基于广义有限差分法的输流直管振动响应特性研究_张挺.pdf

书书书  振动与冲击 第 38 卷第 24 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．24 2019 基金项目国家自然科学基金 51679042 收稿日期2018 －06 －05修改稿收到日期2018 －08 －28 第一作者 张挺 男， 博士， 教授， 1977 年生 基于广义有限差分法的输流直管振动响应特性研究 张挺1，林震寰1，郭晓梅1，张恒1，范佳铭2 1． 福州大学 土木工程学院，福州 350116; 2． 台湾海洋大学 河海工程系， 台湾 基隆20224 摘要基于输流直管横向振动微分方程， 采用广义有限差分法和 Houbolt 法分别对空间和时间上的偏微分项进 行离散， 建立高阶精度的无网格法数值模式。将该数值模式应用于两端支撑轴向运动梁模型和两端固支输流直管模型， 所得的固有频率和振幅时程等与前人研究成果和理论解均吻合良好; 并对不同总点数 N、 时间步长△t、 子区域选点数 ns 的数值结果进行对比， 表明提出的数值模型在求解输流直管振动响应问题上具有良好的准确性和鲁棒性; 对比分析了三 种不同支撑条件 两端固支、 两端简支和一端固支一端简支 下输流直管的振动响应特性。结果表明 两端简支时输流直 管中点处的振幅最大， 振动频率最小; 两端固支时输流直管中点处的振幅最小， 振动频率最大; 且在端部约束限制条件不 对称时， 其振动幅值最大值出现位置会向弱约束端偏移。 关键词输流直管; 无网格法; 广义有限差分法 GFDM ; Houbolt 法; 横向振动 中图分类号TV134; TB533文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2019． 24． 023 Numerical simulation of vibration response of pipe conveying fluid based on a generalized finite difference ZHANG Ting1，LIN Zhenhuan1，GUO Xiaomei1，ZHANG Heng1，FAN Jiaming2 1． College of Civil Engineering，Fuzhou University，Fuzhou 350116，China; 2． Department of Harbor and River Engineering，Taiwan Ocean University，Keelung 20224，China Abstract In this study，a high- order accuracy numerical model of the meshless ，called generalized finite difference GFDM ， was generalized to analyze the transverse vibration problem of pipe conveying fluid． Based on the differential equation of transverse vibration，the GFDM and the Houbolt s were adopted to discretize the partial differential items in space and time，respectively． The consistent with good results of natural frequency and the amplitude time range was compared with the theoretical solution and other numerical results reported in literature． Meanwhile，the numerical model proposed in this paper has good stability and robustness in solving the vibration response of pipe conveying fluid by comparing with the vibration amplitude at the midpoint with different total number of points N，time step Δt and sub- region selection points ns，respectively．