基于频率_NMD和模态柔度的钢结构人行天桥模型分组修正方法研究.pdf

第 43 卷 第 10 期 2013 年 5 月下 建筑结构 Building Structure Vol． 43 No． 10 May 2013 基于频率、 NMD 和模态柔度的钢结构 人行天桥模型分组修正方法研究 * 张毅刚 1， 2， 赵 锐 1， 3 1 北京工业大学空间结构研究中心，北京 100124; 2 北京工业大学城市与工程安全减灾省部 共建教育部重点实验室，北京 100124; 3 新疆大学建筑工程学院，乌鲁木齐 830046 ［摘要］修正后的结构有限元模型是进行结构分析的基础。对于钢结构人行天桥， 由于钢材加工批次的不同， 选 取待修正参数时先将人行天桥各部分分组进行灵敏度分析， 然后以频率、 NMD 和模态柔度同数量级的和最小作为 目标函数， 利用 ANSYS 的优化模块对结构进行模型修正。仿真结果表明， 修正后的有限元模型计算结果与模拟结 果非常接近， 可以用此方法建立基准有限元模型。 ［关键词］钢结构人行天桥; 修正参数分组; 动力模型修正; 优化设计 中图分类号TU391文献标识码A 文章编号1002- 848X201310- 0031- 05 Research of model group updating based on frequency，NMD and modal flexibility for steel footbridge structures Zhang Yigang1， 2，Zhao Rui1，3 1 Space Structures Research Center，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China; 2 Key Lab of Urban Security and Disaster Engineering，MOE，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China; 3 School of Architecture Engineering，Xinjiang University，Urumqi 830046，China AbstractFinite element model after updating is the basis for the structural analysis． For the steel footbridge structure，due to the different batches of the steel processing，the sensitivity analysis in group for each part of the footbridge was done to select the updating parameters． Then regarding the sum minimum of frequency，NMD and modal flexibility with the same order of magnitude as objective function，structure model was updated by using ANSYS optimization module．The simulation results show that the updated finite element model calculation results and simulation results are close and the can be used to establish the benchmark finite element model． Keywordssteel footbridge structure; group updating parameter; dynamic model updating; optimization design * 北京工业大学城市与工程安全减灾省部共建教育部重点实验室资 助。 作者简介张毅刚， 教授， 博士生导师， Email zyg mail． bjut． edu． cn。 0引言 大多数有限元模型是根据设计图纸建立的， 其 中隐含了较多的理想化假定和简化， 如材料的性能、 尺寸的偏差、 支座约束条件等， 不能准确反映实际结 构的动力特性。在这种情况下， 就需要对有限元模 型进行修正。在模型修正过程中， 选取修正参数、 确 定目标函数和优化方法是三个关键的步骤。