响应面优化算法在建筑结构设计中的应用.pdf

第 7卷第 1 期 2 0 1 5年 2月 Vo 1 ． 7 No ．1 Fe b ． 2 01 5 响应面优化算法在建筑结构设计中的应用 焦 柯 梁 施 铭 贾 苏 广 东省 建筑 设计 研 究院 ，广 州 5 1 0 0 1 0 【 摘要 】本文介绍 了响应 面算法在 建筑 结构优化 设计 中的程序 实现 ， 包括 响应 面数据 获取 、 数 据拟合 和数 学规 划。针对在 实际工程应 用 中遇到的壁垒厚度 、 多峰 值 、 初始 点不在 可行域 等技术 问题提 出了解 决办法 。结 合计 算 机技 术 ， 详 细讨论 了响应面算法的 实现过程 ， 并对程序进行验证 ， 说 明响应面算法适用 于建筑结构优化设计 。 【 关键词 】响应面 ； 建筑结构设计 ； 编程技 术 ； 数 学规划 【 中图分类号】 T U 3 1 1 4 ； 0 2 2 1 【 文献标识码】 A 【 文章编号】1 6 7 4 7 4 6 1 2 0 1 5 O 1 0 0 6 5 0 4 1 前言 高层结构设计和优化 的难点在于计算规模大 ， 结构体 系多样 ， 需 要满 足 的规 范控 制 约束条 件较 多， 不 同物理量 之间关系错综 复杂 ， 同时需要考 虑 抗震构造要求 。响应 面算 法作为数 学分析与统计 方 法 的结合 物 ， 能对 多变 量 多 约 束 的大 型 工 程 问题 进行拟合和分析 ， 非常适用 于计算量大并且变量关 系 复杂 的工 程 优 化 问 题 。工 程 师 不 仅 能 透 过 这 种 智能的分析方法看到各变量的相互作 用关 系， 也能 得到各类设计指标对于变量的敏感度 ， 并基 于结构 设 计概 念 ， 通过 优 化 程 序 自动 实现 结 构 调 整 。在 此 过 程 中工 程 师 也 能对 结 构 有 更 深 入 的认 识 。响 应 面 算法 在 工 程 优 化 的 应 用 范 围 和 作 用 越 来 越 大 。 1 9 6 0年 ， S c h mi t 将 数学 规划 引人 到结构 优化领 域 中。1 9 9 8年 R o u x等 对两杆 、 三杆和十杆 的桁架结 构进行优化 ， 发现试验点的数量和位 置对 响应面精 度有较 大 影 响 ， 而 且 对设 计 区域 大小 比较 敏 感。 2 0 0 6年隋允康等将 中心复合和单纯形法 引入到桁 架 截面 优化 中 ⋯ 。 目前 响 应 面算 法 在 结 构 分 析 中 的应 用 研 究 多 数着 重 于钢 结构 的分 析 上 ， 对 于混 凝 土结 构 的应 用 还不多。随着现代计算 机技术 的发展 ， 通过响应面 分析法与计算机技术 的结合 ， 实现对复杂 的混凝土 结 构 进行 优 化 分 析 具 有 十 分 重 要 的 意 义 。 国外 某 些 通 用软 件 如 H y p e r S t u d y 能对 各种 结 构工 程 问题 进行 响应面分析 ， 但 国内还未见类似软件 。本文通 过 编程将 响应 面 算 法 应 用 到 混 凝 土结 构 设 计 优 化 中， 能快速得 到混凝土结构优化 方 向， 提高设计优 化效率 ， 及节省建材 ， 相 比通用软件 H y p e r S t u d y具 有针对性强 、 效率高 ， 并 且更加适用 于结构设计专 业 等优 势 。 2 响应面算 法的编程实现 一 个 结构 设计 优 化 问 题 由设 计 变 量 、 优 化 目标 和约束条件组成。因为响应面算法是 一种统计学 与数值方法结合的算法 ， 所 以对于实验数据 的数量 和质量会显 得 比较 敏感 ， 通过 尽可 能少 的实验 次 数， 获得尽可能 高质 量的实验数 据， 能提 高一个 算 法流程的效率 。本文结合结构设计专业 ， 设计数据 实验方法。获得实验数据以后 ， 便 可以对 目标和约 束 进 行显 式 近 似 拟 合 ， 建 立 优 化 模 型 ， 从 而 为 下 一 步 的数 学规 划 提供条 件 。 2 ． 1数据拟合方法 在 计算 机 编程 中 ， 要 对 响应 面有 一 个 统 一 的 输 出和表达格式 ， 这样有利于数据处理和分析。