Furthermore，detailed analysis of the vibration response characteristics with several typical boundary conditions indicates that the vibration amplitude at the midpoint of the pined- pined pipe is much large than that of two other boundary conditions，and the vibration frequency of the clamped- clamped pipe is more fast than that of others． Besides， the position of the maximum amplitude of the vibration is shifted to the weak constraint when the end of restrictive condition is asymmetric． Key wordswordspipe conveying fluid;meshless ;generalized finite difference GFDM ;Houbolt ;transverse vibration 管道在输流过程中， 因内部流体流动会在管道边 壁上施加力的作用， 造成振动， 并最终导致管道的长期 疲劳失效， 如输流直管的轴向耦合振动 ［1 ］。而对于管 道偏离中心轴线造成的横向振动， 不同支撑条件对其 振动特性也有较大的影响。因此， 对不同支撑条件下 输流管道动态响应的研究显得尤为重要。 目前， 输流管道研究模型主要有梁模型和壳模型 两种， 在管道内径远小于管道长度时， 采用梁模型来研 究是简单而有效的。不同学者针对该模型下的输流管 道都有着广泛研究， Paidoussis［2 ］基于梁模型， 采用牛顿 法对管道单元和流体单元进行受力分析， 得到较为完 整的描述输流直管横向振动微分方程， 并研究了不同 支撑条件下输流直管的稳定性问题; 随后， 又有众多学 者对该方程进行不断改进和不同角度的研究。 由于输流直管横向振动微分方程中具有对空间和 ChaoXing 时间物理量的高阶偏导项， 因此其精确解的获取较为 困难， 目前对输流管道振动响应特性研究采用的数值 分析方法主要有伽辽金法 Galerkin ［3 －5 ］、 微分 变换法 Differential Transation ， DTM ［6 －7 ］、 微 分 求 积 法 DifferentialQuadrature， DQM ［8 －9 ］、 精细积分法 Precise Integration ， PIM ［10 －11 ］、广 义 积 分 变 换 法 Generalized Integral Trans Technique， GITT ［12 －13 ］等， 这些都可以有效 地模拟此类问题。 随着计算机技术和数值方法的不断发展， 无网格 法 Meshless 在近几年有了快速的发展， 其中 广义有限差分法 Generalized Finite Differential ， GFDM 属于区域型的无网格法， 采用泰勒级数展开搭 配移动最小二乘法， 将每个点位上的微分量以邻近点 的物理量线性累加表示。Benito 等 ［14 ］提出 GFDM 法的 离散公式， 针对其中的一些参数与特性进行一系列的 研究， 之后将这一方法改良后与其它无网格方法作比 较 ［15 ］， 并使用该方法求解不同类型的偏微分方程， 如对 流扩散方程 ［16 ］、 抛物线型方程［17 ］。同时， Fan 等［18 ］利 用此方法求解 Burgers 方程式， Li 等 ［19 ］用于求解浅水 波方程， 均得到了良好的结果。Zhang 等 ［20 ］采用此方 法运用到工程实际问题中， 例如数值波浪水槽中非线 性波浪的传播、 非线性自由液面的液体晃动问题［21 ］ 、 缓 坡方程的求解 ［22 ］; Gu 等［23 ］将 GFDM 方法成功应用于 三维热传导的逆时变源问题的精确求解。从这些数值 案例模拟的比对结果可以看出， GFDM 法在求解高阶 偏微分方程问题上具有很大的潜力。 本文针对空间含有四阶偏导项和时间含有二阶偏 导项的两端支撑输流直管横向运动微分方程， 采用 GFDM 法和 Houblot 方法分别对微分方程的空间项和 时间项进行离散， 建立一种新的高阶精度数值模式， 通 过与前人的数值结果对比， 验证本研究所提出的数值 模型的准确性和可行性， 在此基础上， 分析不同支撑条 件对输流直管模型横向振动响应特性的影响。 