也就是 说， 有限元模型修正对象、 优化目标以及约束条件的 不同， 决定了特定的有限元模型修正方法只适用于 特定的问题 ［1］。 对于环境激励下的结构， 构造动力目标函数时， 首选的动力响应就是结构的自振频率， 因为它较容 易获得， 但它对局部识别不敏感， 通常与振型或模态 置信准则MAC 联合使用。振型可以得到结构的 空间信息和局部信息， 但需要很多的测点才能准确 地得出结构的振型， 而且当环境有较大的噪声时， 将 导致振型 的 测 量 值 精 度 不 足。常 用 的 是 频 率 和 MAC 的组合 ［2］， 保证理论模态值和试验模态值为同 一阶。冯新等 ［3］通过研究认为， 对于模态稀疏的结 构， 模态柔度在低阶条件下表现出较好的损伤敏感 性。宗周红等 ［4］将模态柔度加到钢筋混凝土刚架 拱桥结构的目标函数中， 认为联合频率、 MAC 和模 态柔度作为目标函数修正效果较好。而 MLLER P W 等 ［5］将频率和另一个检验结构振型是否一致的 准则 正则模态差NMD联合作为目标函数， 得 到了较好的结构修正。 本文利用数值模拟方法， 以乌鲁木齐市幸福路 口人行天桥为例， 将待修正参数分组， 联合频率、 NMD 和模态柔度作为目标函数， 考虑各项权重系数 的影响， 借助于 ANSYS 软件的优化设计模块进行模 型修正， 通过比较修正结果与模拟结果， 来验证该方 法的可行性。 建筑结构2013 年 1幸福路口人行天桥概况 幸福路口人行天桥位于新疆乌鲁木齐市幸福路 与外环路地面道路交叉口处， 2002 年建成， 实景图 如图 1 所示。主桥净高 5m， 全桥采用等截面钢箱 梁， 主梁分两跨， 跨径为 23. 763m 25. 762m， 高 1m， 宽 4m， 顶板厚 10mm， 腹板厚 12mm， 底板厚 16mm， 短加劲肋厚 10mm;扶梯有四部， 梯道宽 2. 5m， 梯道 踏步高宽比为 1∶ 3， 扶梯钢箱梁高 280mm， 板厚均为 10mm;墩 柱 采 用 热 轧 无 缝 钢 管， 共 13 根， 壁 厚 16mm， 外径 426mm。梯道端部与主梁焊接， 下部平 置于基础落地平台， 基础采用混凝土扩大基础， 栏杆 采用碳素不锈钢复合钢管， 桥面铺装采用 15mm 厚 橡胶板。钢梁在工厂全焊接加工， 构件在现场采用 全焊接连接， 墩柱、 主梁钢板均采用 Q235B 镇静钢， 扶梯钢板均采用 Q235C 镇静钢。 图 1幸福路口人行天桥实景图 2初始有限元模型的建立 基于设计图纸， 用 ANSYS 参数化建模方法建立 幸福路口人行天桥的初始有限元模型。钢箱梁采用 Shell63 壳单元， 墩柱和护栏采用 Beam188 空间梁单 元， 边界条件取为墩柱底端固接， 梁柱间为圆形橡胶 支座的半刚性节点。有限元模型如图 2 所示。 图 2幸福路口人行天桥有限元模型 有护栏模型共有节点 14 130 个， 单元 22 712 个;不加护栏的有限元模型共有节点 8 593 个， 单元 14 171 个;模型的规模明显减小。基于子空间迭代 方法对两种模型进行了模态分析， 分别获得了前 5 阶模态的频率， 见表 1， 两种模型的频率误差不足 0. 6 ， 相对较小， 但无护栏模型的运算机时与有护 栏的相比可节省近 5 倍， 因此可采用不加护栏的模 型进行近似分析， 对结果影响不大。由文献［ 6］可 知， 人行走的频率在 2 ～ 4Hz 之间， 客车的振动频率 在 2 ～ 8Hz 之间， 表 1 中第 5 阶自振频率在 10Hz 左 右， 因此自振频率可只取前 5 阶。 有、 无护栏有限元模型自振频率比较表 1 阶数第 1 阶第 2 阶第 3 阶第 4 阶第 5 阶 自振频 率 /Hz 无护栏 有护栏 4. 421 7 4. 417 8 5. 223 1 5. 249 8 5. 581 4 5. 581 2 7. 805 4 7. 821 2 10. 391 10. 390 误差 /0. 088 0. 5090. 0040. 2020. 010 3动力模型修正方法 3. 1 修正参数的选取及范围 对于钢结构人行天桥， 目前大多数都是以弹性 模量为修正参数， 通过无限制地改变弹性模量值来 得到修正后的有限元模型 ［7］， 但这种方法没有考虑 材料的实际特性。为了使修正的变量有意义， 对设 计参数的容许变化范围应进行限制， 同时应对所有 可能引起误差的参数进行分析， 排除非敏感参数， 确 定待修正参数。 尺寸在人行天桥的结构参数中， 构件的尺寸可 由设计图纸得到， 但实际尺寸有一个符合标准的允 许偏差。