基于精细传递矩阵法的变厚度圆柱壳自由振动分析_江晨半(1).pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 3 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．3 2020 基金项目国家 自 然 科 学 基 金 51779201 ; 湖 北 省 自 然 科 学 基 金 2018CFB607 ; 教育部重点实验室基金 2016gxnc03 收稿日期2018 －07 －06修改稿收到日期2018 －10 －24 第一作者 江晨半 男， 硕士， 1994 年生 通信作者 王献忠 男， 博士， 副教授， 1986 年生 基于精细传递矩阵法的变厚度圆柱壳自由振动分析 江晨半1，王献忠2， 3，左营营2， 3 1． 中国船舶科学研究中心， 无锡214082; 2． 武汉理工大学 高性能舰船技术教育部重点实验室， 武汉 430063; 3． 武汉理工大学 交通学院， 武汉430063 摘要结合精细积分和传递矩阵方法， 对变厚度圆柱壳的自由振动进行计算分析。该方法基于圆柱壳的基本微 分方程， 推导得到关于位移内力向量的一阶齐次偏微分方程， 采用精细积分求得场传递矩阵， 将其进行组装得到总传递方 程， 根据边界条件求解总传递方程中系数矩阵的行列式， 计算得到变厚度圆柱壳的固有频率。将计算结果与有限元结果 进行对比， 验证方法的准确性及有效性。同时探究了边界条件、 厚度变化形式、 厚度变化系数及长径比对自由振动的影响 规律。 关键词精细积分; 传递矩阵法; 变厚度圆柱壳; 自由振动 中图分类号TB532文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 03． 018 Free vibration analysis for cylindrical shells with variable thickness based on precise transfer matrix JIANG Chenban1，WANG Xianzhong2， 3，ZUO Yingying2， 3 1． China Ship Scientific Research Center，Wuxi 214082，China; 2． Key Laboratory of High Perance Ship Technology of Ministry of Education，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China; 3． School of Transportation，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China Abstract Combining the precise integration and the transfer matrix ，free vibration of a cylindrical shell with variable thickness was calculated and analyzed． Based on basic equations of cylinder shells，first order homogeneous partial differential equations for a cylinder shell with variable thickness’ s displacement and internal force vectors were derived to solve their field transfer matrices using the precise integration． The cylinder shell’ s total transfer equation was assembled with the field transfer matrices obtained with precise integration． According to boundary conditions，natural frequencies of the cylindrical shell with variable thickness were calculated by solving determinant of coefficient matrix of the total transfer equation． The calculation results using the proposed were compared with those using the finite