1控制方程及边界条件 如图1 所示， 考虑两端支撑输流直管， 管道长度为 L， 管道轴线为 x 轴， 管道横向为 y 轴。忽略重力、 内部阻 尼和流体压力的影响， 则其横向运动微分方程可表述为 EI 4Y x 4 2mfU 2Y xt mfU2 2Y x 2 mf mp 2Y t 2 0 1 式中 Y 为管道的横向位移; E 为管道的弹性模量; I 为 管道的横截面惯性矩; mf和 mp分别为单位长度管内流 体的质量和管道的质量; U 为流体流速。 引入无量纲变量 ξ x/L， η Y/L， β mf mf mp， u mf EI 1/2 UL， τ EI mf m p 1/2 t L2 。 代入式 1 ， 整理可得两端支撑输流直管的无量纲 横向运动微分方程 4η ξ4 2β1/2u 2η ξτ u2 2η ξ2 2η τ2 0 2 针对不同的管道支撑条件， 其无量纲化的边界条 件可表述为 a 两端固支 见图 1 a η 0， τ 0， η 1， τ 0， η 0， τ ξ 0， η 1， τ ξ 0 3 b 一端固支一端简支 如图 1 b η 0， τ 0， η 1， τ 0， η 0， τ ξ 0， 2η 1， τ ξ2 0 4 c 两端简支 见图 1 c η 0， τ 0， η 1， τ 0， 2η 0， τ ξ2 0， 2η 1， τ ξ2 0 5 图 1两端支撑输流直管模型 Fig． 1 Schematic diagram of fluid- conveying pipe 2数值方法 2． 1广义有限差分法 输流直管横向运动微分方程式 2 ， 在空间坐标上 最高具有四阶偏导项， 本文采用广义有限差分法进行 661振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 离散， 其方法是基于移动最小二乘法与泰勒级数四阶 展开。首先在整个计算区域内布 N 个点， 再将每个点 位上的偏微分项转换成由子区域内各点物理量与权重 系数乘积的线性累加。对于区域内的第 i 点而言， 选择 ns个最邻近点， 形成一个子区域， 如图 2 所示。 图 2子区域中选择临近点示意图 Fig． 2 Schematic diagram of nodes in local region 当第 i 点的子区域形成后， 在该子区域内以第 i 点 为中心进行泰勒级数展开， 因式 2 对空间项的微分最 高阶数为四阶， 从而略去四阶以上各项， 并定义一个函 数 B η B η∑ ηi － η i， j δ ij ηi ξ 1 2 δ2ij 2ηi ξ [{ 2 1 6 δ3ij 3ηi ξ3 1 24δ 4 ij 4ηi ξ ] 4 w δij } 2 6 式中j 为子区域内的节点编号; δij ξ i － ξ i， j为沿着布 点方向上第 i 点与第 j 点的距离; ξi和 ξi， j分别为第 i 点 和第 j 点的坐标值; ηi， j为第 i 个子区域中的第 j 个点的 物理量; w δij 为权重函数 w δ ij 1 － 6 δij dm i 2 8 δij dm i 3 － 3 δij dm i 4 ， δ ij≤ dmi 0，δij＞ dm { i 7 式中 dmi为第 i 点与子区域内最远点的距离。 根据移动最小二乘法的思想， 将函数 B η 分别对 η/ξ， 2η/ξ2 ，  3η/ξ3 和4η/ξ4求极小值， 可得 ADη b 8 其中， A ∑ ns j 1 w2 ijδ 2 ij 1 2∑ ns j 1 w2 ijδ 3 ij 1 6∑ ns j 1 w2 ijδ 4 ij 1 24∑ ns j 1 w2 ijδ 5 ij 1 4∑ ns j 1 w2 ijδ 4 ij 1 12∑ ns j 1 w2 ijδ 5 ij 1 48∑ ns j 1 w2 ijδ 6 ij 1 36∑ ns j 1 w2 ijδ 6 ij 1 144∑ ns j 1 w2 ijδ 7 ij SYM 1 576∑ ns j 1 w2 ijδ 8                           ij ， Dη η ξ i， 2η ξ2 i ， 3η ξ3 i， 4η ξ4 [] i T ， b ∑ ns j 1 － ηi ηi， j δijw 2 ij 1 2 ∑ ns j 1 － ηi ηi， j δ 2 ijw 2 ij 1 6 ∑ ns j 1 － ηi ηi， j δ 3 ijw 2 ij 1 24∑ ns j 1 － ηi ηi， j δ 4 ijw 2                      ij 从式 8 可知， 系数矩阵 A 是一个对称矩阵， 是由 第 i 点与其子区域内 ns个点的物理量计算得到， 而矩 阵 b 是由子区域内各节点物理量和空间坐标构成， 因 此可将矩阵 b 分解为 b BQ 9 式中 Q ［ ηi ， η i， 1 ， η i， 2 ， η i， 3， ， ηi， ns］ T 为子区域内第 i 点和与其相邻 ns点的物理量。