工程力学基础第十二讲.doc

授 课 教 案 课程名称工程力学基础编制日期2020/7/6 授课日期 第周星期 第 周 星期 第 周 星期 第 周 星期 章节及课题 4.4 虚位移与虚功 4.5 理想约束 4.6 虚位移原理 教学目的 掌握虚位移原理 重点与难点 虚位移原理 教具准备 教学内容及教学过程 一、 虚位移 菲自由质点或质点系的约束将限制质点或质点系沿某些方向的位移，但同时也允许沿另外一些方向的位移。例如 虚位移在给定瞬时（时间凝固），质点或质点系为约束允许的任何无限小位移。如果为质点系，则其虚位移是指在不破坏约束的前提条件下，质点系一组几何相容的虚位移。 虚位移的特点 1、虚位移必须指明给定的瞬时或位置； 班 级 装 订 线 教师 专业主任 2、 位移必须为约束所允许，即满足约束方程； 3、 位移是无限小的位移； 4、 虚位移可以不止一个或一组。 虚位移和无限小的实位移的区别 二、虚功 虚功作用于质点或质点系上的力在其虚位移上所作的功。 由于虚功不能积分，故虚功只有元功的形式。 4.5 理想约束 理想约束约束力的虚功之和等于零，即，则称之为理想约束。 1、 光滑固定支承面和滚动铰链支座 2、 光滑固定铰链支座和轴承 构件和轴出现微小转动时作用点保持不变。 3、 接物体的光滑铰链 由于存在作用力与反作用力，即使出现虚位移，由于作用力与反作用力的共同作用，其虚功之和等于零。 4、 重刚杆 无重刚杆连接两个物体，由于杠杆的重量不计，故其两端的约束力构成二力共线。 由于杆件为刚杆，A、B两点之间的距离不变，因此这两点的微小位移在连线上的投影应该相等，即 所以， 5、 连接两个物体的不可伸长的柔索 推导方式与4无重刚杆的过程基本相同，此处略。 6、 刚体在固定面上无滑动的滚动 由于所研究的约束为定常约束，在此条件下可将实位移转化为虚位移，故有 4.6 虚位移原理 一、 虚位移原理 具有双侧、定常、完整、理想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的必要条件是该质点系所有主动力在系的任何虚位移上的虚功之和等于零。 必要性证明 如图所示，设质点系中任一质点作用有主动力合力和约束力合力，有 由于所有约束为理想约束，故有 可得 即主动力虚功之和等于零。 充分性证明 设质点系不平衡，则至少有一个质点不平衡，设此质点为，有 质点将由静止沿方向进入运动（如上图b所示），获得实位移，将作出正功。 如果质点系还有其他不平衡质点，则有 其中，，，，为一组同时产生的微小实位移。由于系统具有定常约束，因此必有一组大小方向相同的虚位移，，，。于是有 考虑到理想约束，，由此得 二、 虚位移原理的广义坐标形式 由于涉及多元微积分，虚位移原理的广义坐标形式不作介绍。 三、 变形体的虚位移原理 一个处于平衡的构件，其外力和内力在该任意给定的虚位移上所作的功之和等于零，即 注意我们在推导时要求质点系具有双侧、定常、完整、理想约束，实际上该定理使用与所有具有双侧、理想约束的质点系，而不管是否完整、或定常。 第 5 页 共 5 页