element to verify the correctness and effectiveness of the proposed ． Meanwhile，effect laws of boundary condition，thickness varying ，thickness variation coefficient and ratio of the cylinder shell’ s length to diameter on its free vibration were explored． Key wordsprecise integration;transfer matrix ;cylindrical shells with variable thickness;free vibration 圆柱壳是工程中较为常见的基本结构，被广泛应 用于船舶、 建筑、 航空、 机械等工程领域， 圆柱壳的自由 振动特性一直以来都是国内外研究的热点。对于常厚 度圆柱壳的自由振动特性， 国内外有大量学者进行了 研究。Rayleigh［1 ］在 1945 年对圆柱壳的固有频率的理 论求解方法进行了讨论， 做出了开创性的研究。随后 波传播法 ［2 ］、 传递矩阵法［3 ］、 改进傅里叶级数法［4 ］ 、 动 力刚度法 ［5 ］、 区域分解法［6 ］等多种方法被用于圆柱壳 固有频率的求解。 由于结构优化的需要， 设计者们往往会采用变厚 度圆柱壳的形式以满足结构的刚度、 强度等要求。变 厚度圆柱壳自由振动特性的研究相对于常厚度圆柱壳 而言较少。Zhang 等 ［7 ］提出了阶梯形厚度变化的圆柱 壳轴向振动的精确解方法， 并探究了厚度变化和阶梯 厚度比对圆柱壳固有频率和振型的影响。曹雷等 ［8 ］采 用精细时程积分法求解圆柱壳的一阶矩阵微分方程， 进而对阶梯型变厚度环肋圆柱壳进行了自由振动特性 ChaoXing 分析。Duan 等 ［9 ］引入变量， 将变厚度圆柱壳的控制方 程转换为一个四阶广义超几何方程， 并利用 Frobenius 方法求解微分方程得到了变厚度圆柱壳的轴对称横向 振动的解析解。El- Kaabazi 等 ［10 ］使用 wittrick- williams 算法计算得到变厚度圆柱壳的固有频率， 并研究了不 同几何形状、 厚度锥度和边界条件对变厚度圆柱壳的 固有频率和模态形状的影响。Qu 等 ［11 ］采用区域分解 法研究了阶梯型变厚度圆柱壳的自由、 稳态及瞬态振 动特性， 并研究了结构阻尼、 阶梯厚度和边界条件对阶 梯圆柱壳振动特性的影响。Poultangari 等 ［12 ］提出了一 种傅里叶级数展开的波矢法， 计算了中间具有柔性支 承的阶梯变厚度圆柱壳的固有频率和振动响应， 并与 有限元结果进行对比， 验证了方法的准确性。Tang 等 ［13 ］采用回传射线矩阵法， 计算任意边界条件下的阶 梯型变厚度圆柱壳的固有频率和稳态响应， 并研究了 弹性支承刚度和阶梯数对固有频率的影响。 对于变厚度圆柱壳自由振动特性的研究来说， 一 般都是针对阶梯型变厚度圆柱壳来进行计算讨论的， 对于厚度连续变化的圆柱壳， 则很少有人探讨。本文 采用精细传递矩阵法 ［14- 16 ］， 计算了变厚度圆柱壳的固 有频率， 在验证其准确性之后， 分析了边界条件、 厚度 变化形式、 厚度变化系数及长径比对于变厚度圆柱壳 自由振动的影响。 1基本理论及公式 1． 1变厚度圆柱壳的场传递矩阵 圆柱壳采用柱坐标系， 壳体参数、 位移如图 1 所 示， 图中 l 为圆柱壳的长度， x， θ， Z 分别为柱坐标系轴 向、 周向和径向坐标; u， v， w 分别为圆柱壳的轴向位移、 周向位移、 径向位移。圆柱壳的基本微分方程如下 所示 图 1圆柱壳坐标系 Fig． 1Coordinate system of cylindrical shell N x x Nθx Rθ ρhω2u 0， N xθ x N θ Rθ － Qθ R ρhω2v 0， Q x x Q θ Rθ Nθ R － ρhω2w 0， Qθ M xθ x M θ Rθ， Qx M x x Mθx Rθ 1 式中 N， Q， M 为圆柱壳内力; ρ 为密度; h 为厚度; ω 为 圆频率。 将位移和内力进行无量纲化， 并沿周向展开 Nx， Nθ， Qx， Vx K R2∑ ∞ m 1∑ ∞ n 0 ［ N ～ x， N ～ θ， Q ～ x， V ～ x cos nθ］ ， Mx， Mθ K R∑ ∞ m 1∑ ∞ n 0 ［ M ～ x， M ～ θ cos nθ］ ， N xθ ， Qθ， Sx K R2∑ ∞ m 1∑ ∞ n 0 ［ N ～ xθ ， Q ～ θ， S ～ x sin nθ］ ， u， w h u ～， w～ cos nθ， v h v～sin nθ，  h R  ～ cos nθ 2 式中 n 为周向波数; m 为轴向半波数; K Eh3 12 1 － μ2 为弯曲刚度; E 为弹性模量; μ 为泊松比; 上标 ～ 表示位 移及内力的无量纲化。 