从而， 每一点位上的前 四阶偏微分项 Dη可表示为 Dη η ξ i 2η ξ2 i 3η ξ3 i 4η ξ4                       i A－1BQ ei11ei12ei1ns ei21ei22ei2ns ei31ei32ei3ns ei41ei42ei4n               s ηi ηi， 1 ηi， 2  ηi， n               s 10 因输流直管横向运动微分方程式 2 中只含有对 空间物理量的一阶、 二阶和四阶偏导数， 故提取式 10 中每一个点位 i 上未知物理量 位移 的一阶、 二阶和 四阶偏微分量的表达式， 即 η ξ i ∑ ns j 1 ei1jηi， j 11 2η ξ2 i ∑ ns j 1 ei2jηi， j 12 4η ξ4 i ∑ ns j 1 ei4jηi， j 13 2． 2Houbolt 法 由于两端支撑输流直管横向运动微分方程式 2 ， 在 时间坐标上最高具有二阶偏导项， 本文采用 Houbolt 法对 时间项进行离散。该法属于四点格式的隐式时间积分法， 具有二阶精度且无条件稳定， 即通过对 n －2， n －1， n 和 n 1四个时刻的位移 η 进行三次插值来近似表示其一阶 时间导数η/τ 和二阶时间导数2η/τ2， 其表达式为 ［ 24 ］ η  τ n1 1 6Δt 11η n1 － 18ηn 9η n－1 － 2ηn－2 14 2η τ 2 n1 1 Δt 2 2η n1 － 5ηn 4η n－1 － η n－2 15 因 Houbolt 法在求解未知时间层物理量 ηn 1时， 需 761第 24 期张挺等基于广义有限差分法的输流直管振动响应特性研究 ChaoXing 已知前两个时间层的物理量 ηn －1和 ηn －2， 从而需要起 步条件， 本文采用 Euler 法进行起步， 即 ηn－1 η ξ， 0－ Δtη ξ， 0 τ 16a ηn－2 η ξ， 0－ 2Δtη ξ， 0 τ 16b 2． 3方程离散 首先， 使所有内部点满足控制方程式， 采用 GFDM 对控制方程式中的空间变量偏微分进行离散， 即将式 11～ 式 13 代入式 2 中， 可得 η i 2β1/2u∑ ns j 1 ei1jη i u2∑ ns j 1 ei2j∑ ns j 1 ei4 j ηi 0 17 其次， 使所有边界点满足对应的边界条件， 采用 GFDM 法对边界条件进行离散可得 1 两端固支 η1 0，∑ ns j 1 e2 1jη n 2， j 0， ∑ ns j 1 eN－1 1j ηnN－1， j 0，ηN 0 18 2 一端固支一端简支 η1 0，∑ ns j 1 e2 1jη n 2， j 0， ∑ ns j 1 eN－1 j ηnN－1， j 0，ηN 0 19 3 两端简支 η1 0，∑ ns j 1 e2 2jη n 2， j 0， ∑ ns j 1 eN－1 2j ηnN－1， j 0，ηN 0 20 式 17 结合边界条件式 18～ 式 20 中的一种， 可定义一种支撑条件下输流直管的动力学方程组， 即 ［ M ］ NN { η } N1 ［ C］ NN { η } N1 ［ K］ NN{ η}N1 { 0} N1 21 式中 M， C， K 分别为离散系统的质量矩阵、 阻尼矩阵 和刚度矩阵; η 为待求物理量未知矩阵。 对式 21 可进行模态分析， 设方程式的特解为 η eλτ 22 式中  为 N 阶位移幅值列阵。 将式 22 代入式 21 中， 可得两端支撑输流管道 的广义特征值问题 λ 2M λC K  0 23 其特征方程可表述为 λ2M λC K 0 24 上式是关于 λ 的 2N 次实系数代数方程， 设无重根， 通 过求解可得 2N 个共轭对形式的互异特征值 λ， 其值通 常为复数， 虚部即表示输流管道振动频率。 同时， 采用 Houbolt 法对式 21 中的时间项一阶和 二阶微分进行离散， 可得每一内部点位 i 上的两端支撑 输流直管横向振动微分方程的离散形式， 即 ∑ ns j 1 ei4jηn1 i， j u2∑ ns j 1 ei2jηn1 i， j 2槡 βu 6Δt 11∑ ns j 1 ei1jηn1 i， j － 18∑ ns j 1 ei1jηn i， j 9∑ ns j 1 ei1jηn－1 i， j － 2∑ ns j 1 ei1jηn－2 i， j 1 Δt 2 2η n1 i － 5ηni 4η n－1 i － η n－2 i 0 i 3， 4， ， N － 2 25 式 25 结合边界条件式 18～ 式 20 中的一种， 可定 义一种支撑条件下输流直管的线性代数方程组为 ［ C］ NN{ η}N1 { f} N1 26 式中 C 为稀疏矩阵; f 为控制方程式与边界条件离散 后的非齐次项; η 为待求未知矩阵。