人行天桥建成后， 有一些尺寸可测如梯 道板厚、 主梁顶板厚等， 但有一些尺寸位于结构内 部是不可测的如主梁腹板厚、 底板厚等， 所以不 可测的构件尺寸也应进行灵敏度分析， 容许变化范 围应符合国家标准 ［8， 9］的要求。由于本文采用数值 模拟的方法， 未对实际结构进行测量， 因此结构的各 个参数均在灵敏度分析考虑范围之内。 材料特性由于钢材加工批次的不同， 各批次的 钢材应分组考虑其材料特性弹性模量、 密度。该 人行天桥分为一个主梁和四部扶梯， 共五组。橡胶 支座的初始刚度虽为不可测的变量， 也会由于初始 的假定而带来误差， 由文献［ 2］ ， ［ 10］可查得其变化 范围， 应进行灵敏度分析。 由以上分析， 将设计变量及其由国家标准和文 献查得的允许变化范围列于表 2。 设计变量的允许变化范围表 2 设计 变量 钢板厚 T/m 墩柱半径 T4/m 墩柱壁厚 T5/m 主梁中支座刚度 k1/N /m 上限T 0. 001 T4 0. 003T5 0. 002 1. 35 109 下限T － 0. 001 T4－ 0. 003T5－ 0. 002 3. 40 108 设计 变量 主梁端及扶梯支座刚度 k2/N /m 钢弹性模量 E /Pa 钢密度 D /kg/m3 上限6. 03 1081. 9 10117 800 下限1. 51 1082. 1 10118 000 23 第 43 卷 第 10 期张毅刚， 等． 基于频率、 NMD 和模态柔度的钢结构人行天桥模型分组修正方法研究 经灵敏度分析得出， 修正参数对不同阶的频率 敏感程度是不一样的。频率灵敏度值的绝对值越 小， 待修正参数的灵敏度越差;反之， 待修正参数的 灵敏度越好。频率灵敏度值为正值表示待修正参 数随频率的增大而增大， 为负值表示待修正参数 随频率的增大而减小。图 3 和图 4 分别为人行天 桥的各个待修正参数前 5 阶频率灵敏度值为同号 和异号的分析图。其中， E1， E10， k1， k2， T4， T5随频 率的增 大而增大，D1， T18随 频率 的 增 大 而 减 小。 由于四部扶梯、 墩柱和护栏底座钢板的密度 D5～ D10， 西侧南北两侧扶梯钢板弹性模量 E5和 E7， 主 梁短加劲肋板厚 T1、 护栏底座壁厚 T6、 西侧南北两 侧扶梯钢板厚度 T7和 T9， 主梁四边分别加长加宽 的数值 T12～ T15， 这些待修正 参数 的 灵 敏 度 不 敏 感， 在图中未标出。 本文利用数值模拟来进行方法的验证。理论值 为根据设计图纸建立的初始有限元模型， 模拟值为 将待修正参数的某些值在允许范围内修改后建立的 有限元模型。模型修正的目的就是利用优化方法修 改待修正参数， 使得两个模型及分析出来的结果相 吻合。 图 3人行天桥前 5 阶频率灵敏度灵敏度值同号 图 4人行天桥前 5 阶频率灵敏度灵敏度值异号 针对该人行天桥， 随机提取两组模拟值， 在表 3 中列出了理论值与模拟值不同的设计变量值。 ANSYS 优化模块里最多可设置 20 个设计变 量， 该人行天桥总的设计变量有 32 个， 图 3 和图 4 中标出的较敏感的设计变量共 16 个， 因此可将这 16 个较敏感的设计变量均作为待修正参数。 理论值与模拟值的初始数据表 3 变量理论值模拟值 1模拟值 2变量理论值 模拟值 1 模拟值 2 E1/ 1011Pa2. 061. 921. 94T2/m0. 0120. 013 E9/ 1011Pa2. 061. 92T5/m0. 0160. 0150. 014 5 D1/kg/m37 8507 9507 930T8/m0. 010. 009 k1/ 108N/m5. 583. 65T10/m0. 010. 0090. 009 k2/ 108N/m2. 081. 521. 55T17/m0. 010. 011 T1/m 0. 010. 011 T18/m 0. 010. 0110. 010 5 3. 2 目标函数 检验计算模型和试验模型的振型是否一致的方 法主要有模态标定因子 MSF、 模态置信准则 MAC、 坐标模 态 置 信 准 则 COMAC 和 动 态 力 平 衡 方 法 DFBM。本文采用计算模态标定因子 MSF 的方法， 公式为 MSF φei ， φ a ii γ φ T eiφai φ T aiφai 1 式中φki ， φ ai分别为第 i 阶的模拟振型值和理论振 型值。 两个模型的误差用正则模态差 NMD 表示， 将 NMD 作为目标函数之一。NMD 0 表示两者线性 相关， NMD 1 表示两者线性无关。NMD 与 MAC 的关系为 NMD 1 － MAC 槡MAC 2 表 4 中列出了常用的构造 单一 目标函 数的 方法。 