定义状态向量 Z ξ ， 并引入无量纲长度参数 Z ξ u ～， v～， w～ ，  ～ ， M ～ x， S ～ x， V ～ x， N ～ x ξ x R ， h ～ h R 3 根据文献［ 17］ 的推导思路， 推导得到关于状态向 量的一阶齐次偏微分方程 Z ξ ξ ［ C］ 88Z ξ 4 式中 矩阵［ C］ 8 8中非零元素如下所示 C11 － 1 h ～ h x ， C12 － μn， C13 － μ， C18 h ～ 12， C21 n， C22 － 1 h ～ h x ， C24 nh ～2 6 ， C27 h ～ 6 1 － μ ， C33 － 1 h ～ h x ， C34 1， C43 μn2， C44 － 1 h ～ h x ， C45 1 h ～ ， C54 2 1 － μ n2h ～ ， C55 － 3 h ～ h x ， C56 1， C62 12 1 － μ2 n h ～ ， C63 12 λ2 μ 2 － 1 h ～ － 1 － μ2 n 4h ～ ， C65 μn2， C66 － 3 h ～ h x ， 531第 3 期江晨半等基于精细传递矩阵法的变厚度圆柱壳自由振动分析 ChaoXing C68 － μ， C72 12 1 － μ2 n 2 h ～ － 12λ2 h ～ ， C78 μn， C73 12 1 － μ2 n h ～ 1 － μ2 n 3h ～ ， C75 － μn， C77 － 3 h ～ h x ， C81 － 12 h ～ λ2， C84 1 － μ n2h ～ ， C87 － n， C88 － 3 h ～ h x 5 式 4 的通解为 Z ξ Ge∫ ξ ξ0［C ］dτ 6 式中 G 为非零常数。 对于圆柱壳段来说， 其初始条件为 左端 ξ0 ξ L ， ξ ξ L， Z ξL Ge∫ ξL ξL ［C ］dτ G， 对于右端ξ0 ξL， ξ ξR， Z ξ R Ge∫ ξR ξL［C ］dτ，则圆柱壳段左右两端状态向量 Z ξ L、 Z ξR的传递关系为 Z ξ R e∫ ξR ξL［C ］dτZ ξ L 7 因此从圆柱壳段左端的状态向量到右端状态向量 的场传递矩阵为 T e∫ ξR ξL［C ］dτ。 1． 2变厚度圆柱壳场传递矩阵的精细积分计算 为了得到较高精度的场传递矩阵的计算结果， 对 式 7 中的∫ ξR ξL［ C］ dτ 应用高斯积分进行求解， 求解过 程为 ∫ ξR ξL［ C］ dτ ξR － ξ L 2 ∑ k j 1 wj［ C］ ξR ξ L 2 ξR － ξ L 2 s j 8 式中 k 为积分点个数; sj为积分点的位置; wj为积分点 的权重系数。 在求得∫ ξR ξL［ C］ dτ 后， 用精细积分法 ［17- 18 ］对变厚度 圆柱壳的场传递矩阵进行计算， 具体步骤如下 T exp 1 2s∫ ξR ξL［ C］ d τ 2s exp H 2s 9 对 exp H 进行泰勒展开 exp H∑ ∞ k 0 Hk k I Ha 10 式中 I 为八阶单位矩阵; Ha为小量; 当 I 和 Ha相加 时， 为了避免数值计算因为舍入误差导致精度丧失， 对 exp H 使用加法定理 T ［ exp H ］ 2s I 2Ha H2 a 2s－1 I Ha1 2s－1 I 2Ha1 H2 a1 2s－2 I H α2 2s－2 I Has 11 在进行编程计算的时候可以执行下面的编程 语句 For iter 0; iter ＜ N; iter Ha H2 a 2Ha 12 经过 S 次循环可以得到变厚度圆柱壳场传递 矩阵 T I Has 13 显然对于场传递矩阵 T 而言， 其计算精度取决于 高斯积分点的个数、 泰勒展开的项数和 S 的取值， 泰勒 展开项越多， S 越大， 其计算精度越高， 经过计算， 当高 斯积分点数为 7， 泰勒展开项为 5 项， S 取 9 时， 场传递 矩阵已经能够达到 1． 0 10 －6的精度， 本文计算取高斯 积分点数为 7， 泰勒展开项为 6 项， S 10。 1． 3状态向量传递方程求解 将圆柱壳离散成 n 段， 节点编号为 1， 2， ， i， ， n 1， 对于第 i 段， 左端状态向量 Z ξi L与右端状态向 量 Z ξi 1 R的传递关系写为－ TiZ ξiL Z ξi 1 R 0， 为了避免传递矩阵连乘所积累的数值误差， 将所 有圆柱壳段的传递方程进行组装， 得到下列总传递 方程 － T1I － T2I － T3I  － Tn                 I Z ξ1 Z ξ2 Z ξ3  Z ξn Z ξn1                   0 0 0                0 14 考虑圆柱壳两端经典边界条件， 简支约束端有 v w Nx Mx0; 固支约束端有 u v w  0; 自由端 有 Nx Mx Vx Sx 0。