与已知场点相关的地震动场模拟研究_叶继红.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 3 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．3 2020 基金项目国家重点研发计划资助 2017YFC1500703 收稿日期2018 －06 －22修改稿收到日期2018 －10 －04 第一作者 叶继红 女， 博士， 教授， 博士生导师， 1967 年生 与已知场点相关的地震动场模拟研究 叶继红1，李桂杰2 1． 中国矿业大学 江苏省土木工程环境灾变与结构可靠性重点实验室， 江苏 徐州221116; 2． 东南大学 混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室， 南京210018 摘要提出了一种与已知场点相关地震动场模型。将工程频段 0 ～25 Hz 分成若干个互不重叠的子段， 在每个 子频段内将地震动看作面波和体波的叠加; 其次在每个子频段内确定影响合成地震动幅值谱的关键因素并将其引入模型 中， 使每个子频段的合成地震动幅值谱、 功率谱和已知幅值谱、 功率谱一致; 再次由相位差谱频数分布与地震动强度包络 的相似性， 将决定地震动强度非平稳的关键因素即相位差谱引入到模型中， 使合成地震动和已知地震动波形相似; 最后， 由模型中的频散曲线和距离参数描述不同场点之间的相干性， 将合成地震动扩展到地震动场模型。El Centro 地震波场点 地震动场算例表明， 模型不仅可以实现合成地震动场功率谱和已知场点完全一致， 而且相干性合理， 可以用于工程分析。 关键词已知场点; 地震动合成; 地震动场; 相关性 中图分类号TU352． 1文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 03． 033 Simulation of ground motion field related to known field points YE Jihong1，LI Guijie2 1． Jiangsu key Laboratory Environmental Impact＆Structural Safety in Engineering， China University of Mining and Technology，Xuzhou 221116 China; 2． Key Laboratory of Concrete and Pre- stressed Concrete Structure，Southeast University，Nanjing 210018，China Abstract Here，an earthquake ground motion field model related to known field points was proposed． Firstly，the engineering frequency band 0 －25 Hzwas divided into several non- overlapping segments as sub frequency bands，and within each sub- band，ground motion was taken as superposition of surface wave and body one． Then，key factors affecting amplitude value spectrum of synthetic ground motion in each sub- band were determined and introduced into the proposed model so that both amplitude value spectrum and power spectrum of synthetic ground motion within each sub- band were consistent to the known ones． Furthermore，according