目标函数公式表 4 名称参数公式目标函数 λλi2πf i 2 F ∑ m i 1 αi λai － λ ei λe i 2 MACMACi φTeiφai 2 φTeiφe i φTaiφa i M ∑ m i 1 ri 1 －MAC 槡 i 2 MACi NMDNMDφei ， φ a ii ‖φei－ γφai‖2 ‖γφai‖2 N ∑ m i 1 βiNMDi μμk∑ m i 1 φkiφTki λi U ∑ n k 1 δk μak － μ ek μe k 2 注λ 为频率特征值;μk为第 k 个自由度的模态柔度系数;fi为结构第 i 阶 自振频率;α， r， β， δ 分别为其各自目标函数的权重值， 本文均取为 1;k 为自由 度数;m 为振型阶数;φki为质量标准化的第 i 阶振型矩阵的第 k 个自由度;下 角标 a 表示理论值， 下角标 e 表示模拟值。 3. 3 优化方法 依据工程经验， 将修正参数、 频率变动和目标函 数均施加约束条件， 就可以将有限元模型修正问题 归结为约束优化问题， 利用 ANSYS 优化模块进行求 解。ANSYS 优化模块里有函数逼进和梯度寻优两 种优化方法。函数逼进法的本质是采用最小二乘逼 33 建筑结构2013 年 模拟值 1 各种工况下模型的修正结果表 6 设计变量工况 1 不考虑同数量级考虑同数量级 工况 2 工况 3 工况 4 工况 5 工况 6 工况 7 工况 8 工况 9 E1 7. 907. 409. 809. 1010. 009. 709. 809. 059. 05 E67. 057. 556. 450. 654. 851. 904. 801. 854. 85 E823. 1022. 6019. 3517. 9521. 2518. 1519. 7018. 0518. 95 E9－ 47. 45－ 47. 05－ 54. 25－ 48. 60－ 53. 20－ 49. 05－ 51. 70－ 49. 35－ 51. 85 E1014. 9015. 209. 159. 759. 5019. 2517. 4018. 0016. 75 D113. 7013. 5023. 0516. 7021. 0010. 7011. 759. 8010. 55 k10. 112. 33－ 0. 7213. 71－ 1. 132. 720. 645. 99－ 1. 16 k2－ 0. 28－ 0. 46－ 0. 32－ 0. 100. 270. 11－ 0. 430. 070. 03 T220. 1519. 8523. 7522. 1024. 0018. 2519. 2018. 9019. 15 T3－ 3. 60－ 4. 50－ 13. 45－ 12. 85－ 8. 15－ 13. 00－ 8. 00－ 10. 65－ 6. 30 T426. 3326. 8319. 5025. 0020. 6724. 6721. 5024. 1721. 33 T519. 2520. 1814. 8519. 4016. 5317. 5816. 1517. 3317. 65 T8 5. 406. 163. 38－ 4. 655. 30－ 1. 855. 39－ 1. 106. 12 T10－ 8. 39－ 9. 48－ 0. 96－ 9. 92－ 0. 31－ 6. 81－ 0. 17－ 6. 46－ 0. 14 T17－ 31. 95－ 31. 85－ 12. 85－ 15. 50－ 11. 65－ 20. 10－ 16. 10－ 18. 90－ 13. 10 T1816. 6016. 4524. 3519. 4022. 6513. 2514. 8012. 4013. 40 绝对平均值15. 3815. 7114. 7615. 3414. 4014. 1913. 6013. 8813. 15 注数值为模拟模型的各设计变量与修正后模型的各设计变量的差值与其设计变量变化范围之比， 表 7 同。 进， 求取一个函数面来拟合解空间， 然后再对该函数 面求极值。这是一种普遍适用的优化方法， 不容易 陷入局部极值点， 但优化精度一般不是很高， 因此多 用作粗优化的手段。梯度寻优法针对函数逼进法进 行了改进， 精度明显提高， 但优化时间长， 且还可能 陷入局部最小点。因此， 目前常用的方法是用梯度 寻优法进行优化， 用函数逼进法对其结果进行校核， 避免出现局部最优解。这种方法计算过程简单、 收 敛速度快、 修正物理意义明确， 比较适合工程应用。 文献［ 1］ 中介绍了这种方法与其他智能优化方法相 比的优势。 