根据两端边界条件找出 Z ξ1 、 Z ξn 1 中的状态变量所在行号， 然后删除系数 矩阵中对应的列号， 将 8n， 8n 8 阶系数矩阵变为 8n， 8n 阶系数矩阵， 则可以通过求解系数矩阵的行列 式为零得到固有频率。 2数值计算 2． 1方法的验证 为了验证本文方法的有效性及准确性， 利用商业 软件 ABAQUS 计算线性变厚度圆柱壳的固有频率， 将 计算结果与本文方法进行对比。有限元模型采用 shell 单元建立， 采用函数形式定义 shell 单元的厚度以实现 631振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 圆柱壳厚度的改变， 边界条件为两端简支。计算模型 如图 2 所 示，令 圆 柱 壳 坐 标 x 处 的 厚 度 h h01 A x l B ， 定义式中 A 为厚度变化系数， B 为厚度 变化次数。模型结构参数为 弹性模量 E 2． 1 1011 Pa， 泊松比 μ 0． 3， 密度 ρ 7 800 kg/m3， 长度 l 0． 2 m， 半径 R 0． 1 m， 左端厚度 h00． 002 m， 右端厚度 hL 0． 004 m， 厚度变化系数 A 1， 厚度变化次数 B 1。 对比结果如表 1 所示。 图 2变厚度圆柱壳 Fig． 2Cylindrical shell with variable thickness 表 1固有频率对比 Tab． 1Comparison of natural frequency m 1m 2m 3m 4m 5 本 文 n 07 971． 49 8 222． 84 8 371． 82 8 708． 67 9 367． 78 n 15 448． 93 7 326． 32 8 007． 15 8 529． 87 9 281． 85 n 22 799． 47 5 699． 95 7 135． 97 8 073． 98 9 060． 99 n 31 826． 50 4 351． 26 6 180． 04 7 518． 60 8 795． 40 n 41 679． 89 3 568． 28 5 451． 98 7 055． 56 8 594． 51 有 限 元 n 07 971． 30 8 164． 00 8 302． 30 8 625． 60 9 271． 00 n 15 416． 20 7 277． 90 7 944． 50 8 452． 00 9 189． 00 n 22 782． 70 5 665． 50 7 086． 60 8 007． 90 8 977． 60 n 31 803． 50 4 321． 20 6 139． 30 7 462． 70 8 720． 80 n 41 641． 40 3 531． 20 5 409． 60 7 001． 30 8 521． 80 误 差 n 00． 000． 720． 840． 961． 04 n 10． 600． 670． 790． 921． 01 n 20． 600． 610． 700． 830． 93 n 31． 280． 700． 660． 750． 86 n 42． 341． 050． 780． 780． 85 从表 1 的对比结果可知 本文方法与有限元计算 结果比较接近， 除 n 4， m 1 的点外， 误差均在 1． 5 以内， 误差产生的主要原因是， 本文采用文献［ 19］ 的推 导思路， 在此过程中忽略了内力表达式中的小量， 其量 级一般为 h ～2， 差别不大。总体来看， 本文方法与有限元 相对误差在 3以内， 说明本文方法对求解变厚度圆柱 壳的固有频率具有较好的精度。 2． 2边界条件的影响 分别计算三种经典边界条件下 两端固支、 两端简 支、 两端自由 变厚度圆柱壳的固有频率。计算模型选 取2． 1 中模型， 计算结果为轴向半波数 m 为1 ～4， 周向 波数 n 为 0 ～9 时的固有频率， 如图 3 所示， 图中 C- C、 S- S、 F- F 为两端固支、 两端简支、 两端自由边界条件。 图 3不同边界条件下的固有频率 Fig． 3Natural frequency under different boundary conditions 由图可知， 当轴向半波数 m 为 1 时， 不同边界条件 下的固有频率在周向波数 n 1、 5 ～ 9 时差值很小， 边 界条件对于固有频率的影响很小。当 m 增大时曲线的 差距逐渐变大， 在 m 4 时， 能够明显的看出三条曲线 的差距。