to the similarity between frequency distribution of phase difference spectrum and envelope of ground motion intensity，the phase difference spectrum as a key factor to determine the non- stationary of ground motion intensity was introduced into the proposed model to make the wave of the synthetic ground motion similar to that of the known ground motion． Finally，the coherence among different field points was described by the frequency dispersion curve and distance parameters in the model to extend synthetic ground motion to the ground motion field model． The example simulation results of the ground motion field related to El Centro seismic wave field points showed that the proposed model can not only realize the power spectrum of the synthetic ground motion field being full consistent to those of El Centro seismic wave field points，but also the coherence is reasonable，so the proposed model can be applied in engineering analysis． Key wordsknown site points;synthesis of ground motions;ground motion field;correlation 我国是世界上地震灾害最为严重的国家之一， 而 地震波具有不可重复性， 因此， 科学合成地震动就显得 十分重要和必要。地震动场合成方法主要有两类， 即 工程随机方法和地震学方法。工程随机方法是从 50 年代开始发展起来的。Housner［1 ］提出通过叠加一系列 随机单周正弦脉冲函数合成地震波， 并指出其合成地 震波的反应谱和地震记录的反应谱完全一致。随后， Goodman 等 ［2- 4 ］对 Housner 的模型进行简化， 提出通过 叠加一系列随机脉冲函数合成地震波， 但该模型和 Housner 的模型一样， 仅模拟平稳随机过程。Bolotin［5 ］ 指出， 地震波具有非平稳性， 且其非平稳特性对结构的 ChaoXing 响应有重大影响。Bolotin 的研究促使更多学者对地震 动非 平 稳 特 性 产 生 关 注， 并 开 始 这 方 面 的 研 究。 Bogdanoff［6 ］， Cornell［7 ］， Amin［8 ］， Goto 和 Toki［9 ］等分别 提出了各自地震动非平稳模型， 合成非平稳地震动场。 通过工程随机方法合成地震动的研究热度一直持续至 今 ［10- 11 ］。地震学方法合成地震动场主要通过了解震源 机制、 确定地球地质构造、 建立震源机制和传播介质的 数学模型预测地震引起的地面运动。地震地面运动是 地震断层发生复杂的动态破裂过程后地震波经地球介 质传播至地表而产生的振动， Conte 等 ［12 ］指出， 一般近 场地震动主要受震源效应的影响， 而远场地震动主要 受地震传播途径中传播介质的影响。因此， 地震学家 对地震动模型的研究主要集中于震源机制和传播途径 两个方面。 