结合不同案例的 初始条件， 通过式 26 即可求得不同支撑条件下输流 直管在不同时刻， 每一点位上的物理量。 3数值模型验证 为了验证本文所提出的数值模式的准确性和鲁棒 性， 本节对两端支撑轴向运动梁模型和两端固支输流 直管模型进行数值模拟， 并与前人所做研究结果进行 对比， 其中当流体流速 u 用管道横向运动速度代替， 式 2 即转化为两端支撑的梁模型。 3． 1两端支撑梁模型 当管道运动速度 u 0 时， 两端支撑梁模型退化为 简单的直梁模型， 其前 N 阶固有频率具有精确解， 采用 总点数 N 604， 时间步长 Δt 0． 001， 表 1 给出了 GFDM 法计算得到的不同支撑条件下直梁模型前四阶 固有频率， 与 DTM、 DQM 以及 Thomson 的精确解 ［25 ］研 究成果进行对比， 吻合良好， 说明该数值模式具有相当 高的精度。为了进一步说明其计算效率， 本文也将三 种不同数值方法的计算时间列于表 1， 虽然 GFDM 的总 布点数 N 达 604， 但所用计算时间均在 0． 85 s 左右， 低 于 DTM N 17 ， 部分高于 DQM N 60 ， 这是由于应 用 GFDM 法对控制方程进行离散后， 所得到的代数方 程组的系数矩阵为稀疏矩阵， 因此可提高计算效率。 当管道运动速度 u 0． 5 时， 给定初始条件为 η x， 0 0 η x， 0 0． 01sin πx{ 27 以管道两端固支为例， 计算得到管道中点处振幅 η 的时间历程， 如图 3 所示。可见， 应用 GFDM 法得到的 结果与 An 等研究中采用 GITT 法得到的结果吻合良 好。图 3 中分别采用了不同总点数 N 见图 3 a 、 不 同时间步长 Δt 见图 3 b 和不同选点数 ns 见图 3 c 进行数值模拟， 结果表明， 随着总点数 N 和选点 数 ns的增加或时间步长 Δt 的减小， GFDM 的计算结果 与 An 等研究中的数值结果越接近， 说明本文提出的数 值模式具有良好的稳定性。 861振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 表 1两端支撑梁固有频率 u 0 Tab． 1 Natural frequency of beam with differential boundary condition u 0 边界条件数值方法ω1ω2ω3ω4计算时间/s 两端简支DTM9． 8639． 4788． 82157． 912． 56 DQM9． 8739． 4888． 84157． 940． 90 Exact Solution9． 8739． 5088． 90157． 91 GFDM9． 8639． 4688． 76157． 800． 86 两端固支DTM22． 3761． 67120． 90199． 851． 40 DQM22． 3761． 68120． 92199． 890． 54 Exact Solution22． 3761． 67120． 90199． 85 GFDM22． 3761． 67120． 90199． 850． 85 端固支一端简支DTM15． 4249． 96104． 25178． 272． 55 DQM15． 4249． 98104． 28178． 320． 53 Exact Solution15． 4249． 96104． 25178． 27 GFDM15． 4249． 96104． 22178． 220． 83 图 3两端固支梁受迫振动中点处振幅比较 u 0． 5 Fig． 3 Comparison of amplitudes at midpoint of forced vibration of clamped beam at u 0． 5 3． 2两端固支输流直管模型 同样以两端固支输流直管模型为例， 在流体流速 u 的作用下， 输流直管将出现受迫振动， 本节数值模型参 数分别取 N 604， ns20， Δt 0． 001 0， 同时给定初始 条件为 η x， 0 0 η x， 0 O 10－3{ 28 图 4 为不同流体流速 u 和不同质量比 β 输流直管 中点处位移的时间历程。将数值结果与 Gu 等的研究 成果进行对比， 结果也是非常吻合， 进一步说明了本文 所提出的数值模型具有较高的精确度。