说明边界条件对于变厚度圆柱壳固有频率的 影响随着轴向半波数 m 的增加而增加， m 越大， 固有频 率的差值也越大。当 m 为 1 ～3 时， 可以很明显的看出 曲线首尾的固有频率的差值很小， 尤其是 n 1， 9 时， 固有频率几乎一样， 而在曲线中间的差值则比较明显。 结合四张图线， 可以知道， 随着周向波数 n 的增加， 边 界条件对于变厚度圆柱壳固有频率的影响先增大后减 小， 除 m 1 时， 差值最大的点均出现在 n 4 或 5 的时 候。虽然在 m 1， 2 时， 在某些周向波数处的固有频率 是自由边界最大， 固支次之， 简支最小， 但差值非常小， 边界条件对于变厚度圆柱壳固有频率的总体影响趋势 731第 3 期江晨半等基于精细传递矩阵法的变厚度圆柱壳自由振动分析 ChaoXing 较为明显 两端固支的固有频率最大， 简支的次之， 自 由的固有频率最小。 2． 3厚度变化形式的影响 为探究厚度变化形式对固有频率的影响， 选择 2． 1 节中的变厚度圆柱壳模型， 保证左端厚度 h0和右端厚 度 hL不变， 改变厚度变化次数 B， 厚度变化系数 A 随之 改变， 计算图 4 所示的 6 种厚度变化形式的固有频率， 计算结果如图 5 所示。根据图 5 可以知道 周向波数 n ＜4 时， 不同厚度变化形式下， 固有频率的差值非常小， 图线几乎重合在一起， 厚度变化形式对于固有频率的 影响很小， 但相较于前三张图而言， m 4 时， 固有频率 差值相对较大， 曲线分离较为明显。n≥4 时， 固有频率 的差距明显， 图线逐渐分离， 厚度变化形式对固有频率 的影响体现出来， 且 m 增加时， 固有频率的差值越来越 大。总的来说， 厚度变化形式对 m， n 较小时的固有频 率影响不大， 随着轴向半波数 m 和周向波数 n 的增加， 曲线的分离越来越明显， 固有频率的差值越来越大， 厚 度变化形式对固有频率的影响逐渐增加。 图 4厚度变化形式 Fig． 4Geometry shapes 为了进一步探究厚度变化形式对固有频率的影 响， 计算周向波数 n 为 2， 4， 6， 8 时， 固有频率随厚度变 化次数 B 的曲线， 如图 6 所示。图 6 曲线进一步证明 了厚度变化形式对固有频率的影响随 m 和 n 的关系。 每个周向波数 n 下的曲线大致呈现出一种中心对称的 关系， B ＜0 时， 固有频率随着 B 的增加而逐渐减小， 且 变化率逐渐增大， 而 B ＞0 时， 固有频率随着 B 的增加 同样呈现减小的趋势， 但变化率是逐渐减小的。结合 图 4， 无论是 B ＜0 时， 还是 B ＞0 时， 随着 B 的增加， 都 体现的是壳体纵剖面积的减小， 且 B ＜0 时， 随着 B 的 增加， 纵剖面积的变化率增大， B ＞ 0 时， 随着 B 的增 加， 纵剖面积的变化率减小， 因此壳体纵剖面面积的变 化会影响固有频率， 基于此算例， 固有频率随壳体纵剖 面积的增大而增大。 2． 4厚度变化系数的影响 令厚度变化次数 B 1， 改变厚度变化系数 A， 讨论 A 对固有频率的影响。计算结果如图 7 和图 8 所示。 除 m 1， n 1 时， 厚度变化系数对固有频率的影响随 轴向半波数 m 和周向波数 n 的变化规律与 2． 3 节中厚 图 5不同厚度变化形式下的固有频率 Fig． 5Natural frequency of different shape 度变化形式类似， 整体来说， 当 m 和 n 较小时， 固有频 率差值较小， 厚度变化系数对固有频率的影响并不明 显， 随着轴向半波数 m 和周向波数 n 的增加， 曲线逐渐 分离， 固有频率的差值越来越大， 厚度变化系数对固有 频率的影响逐渐增加。从图 8 的曲线可以知道， 固有 频率随着 A 的增加而增加， 除 m 1 时的曲线， 其余的 三张图里， 曲线近似为直线， 固有频率随 A 大致呈现出 一种线性关系， 且直线的斜率随着 n 的增大而增大。A 的增加会使壳体纵剖面积增加， 结合 2． 3 节中的分析， 表明壳体纵剖面积的变化会影响固有频率， 可能原因 是 纵剖面积的改变会直接导致圆柱壳的质量及刚度 变化， 但是刚度更为敏感， 当纵剖面积变大时， 刚度的 增加比质量的增加更快， 因此固有频率会变大。 2． 5长径比的影响 使圆柱壳半径不变， 改变长度， 讨论长径比 l ～ 对固 有频率的影响， 计算结果如图9 和图10 所示。当 m 1 831振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 6固有频率随 B 的变化 Fig． 6Natural frequency change along B 图 7不同厚度变化系数下的固有频率 Fig． 7Natural frequency of different thickness variation coefficient 图 8固有频率随 A 的变化 Fig． 