以上两种合成地震动场的方法各有缺陷 对于工 程随机方法， 虽然有不少学者提出了地震动非平稳模 型， 但是这些模型对地震动非平稳性的描述大多表现 为强度非平稳， 例如田玉基等 ［13 ］将相位差谱的统计模 型引入非平稳地震动场模拟之中， 解决了多阻尼比设 计反应谱的非平稳地震动场拟合问题; 杨娜等 ［14 ］改进 了相位谱的强度谱矩的计算方法， 使之能够适用于一 般非平稳时程。但工程随机方法很难体现其频率非平 稳性， 这与地震波存在频率非平稳的本质相悖; 利用工 程方法模拟地震动场时， 很难合成功率谱和目标谱完 全一致的地震动。对于地震学方法合成地震动， 其合 成过程涉及到很多物理假设， 这些假设正确与否需要 大量数据验证; 再则， 由于对地震震源和传播途径的研 究尚未完善， 用地震学方法合成地震动很难合成出地 震动的高频成分; 另外， 地震学方法模拟地震动场时往 往所费机时庞大， 无论是确定震源模型还是求解 Green 函数所花费的时间和费用都很高， 难以广泛应用。国 内外亦有学者将工程随机方法和地震学方法相结合， 例如文献［ 15］ ， 基于基岩与土层的刚度矩阵， 推导地震 波三个方向的传递函数， 最终给出多维多点地震动的 模拟方法; Boore 等 ［16- 17 ］则针对随机方法中的持续时间 函数， 从地震学方法的角度进行了重新阐释， 或者提出 了新的路径持续时间函数， 或者给出了新的校正因子。 本文亦在克服上述两种方法各自缺陷的基础上， 提出了一种地震动场模型。它以工程随机方法中的相 位差谱体现地震动的非平稳性， 使合成的地震动保留 了已知地震动的强度非平稳性; 同时引入地震学中的 频散曲线， 使合成地震动不仅具有频率非平稳性， 同时 不同场点的空间相干性也比较符合物理实际。这样既 解决了工程方法很难模拟地震动的非平稳性， 又解决 了地震学方法中太多物理假设的问题。该方法具体操 作分两步， 即首先合成与已知场点波形一致的地震动; 再扩展至地震动场， 最终该模型可以合成和已知地震 动相关且功率谱一致的地震动场。 1幅值谱的影响因素确定 假设一组谐波有如下傅里叶谱变换形式［18 ］ F1 ω a1e － i ω － ωn t*1 i1， ω n－ Δω≤ω≤ωn Δω a1e － i ω ωn t*1－ i1， － ω n－ Δω≤ω≤ － ωn Δω 0， { 其他 1 式中 a1为傅里叶谱 F1 ω 的幅值， 为常数; ω 是圆频 率; ωn为波包中心频率; t* 1 为波包到时; 1表示相位。 对式 1 进行逆傅里叶变换， 则可得到这组谐波在 时域的表达式 f1 t 1 2π ∫ ∞ －∞ F1 ω eiωtdω Q1 t cos ωnt 1 2 式 中Q1 t为 强 度 包 络 函 数，Q1 t 2a1 π sinΔω t － t* 1 t － t* 1 。 假设另一组谐波傅里叶变换为 F2 ω a2e － i ω － ωn t*2 i2， ω n－ Δω≤ω≤ωn Δω a2e － i ω ωn t*2－ i2， － ω n－ Δω≤ω≤ － ωn Δω 0， { 其他 3 对式 3 进行逆傅里叶变换， 则第二组谐波的时域 表达式为 f2 t 1 2π ∫ ∞ －∞ F2 ω eiωtdω 2a2 π sinΔω t － t* 2 t － t* 2 cos ωnt 2 4 把上面两组谐波即 f1 t 、f2 t 叠加合成第三组谐 波 f 3 t ， 则合成波 f3 t 的幅值谱为 F3 t F1 t F2 t a1e － i ω － ωn t*1 i1 a2e － i ω － ωn t*2 i2 a2 1a 2 22a1a2cos［ ω －ωn t * 1 －t* 2 2－1 槡 ］ 5 由式 5 可知， 叠加后合成波 f3 t 的傅里叶谱 F3 t不再是一个常数， 存在上下震荡且其震荡特性 与三个因素有关， 分别是子波幅值 a1与 a2的大小、 波 包到时的差值 t* 1 － t* 2 、 相位差值 2－ 1。 通过改变第二组子波 f2 t 的各参数对以上三个 因素进行参数化分析， 如表 1 所示。将表中 f 1 3 t 、 f 2 3 t 、f 3 3 t 的傅里叶幅值谱分别与 f3 t 的傅里叶幅 值谱比较， 则可看出各参数对合成波幅值谱的影响。 图 1 为 f3 t 、f 1 3 t 、f 2 3 t 、f 3 3 t 的傅里叶谱。 