从图 4 可知， 在相同流速 u 情况下， 随着质量比 β 的增加， 两端固支 输流直管中点处的振动速率加快， 而振幅无明显变化， 见图 4 a 和图 4 b 所示。在相同质量比 β 情况下， 随 着流体流速 u 的减小， 两端固支输流直管中点处振动 幅值减小， 但振动速率加快， 见图 4 a 和图 4 c 所示。 图 4不同流体流速 u 和质量比 β 两端固支输流直管中点振幅比较 Fig． 4 Comparison of amplitudes at midpoint of differential fluid velocity and mass ratio of clamped- clamped pipe conveying fluid 961第 24 期张挺等基于广义有限差分法的输流直管振动响应特性研究 ChaoXing 4不同支撑条件下输流直管振动响应 当管道在输流过程中， 由于端部约束限制条件不 同， 其振动响应特性也将不同。为了进一步研究支撑 条件对输流直管横向振动响应特性的影响， 本节针对 三种不同支撑条件 两端固支、 两端简支和一端固支一 端简支 下输流直管进行模拟。数值模型参数仍取总 点数 N 604， 时间步长 Δt 0． 001， 子区域选点数 ns 20， 流体流速 u 1． 5， 质量比 β 0． 5。 图5 a 给出了三种不同支撑条件的输流直管中点 振动幅值时程， 从图5 a 可知， 输流直管均作周期性有 规律的振动， 当两端简支时输流直管中点处的振幅最 大， 一端固支一端简支时次之， 而两端固支时输流直管 中点处的振幅最小， 为两端简支时的一半; 为了进一步 了解三种不同支撑情况下管道中点处的频域响应， 通 过傅里叶变换得到了三种不同支撑条件下输流直管中 点处的频谱图， 如图 5 b 所示。不同支撑条件下输流 直管均只出现一阶主频， 两端简支 f 1． 34 时振动频 率最小， 两端固支 f 3． 42 时振动频率最大， 而一端 固支一端简支 f 2． 32 时介于二者之间。 图 5不同支撑输流直管中点处振幅比较 Fig． 5 Comparison of amplitudes at midpoint of pipe conveying fluid for different boundary conditions 图 6 为输流直管在 τ 13 时刻全管振动幅值曲 线。可见， 在忽略重力、 内部阻尼和流体压力影响的条 件下， 两端简支和两端固支其振动响应最大值出现在 输流直管中点处， 对于一端固支一端简支支撑条件， 因 两端支撑条件不对称且简支端约束限制较低， 致使管 道振幅最大值出现位置向右偏移。 图 6τ 13 时不同支撑输流直管振幅比较 Fig． 6 Comparison of amplitudes of pipe conveying fluid for different boundary conditions at τ 13 5结论 本文针对空间上最高具有四阶偏导项和时间上最 高具有二阶偏导项的两端支撑输流管道横向运动微分 方程， 采用区域型无网格法分析了两端支撑轴向运动 梁模型和两端固支输流直管模型的横向振动问题， 对 于该问题在空间和时间上分别采用 GFDM 法和Houblot 法进行离散， 建立高阶精度的无网格法数值模式。 1 通过与前人研究成果进行比较以及方法本身 影响因素 总点数 N、 时间步长△t 和子区域选点数 ns 测试对比， 结果吻合良好， 表明所提出的数值模型在求 解输流直管振动响应问题上具有良好的准确性和鲁 棒性。 2 对比分析了三种不同支撑 两端固支、 两端简 支和一端固支一端简支 下输流直管振动响应特性， 结 果表明， 输流直管均以一阶主频作周期性有规律的振 动， 在对称支撑 两端简支和两端固支 情况下， 振幅与 振动频率成反比， 即振幅越大， 频率越小; 在非对称支 撑 一端固支一端简支 时， 振动幅值和频率介于两种 对称支撑之间， 且振幅最大值出现位置向右偏移。 本文仅针对在忽略重力、 内部阻尼和流体压力影 响的条件下两端支撑的水平输流直管进行研究， 从本 文研究测试的结果可以看出， 由于 GFDM 法可将每个 点位上高阶微分项进行快速转换为线性代数方程组， 因此具有较大的潜力， 下一步可将其运用到输流管道 非线性振动和弯曲输流管道的研究中。 参 考 文 献 ［1］ 张挺，谭志新，张恒， 等． 基于分离系数矩阵差分法的输 流管道轴向耦合响应特性研究［J］ ． 振动与冲击，2018， 37 5 148 －154． ZHANG Ting，TAN Zhixin，ZHANG Heng，et al．