8Natural frequency change along A 931第 3 期江晨半等基于精细传递矩阵法的变厚度圆柱壳自由振动分析 ChaoXing 时， n ＞3 的固有频率的差值， 相较于 n≤3 的固有频率 的差值明显要小， 长径比对于 n ＞3 时的固有频率影响 很小。而当 m ＞1 时， n 1 时的固有频率的差值很小。 总的来看， 随着 n 的增加， 固有频率的差值先增大后减 小， 当 n ＞5 时， 曲线之间的距离变化比较微小， 固有频 率差值的变化并不明显， 长径比 l ～ 对于变厚度圆柱壳 固有频率的影响先增大后减小， 且随着 m 的增加， 差值 最大的点逐渐向右移动。从图 10 的曲线可以看出， 曲 线随 l ～ 的变化呈现一种下降的趋势， 且曲线变得越来 越平缓， 表明固有频率随长径比 l ～ 的增加而减小， 固有 频率的变化率也在逐渐减小。 图 9不同长度下的固有频率 Fig． 9Natural frequency of different length 3结论 本文基于圆柱壳的基本微分方程， 采用精细传递 矩阵法， 求解得到变厚度圆柱壳的固有频率。 在对本 图 10固有频率随 l ～ 的变化 Fig． 10Natural frequency change along l ～ 文方法进行准确性及有效性验证的基础上， 讨论了边 界条件、 厚度变化形式、 厚度变化系数及长径比对变厚 度圆柱壳固有频率的影响， 结果表明 1本文方法计算所得结果与有限元结果相比 较， 误差较小， 精度较高。 2随着周向波数 n 的增大， 不同边界条件下的 固有频率差值先增大后减小; 从整体趋势看， 两端固支 的固有频率最大， 简支的次之， 自由的固有频率最小。 3随着轴向半波数 m 和周向波数 n 的增大， 不 同厚度变化形式的固有频率差值逐渐增大; 厚度变化 次数 B ＜0 时， 固有频率随着 B 的增加而逐渐减小， 且 变化率逐渐增大， 而 B ＞ 0 时， 固有频率随着次数的增 加同样呈现减小的趋势， 但变化率是逐渐减小的。 4除轴向半波数 m 1， 周向波数 n 1 的点外， 041振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 总的来说， 不同厚度变化系数 A 的固有频率差值随 m 和 n 的增大而增大; 固有频率随着 A 的增加而增加， 除 m 1 外， 固有频率随 A 大致呈现出一种线性关系， 且 斜率随着 n 的增大而增大。 5随着周向波数 n 的增大， 不同长径比 l ～ 的固 有频率差值先增大后减小， 当 n ＞ 5 时， 固有频率差值 变化很小; 差值最大的点随轴向半波数 m 的增加逐渐 右移; 固有频率及其变化率都随着 l ～ 的增大而减小。 参 考 文 献 ［1］ RAYLEIGH J W S B，LINDSAY R B． The theory of sound ［ M］ ． AmericaDover Publications， 1945． ［2］ XIE Kun，CHEN Meixia，ZHANG Lei，et al．Free and forcedvibrationanalysisofnon- unilysupported cylindricalshellsthroughwavebased ［J］ ． International Journal of Mechanical Sciences，2017，128/ 129 512- 526． ［3］ YAMADA G，IRIE T，TAGAWA Y． Free vibration of non- circular cylindrical shells with variable circumferential profile ［ J］ ． Journal of Sound ＆ Vibration， 1984， 95 1 117- 126． ［4］ 李文达，杜敬涛，杨铁军，等． 基于改进傅里叶级数方法 的旋转功能梯度圆柱壳振动特性分析［ J］ ． 哈尔滨工程大 学学报， 2016， 37 3 388- 393． LI Wenda，DU Jingtao，YANG Tiejun，et al．Vibration characteristics analysis of the rotating functionally graded cylindrical shell structure using an improved Fourier series ［ J］ ． Journal of Harbin Engineering University， 2016， 37 3 388- 393． ［5］ 陈旭东，叶康生． 