342第 3 期叶继红等与已知场点相关的地震动场模拟研究 ChaoXing 表 1合成波幅值谱的影响因素参数化分析 Tab． 1Parametric Analysis of Influencing Factors of Synthetic Wave Amplitude Spectrum 分析因素 子波叠 加后的 合成波 子波幅值 a 波包到 时 t * 相位  参照组 f3 t f1 ta11t* 1 212 rad f2 ta23t* 2 2524 rad 幅值的 影响 f1 3 t f1 ta11t* 1 212 rad f2 ta2 a1t* 2 t* 2  2  2 波包到时 的影响 f2 3 t f1 ta11t* 1 212 rad f″ 2 t a″ 2 a2 t* 2 ″ t* 1 ″ 2  2 相位差值 的影响 f3 3 t f1 ta11t* 1 212 rad f 2 t a 2 a2 t* 2 t * 2  2  1 af3 t bf1 3 t cf2 3 t df3 3 t 图 1f3 t 、f1 3 t 、f 2 3 t 、f 3 3 t 的傅里叶谱 Fig． 1Fourier spectrum of f3 t 、f1 3 t 、f 2 3 t 、f 3 3 t 1幅值 a1、 a2的大小 比较图 1 a 和 b 可以看出， f3 t 和 f 1 3 t 的幅值 谱都存在震荡特性且震荡率一样， 其二者幅值谱的唯 一的区别是图 1 a 幅值谱的绝对值比图 1 b 幅值谱 的绝对值小。这说明幅值 a1、 a2的大小仅影响合成波 的幅值谱的绝对值大小和整体形状， 但不是决定合成 波的幅值谱震荡特性的关键因素。 2波包到时的差值 t* 1 － t* 2 由图 1 c 可以明显看出， 当第二组波的波包到时 t* 2 与第一组子波的波包到时 t* 1 一样时， 合成波 f 2 3 t 的幅值谱 F3 t也是一个常数， 并不发生震荡。这说 明合成波 f3 t 幅值谱的震荡特性是由两组子波的波 包到时不一致决定的， 子波波包到时的差值 t* 1 － t* 2 决 定了合成波幅值谱能否震荡， 也决定合成波幅值谱的 震荡率。 3相位差值 2－ 1 比较图 1 a 和图 1 d 可以看出， 图 1 d 中 f 3 3 t 的幅值谱相当于图 1 a 中 f3 t 的幅值谱向左平移一 定距离， 幅值谱的震荡率和幅值谱大小并未发生变化。 这说明相位差值只改变幅值谱的水平位置并不决定幅 值谱的震荡特性和绝对值大小。 综合以上分析， 若要合成和已知地震动幅值谱一 致的地震波必须要知道以下信息 1不同波包的波包到时 t*; 2不同波包的幅值 a。 2与已知场点相关地震动场模型 2． 1场点面波的模拟 地震面波在层状半无限空间中传播时， 由于存在 界面且在界面处必须满足应力平衡条件和变形连续条 件而存在多阶面波模式。对于给定的面波模式对应不 同的相速度， 从而导致了面波的频散。各阶面波模式 的相速度， 可通过由满足层状介质边界条件的特征方 程的特征值 ［19 ］求得， 如图 2、 图 3 分别为表 2 所示地壳 模式的本文求出的勒夫波和瑞利波前六阶面波模式。 图 2勒夫波频散曲线 Fig． 2Love wave dispersion curve 由图 2、 图 3 可以看出表 2 所示地层的面波频散相 速度有以下特点 1随着频率的增加， 所在频率的面波模式逐渐 增加， 且基阶模式存在所有频率范围内; 442振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 3瑞利波频散曲线 Fig． 3Rayleigh wave dispersion curve 表 2 El- Centro 波所在地层的地壳模型参数［19 ］ Tab． 2The Crust Model Parameters of the El- Centro Wave［19 ］ 层数厚度/km 纵波波速/ kms －1 横波波速/ kms －1 密度/ gcm －3 10． 181． 700． 981． 28 20． 551． 961． 131． 36 30． 982． 711． 