可明显看出，电机工作 环境的强噪声被有效地滤除，在时域图上已经能较为 明显的区分出电机在减速转动的运行过程中的振动幅 度强弱变化。 由图 １１（ｂ）的振动信号频谱图可见噪声 信号的频谱分量已被滤去，保留了电机振动信号及其 共振产生的谐振信号的频谱信息，但由于电机变速运 转产生的是非平稳信号，频谱涂抹现象依然存在，但相 较滤波处理前可辨识度已有明显提升。 现对滤波处理后的振动进行阶次分析，得到阶次 分析图像如图 １２，相较图 ８ 滤波前，可以明显看出，噪 音分量被准确的滤除，图 １２（ａ）中的频率⁃转速切片可 以清楚看到特征频率随着转速变化形成的瀑布图，且 除了电机转动产生的主要振动频率分量以外，电机自 身以及后续传动结构由于共振产生的谐振频率分量也 有连续且高度聚集的频谱变化；图 １２（ｂ）中主阶次 ３０ 出信号强度集中程度更明显，可以看到在 ４５ ～５０ 阶次 左右有部分信号聚集，预测是因为电机齿轮可能存在 磨损、缺齿等故障导致阶次数增加，经过实际拆解检查 发现电机传动齿轮存在轮齿磨损现象，符合阶次分析 的预期。 可见 ＦｒＦＴ 滤波方法能较准确滤去无关噪声 同时保留振动信号的有用部分，处理后信号能有效反 应电机齿轮传动机构的故障信息。 图 １２ 滤波处理后电机振动信号阶次分析 Ｆｉｇ． １２ Ｏｒｄｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｍｏｔｏｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ａｆｔｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ３ 结 论 （１） 以带噪声的线性调频信号为仿真例子，验证 了 ＦｒＦＴ 变换对非平稳信号具有较好的滤波效果。 并 由此提出一种以 ＦｒＦＴ 滤波为基础的对电动助力器变 速运动产生的振动信号进行故障检测效果的优化 方法。 （２） 使用本文提出的优化分析方法对车辆电动转 向助力电机运转的实测振动信号进行滤波处理，通过 对比滤波前后的振动信号阶次分析效果，证明 ＦｒＦＴ 滤 波能有效、准确的区分并过滤噪声，从而有效改善转动 ９６２第 ２３ 期黄铭等 基于分数阶傅里叶滤波的电动助力器故障检测 机械的振动信号阶次分析中出现的谱线聚集性，具有 一定的实用性和普适性。 参 考 文 献 ［ １］ ＬＩ Ｑｉ， ＷＡＮＧ Ｈｕｉ Ａ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ Ｈｉｌｂｅｒｔ⁃Ｈｕａｎｇ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇ ｆａｕｌｔ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ［Ｊ］． Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ，２０１３， ３９７／３９８／３９９／４００ ２１５２⁃２１５５． ［ ２］ 蔡艳平， 李艾华， 石林锁． 基于 ＥＭＤ 与谱峭度的滚动轴 承故障检测改进包络谱分析． ［Ｊ］． 振动与冲击， ２０１１， ３０ （２） １６７⁃１７２． ＣＡＩ Ｙａｎｐｉｎｇ， ＬＩ Ａｉｈｕａ， ＳＨＩ Ｌｉｎｓｕｏ．Ｒｏｌｌｅｒ ｂｅａｒｉｎｇ ｆａｕｌｔ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｅｎｖｅｌｏｐｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎａｌｙｓｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＥＭＤ ａｎｄ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｋｕｒｔｏｓｉｓ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ， ２０１１， ３０（２） １６７⁃１７２． ［ ３］ 李方前， 杨斌， 黄永程． 基于小波包 倒频谱的滚动轴 承故障检测方法［Ｊ］． 电子技术与软件工程， ２０１８（３） ９０⁃ ９１． ＬＩ Ｆａｎｇｑｉａｎ， ＹＡＮＧＢｉｎ，ＨＵＡＮＧＹｏｎｇｃｈｅｎｇ．Ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇ ｆａｕｌｔ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｐａｃｋｅｔ⁃ｃｅｐｓｔ ｓｐｅｃｔｒｕｍ［ Ｊ ］．ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ＆Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２０１８（３） ９０⁃９１． ［ ４］ 李英强， 杨明， 龙江． 基于扩展卡尔曼滤波的永磁同步电 机无电流传感器预测控制［Ｊ］． 电机与控制应用， ２０１８， ４５ （１） １０７⁃１１３． ＬＩ Ｙｉｎｇｑｉａｎｇ， ＹＡＮＧ Ｍｉｎｇ， ＬＯＮＧ Ｊｉａｎｇ． Ｃｕｒｒｅｎｔ ｓｅｎｓｏｒｌｅｓｓ ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｆｏｒ ＰＭＳＭ ｄｒｉｖｅｓ ［Ｊ］． Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｍａｃｈｉｎｅｓ ＆ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ， ２０１８， ４５（１） １０７⁃１１３． ［ ５］ 江志农， 胡明辉， 冯坤． 