假设 采 用 了二次 响应 面 ， 并 通 过 用 向 量来 表 达 响 应 面 的 方式 ， 对数据进行处理和运算 。首先规定二次响应 面的统 一表 达方 式 ， 如 式 1 所示 n n一1 n Y c ∑a i ∑ ∑C tjk X j X ∑o 1 ， l ≠ J 式 1 中对应各变量 包括线性项 ， 交互项以及 【 作者简介 】 焦柯 1 9 6 8一 ， 男 ， 教授级高工 。主要从事结构 分析软件研发和复杂结构计算分析工作 。 二 次项 的 系数用 向量 A来储 存 ， 代 表 一个 响应 面 。 规定了系数顺序之后 ， 把所得 n次实验数据 ， 代入式 1 当中， 将变量值统一放在矩阵 x中， 并改用矩阵 表达 ， 式 I 可改写为式 2 。 Y XA 2 为求得向量 A， 通过最小二乘法求误差最小值 ， 式 3 中 。为 响应面 数值 与实 验值 l ， 之间误 差 。 l ， 3 以系数 向量 A为 变量 ， 式 4 对 误 差平 方 求导 ， 可求 误 差 的平 方 最 小 值 ， 从 而 推 出式 5 系数 向量 s A V 1 l V Y X A y 2 X A Y X 0 4 A Y 5 为了验证拟合程序的准确性 ， 通过表 1对 自定 义方程与拟合方程进行对 比， 拟合方程采 用全 因子 试验 ， 生 成试 验数 据 。从 表 1中 3个 例 子里 可 以看 出对 于 3次方 程 ， 用 2次 曲面模拟 的效 果不 太好 ， 拟 合结果是线性方程， 而对于 2次多项式方程 ， 拟合出 来 的方 程是 与原 方 程 一 模 一样 的 。对 于 4次 方 程 ， 图 1是 自定义方程曲面， 图 2是拟合方程曲面 ， 两者 特 征基 本一 致 。 表 1 自定义方程与拟合方程对 比 自定义方程 拟合 方程 3 x i 2 x 1 3 x 2 x 1 3 x 4 2 x 3 x 2 x 2 2． 5 5 x l2 x l 0 ． 6 5 o ． 0 2 x l 0 ． 1 x l x 2 3 ． 3 6 x 2 ． 1 8 x 图 1 自定义方程 曲面 图 2拟合方程曲面 2 ． 2 二次规划 本 文 中二次 规划 主要 采 用 内点 法 ， 即 在 可行 域 内选取 一个 初始 点 ， 并 在 可行 域 边 界 上 设 置 一道 屏 障， 当迭代过程靠近可行域 的边界时 ， 新 的 目标 函 数数值迅速增 大， 从而在边 界处斜率 陡然变大 ， 程 序就停止往边界搜寻 ， 而转往其他下 降方 向搜 寻。 假设有 目标 函数 ， ， 同时有不等式约束集 g ≥0 ， 搜寻 目标函数的最小或最大值 ， 构造新的函数 形式 ， 如式 6 所 示 ， r k ∑ 6 当变量远离边界时， 惩罚项 ∑ 的值很 一 g ， 小 ， 使 F 基本接近于 -厂 x 。一旦变量靠 近约束 边界时 ， 惩罚项会迅 速增大。譬 如， 梁 宽约束条件 为 B 2 0 0 m m，那 么惩 罚 项 会 在 B接 近 2 0 0的时候变得很大 ， 从而使斜率变得很陡 ， 程序不 会触及边界 。惩罚系数 r 的意义是当极小点落在边 界时 ， 惩罚函数的存在可能会 使搜索点无法到达边 界 ， 那么 r 会在每一次迭代后乘以一个衰减系数 c ， 即 ‘ c y ， 使惩罚项每次迭代后作用减弱 ， 直 到函数最 后能收敛在边界。二次规划 的具 体迭代 步骤可参见文献[ 2 ] 。 3二次规划中难点分 析 3 ． 1壁 垒厚 度 问题 内点法通过构造 罚函数来控制 每个迭代点 都 落在可行域 中， 然而在 编程操作上 ， 由于涉及 到迭 响 应面优化算 法在建 筑结构设计 中的应用 6 7 代步长的问题 ， 程序可能会 因为步长 过大 ， 跨 过约 束 ， 从而造成无法收敛或在不可行域内迭代等问题。 假设梁宽约束 B12 0 0 mm， 根据内点法原理构 1 造罚 函数 y 。 为了使迭代点靠近这一约束时 罚 函数 迅 速 增 大 如 1 0 0 0 0 从 而 形 成 壁 垒 ， 那 么 B 必须非常接近边界值 如 2 0 0 ． 0 0 0 1 。然而 ， 迭代点 很可能不会刚好落在离边界非常近的点上 ， 例如当 B 2 0 0 ． 5时 ， 步 长 d1 ， 那 么 一 0 ． 