571． 59 41． 193． 762． 171． 91 52． 684． 692． 102． 19 6∞6． 403． 702． 71 2面波的相速度 c 和群速度 U 随着频率的增大 而逐渐减小， 直至趋近于最顶层剪切波速; 与各阶面波相速度相对应的面波模式在地震学上 以表征地球介质自由震荡的简正振型表示， 一般包含 球形震荡形式的简正振型 SH 波的简正振型 和环形 震荡形式的简正振型 P- SV 波的简正振型 。Haar 等 ［20 ］指出， 球形和环形简正振型模式包含了完整的描 述地球介质所有运动形式所需要的振型， 也就是说任 何地球介质的扰动都可以用这些振型来合成。 于是， 有不少学者试图利用面波简正振型叠加法 合成地震波 ［21- 23 ］。利用面波简正振型模式叠加法合成 地震动虽然可以模拟出地震动且精确性可观， 但是其 过程涉及到计算简正振型模式， 所费机时长， 对计算机 要求极高， 难以广泛应用。 本文在利用简正振型模式叠加合成地震动的理论 基础上， 先将已知地震动的幅值谱在工程关注的频段 0 ～25 Hz 分成 N 个互不重叠的子段， 在每个子段内 将幅值谱所携带的能量看作成面波和体波［18， 24 ］的叠 加， 并将各频段的面波模式以小波包的形式近似。在 频域内， 窄频段的波以波群的形式传播形成小波包， 相 应时域内的波则以群速度传播。金星等 ［25 ］曾指出地震 波时程的强度包络函数形状完全由 sin x /x 函数所控 制， 窄频带的波包到时就是包络峰值的到时即 t* n R/Un， 其中， R 为场点的震中距。综合以上， 本文假设 各个频段的面波模式以如下小波包近似表示 wnm R， t sin c Δωnt － R U [] nm exp［ i ωnt － knmR ］ 6 式中 wnm为第 n 个子频段中第 m 阶群速度所对应的小 波包; sin c 为 sin c Δωnt sin Δωnt / Δωnt ; Δωn 为第 n 段窄频段的半带宽; t 为时间; R 为场点的震中 距; Unm为第 n 个子频段中第 m 阶群速度; ω n为第 n 个 子频段的中心频率; knm为第 n 个子频段中第 m 阶水平 波数， knm ωn cnm 1 － i 1 2 Q ， 其中， cnm为相速度; Q 为品质 因子， 当不考虑材料衰减时 1/2Q 0。 在式 6 中采用震中距 R 而非震源距， 是由于面波 传播至场点时水平到达且沿着面波的前进方向传播。 由式 6 可以看出， 小波包 wnm的波包到时为 t* nm R/ Unm， 在 t t* nm时达到最大值， 且该小波包以群速度 Unm 传播， 相位以相速度 cnm传播。 将式 6 进行傅里叶变换则得到 wnm R， t 的频域 形式为 wnm R， ω π Δωnexp － i ω － ωn Unm k nm [] R pΔωn ω － ωn 7 式中 pΔωn ω － ωn 1， ω － Δωn≤ω≤ω Δωn 0， { 其它 由式 7 可知， wnm R， ω 实质上是一个中心频率 为 ωn、 带宽为 2Δωn的框函数幅值放大到 π/Δωn， 相位 改变 knmR。 将第 n 个子频段内的各阶小波包加权叠加将得到 该频段内合成面波的傅里叶谱为 h n R， ω∑ Mn m 1 Anmwnm R， ω 8 式中 Mn为存在于第 n 个子频段内面波模式的阶数; Anm为第 n 个子频段内第 m 阶面波模式的模式参与 因子。 在式 8 中当地震波的震源距 R、 频率 ω 和各阶频 散曲线 Unm ω 、 cnm ω 确定时， 小波包 w nm R， ω 将 542第 3 期叶继红等与已知场点相关的地震动场模拟研究 ChaoXing 确定。 为合成第 n 个子频段的傅里叶谱 h n R， ω ， 必须 确定各阶模式的模式参与因子 Anm。由本文第 1 节参 数化分析可知， 决定合成波幅值谱的重要因素包括子 波的幅值。由式 8 可以看出， 模式参与因子 Anm相当 于是子波的幅值， 与合成波的幅值谱密切相关。