阶次跟踪能量算子与奇异值分解 结合的滚动轴承故障诊断［Ｊ］． 轴承， ２０１８， ４６８（１１） ５７⁃６１． ＪＩＡＮＧ Ｚｈｉｎｏｎｇ， ＨＵ Ｍｉｎｇｈｕｉ， ＦＥＮＧ Ｋｕｎ． Ｆａｕｌｔ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ｏｆ ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｏｒｄｅｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｅｎｅｒｇｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ［Ｊ］． Ｂｅａｒｉｎｇ， ２０１８， ４６８（１１） ５７⁃６１． ［ ６］ ＬＩＵ Ｔ Ｗ， ＧＵＯ Ｙ， ＢＩＮ Ｌ Ｉ．Ｅｎｖｅｌｏｐｅ ｏｒｄｅｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ ｒｏｌｌｉｎｇ ｅｌｅｍｅｎｔ ｂｅａｒｉｎｇ ｆａｕｌｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｋｕｒｔｏｓｉｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ， ２０１２，３１（１７） １４９⁃１５３． ［ ７］ ＷＡＮＧ Ｙｉ， ＸＵ Ｇｕａｎｇｈｕａ， ＬＵＯ Ａｉｌｉｎｇ． Ａｎ ｏｎｌｉｎｅ ｔａｃｈｏｌｅｓｓ ｏｒｄｅｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｅｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇ ｆａｕｌｔ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ［ Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ， ２０１６， ３６７（２０１６） ２３３⁃２４９． ［ ８］ 胡晓依， 何庆复， 王华胜． 基于 ＳＴＦＴ 的振动信号解调方 法及其在轴承故障检测中的应用［Ｊ］． 振动与冲击， ２００８， ２７（２） ８２⁃８６． ＨＵ Ｘｉａｏｙｉ， ＨＥ Ｑｉｎｇｆｕ， ＷＡＮＧ Ｈｕａｓｈｅｎｇ． Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｄｅｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＳＴＦＴ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｂｅａｒｉｎｇ ｆａｕｌｔ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ， ２００８， ２７（２） ８２⁃８６． ［ ９］ 王友仁， 王俊， 黄海安． 基于非线性短时傅里叶变换阶次 跟踪的变速行星齿轮箱故障诊断［Ｊ］． 中国机械工程， ２０１８， ２９（１４） １６８８⁃１６９５． ＷＡＮＧ Ｙｏｕｒｅｎ， ＷＡＮＧ Ｊｕｎ， ＨＵＡＮＧ Ｈａｉａｎ． Ｆａｕｌｔ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ ｓｐｅｅｄ ｐｌａｎｅｔａｒｙ ｇｅａｒｂｏｘ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｈｏｒｔ ｔｉｍｅ ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｏｒｄｅｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ［Ｊ］． Ｃｈｉｎａ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２０１８， ２９（１４） １６８８⁃１６９５． ［１０］ 宋军， 刘渝， 朱霞． ＬＦＭ 信号参数估计的插值 ＦＲＦＴ 算法 ［Ｊ］． 系统工程与电子技术． ２０１１， ３３（１０） ２１８８⁃２１９３． ＳＯＮＧ Ｊｕｎ， ＬＩＵ Ｙｕ， ＺＨＵ Ｘｉａ． Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ＦＲＦＴ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ＬＦＭ ｓｉｇｎａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ， ２０１１， ３３（１０） ２１８８⁃２１９３． ［１１］ 邓兵， 陶然， 齐林． 分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换与时频滤波［Ｊ］． 系统工程与电子技术，２００４， ２６（１０） １３５７⁃１３５９． ＤＥＮＧ Ｂｉｎｇ， ＴＡＯ Ｒａｎ， ＱＩ Ｌｉｎ． Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｎｄｔｉｍｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ［ Ｊ ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｙｓｔｅｍｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