3 8 2 d和 一 0 ． 6 1 8 d 便 刚 好 跨 在 B 2 0 0上 ， 并 且 F 2 0 0 ． 1 1 8 F 1 9 9 ． 8 8 2 。 那 么程序 便会 误 以为 函数 还是 处 于下 降区 ， 跨过此约束 ， 从而进入不可行域 ， 造成无法收 敛 等 结果 。 针对此问题 ， 本 文使用 了阶级 函数 的方法 ， 也 就 是 一旦 变 量 越 过 边 界 ， 函 数 会 自动 取 一 大 值 如 9 9 9 9 形成壁垒。同时 ， 当迭代点仍在可行域 内时 ， 保 留罚 函数 形 式 ， 而 只 当变 量 刚 好 等 于 或 已越 过 边 界时 ， 才会 自动取 大值 ， 这 是为 了使 函数靠近约束 时 ， 需 要有 一个 平滑 过渡 ， 而 不会 有 函数值 突 变 。 3 ． 2数 值求导问题 函数导数 为 0是程序迭代终止其 中一个条件 ， 说明函数已经处于局部 极值 ， 算 法便会停 止迭代。 然 而 ， 如 果 变 量 已经 非 常 接 近 边 界 ， 虽 然 边 界 处 存 在平滑山谷 ， 但 由于步 长问题 ， 数 值求导 的其 中一 点可能 落 在壁 垒 上 ， 使 得 导 数 非 常大 ， 故 而无 法 收敛 。 对此 ， 程序采用 了邻域法来判断一个点是否局 部最 大 或最小 ， 也 就是 在 x 1 ， x 2 ⋯ ．x n的前 后方 向 ， 求函数值 ， 若均 比此点 的值大或均 比此点 的值 小 ， 说明达到了极值点 ， 停止迭代。 3 ． 3多峰 值 问题 对于多峰值曲面， 由于局部极值点不一定等于 全局最优点 ， 存在 不 同起始 点 收敛 到不 同点 的问 题 。一种 比较有 效 的方 法 是采 用截 平 面 的方法 。 就是在每次求得局部最优点 的时候 ， 以该值为一个 阀值 ， 对 响应 面进 行 修 剪 ， 建 立 新 的 约 束 条 件 ， 然 后 再 重新 找起 始 点 进行 运 算 。本 文 采 用 二 次 响应 面 ， 故 以二 次 曲 面为 例 。具 体 方 法 是 对 每 个 变 量 进 行 二次修剪， 以 为变量 ， 其他变量保持不变 ， 然后在 该维度上求出与此值相等的对应点 ， 式 7 、 式 8 、 式 9 分别是单维度 的常数项 、 线 性项及二次项系 数 ， 解二次方程后看对应点 是否 落在 可行域上 ， 如 果 是 ， 判断 是 否 可 以继 续 搜 索 寻 找 最 优 点 ； 如 果 不 是 ， 说明此 点是全局最优 点， 停止迭代 。这样通过 解二次方程 ， 每次可 以在单 变量的一维空间里进行 修剪。 7 b a ∑ a ik ∑a ki 8 ⋯1 c ∑ ％ a i ∑∑ a q ， 1 ， ‘ ≠ ‘ J ， ‘ ≠ 灯 1 ， J a 0一Y o 9 3 ． 4起始点不在可行域 问题 变量的初始值可能落在可行域外 ， 一旦初始点 落在不可 行域 中， 如果 罚 函数 的值 均 只是一 大值 如上文 的 9 9 9 9 ， 导数却 是 0 ， 不会诱使搜索往可 行域走 ， 程序便会停止迭代。 传统 内点法规定每一个 迭代点均落在 可行域 中， 本文对罚 函数 进行适 当修改 ， 使得 阶级 函数在 大值基础上再递增， 离边界越远 ， 罚 函数越大 ， 这样 既保 留了起始 点在 可 行 域 内的运 动 特 征 ， 也 能 让 起 始点落在不 可行域 时让其 滑回到可行域 内。本文 采取的策略就是以离约束 函数 的距离 当约束 函数 值小于 0时 ， 求约束 函数的绝对值 为标准 ， 绝对值 越大 ， 说 明偏离 越 大 ， 罚 函 数 的值 就 越 大 ， 从 而 人 工 制造一个负梯度， 让点滑 回到可行域。 3 ． 5整体效应 问题 式 5 表达式是 通式 ， 也就是不但适用 于二 次 响应面， 同时也适用 于线性或高次 响应 面， 结构设 计 中的变量众多 ， 考 虑到计算效率 问题 ， 一般采用 线性 响应 面 。