考虑 到 Ohsaki 等 ［26 ］根据 49 条基岩加速度记录的相位谱分 析， 得出地震动傅里叶相位差谱的概率分布与加速度 包络函数的形状具有相似性的结论， 本文定义模式参 与因子的表达式如下 Anm αnA ω exp inm 9 式中 αn为由目标谱 已知地震面波 决定， 与 ωn、 Δω 有关; A ω 为已知地震面波相位差谱概率密度函数曲 线; nm为由已知地震面波的相位差谱决定的系数。 求得各个子频段的相位差谱 h n ω 之后， 再将各 子频段的合成傅里叶谱 h n ω 相互叠加得到整个频段 0 ～25 Hz 的合成地震动的傅里叶谱 h ω， R ∑ N n 1 h n ω， R 10 2． 2场点体波的模拟 体波在传播过程中不发生频散即 c ωn U ωn ， 且 P 波波速大于 S 波波速。对于体波相速度曲线的确 定方法， 一般取较高阶面波模式的相速度曲线作为体 波相速度曲线。考虑到利用简正振型叠加的方法合成 地震动时一般采用前五阶面波模式即可比较精确地合 成地震动， 所以， 本文采用选择第五、 六阶面波的相速 度曲线分别作为 S 波和 P 波的相速度曲线， 将体波以 相应相速度对应的面波模式近似代替。 2． 3场点合成地震动 地震波由体波和面波组成， 将二者叠加便可合成 地震动。参考 2． 1 节面波的表示过程， 将已知地震动 的傅里叶幅值谱在工程关注的频段 0 ～25 Hz 等分成 N 段互不重叠的子频段。在每个子频段内的地震动可 看作是多阶面波模式表示的面波和体波的叠加， 则合 成地震动傅里叶谱的表示形式为 u R， ω ∑ N n 1 u n R， ω ∑ N n 1 ∑ Mn2 m 1 α*nA* ω w nm R， ω ∑ N n 1 ∑ Mn2 m 1 α*nA* ω exp i*nm w nm R， ω 11 式中 N 为子频段的个数; Mn为存在于第 n 个子频段内 面波模式的阶数; A* nm为第 n 个子频段内第 m 阶面波模 式的模式参与因子; wnm R， ω 为第 n 个子频段中第 m 阶群速度所对应的小波包的傅里叶谱; α*n为与 ωn、 Δω 有关的系数， 即 α*n { 10 1 2Δω n 2ΔωnlgFS * n － ∫ ωnΔωn ωn－Δωn ∑ Mn2 m 1 A* ω exp i* nm w nm R， ω d } ω 12 式中 FS* n 为已知地震波的傅里叶幅值谱; A* ω 为已 知场点地震动概率密度函数曲线， 可通过对已知地震 动的相位差谱的频数分布对频率的非线性拟合求得; *nm为由已知场点地震动相位差谱决定的系数， 即 *nm － Δ ω － ωn Unm Δk nm R Δ*rec 13 式中 Δ*rec为为已知场点地震动的相位差谱。 以上合成地震动过程既保证了合成波所携带的能 量 幅值谱 和目标地震波一致， 又利用相位差谱的频 数分布曲线与地震动包络函数的正变关系保证了合成 波的波形和已知波相似。 2． 4由已知场点扩展到地震动场 考虑到工程场地 本文≤300 m 的震中距 R 一般 数千米以上， 故假设不同场点之间的差别仅仅来自于 确定性因素， 如传播途径、 品质因子 Q 式 6 。本文 在模拟出已知场点地震动的基础上， 将不同场点之间 的差异看作各阶面波频散和传播距离的结果， 对于与 已知场点在波的传播方向上相距为 d 的另一条地震波 表示为 u R d， ω ∑ N n 1 u n R d， ω ∑ N n 1 ∑ Mn2 m 1 α*n R A* R exp i*nm w nm R d， ω 14 式中 d 为与已知场点在波的传播方向上的距离; wnm R d， ω 为与已知场点在波的传播方向上相距为 d 的场点在第 n 个子频段第 m 阶小波包。 由式 14 可以看出， 对于在波的传播方向上相距 为 d 的两个场点， 会因传播距离和面波频散的影响， 存 在相位迟滞 d/cnm和波包到时迟滞 d/Unm， 比较符合物 理传播过程。 这里需要说明一点， 本文模型中的每个窄频段 ［ ω n－ Δωn ， ω n Δωn］ 内将地震动以式 14 近似， 每个 窄频段在时域都有相应的时段［ tn－ Δtn， tn Δtn］ ， 其中 Δt n π/Δωn。对于中心时程 tn 0 的时段［－ Δtn， Δtn］ ， 式 14 实质上包含了负时段［－ Δtn， 0］ 对合成 的贡献。