中厚圆柱壳自由振动的动力刚度法分析 ［ J］ ． 工程力学， 2016， 33 9 40- 48． CHEN Xudong，YE Kangsheng． Analysis of free vibration of moderately thick circular cylindrical shells using the dynamic stiffness ［ J］ ． Engineering Mechanics， 2016， 33 9 40- 48． ［6］ QU Yegao， HUA Hongxing， MENG Guang．A domain decomposition approach for vibration analysis of isotropic and composite cylindrical shells with arbitrary boundaries［J］ ． Composite Structures， 2013， 95 307- 321． ［7］ ZHANG L， XIANG Y．Exact solutions for vibration of stepped circular cylindrical shells［J］ ． Journal of Sound ＆ Vibration， 2007， 299 4/5 948- 964． ［8］ 曹雷，马运义，黄玉盈． 环肋加强变厚度圆柱壳的自由振 动［ J］ ． 华中科技大学学报 城市科学版 ，2007，24 2 63- 66． CAO Lei，MA Yunyi，HUANG Yuying．Free vibration of ring- stiffened circular cylindrical shell with variable thickness ［J］ ．JournalofHuazhongUniversityofScienceand Technology Urban Science Edition ， 2007， 24 2 63- 66． ［9］ DUAN W H，KOH C G． Axisymmetric transverse vibrations of circular cylindrical shells with variable thickness［J］ ． Journal of Sound ＆ Vibration，2008，317 3/4/5 1035- 1041． ［ 10］ EL- KAABAZI N， KENNEDY D．Calculation of natural frequenciesandvibrationmodesofvariablethickness cylindrical shells using the Wittrick- Williams algorithm［J］ ． Computers ＆ Structures， 2012， 104/105 4 4- 12． ［ 11］ QU Yegao，CHEN Yong，LONG Xinhua，et al． Free and forced vibration analysis of uni and stepped circular cylindrical shells using a domain decomposition ［J］ ． Applied Acoustics， 2013， 74 3 425- 439． ［ 12］ POULTANGARI R， NIKKHAHBAHRAMI M．Free and forced vibration analysis of stepped circular cylindrical shells with several intermediate supports using an extended wave ;a Generalized Approach［ J］ ． Latin American Journal of Solids and Structures， 2016， 13 11 2027- 2058． ［ 13］ TANG Dong，YAO Xiongliang，WU Guoxun，et al． Free and forced vibration analysis of multi- stepped circular cylindrical shells with arbitrary boundary conditions by the of reverberation- ray matrix［J］ ． Thin- Walled Structures，2017， 116 154- 168． ［ 14］ WANG Xianzhong，WU Weiguo，YAO Xiongliang． Structural and acoustic respo