4数值模拟分析结果 由于各目标函数的数量级不同， 在相互组合时 如果不考虑数量级的影响， 很可能会使精度差、 数量 级大的项在修正过程中处于主导地位， 从而影响修 正效果。所以， 本文考虑了这一影响， 分别对 9 种工 况下的目标函数进行优化， 分别为工况 1λ， 工况 2λ MAC， 工况 3λ NMD， 工况 4λ MAC μ， 工况 5λ NMD μ， 工况 6λx MACy1， 工况 7λ x NMD y2， 工况 8λx MACy1 μ z， 工况 9λx NMD y2 μ z。其中 x， y1， y2， z 分别为 λ， MAC， NMD， μ 的系数， 均大于或等于 1， 根 据优化前各目标函数值数量级相等的原则选取， 即 工况 2 ～ 5 不考虑同数量级， 工况 6 ～ 9 考虑同数量 级。模拟 值 1 和 模 拟 值 2 中 目 标 函 数 λ， MAC， NMD， μ 的优化前数值见表 5。通过比较模拟模型 与修正后模型设计变量之间的误差绝对值的平均值 两组模拟值优化前目标函数值表 5 目标函数λMACNMDμ 模拟值 1 0. 545 7 10 － 1 0. 360 1 10 － 5 0. 130 7 0. 127 3 模拟值 2 0. 397 2 10 － 1 0. 066 9 10 － 5 0. 101 7 0. 025 9 考虑同量级的系数101 10511 注因模拟值 2 的各目标函数值均小于模拟值 1 的， 所以为将两组模拟值 加以比较， 取为相同的系数。 来评价修正效果。结果如表 6 和表 7 所示。 表 6 和表 7 判断修正效果好坏的标准是表中 最后一行的绝对平均值越大， 修正效果越差;反之， 效果越好。从两个表中可以看出， 单独以频率作为 目标函数的工况 1 的绝对平均值基本上是最大的， 即修正效果很差;工况 6 ～ 9 的修正效果分别好于工 况 2 ～ 5， 说明目标函数考虑同数量级要比不考虑同 数量及的修正效果要好;工况 3， 7 分别好于工况 2， 6， 即联合 λ 和 NMD 比联合 λ 和 MAC 作为目标函 数要好， 工况 5， 9 分别好于 工 况 4， 8， 即 联 合 λ， NMD 和模态柔度比联合 λ， MAC 和模态柔度作为目 标函数要好， 这些说明模型修正过程中 NMD 要比 MAC 敏感;工况 5， 9 分别好于工况 3， 7， 即联合 λ， NMD 和模态柔度比联合 λ 和 NMD 作为目标函数要 好， 这说明在低阶条件下模态柔度有较好的敏感性。 从以上分析可知， 9 种工况中， 两组模拟值都是工况 9λx NMD y2 μ z的误差绝对平均值最小， 表 中已用下划线画出， 即 λ 10 NMD μ 的模型修 正效果最好。表 8 中列出了工况 9 下两组模拟值修 正前后的模态分析结果， 从表中可见， 修正后模型的 自振频率误差已不足 0. 3 ， 修正效果较好。 43 第 43 卷 第 10 期张毅刚， 等． 基于频率、 NMD 和模态柔度的钢结构人行天桥模型分组修正方法研究 模拟值 2 各种工况下模型的修正结果表 7 设计变量工况 1 不考虑同数量级考虑同数量级 工况 2 工况 3 工况 4 工况 5 工况 6 工况 7 工况 8 工况 9 E1 9. 558. 50－ 14. 851. 2－ 1. 451. 202. 452. 655. 55 E610. 3511. 3018. 405. 9521. 6517. 5020. 5018. 421. 40 E8 16. 7518. 1517. 7514. 4520. 7022. 6520. 6024. 623. 85 E915. 1014. 804. 3513. 48. 6013. 8514. 2011. 410. 20 E1012. 0512. 001. 207. 653. 155. 658. 356. 26. 00 D1 10. 3510. 6020. 951514. 9512. 6010. 7515. 812. 70 k1－ 1. 57－ 0. 341. 032. 481. 451. 621. 291. 791. 22 k20. 260. 29－ 0. 590. 78－ 0. 060. 49－ 0. 230. 030. 31 T2－ 20. 35－ 20. 55－ 14. 60－ 18. 75－ 19. 90－ 20. 95－ 23. 30－ 19. 65－ 20. 75 T3 － 2. 20－ 2. 806. 50－ 6. 104. 957. 502. 206. 205. 85 T417. 0016. 674. 8315. 