为了避免负时段的贡献， 可以通过时间平移 来调整。本文参考 Todorovska［24 ］的做法， 对 wnm乘以 exp－ iωt0 将时域向左平移 t0， 其中 t0根据合成的已 知场点时程和已知场点地震动记录的差值取值。 3El Centro 波场点地震动场算例验证 本节利用第 2 节所述方法模拟 1940 年05 月19 日 642振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 发生的 El Centro 地震， El Centro 地震的地震波是人类 记录到的第一条完整地震波。该地震的震源深度为 8． 8 km， 震级为 7． 1 级， 位于加州南部埃尔森特罗的强 震仪的震源距为 12． 2 km。埃尔森特罗地区的地质条 件比较简单， 其地壳模式可以近似为 6 层层状半无限 空间， 表 2 为其地壳模式各参数， 图 2、 图 3 为该地区本 文已求出的面波频散曲线。 假设图 4 所示场点。其中， x 轴为波的传播方向， 其方向的地震动分量称为地震动的径向分量; y 为与波 的传播方向垂直的水平方向， 其方向的地震动分量称 为地震动的横向分量; z 轴为竖直方向， 其方向的地震 动分量称为地震动的垂直分量; 1 点为已知场点即 El Centro 地震波所在的场点位置; 2、 3、 4 点分别为与已知 场点即 1 点在波的传播方向上相距 50 m、 150 m、 300 m 场点位置。 图 4El Centro 地震动场场点示意 m Fig． 4El Centro Ground motion field points Schematic m 通过作者编程实现本文模型在 El Centro 场点地震 动场的模拟， 模拟结果 以 El Centro 场点地震动横向分 量为例 如图 5 所示。 比较图 5 中的 El Centro 地震动横向分量和合成的 El Centro 地震动横向分量可以看出， 二者波形基本一 致， 峰值及峰值时间也相近， 这说明本文合成地震动模 型中对面波模式的模式参与因子中调节波形的因子 A* ω 、 * nm的处理的正确性。比较图 5 中的合成地震 动场， 即 1、 2、 3、 4 点的合成地震动可以看出， 合成的扩 展地震动 2、 3、 4 点 和合成的已知场点的地震动 1 点 波形相似， 最大峰值也相近， 但峰值时间随着扩展 地震动与已知场点地震动距离的增大而逐渐推后， 扩 展地震动与已知场点地震动的相似程度也随着距离的 增大而降低， 这体现出本文合成地震动场模型即式 14 中的距离参数 d 和频散曲线 U、 c 所产生的波包到 时迟滞 d/Unm和相位迟滞 d/cnm对合成的扩展地震动的 影响。 为了分析本文合成地震动场的合理性， 下面从两 个方面分析本文合成的地震动场 1自功率谱比较 由图 6 可以发现合成的已知场点 1 点 横向分量 地震动的自功率谱密度函数和已知地震记录 已知波 Elcentro- 横向分量- 已知波 合成的 Elcentro 地震动- 横向分量地震动 2 点的扩展地震动- 横向分量 3 点的扩展地震动- 横向分量 4 点的扩展地震动- 横向分量 图 5El Centro 波场点地震动及合成的 El Centro 波场点地震动场- 横向分量 Fig． 5El Centro wave and its synthetic wave field point ground motion- transverse component 横向分量的自功率谱密度函数形状一致， 功率谱峰值 和卓越周期也一致; 对于合成的整个地震动场 1 点、 2 点、 3 点、 4 点 各场点横向分量的自功率谱密度函数的 形状和功率谱峰值和卓越周期也一致， 说明用本文方 法合成的工程场地范围内 ≤300 m 的地震动场各场 点在频域的能量分布完全吻合， 符合工程场地各场点 能量谱一致的假设。 