假设 采 用线 性 响应 面 ， 如 果 问题 含有 1 2 个变量， 则需要做 n1次实验， 但从结构设计 专 业来看 ， 结构主要 问题通 常 由三个方 面引起 ， 第一 是整体刚度不 足或过大 ， 结 构过柔或过 刚， 其次是 平面内结构刚度或质量分 布不均匀 ， 造成结构扭转 或其他问题 ， 第三则是不同层之间刚度突变或不均 匀 ， 使得水平力无法传导 。针对这三方面问题的优 化 ， 简单 的线性 响应 面无法 考虑 多变 量 的交 互作 用 ， 也就是说当结构整体 刚度 不足 ， 需要多个变量 同时增大或减小时， 一般 线性 响应面无法得 出优化 方向。针对此 问题 ， 本文在 常规线性实验完 成后 ， 增加一次整体效应实验。通过多个实 际算 例 的验 证 ， 此方法能有效解决一般线性甚至高次响应面无 法 得 到 的整体 优化效 果 。 8 4 Ex p l o r a t i o n o f Pe r i o d Ra t i o a nd Di s p l a c e m e n t Ra t i o i n S t r uc t u r a l De s i g n o f Ta l l Bu i l di ng Xi a n g Ba i ， Zh u a n g W e i H u n a n B A O X I N A r c h i t e c t u r a l D e s i g n P l a tf o r m， L t d ． ，C h a n g s h a 4 1 0 0 0 0 ，C h i n a Abs t r a c t Ba s e d o n i t s wr i t e r s d e s i g n a nd e ng i n e e r i n g e x p e r i e n c e s，t h i s a r t i c l e e x pl o r e s t h e n a t u r e s o f d i s p l a c e me n t r a t i o a n d pe r i o d r a t i o a n d i n t r o d uc e s r e l e v a n t c o d e s a n d r e g u l a t i o n s ．I t e mp h a s i z e s t h e i mp o r t a n c e o f t o r s i o n a l d e f o r ma t i o n c o n t r o l a n d i n t r o d u c e s s o me b a s i c c o n c e p t s ，t he o r i e s ，o p e r a t i o n p r o c e d u r e s o f d i s p l a c e me n t r a t i o a n d p e r i o d r a t i o a s we l l a s s o me c o mmo n me t h o ds f o r c o n t r o l l i n g d i s p l a c e me n t r a t i o a n d p e r i o d r a t i o i n d e s i g n ．I n t h e e n d， t h e a rti c l e p u t s f o r wa r d s o me i s s u e s t h a t s h o u l d b e p a i d a t t e n t i o n t o c o nc e r n i n g d i s p l a c e me n t r a t i o a n d p e r i o d r a t i o ． Ke y W or ds Di s p l a c e me n t Ra t i o；P e r i o d Ra t i o；Or s i o n a l De f o r ma t i o n 上接 第 6 8页 5 小 结 1 本文采用的响应面算法可用于建筑结构 的 设计优化计算 ， 能直观地揭示多变量与 目标之间的 关 系 ， 同时 收敛性 好 。 2 传统内点惩罚法规定每个迭代点都需要在 可行域内， 本文对其进行 了适 当修改以适应建筑结 构特点 ， 无论初 始值在可行域 上或者不可行 域上 ， 都能搜寻到最优点 。 