Axial coupled response characteristics of a fluid- conveying pipeline based on split- coefficient matrix finite difference ［ J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2018， 37 5 148 －154． ［2］ PAIDOUSSIS MP．Fluid- structure interactions slender struc- turesandaxialflow ［M］ ．London Academic 071振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing Press， 1998． ［3］ 金基铎， 宋志勇，杨晓东． 两端固定输流管道的稳定性和 参数共振［ J］ ． 振动工程学报， 2004， 17 2 190 －195． JIN Jiduo，SONG Zhiyong，YANG Xiaodong． Stability and parametric resonances of a clamped- clamped pipe conveying fluid［ J］ ． Journal of Vibration Engineering，2004，17 2 190 －195． ［4］ 包日东， 金志浩，闻邦椿． 端部约束悬臂输流管道的分岔 与混沌响应［ J］ ． 振动与冲击， 2008， 27 5 36 －39． BAO Ridong，JIN Zhihao，WEN Bangchun． Bifurcation and chaotic response of restrained cantilever pipe with conveyed fluid［ J］ ． Journal of Vibration and Shock，2008，27 5 36 －39． ［5］ 王琳． 输流管道的稳定性、 分岔与混沌行为研究［ D］ ． 武 汉 华中科技大学， 2006． ［6］ NI Q，ZHANG Z L，WANG L． Application of the differential transation to vibration analysis of pipes conveying fluid ［J］ ．Applied Mathematics ＆ Computation，2011， 217 16 7028 －7038． ［7］ WANG C C，YAU H T．Application of the differential transation to bifurcation and chaotic analysis of an AFM probetip ［J］ ．Computers＆Mathematicswith Applications， 2011， 61 8 1957 －1962． ［8］ 倪樵，黄玉盈，陈贻平． 微分求积法分析具有弹性支承输 液管的临界流速［J］ ． 计算力学学报，2001，18 2 146 －149． NI Qiao， HUANGYuying， CHENYiping．Differential guadrature for analyzing critical flow velocity of the pipe conveying fluid with spring support［ J］ ． Chinese Journal of Computational Mechanics， 2001， 18 2 146 －149． ［9］ 王琳，倪樵． 用微分求积法分析输液管道的非线性动力 学行为［ J］ ． 动力学与控制学报， 2004， 2 4 56 －61． WANG Lin，NI Qiao． The nonlinear dynamic vibrations of a restrained pipe conveying fluid by differential quadrature ［ J］ ． Journal of Dynamics and Control， 2004， 2 4 56 －61． ［ 10］ ZHONG W X． On precise integration ［ J］ ． Journal of Computational and Applied Mathematics， 2004， 163 1 59 －78． ［ 11］ LONG L，XUAN F Z． Flow- induced vibration analysis of supported pipesconveyingpulsatingfluidusingprecise integration［J ］ ．MathematicalProblemsin En