本文提出的合成地震动场的模型， 首先， 根据理论 求出的频散曲线确定面波模式的波包到时 t* nm R/ Unm， 当各个面波模式的波包到时 t* nm R/Unm确定时， 影响合成波幅值谱震荡率的关键因素随即确定; 对于 每个合成地震动的子波包 也就是面波模式 的幅值实 质上就是式 8 中的模式参与因子的幅值， 将其取为与 已知地震动强度包络函数相似的相位差谱的概率密度 742第 3 期叶继红等与已知场点相关的地震动场模拟研究 ChaoXing 已知波横向分量 PSD 合成的 1 点地震动横向分量 PSD合成的 2 点地震动横向分量 PSD 合成的 3 点地震动横向分量 PSD合成的 4 点地震动横向分量 PSD 图 6已知场点地震动和合成地震动场横向分量的 PSD Fig． 6Transverse component PSD of known field point ground motion and synthetic ground motion field 函数， 相当于每个子波的幅值谱都包含了决定已知地 震动强度非平稳的重要信息， 这样， 在每个子频段内合 成地震动的整体形状和已知地震动就会基本一致。如 果将整个地震动幅值谱在工程频段内 0 ～25 Hz 分得 足够小 如本文 1 024 段 ， 就可以实现合成地震动的 幅值谱和目标幅值谱 已知地震动的幅值谱 完全一 致， 其自功率谱密度函数和已知地震动的自功率谱密 度函数自然也就 “一模一样” 。 2合成地震动场的相干性分析 空间中任意两点 i， j 地震动的相干函数 γij表为 γij ω Sij ω， ξ Sii ω Sjj ω 槡 15 式中 Sij为为 i 点和 j 点的互功率谱密度函数; Si、 S j分 别为 i 点、 j 点的自功率谱密度函数; ξ 为 i、 j 两点间的 距离。 相干函数的模 γij ω， ξ被称为迟滞相干函数， 一 般用来衡量两点地震动的相关程度， 其取值范围为 0 ～ 1， 0 表示完全不相关， 1 表示线性相关。 图 7 为本文合成的地震动场相干函数和常用经验 相干函数的比较， 可以看出， 本文合成地震动场的相干 函 数 和 经 验 相 干 函 数 总 体 趋 势 一 致，尤 其 Harichandran- Vanmarck 相干函数模型。本文将合成地 震动的相干函数与多个经验相干函数进行对比， 是因 为目前采用的相干函数模型大都是经验相干函数模 型， 并不是准确理论得出的; 其次经验相干函数各模型 的参数取值大都是通过 SMART- 1 台阵的数据非线性 拟合得来的。本文合成的地震动场位于埃尔森特罗， 其地质条件和 SMART- 1 台阵地区的地质条件有所差 别， 各模型参数取值可能与之不同。所以， 本文通过比 较只能说明合成地震动场相干性的合理性， 并不能用 某个相干函数模型验证合成地震动相干性正确与否。 a相距 150 m 1 点和 3 点 的地震动相干函数 b相距 300 m 1 点和 4 点 的地震动相干函数 图 7合成的 El Centro 场点地震动场相干函数 Fig． 7Coherence function of synthetic El Centro field point ground motion field 另一方面， 从物理传播的角度， 本文所建立的地震 动场模型即式 14 将不同场点之间的差异看作是波在 传播过程中面波的频散和传播距离的结果， 各阶面波 模式的相速度、 群速度曲线实质上就是地球不同介质 对地震波传播的影响， 故应用本文建立的地震动模型 合成的地震动场相干性比较符合物理实际。 842振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 4结论 本文在将已知地震动转换到频域后， 通过对已知 地震场点的幅值谱和相位差谱的研究， 提出一种合成 与已知场点相关地震动场的方法， 并自行编程实现 El Centro 地震动场的合成。 1本文提出的地震动场模型， 首先在频域分析， 将工程频段 0 ～ 25 Hz 分成若干个互不重叠的子段， 在每个子频段内将地震动看作面波和体波的叠加; 其 次， 在每个子频段内确定影响合成地震动幅值谱的关 键因素， 即子波的波包到时和子波幅值分别以波包到 时 t * nm R/Unm、 模型中模式参与因子 A * nm ω 的幅值引 入到合成地震动模型中， 使合成地震动的幅值谱和已 知地震动相同， 功率谱一致; 再次， 由相位差谱概率密 度函数与地震动