3 内点 法 中镶 嵌 的 梯 度 法 ， 能够 用 其 他 无 约 束的优化方法替代 ， 例如共 轭梯度法或 者牛顿法 ， 针对不同情况程序能够 自动选择合适 的算法 ， 从而 提高算法效率。 4 修剪平面 的方法效率 高， 因为这种方法不 用考虑变量之间的交互作用 ， 而是对各变量分开修 剪 。即使优 化 问题 中有 1 0 0个 变 量 ， 也 只 是 进行 一 百次修剪运算 ， 效率较高 。 5 通过对某框 架结构进行优化 ， 达到了节省 材料 ， 提高抗震性 能的 目的， 验证 了 响应 面算 法能 应 用于 实 际建筑 结构优 化设 计 。 参考 文献 [1]隋允康 ，宇慧平．响应面方法 的改进及 其对工程 优化 的应用 [ M] ．北京 科学出版社 ， 2 0 1 1 ． [ 2]马 昌风．最 优化 方法及其 Ma t l a b程序设 计 [ M] ．第一 版．科学出版社 ， 2 0 1 0 ． Ap pl i c a t i o n o f Re s p o n d Su r f a c e M e t ho d i n S t r u c t u r a l De s i g n J i a o Ke， L i a n g S h i mi n g ，J i a S u T h e I n s t i t u t e o f A r c h i t e c t u r e D e s i g nR e s e a r c h o f G u a n g d o n g P r o v i n c e ，G u a n g z h o u 5 1 0 0 1 0 ，C h i n a Abs t r a c t I mp l e me n t a t i o n o f r e s p o n d s u rfa c e me t h o d i n s t r u c t u r a l d e s i g n i s d e pi c t e d i n t h i s a rti c l e，i n c l u di n g d a t a e x p e r i me n t ，d a t a f i t t i ng a n d ma t he ma t i c a l p r o g r a mmi n g ． Di ffi c u l t i e s e nc o un t e r e d a r e d i s c u s s e d a s we l l ，a n d s o l u t i o n s f o r p r o b l e ms c a u s e d b y t h i n r e s t r i c t e d b a r r i e r ，mu l t i p e a k v a l u e s a n d i t e r a t i o n i n i n f e a s i b l e s p a c e a r e i n t r o d uc e d ． De t a i l s o f t h e i mpl e me n t a t i o n a r e d e s c r i b e d wi t h pr o g r a mmi ng t e c h ni qu e s ． F e a s i b i l i t y i s t e s t e d b y a fla me s t r u c t u r e t o v e r i f y t ha t r e s p o n d s ur f a c e me t h o d i s a d a pt e d t o s t r u c t u r a l o p t i mi z a t i o n d e s i g n ． Ke y W o r ds Re s p o nd S urfa c e；Bu i l d i n g S t r u c t u r a l ；Pr o g r a mmi n g Te c h n i q u e s ；Ma t h e ma t i c a l Pr o g r a mmi n g