0010. 0015. 3316. 0012. 1711. 17 T5－ 7. 77－ 8. 40－ 26. 70－ 10. 00－ 18. 45－ 10. 25－ 8. 85－ 14. 10－ 15. 75 T8 － 39. 65－ 38. 84－ 17. 47－ 41. 74－ 14. 08－ 25. 86－ 18. 11－ 19. 12－ 12. 07 T10－ 24. 41－ 22. 81－ 10. 94－ 23. 39－ 8. 55－ 18. 27－ 17. 44－ 11. 41－ 5. 03 T1725. 4525. 1517. 9533. 8513. 959. 4012. 4014. 8510. 50 T18 － 2. 50－ 2. 206. 852. 101. 050. 30－ 1. 803. 55－ 0. 10 绝对平均值13. 4613. 3411. 5613. 2410. 1811. 4611. 1511. 3710. 15 工况 9 下两组模拟值的自振频率及误差表 8 自振 频率 理论值 /Hz 模拟值 /Hz修正前误差 / 修正后误差 / 121212 第 1 阶4. 421 74. 211 44. 260 14. 993. 790. 120. 04 第 2 阶5. 223 14. 953 94. 997 75. 434. 510. 040. 19 第 3 阶5. 581 45. 277 65. 341 75. 764. 490. 060. 19 第 4 阶7. 805 47. 431 17. 431 65. 045. 030. 060. 13 第 5 阶10. 3919. 983 510. 0054. 083. 860. 030. 22 5结论 针对依据人行天桥设计图纸等基本资料建立的 有限元分析模型往往与实际结果有较大出入的问 题， 本文利用数值模拟的方法模拟了两组实测值， 探 讨动力有限元模型修正的方法， 得出结论如下 1由于钢板的设计尺寸和出厂尺寸有一个允 许偏差， 材料特性也有一个允许的变化范围， 而且材 料生产批次不同， 各参数的变化值也不同， 这些变化 都将影响结构模型的准确性。本文针对这一问题， 将构件的各参数分组进行灵敏度分析， 使模型修正 更具有实际意义。 2联合的各目标函数应建立在同数量级的基 础上， 考虑同数量级的 10 倍的频率、 1 倍的 NMD 和 1 倍的模态柔度联合作为目标函数修正后的模型要 比不考虑同数量级的修正效果好;模态柔度在低阶 条件下表现出了较好的敏感性;NMD 也要比 MAC 敏感。 3基于动力的有限元模型修正， 9 种工况下， 联合考虑同数量级系数的频率、 NMD 和模态柔度作 为目标函数的修正效果最好。 4修正后的钢结构人行天桥有限元模型的 各参数及动力特性与模拟值更加吻合， 可以认为 本文提出的修正方法对该天桥的有限元模型进行 了比较有效的修正， 建立起了该天桥的基准有限 元模型， 可以进一步服务于天桥的长期健康监测 和安全评估。 参考文献 ［1］ 朱宏平， 黄民水． 基于环境激励的桥梁结构动力有限 元模型修正研究［J］． 华中科技大学学报城市科学 版， 2009，2611- 11． ［2］ 田仲初， 彭涛， 陈政清． 佛山东平大桥静动力分层次有 限元模型修正研究［J］． 振动与冲击， 2007，26 6 162- 165． ［3］ 冯新， 李国强， 范颖芳． 几种常用损伤动力指纹的适用 性研究［J］． 振动、 测试与诊断， 2004，244277- 280． ［4］ 宗周红， 夏樟华． 联合模态柔度和静力位移的桥梁有 限元模型修正方法［J］． 中国公路学报， 2008，216 43- 49． ［5］ MLLER P W， FRIBERG O．Updating large finite element modelsinstructuraldynamics ［J］．AIAA Journal， 1998，36101861- 1868． ［6］ 方铭， 罗银淼． 城市人行天桥振动测试研究［J］． 东南 大学学报自然科学版， 2001，315A98- 100． ［7］ 法永生， 李东． 某钢结构人行天桥动力特性测试与有 限元分析［J］． 建筑结构， 2007，37363- 65． ［8］ GB/T 7092006 热轧钢板和钢带的尺寸、 外形、 重量 及允许偏差［S］． 北京中国标准出版社， 2007． ［9］ JT/T 42004 公路桥梁板式橡胶支座［S］． 北京人 民交通出版社， 2004． ［ 10］ 邵旭东． 桥梁工程［M］． 北京人民交通出版社， 2004． 53